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浙教版数学七年级下册期中模拟测试 三[范围：1-3章]
一、选择题(每题3分,共30分)
1．（2025七下·南京月考）下列窗棂图案中可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】利用平移设计图案
【解析】【解答】解：A、本选项的图案可以看作由“基本图案”经过平移得到；
B、本选项的图案不可以看作由“基本图案”经过平移得到；
C、本选项的图案不可以看作由“基本图案”经过平移得到；
D、本选项的图案不可以看作由“基本图案”经过平移得到；
故选：A．
【分析】平移不改变图形的形状和大小，平移前后对应点的连线平行且相等或在同一条直线上．
2．（2024七下·余杭期中）下列结论错误的是（　　）
A．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
B．两直线平行，同旁内角互补
C．垂直于同一直线的两条直线互相平行
D．同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
【答案】C
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定；平面中直线位置关系；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：A．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故本选项正确；
B．两直线平行，同旁内角互补，故本选项正确；
C．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平，故本选项错误；
D．同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故本选项正确；
故答案为：C．
【分析】根据平行线的定义、性质，平行公理及推论逐项判断解题．
3．（2025七下·龙港期中）如图，，点E是上一点，点F是上一点，与互余，已知，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的应用-求角度；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵与互余，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据两直线平行，内错角相等得到，然后利用余角的定义即可求出的度数．
4．（2025七下·滨江期中）现有①，②，③，④四张卡片，卡片上分别写有一个二元一次方程，若取两张卡片，联立得到的二元一次方程组的解为，则所取的两张卡片是（　　）
A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：将代入方程x-y=9，左边=-7-（-8）=1≠右边，所以不是方程x-y=9的解；
将代入方程2x-3y=-9，左边=-7×2-3（-8）=10≠右边，所以不是方程2x-3y=-9的解；
将代入方程x-y=1，左边=-7-（-8）=1=右边，所以是方程x-y=1的解；
将代入方程3x-2y=-5，左边=-7×3-2（-8）=-5=右边，所以是方程3x-2y=-5的解，
所以 是③与④两张卡片上的方程组成方程组的解.
故答案为：D.
【分析】使方程组中每一个方程的左边等于右边的解就是方程组的解，据此逐一判断得出答案.
5．（2025七下·余姚期中） 《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少 设一只雀的重量为x斤，一只燕的重量为y斤，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设一只雀的重量为x斤，一只燕的重量为y斤。
根据题目，我们可以列出两个方程：
第一个方程：5x + 6y = 1 （表示五只雀和六只燕的总重量等于一斤）
第二个方程：4x + y = 5y + x （表示互换一只雀和一只燕后，它们的总重量相等）
因此，所列出的方程组为：
故答案为：C.
【分析】根据题目，我们需要找出描述问题中两个等量关系的方程组。第一个等量关系是五只雀和六只燕的总重量等于一斤。第二个等量关系是互换一只雀和一只燕后，它们的总重量相等。通过这两个等量关系，我们可以列出相应的方程组.
6．（2025·金华模拟）如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠． 若 ，则 的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
根据折叠的性质可知，
∵两边沿互相平行，
∴，
∴，
又，
∴．
故答案为：C．
【分析】根据对折可得，根据平行线可得，利用等量代换得到，然后根据三角形内角和定理解答即可．
7．（2023八上·龙湾开学考）图1是由3个相同小长方形拼成的图形其周长为24，图2中的长方形内放置10个相同的小长方形，则长方形的周长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；求代数式值的实际应用；利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，
由图1得：，
∴，
由图2得：长方形ABCD的长AB表示为：，宽AD表示为，
∴周长为：
故答案为：C．
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，平移的思想可得图1的周长就是一个长为2x宽为2y的长方形的周长，结合长方形周长计算公式得出x+y=6；再利用平移的思想发现图2的长方形ABCD的长AB=3x+y，宽AD=x+3y，从而根据长方形周长计算公式表示出长方形ABCD的周长，然后整体代入计算即可.
8．（2025七下·杭州期中）已知关于，的方程组，则下列结论中：①当时，方程组的解是；②当，的值互为相反数时，；③不存在一个实数使得；④若，则正确的个数有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
解得，
①当a=10时，原方程组的解为 ，本选项正确；
②由x与y互为相反数，得到x+y=0，即25-a+15-a=0
解得：a=20，本选项正确；
③若x=y，则25-a=15-a
可得a=a-5，矛盾，故不存在一个实数a使得x=y，本选项正确；
④由题意得：x-3a=5
把x=25-a代入得
25-a-3a=5
解得a=5，本选项正确，
综上，正确的选项有四个.
故答案为：D.
