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2024-2025学年世界少年奥林匹克思维能力全国总测评七年级数学一试试题
一、填空题
1．长渠卧野，巨槽飞渡。总长2899公里的南水北调东中线一期工程总干线，穿越山峦、跨过河流，将汩汩长江水持续北送。2024年12月12日南水北调东中线一期工程全面通水10周年。这个世界上最大的调水工程，10年来，累计调水超过767亿立方米，相当于调出5000多个西湖水量。767亿用科学记数法表示为　 　.
2．小天同学在课下研究两个有理数x和y，他发现若计算，，xy，的值，有三个结果恰好相同，请你帮小天算一算的值是　 　。
3．三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”，例如：-3、-12、-27这三个数，，，，其结果6、9、18都是整数，所以-3、-12、-27这三个数称为“完美组合数”。若三个数-5、m、-20是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为20，m的值为　 　。
4．已知关于x的方程，该方程的解为，则关于y的方程的解为　 　。
5． 若数轴上点 M 和点 N 表示的数分别为 m，n，则我们可以用绝对值表示点 M 和点 N 之间的距离，记为 d(M，N)，即 ，已知数轴上点 A，B，C 表示的数分别为 -2，1，x，若 ，且 x 为负整数，则 x 的值为　 　。
6．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使运算结果为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取时，运算过程如图.若，则第2025次“F运算”的结果是　 　.
7．如图，在长方形 ABCD 中放入一个大正方形 AEFG 和两个大小相同的小正方形 及 ，其中 在边 BC 上，GF 与 在同一条直线上且 ，延长 交 AB 于点 K，三个阴影部分的面积分别记为 ， ， ， 已知长方形 KBJ1O 的面积为 m，则 是　 　。（用含 m 的式子表示）
8．实数a、b满足，记代数式的最大值为m，最小值为n，则的值为　 　。
9．已知直线/上线段AB=6，线段CD=2（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），若线段CD的端点C从点B开始以1个单位/秒的速度向右运动，同时点M从点A开始以2个单位/秒的速度向右运动，点N是线段BD的中点，则线段CD运动　 　秒时，MN=2DN。
10．长江水质勘探队为考察某地水质，需要坐船逆流而上，途中不小心把勘探工具掉入水中（工具随水漂流），当有人发现后将船立即掉头，将船的静水速度变为原来的2倍追勘探工具，已知船从掉头到追上工具共用了8分钟，那么从工具掉入水里到追上共用的时间是　 　分钟（船掉头时间忽略不计）.
11．已知一列数的和)，且，则　 　。
12．某长方形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列。当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）：当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）：以此类推。现有2025块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖　 　块。
答案解析部分
1．【答案】7.67×1010
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 n为整数位的个数减1解答即可.
2．【答案】±1
【知识点】有理数的减法法则；有理数的乘法法则；有理数的乘方法则；有理数的除法法则；有理数的加法法则
【解析】【解答】解： ∵y≠0，
∴x+y≠x-y，
∵x+y， x-y， xy， x÷y的值有三个结果恰好相同，
∴xy=x÷y，
∴x=0或y=±1，
当x=0时， x+y=y，x-y=-y， xy=0，x÷y= 0，
∴此时不能有三个结果恰好相同；
当y=1时， x+y=x+1， x-y=x-1， xy=x， x÷y=x，
∴此时不能有三个结果恰好相同；
当y=-1时， x+y=x-1， x-y=x+1， xy=-x，x÷y=-x，
∴x-1=-x或x+1=-x，
或
当 时，
当 时，
综上所述，结果为±1.
故答案为：±1.
【分析】由题意可知x =0或y =±1，再分别对x、y的值进行讨论，可得 或 即可求解.
3．【答案】-80
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：∵-5、-20两个数乘积的算术平方根为10，
∴①若-5、m这两个数乘积的算术平方根为20，则-5m=400，
解得m = - 80，
此时√(-5)×(-20)=10， √(-5)×(-80)=
∴-5、-80、-20三个数是“完美组合数”；
②若-20、m这两个数乘积的算术平方根为20，则-20m=400，
解得m=-20，
∴不合题意；
综上所述， m =-80.