【分析】先将字母a作为常数，解方程组，用含a的式子表示出原方程组的解；①把a=10代入原方程组的解，即可做出判断；
②根据题意得到x+y=0，代入方程组的解求出a的值，即可做出判断；③假如x=y，得到a无解，本选项正确；④根据题中等式得到x-3a=5，代入x=25-a求出a的值，即可做出判断.
9．（2025七下·杭州期中）已知实数，满足，．若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】将等式a+b=4两边同时平方，展开后结合a2+b2=10可求出ab=3，然后根据完全平方公式将(a-b)2展开后整体代入计算可得答案.
10．（2025七下·宁波期中）如图，通过计算图形的面积，可以验证的一个等式是（　　）
①②
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：∵①中阴影部分面积=a2-b2，②中阴影部分面积=（a+b）（a-b），
∴a2-b2=（a+b）（a-b）
故答案为：B.
【分析】①中阴影部分面积=大正方形面积-小正方形面积=a2-b2，②中阴影部分是长方形，
阴影部分面积=长×宽=（a+b）（a-b）。根据图形拼接过程中阴影部分面积不变。即可得到正确答案.
二、填空题(每题3分,共18分)
11．（2025七下·西湖月考）已知二元一次方程，则用含的代数式表示为：　 　．
【答案】
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
12．（2024七下·南浔期中）若，则　 　．
【答案】125
【知识点】同底数幂的乘法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：125．
【分析】由已知条件得，举哀那个待求式子利用同底数幂的乘法的法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”进行运算后整体代入，最后按有理数的乘方运算法则计算即可．
13．（2025七下·北仑期中）如图，从点向直线所画的4条线段中，线段　 　最短．
【答案】PB（或BP）
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解： 根据“垂线段最短”可知，PB最短，
故答案为：PB（或BP）.
【分析】 根据“从直线外一点，到直线上各点所连的线段中，垂直线段最短”进行判断.
14．（2024七下·绍兴期中）已知多项式 与的乘积中不含项，则常数a的值是　 　．
【答案】2
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：∵
又∵多项式 与的乘积中不含项，
∴
∴
故答案为：2.
【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则求出两个多项式的积为然后根据题意得到据此即可求出a的值.
15．（2024七下·拱墅期中）已知两个二元一次方程的部分解如下表所示：则方程组的解是　 　．
的解
x 44 45 46 47 …
y 56 55 54 53 …
的解
x 44 45 46 47 …
y 54 55 56 57 …
【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：观察表格可知：
方程和方程的公共解为：，
∴方程组的解是，
故答案为：．
【分析】根据二元一次方程组的解的意义“能使方程组中每一个方程两边的值都相等的未知数的值就是这个方程组的解”并结合表格中的信息即可求解．
16．（2024七下·嘉兴期中）一块长为60厘米，宽为20厘米的长方形地板中间产生了一条裂缝（如图甲），一段时间后裂缝右边的一块向右平移了8毫米，则产生的裂缝面积是　 　平方厘米．
【答案】16
【知识点】利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】解：产生的裂缝的面积为：（平方厘米）．
故答案为：16．
【分析】利用平移的思想可得新长方形的面积减去原长方形的面积等于产生的裂缝的面积，据此列式计算可得答案．
三、解答题(17-21每题8分,22-23每题10分,24题12分,共72分)
17．（2026七下·期中）解方程组
两位同学的解法如下：
解法一： ①+②，解得4x=4.（　　）
解法二： 由②，得5y=-3x+1. ③（　　） 把③代入①中，得x-3x-1=3.
（1）检查两位同学的解题过程是否正确？若解法正确，请在后面括号内打上“×”若有错误，请在后面括号内打上“x”：
（2）请选择一种你喜欢的方法完成解答.
【答案】（1）解：
解法一： ①+②，解得4x=4.（√）
解法二： 由②，得5y=-3x+1. ③（×） 把③代入①中，得x-3x-1=3.
（2）解：选择解法一：①＋②，得，解得.
把代入①，得，解得，
∴该方程组的解为
选择解法二：由②，得③.
把③代入①，得，解得，
把代入①，得
∴该方程组的解为
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据等式的性质进行判断即可求出答案.
（2）选择解法一：根据加减消元法解方程组即可求出答案.
选择解法二：根据代入消元法解方程组即可求出答案.
18．（2025七下·温岭期中） 如图，AB//CD，点E在线段AB上，连接CE，DE，已知CE⊥DE，∠1=50°，求∠2的度数.（注：下文中的符号“∵”“∴”分别表示“因为”和“所以”）
（1）请补全下面解答过程；
解：∵CE⊥DE（已知）
∴∠CED= ▲ （垂直的定义）
∵∠1=50° （已知）
∴∠AED=∠CED+∠1= ▲ .