故答案为：-80.
【分析】分两种情况讨论： ①当-5m=400时， ②当-20m=400时，分别计算即可.
4．【答案】y=2028
【知识点】解系数含参的一元一次方程
【解析】【解答】解：∵关于x的方程 的解为x=2025，
∴关于y的方程 为，
中-3+y=2025，
解得：y=2028，
故答案为：y=2028.
【分析】根据换元法得到-3+y=x，即可得到-3+y=2025，解方程求出y的值解答即可.
5．【答案】-1或-2
【知识点】数轴上两点之间的距离；化简含绝对值有理数；分类讨论
【解析】【解答】解：已知d(A，C)+d(B，C)=d(A，B)，点A表示的数为-2，点B表示的数为1，点C表示的数为x，根据d(M，N)=|m-n|，可得|-2-x|+|1-x|=|-2-1|=3；
因为x为负整数，所以分情况讨论：
当x -2时， -2-x 0， 1-x>0，则|-2-x|+|1-x|=-2-x+1-x=-1-2x。
令-1-2x=3，解得x=-2，符合x -2；
当-20，则
|-2-x|+|1-x|=2+x+1-x=3，
此时x在-2符合等式；
所以x的值为-2或-1，
故答案为：-2或-1.
【分析】先由距离公式列出等式，结合x为负整数的条件，分情况讨论求解.
6．【答案】1
【知识点】求代数式的值-程序框图；探索规律-数列中的规律
【解析】【解答】解：由题意可知，当n=34时，依次运算的结果是：
…，
故17→52→13→40→5→16→1→4→1 ，
即从第七次开始1和4 出现循环，偶数次为4，奇数次为1，
所以当n=2025时，第2025 次“F运算”的结果是1.
故答案为：1.
【分析】需要根据给定的“F运算”规则，对n=34进行多次运算，找出运算结果的规律，进而求出第2025次运算后的结果.
7．【答案】m-4
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：设小正方形H1I1J1K1的边长为a，则正方形AKOG的边长为(x+2)，的边长为x，
∴KE=AE-AK=x+2-x=2，GK1=x+BK-x=BK，GH2=I2J2-OJ2=KO-2-OJ2，
∴
故答案为：m-4.
【分析】设小正方形H1I1J1K1的边长为a，则正方形AKOG的边长为(x+2)，表示出KE=2，GK1=BK，GH2=KO-2-OJ2，然后表示阴影部分面积和解答即可.
8．【答案】-27
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；化简含绝对值有理数；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由绝对值的定义可知，当-3≤a≤-1时，|a+1|+|a+3|的最小值是|-1+3|=2，当-2≤b≤5时， b+2|+|b﹣5|的最小值为|﹣2-5|=7，
∵|a+1|+|a+3|+|b+2|+|b-5|=9，
∴-3≤a≤-1， - 2≤b≤5，
∴当a=-3， b=5时， 代数式2ab+2a+b的值最小，即 ，
当a=-3， b=-2时， 代数式2ab+2a+b的值最大，即 ，
∴m+n=4-31=-27，
故答案为： 27.
【分析】根据|a+1|+|a+3|与|b+2|+|b﹣5所表示的意义， 结合|a+1|+|a+3|+|b+2|+|b-5|=9，确定a、b的取值范围，再根据有理数乘法、加法的计算法则确定当a=-3， b =5时， 代数式2ab+2a+b的值最小， 当a=-3， b=-2时， 代数式2ab+2a+b的值最大，求出m、n的值代入计算即可.
9．【答案】2或18
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算；线段双中点差型
【解析】【解答】解：设线段 CD 运动的时间为t 秒，则AM=2t，BC=t，BD=BC+CD=t+2，AD=AB+BD=6+t+2=t+8.
∵点 N 是线段BD 的中点，
①当点M在点 N 左侧时，
解得t=2.
②当M 点在 N 点右侧时，
7，2DN=BD=t+2.
解得t=18.
综上所述，线段 CD 运动2 秒或 18 秒时，MN=2DN.
故答案为：2或18.