∵AB//CD（已知）
∴∠2+∠AED=180°（　　）
∴∠2=180°-∠AED= ▲
（2）若将题目中的“CE⊥DE”改成“DE平分∠BEC”，其它条件不变，求∠2的度数.
【答案】（1）解：∵CE⊥DE（已知）
∴∠CED=90°（垂直的定义）
∵∠1=50° （已知）
∴∠AED=∠CED+∠1=140°.
∵AB//CD（已知）
∴∠2+∠AED=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠2=180°-∠AED=40°
（2）解：解：∠1=50°
∴∠CEB=180°-∠CEB=130°
∵DE平分∠CEB
∴∠BED=∠CEB=65°
∵AB//CD
∴∠2=∠BED=65°
（其它解法酌情给分)
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】（1）由 CE⊥DE 可得∠CED=90°，所以∠1+∠BED=90°，由∠1=50°可知∠BED=40°。由AB∥CD可知∠2=∠BED=40°.
（2）由∠1=50°，可得∠BEC=130°。 DE平分∠BEC 可知∠BED=65°。由AB∥CD可知∠2=∠BED=65°.
19．（2026八上·祁东期末）化简求值：[（x﹣y）2﹣x（3x﹣2y）+（x+y）（x﹣y）]÷2x，其中x=1，y=﹣2．
【答案】解：原式=（x2-2xy+y2-3x2+2xy+x2-y2）÷2x
=（-x2）÷2x
=-x，
当x=1时，y=-2时，原式.
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】首先利用完全平方公式、单项式与多项式的乘法法则及平方差公式对括号内的式子进行化简，然后计算多项式与单项式的除法，最后把x，y的值代入求值即可.
20．（2025七下·武威开学考）如图，在中，平分．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：证明：∵，∴.
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，∴.
∵平分，
∴.
∵，
∴，
即∠2的度数为．
【知识点】角平分线的概念；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，
（1）先根据“两直线平行，同位角相等”结合角平分线定义实现角的等量代换，再通过内错角相等证平行；
（2）根据平行线同位角相等得，再根据角平分线性质分为相等的两角求出，然后根据“两直线平行，同位角相等”求出答案．
（1）证明：∵，
∴.
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴.
∵平分，
∴.
∵，
∴，
即∠2的度数为．
21．（2026八上·汇川期末）某学校准备假期对闲置土地进行规划改造用于学生劳动课程，如图，已知该土地是长为米，宽为米的长方形，学校准备在该处修一条平行四边形小路，小路的底边宽a米，并计划将阴影部分改造为种植区.
（1）用含有a，b的式子分别表示出小路面积和种植区面积；
（2）若，，求此时种植区的面积.
【答案】（1）解：如图，
∵小路的底边宽a米，
∴，
∵将小路去掉，剩下的阴影部分会重新组成一个宽为米的长方形，
∴.
∴小路面积和种植区面积分别为，.
（2）解：由（1）得：，
将，，代入得：
.
∴此时种植区的面积为336.
【知识点】多项式乘多项式；用代数式表示实际问题中的数量关系；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）根据平行四边形面积计算公式可计算出，将小路去掉，剩下的阴影部分会重新组成一个长方形，据此可计算出.
（2）将，，代入计算即可.
（1）解：∵小路的底边宽a米，
∴，
∵将小路去掉，剩下的阴影部分会重新组成一个宽为米的长方形，
∴.
（2）解：将，，代入得：
.