【分析】根据运动速度和运动方向得到AM=2t，BC=t，BD=t+2，AD=t+8，然后根据中点得到BN=ND=，再分为点M在点 N 左侧和M 点在 N 点右侧两种情况列方程求出时间t的值即可.
10．【答案】16
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】设x分钟后发现掉了物品，船在静水中的速度V1，水速V2
由题意得：（x+8）V2+x（V1-V2）=8（V1+V2）
xV2+8V2+xV1-xV2=8V1+8V2
xV1=8V1
∵V1≠0
∴x=8.
共用时间为：8+8=16，
故答案为16
【分析】设x分钟后发现掉了物品，船的静水速度V1水速为V2，根据等量关系：轮船顺水8分钟走的路程=物品（x+8）分漂流的路程+轮船逆水x分走的路程，代入数值计算即可.
11．【答案】-3
【知识点】用代数式表示数值变化规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：
整理得：
2024k，
解得： k=0，
①+②， 得：
故答案为：-3.
【分析】根据所给的第二个等式的值为k，把第二个等式相加，结合 ， 可得k的值， 进而可得a 把两个等式相加后整理可得所求代数式的值.
12．【答案】1010
【知识点】解一元一次方程；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：观察图1可知：中间的每个正方形都对应了两个等腰直角三角形，所以每增加一块正方形地砖，等腰直角三角形地砖就增加2块；
观察图形2可知：中间一个正方形的左上、左边、左下共有3个等腰直角三角形，它右上和右下各对应了一个等腰直角三角形，右边还有1个等腰直角三角形，即6=3+2×1+1=4+2×1；
图3和图1中间正方形右上和右下都对应了两个等腰直角三角形，均有图2一样的规律，图3： 8=3+2×2+1=4+2×2；归纳得： 4+2n (即2n+4) ；∴若一条这样的人行道一共有n (n为正整数)块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为2n+4块；
由规律知：等腰直角三角形地砖块数2n+4是偶数，
∴用2025-1=2024块，
再由题意得： 2n+4=2024，
解得： n=1010，
∴等腰直角三角形地砖剩余最少为1块，则需要正方形地砖1010块.
故答案为：1010.
【分析】由图观察即可，由每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖，再结合题干中的条件正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块，递推得到的公式建立方程，即可得到等腰直角三角形地砖剩余最少时需要正方形地砖的数量.

1 / 12024-2025学年世界少年奥林匹克思维能力全国总测评七年级数学一试试题
一、填空题
1．长渠卧野，巨槽飞渡。总长2899公里的南水北调东中线一期工程总干线，穿越山峦、跨过河流，将汩汩长江水持续北送。2024年12月12日南水北调东中线一期工程全面通水10周年。这个世界上最大的调水工程，10年来，累计调水超过767亿立方米，相当于调出5000多个西湖水量。767亿用科学记数法表示为　 　.
【答案】7.67×1010
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 n为整数位的个数减1解答即可.
2．小天同学在课下研究两个有理数x和y，他发现若计算，，xy，的值，有三个结果恰好相同，请你帮小天算一算的值是　 　。
【答案】±1
【知识点】有理数的减法法则；有理数的乘法法则；有理数的乘方法则；有理数的除法法则；有理数的加法法则
【解析】【解答】解： ∵y≠0，
∴x+y≠x-y，
∵x+y， x-y， xy， x÷y的值有三个结果恰好相同，
∴xy=x÷y，
∴x=0或y=±1，
当x=0时， x+y=y，x-y=-y， xy=0，x÷y= 0，
∴此时不能有三个结果恰好相同；
当y=1时， x+y=x+1， x-y=x-1， xy=x， x÷y=x，
∴此时不能有三个结果恰好相同；
当y=-1时， x+y=x-1， x-y=x+1， xy=-x，x÷y=-x，
∴x-1=-x或x+1=-x，
或
当 时，
当 时，
综上所述，结果为±1.
故答案为：±1.
【分析】由题意可知x =0或y =±1，再分别对x、y的值进行讨论，可得 或 即可求解.