22．（2026七上·铜仁期末）为完善城市功能，提升人居品质，铜仁锦江沿江步道某路段建设项目正式于年月动工．为了加快施工进度，施工方引进甲、乙两种型号的卡车进入工地运载施工材料．已知用辆甲型车和辆乙型车装满施工材料一次可运吨；用辆甲型车和辆乙型车装满施工材料一次可运吨．
（1）求辆甲型车和辆乙型车都装满施工材料一次可分别运多少吨？
（2）现有吨施工材料需要运送，计划同时租用甲型车辆，乙型车辆（每种车辆至少辆，且甲型车数量少于乙型车），一次运完，且恰好每辆车都装满施工材料，请设计出所有租车方案；
（3）若甲型车每辆需费用元/次，乙型车每辆需费用元/次，从第（2）题设计的方案中选出最省钱的租车方案，求出最少费用．
【答案】（1）解：设辆甲型车装满货物一次可运货吨，辆乙型车装满货物一次可运货吨，
依题意得：，
解得：，
答：辆甲型车装满货物一次可运货吨，辆乙型车装满货物一次可运货吨；
（2）解：由（1）可知辆甲型车装满货物一次可运货吨，辆乙型车装满货物一次可运货吨，
依题意得：，
整理得：，
，均为正整数，
解得：或或或，
又，
共有种租车方案，
方案1：租用4辆甲型车，12辆乙型车，
方案2：租用8辆甲型车，9辆乙型车；
（3）解：方案所需租金为（元），
方案所需租金为（元），
，
最省钱的租车方案是：租甲型车辆，乙型车辆，
答：租甲型车辆，乙型车辆，最少租车费是元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】(1)本题考察二元一次方程组的应用，设1辆甲型车运x吨，1辆乙型车运y吨，根据两种运货组合的总量列出方程组。由“2辆甲型车和1辆乙型车运10吨”得，由“1辆甲型车和2辆乙型车运11吨”得；解此方程组，即可求出x和y的值。
(2)本题考察二元一次方程的正整数解与条件限制，根据总运货量列出方程，整理得；因a、b均为正整数，故a需是4的倍数，列举出所有可能的a、b值，再根据的条件筛选出符合的租车方案。
(3)本题考察租车费用的计算与比较，分别计算两种筛选出的方案的总费用，方案1：，方案2：；计算出两种方案的费用后，比较大小，得出最省钱的方案和最少费用。
（1）解：设辆甲型车装满货物一次可运货吨，辆乙型车装满货物一次可运货吨，
依题意得：，
解得：，
答：辆甲型车装满货物一次可运货吨，辆乙型车装满货物一次可运货吨；
（2）解：由（1）可知辆甲型车装满货物一次可运货吨，辆乙型车装满货物一次可运货吨，
依题意得：，
整理得：，
，均为正整数，
解得：或或或，
又，
共有种租车方案，
方案1：租用4辆甲型车，12辆乙型车，
方案2：租用8辆甲型车，9辆乙型车；
（3）解：方案所需租金为（元），
方案所需租金为（元），
，
最省钱的租车方案是：租甲型车辆，乙型车辆，
答：租甲型车辆，乙型车辆，最少租车费是元．
23．（2025七下·福田期中）【问题探究】
把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由图1，可得等式：
（1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来：______．
（2）利用（1）中所得到的结论，
已知，，求的值．
（3）如图3，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接和．
①用含，的式子表示阴影部分的面积______
②若，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）
（2）解：，
.

（3）①；
②由①知阴影部分面积为，
原式.
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用
【解析】【解答】（1）解：由图可知：．
故答案为：.
（3）①
故答案为：.
【分析】（1）结合图形并利用长方形的面积公式列出代数式即可得到等式；
（2）利用（1）的等式直接求解即可；
（3）①利用三角形的面积公式及割补法求出阴影部分的面积即可；
②利用直接代入计算即可.
（1）解：由图可知：．
故答案为：
（2）解：，
（3）解：①
②由①知阴影部分面积为，
原式
24．（2025七下·光明期中）如图，直线，连接AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点落在某个部分时，连接PA，PB，构成三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是角）
（1）如图1，当动点落在第①部分时，是否成立？（直接回答成立或不成立）；
（2）如图2，当动点落在第②部分时，探究之间的关系并说明理由；
（3）当动点落在第③部分时，全面探究之间的关系，并写出动点的具体位置和相对应的结论．
【答案】（1）解法一：如图1；延长BP交直线AC于点．
，
．
，
；
解法二，如图2；过点作，
．
，
，
．
，
；
（2）解：不成立，结论是，
如图3，过作，
，
，
，
；
（3）解：由题意知，分3种情况求解；
（a）如图4，当动点在射线BA的右侧时，结论是：．
证明：如图4，连接PA，连接PB交AC于，
，
．
又，
．
（b）如图5，当动点在射线BA上，结论是：，或或（任写一个即可）
证明：如图5，
点在射线BA上，
．
，
．
，或或．
（c）如图6，当动点在射线BA的左侧时，结论是．
证明：如图6，连接PA，连接PB交AC于，
，
．
，
．
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】（1） 如图1，当动点落在第①部分时， 可根据平行线的性质 得出 ；
（2） 如图2，当动点落在第②部分时， 根据平行线的性质可得出；
（3）如图4， 当动点落在第③部分时， 分3种情况求解当动点在射线BA的右侧时，结论是：；如图5，当动点在射线BA上，结论是：，或或；如图6，当动点在射线BA的左侧时，结论是．
1 / 1浙教版数学七年级下册期中模拟测试 三[范围：1-3章]
一、选择题(每题3分,共30分)
1．（2025七下·南京月考）下列窗棂图案中可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024七下·余杭期中）下列结论错误的是（　　）
A．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
B．两直线平行，同旁内角互补
C．垂直于同一直线的两条直线互相平行
D．同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
3．（2025七下·龙港期中）如图，，点E是上一点，点F是上一点，与互余，已知，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025七下·滨江期中）现有①，②，③，④四张卡片，卡片上分别写有一个二元一次方程，若取两张卡片，联立得到的二元一次方程组的解为，则所取的两张卡片是（　　）
A．①和② B．②和③ C．①和④ D．③和④
5．（2025七下·余姚期中） 《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重.问：每只雀、燕的重量各为多少 设一只雀的重量为x斤，一只燕的重量为y斤，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025·金华模拟）如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠． 若 ，则 的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2023八上·龙湾开学考）图1是由3个相同小长方形拼成的图形其周长为24，图2中的长方形内放置10个相同的小长方形，则长方形的周长为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025七下·杭州期中）已知关于，的方程组，则下列结论中：①当时，方程组的解是；②当，的值互为相反数时，；③不存在一个实数使得；④若，则正确的个数有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2025七下·杭州期中）已知实数，满足，．若，则（　　）
A． B． C． D．
10．（2025七下·宁波期中）如图，通过计算图形的面积，可以验证的一个等式是（　　）
①②
A． B．
C． D．
二、填空题(每题3分,共18分)
11．（2025七下·西湖月考）已知二元一次方程，则用含的代数式表示为：　 　．
12．（2024七下·南浔期中）若，则　 　．
13．（2025七下·北仑期中）如图，从点向直线所画的4条线段中，线段　 　最短．
14．（2024七下·绍兴期中）已知多项式 与的乘积中不含项，则常数a的值是　 　．
15．（2024七下·拱墅期中）已知两个二元一次方程的部分解如下表所示：则方程组的解是　 　．
的解
x 44 45 46 47 …
y 56 55 54 53 …
的解
x 44 45 46 47 …
y 54 55 56 57 …
16．（2024七下·嘉兴期中）一块长为60厘米，宽为20厘米的长方形地板中间产生了一条裂缝（如图甲），一段时间后裂缝右边的一块向右平移了8毫米，则产生的裂缝面积是　 　平方厘米．
三、解答题(17-21每题8分,22-23每题10分,24题12分,共72分)
17．（2026七下·期中）解方程组
两位同学的解法如下：
解法一： ①+②，解得4x=4.（　　）
解法二： 由②，得5y=-3x+1. ③（　　） 把③代入①中，得x-3x-1=3.
（1）检查两位同学的解题过程是否正确？若解法正确，请在后面括号内打上“×”若有错误，请在后面括号内打上“x”：
（2）请选择一种你喜欢的方法完成解答.
18．（2025七下·温岭期中） 如图，AB//CD，点E在线段AB上，连接CE，DE，已知CE⊥DE，∠1=50°，求∠2的度数.（注：下文中的符号“∵”“∴”分别表示“因为”和“所以”）
（1）请补全下面解答过程；
解：∵CE⊥DE（已知）
∴∠CED= ▲ （垂直的定义）
∵∠1=50° （已知）
∴∠AED=∠CED+∠1= ▲ .
∵AB//CD（已知）
∴∠2+∠AED=180°（　　）
∴∠2=180°-∠AED= ▲
（2）若将题目中的“CE⊥DE”改成“DE平分∠BEC”，其它条件不变，求∠2的度数.
19．（2026八上·祁东期末）化简求值：[（x﹣y）2﹣x（3x﹣2y）+（x+y）（x﹣y）]÷2x，其中x=1，y=﹣2．
20．（2025七下·武威开学考）如图，在中，平分．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
21．（2026八上·汇川期末）某学校准备假期对闲置土地进行规划改造用于学生劳动课程，如图，已知该土地是长为米，宽为米的长方形，学校准备在该处修一条平行四边形小路，小路的底边宽a米，并计划将阴影部分改造为种植区.
（1）用含有a，b的式子分别表示出小路面积和种植区面积；
（2）若，，求此时种植区的面积.
22．（2026七上·铜仁期末）为完善城市功能，提升人居品质，铜仁锦江沿江步道某路段建设项目正式于年月动工．为了加快施工进度，施工方引进甲、乙两种型号的卡车进入工地运载施工材料．已知用辆甲型车和辆乙型车装满施工材料一次可运吨；用辆甲型车和辆乙型车装满施工材料一次可运吨．
（1）求辆甲型车和辆乙型车都装满施工材料一次可分别运多少吨？
（2）现有吨施工材料需要运送，计划同时租用甲型车辆，乙型车辆（每种车辆至少辆，且甲型车数量少于乙型车），一次运完，且恰好每辆车都装满施工材料，请设计出所有租车方案；
（3）若甲型车每辆需费用元/次，乙型车每辆需费用元/次，从第（2）题设计的方案中选出最省钱的租车方案，求出最少费用．
23．（2025七下·福田期中）【问题探究】
把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由图1，可得等式：
（1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来：______．
（2）利用（1）中所得到的结论，
已知，，求的值．
（3）如图3，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接和．
①用含，的式子表示阴影部分的面积______
②若，，求阴影部分的面积．
24．（2025七下·光明期中）如图，直线，连接AB，直线AC、BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点落在某个部分时，连接PA，PB，构成三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是角）
（1）如图1，当动点落在第①部分时，是否成立？（直接回答成立或不成立）；
（2）如图2，当动点落在第②部分时，探究之间的关系并说明理由；
（3）当动点落在第③部分时，全面探究之间的关系，并写出动点的具体位置和相对应的结论．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】利用平移设计图案
【解析】【解答】解：A、本选项的图案可以看作由“基本图案”经过平移得到；
B、本选项的图案不可以看作由“基本图案”经过平移得到；
C、本选项的图案不可以看作由“基本图案”经过平移得到；
D、本选项的图案不可以看作由“基本图案”经过平移得到；
故选：A．
【分析】平移不改变图形的形状和大小，平移前后对应点的连线平行且相等或在同一条直线上．
2．【答案】C
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定；平面中直线位置关系；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：A．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故本选项正确；
B．两直线平行，同旁内角互补，故本选项正确；
C．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平，故本选项错误；
D．同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故本选项正确；
故答案为：C．
【分析】根据平行线的定义、性质，平行公理及推论逐项判断解题．
3．【答案】A
【知识点】平行线的应用-求角度；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵与互余，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据两直线平行，内错角相等得到，然后利用余角的定义即可求出的度数．
4．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：将代入方程x-y=9，左边=-7-（-8）=1≠右边，所以不是方程x-y=9的解；
将代入方程2x-3y=-9，左边=-7×2-3（-8）=10≠右边，所以不是方程2x-3y=-9的解；
将代入方程x-y=1，左边=-7-（-8）=1=右边，所以是方程x-y=1的解；
将代入方程3x-2y=-5，左边=-7×3-2（-8）=-5=右边，所以是方程3x-2y=-5的解，
所以 是③与④两张卡片上的方程组成方程组的解.
故答案为：D.
【分析】使方程组中每一个方程的左边等于右边的解就是方程组的解，据此逐一判断得出答案.
5．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设一只雀的重量为x斤，一只燕的重量为y斤。
根据题目，我们可以列出两个方程：
第一个方程：5x + 6y = 1 （表示五只雀和六只燕的总重量等于一斤）
第二个方程：4x + y = 5y + x （表示互换一只雀和一只燕后，它们的总重量相等）
因此，所列出的方程组为：
故答案为：C.
【分析】根据题目，我们需要找出描述问题中两个等量关系的方程组。第一个等量关系是五只雀和六只燕的总重量等于一斤。第二个等量关系是互换一只雀和一只燕后，它们的总重量相等。通过这两个等量关系，我们可以列出相应的方程组.
6．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，
根据折叠的性质可知，
∵两边沿互相平行，
∴，
∴，
又，
∴．
故答案为：C．
【分析】根据对折可得，根据平行线可得，利用等量代换得到，然后根据三角形内角和定理解答即可．
7．【答案】C
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；求代数式值的实际应用；利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，
由图1得：，
∴，
由图2得：长方形ABCD的长AB表示为：，宽AD表示为，
∴周长为：
故答案为：C．
【分析】设小长方形的长为x，宽为y，平移的思想可得图1的周长就是一个长为2x宽为2y的长方形的周长，结合长方形周长计算公式得出x+y=6；再利用平移的思想发现图2的长方形ABCD的长AB=3x+y，宽AD=x+3y，从而根据长方形周长计算公式表示出长方形ABCD的周长，然后整体代入计算即可.
8．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
解得，
①当a=10时，原方程组的解为 ，本选项正确；
②由x与y互为相反数，得到x+y=0，即25-a+15-a=0
解得：a=20，本选项正确；
③若x=y，则25-a=15-a
可得a=a-5，矛盾，故不存在一个实数a使得x=y，本选项正确；
④由题意得：x-3a=5
把x=25-a代入得
25-a-3a=5
解得a=5，本选项正确，
综上，正确的选项有四个.
故答案为：D.
【分析】先将字母a作为常数，解方程组，用含a的式子表示出原方程组的解；①把a=10代入原方程组的解，即可做出判断；
②根据题意得到x+y=0，代入方程组的解求出a的值，即可做出判断；③假如x=y，得到a无解，本选项正确；④根据题中等式得到x-3a=5，代入x=25-a求出a的值，即可做出判断.
9．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】将等式a+b=4两边同时平方，展开后结合a2+b2=10可求出ab=3，然后根据完全平方公式将(a-b)2展开后整体代入计算可得答案.
10．【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：∵①中阴影部分面积=a2-b2，②中阴影部分面积=（a+b）（a-b），
∴a2-b2=（a+b）（a-b）
故答案为：B.
【分析】①中阴影部分面积=大正方形面积-小正方形面积=a2-b2，②中阴影部分是长方形，
阴影部分面积=长×宽=（a+b）（a-b）。根据图形拼接过程中阴影部分面积不变。即可得到正确答案.
11．【答案】
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
12．【答案】125
【知识点】同底数幂的乘法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：125．
【分析】由已知条件得，举哀那个待求式子利用同底数幂的乘法的法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”进行运算后整体代入，最后按有理数的乘方运算法则计算即可．
13．【答案】PB（或BP）
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解： 根据“垂线段最短”可知，PB最短，
故答案为：PB（或BP）.
【分析】 根据“从直线外一点，到直线上各点所连的线段中，垂直线段最短”进行判断.
14．【答案】2
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：∵
又∵多项式 与的乘积中不含项，
∴
∴
故答案为：2.
【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则求出两个多项式的积为然后根据题意得到据此即可求出a的值.
15．【答案】
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：观察表格可知：
方程和方程的公共解为：，
∴方程组的解是，
故答案为：．
【分析】根据二元一次方程组的解的意义“能使方程组中每一个方程两边的值都相等的未知数的值就是这个方程组的解”并结合表格中的信息即可求解．
16．【答案】16
【知识点】利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】解：产生的裂缝的面积为：（平方厘米）．
故答案为：16．
【分析】利用平移的思想可得新长方形的面积减去原长方形的面积等于产生的裂缝的面积，据此列式计算可得答案．
17．【答案】（1）解：
解法一： ①+②，解得4x=4.（√）
解法二： 由②，得5y=-3x+1. ③（×） 把③代入①中，得x-3x-1=3.
（2）解：选择解法一：①＋②，得，解得.
把代入①，得，解得，
∴该方程组的解为
选择解法二：由②，得③.
把③代入①，得，解得，
把代入①，得
∴该方程组的解为
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据等式的性质进行判断即可求出答案.
（2）选择解法一：根据加减消元法解方程组即可求出答案.
选择解法二：根据代入消元法解方程组即可求出答案.
18．【答案】（1）解：∵CE⊥DE（已知）
∴∠CED=90°（垂直的定义）
∵∠1=50° （已知）
∴∠AED=∠CED+∠1=140°.
∵AB//CD（已知）
∴∠2+∠AED=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠2=180°-∠AED=40°
（2）解：解：∠1=50°
∴∠CEB=180°-∠CEB=130°
∵DE平分∠CEB
∴∠BED=∠CEB=65°
∵AB//CD
∴∠2=∠BED=65°
（其它解法酌情给分)
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】（1）由 CE⊥DE 可得∠CED=90°，所以∠1+∠BED=90°，由∠1=50°可知∠BED=40°。由AB∥CD可知∠2=∠BED=40°.
（2）由∠1=50°，可得∠BEC=130°。 DE平分∠BEC 可知∠BED=65°。由AB∥CD可知∠2=∠BED=65°.
19．【答案】解：原式=（x2-2xy+y2-3x2+2xy+x2-y2）÷2x
=（-x2）÷2x
=-x，
当x=1时，y=-2时，原式.
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】首先利用完全平方公式、单项式与多项式的乘法法则及平方差公式对括号内的式子进行化简，然后计算多项式与单项式的除法，最后把x，y的值代入求值即可.
20．【答案】（1）解：证明：∵，∴.
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，∴.
∵平分，
∴.
∵，
∴，
即∠2的度数为．
【知识点】角平分线的概念；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，
（1）先根据“两直线平行，同位角相等”结合角平分线定义实现角的等量代换，再通过内错角相等证平行；
（2）根据平行线同位角相等得，再根据角平分线性质分为相等的两角求出，然后根据“两直线平行，同位角相等”求出答案．
（1）证明：∵，
∴.
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴.
∵平分，
∴.
∵，
∴，
即∠2的度数为．
21．【答案】（1）解：如图，
∵小路的底边宽a米，
∴，
∵将小路去掉，剩下的阴影部分会重新组成一个宽为米的长方形，
∴.
∴小路面积和种植区面积分别为，.
（2）解：由（1）得：，
将，，代入得：
.
∴此时种植区的面积为336.
【知识点】多项式乘多项式；用代数式表示实际问题中的数量关系；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）根据平行四边形面积计算公式可计算出，将小路去掉，剩下的阴影部分会重新组成一个长方形，据此可计算出.
（2）将，，代入计算即可.
（1）解：∵小路的底边宽a米，
∴，
∵将小路去掉，剩下的阴影部分会重新组成一个宽为米的长方形，
∴.
（2）解：将，，代入得：
.
22．【答案】（1）解：设辆甲型车装满货物一次可运货吨，辆乙型车装满货物一次可运货吨，
依题意得：，
解得：，
答：辆甲型车装满货物一次可运货吨，辆乙型车装满货物一次可运货吨；
（2）解：由（1）可知辆甲型车装满货物一次可运货吨，辆乙型车装满货物一次可运货吨，
依题意得：，
整理得：，
，均为正整数，
解得：或或或，
又，
共有种租车方案，
方案1：租用4辆甲型车，12辆乙型车，
方案2：租用8辆甲型车，9辆乙型车；
（3）解：方案所需租金为（元），
方案所需租金为（元），
，
最省钱的租车方案是：租甲型车辆，乙型车辆，
答：租甲型车辆，乙型车辆，最少租车费是元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】(1)本题考察二元一次方程组的应用，设1辆甲型车运x吨，1辆乙型车运y吨，根据两种运货组合的总量列出方程组。由“2辆甲型车和1辆乙型车运10吨”得，由“1辆甲型车和2辆乙型车运11吨”得；解此方程组，即可求出x和y的值。
(2)本题考察二元一次方程的正整数解与条件限制，根据总运货量列出方程，整理得；因a、b均为正整数，故a需是4的倍数，列举出所有可能的a、b值，再根据的条件筛选出符合的租车方案。
(3)本题考察租车费用的计算与比较，分别计算两种筛选出的方案的总费用，方案1：，方案2：；计算出两种方案的费用后，比较大小，得出最省钱的方案和最少费用。
（1）解：设辆甲型车装满货物一次可运货吨，辆乙型车装满货物一次可运货吨，
依题意得：，
解得：，
答：辆甲型车装满货物一次可运货吨，辆乙型车装满货物一次可运货吨；
（2）解：由（1）可知辆甲型车装满货物一次可运货吨，辆乙型车装满货物一次可运货吨，
依题意得：，
整理得：，
，均为正整数，
解得：或或或，
又，
共有种租车方案，
方案1：租用4辆甲型车，12辆乙型车，
方案2：租用8辆甲型车，9辆乙型车；
（3）解：方案所需租金为（元），
方案所需租金为（元），
，
最省钱的租车方案是：租甲型车辆，乙型车辆，
答：租甲型车辆，乙型车辆，最少租车费是元．
23．【答案】（1）
（2）解：，
.

（3）①；
②由①知阴影部分面积为，
原式.
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用
【解析】【解答】（1）解：由图可知：．
故答案为：.
（3）①
故答案为：.
【分析】（1）结合图形并利用长方形的面积公式列出代数式即可得到等式；
（2）利用（1）的等式直接求解即可；
（3）①利用三角形的面积公式及割补法求出阴影部分的面积即可；
②利用直接代入计算即可.
（1）解：由图可知：．
故答案为：
（2）解：，
（3）解：①
②由①知阴影部分面积为，
原式
24．【答案】（1）解法一：如图1；延长BP交直线AC于点．
，
．
，
；
解法二，如图2；过点作，
．
，
，
．
，
；
（2）解：不成立，结论是，
如图3，过作，
，
，
，
；
（3）解：由题意知，分3种情况求解；
（a）如图4，当动点在射线BA的右侧时，结论是：．
证明：如图4，连接PA，连接PB交AC于，
，
．
又，
．
（b）如图5，当动点在射线BA上，结论是：，或或（任写一个即可）
证明：如图5，
点在射线BA上，
．
，
．
，或或．
（c）如图6，当动点在射线BA的左侧时，结论是．
证明：如图6，连接PA，连接PB交AC于，
，
．
，
．
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】（1） 如图1，当动点落在第①部分时， 可根据平行线的性质 得出 ；
（2） 如图2，当动点落在第②部分时， 根据平行线的性质可得出；
（3）如图4， 当动点落在第③部分时， 分3种情况求解当动点在射线BA的右侧时，结论是：；如图5，当动点在射线BA上，结论是：，或或；如图6，当动点在射线BA的左侧时，结论是．
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