3．三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”，例如：-3、-12、-27这三个数，，，，其结果6、9、18都是整数，所以-3、-12、-27这三个数称为“完美组合数”。若三个数-5、m、-20是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为20，m的值为　 　。
【答案】-80
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：∵-5、-20两个数乘积的算术平方根为10，
∴①若-5、m这两个数乘积的算术平方根为20，则-5m=400，
解得m = - 80，
此时√(-5)×(-20)=10， √(-5)×(-80)=
∴-5、-80、-20三个数是“完美组合数”；
②若-20、m这两个数乘积的算术平方根为20，则-20m=400，
解得m=-20，
∴不合题意；
综上所述， m =-80.
故答案为：-80.
【分析】分两种情况讨论： ①当-5m=400时， ②当-20m=400时，分别计算即可.
4．已知关于x的方程，该方程的解为，则关于y的方程的解为　 　。
【答案】y=2028
【知识点】解系数含参的一元一次方程
【解析】【解答】解：∵关于x的方程 的解为x=2025，
∴关于y的方程 为，
中-3+y=2025，
解得：y=2028，
故答案为：y=2028.
【分析】根据换元法得到-3+y=x，即可得到-3+y=2025，解方程求出y的值解答即可.
5． 若数轴上点 M 和点 N 表示的数分别为 m，n，则我们可以用绝对值表示点 M 和点 N 之间的距离，记为 d(M，N)，即 ，已知数轴上点 A，B，C 表示的数分别为 -2，1，x，若 ，且 x 为负整数，则 x 的值为　 　。
【答案】-1或-2
【知识点】数轴上两点之间的距离；化简含绝对值有理数；分类讨论
【解析】【解答】解：已知d(A，C)+d(B，C)=d(A，B)，点A表示的数为-2，点B表示的数为1，点C表示的数为x，根据d(M，N)=|m-n|，可得|-2-x|+|1-x|=|-2-1|=3；
因为x为负整数，所以分情况讨论：
当x -2时， -2-x 0， 1-x>0，则|-2-x|+|1-x|=-2-x+1-x=-1-2x。
令-1-2x=3，解得x=-2，符合x -2；
当-20，则
|-2-x|+|1-x|=2+x+1-x=3，
此时x在-2符合等式；
所以x的值为-2或-1，
故答案为：-2或-1.
【分析】先由距离公式列出等式，结合x为负整数的条件，分情况讨论求解.
6．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使运算结果为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取时，运算过程如图.若，则第2025次“F运算”的结果是　 　.
【答案】1
【知识点】求代数式的值-程序框图；探索规律-数列中的规律
【解析】【解答】解：由题意可知，当n=34时，依次运算的结果是：
…，
故17→52→13→40→5→16→1→4→1 ，
即从第七次开始1和4 出现循环，偶数次为4，奇数次为1，
所以当n=2025时，第2025 次“F运算”的结果是1.
故答案为：1.
【分析】需要根据给定的“F运算”规则，对n=34进行多次运算，找出运算结果的规律，进而求出第2025次运算后的结果.
7．如图，在长方形 ABCD 中放入一个大正方形 AEFG 和两个大小相同的小正方形 及 ，其中 在边 BC 上，GF 与 在同一条直线上且 ，延长 交 AB 于点 K，三个阴影部分的面积分别记为 ， ， ， 已知长方形 KBJ1O 的面积为 m，则 是　 　。（用含 m 的式子表示）
【答案】m-4
【知识点】整式的加减运算
【解析】【解答】解：设小正方形H1I1J1K1的边长为a，则正方形AKOG的边长为(x+2)，的边长为x，
∴KE=AE-AK=x+2-x=2，GK1=x+BK-x=BK，GH2=I2J2-OJ2=KO-2-OJ2，
∴
故答案为：m-4.
【分析】设小正方形H1I1J1K1的边长为a，则正方形AKOG的边长为(x+2)，表示出KE=2，GK1=BK，GH2=KO-2-OJ2，然后表示阴影部分面积和解答即可.
8．实数a、b满足，记代数式的最大值为m，最小值为n，则的值为　 　。
【答案】-27
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；化简含绝对值有理数；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由绝对值的定义可知，当-3≤a≤-1时，|a+1|+|a+3|的最小值是|-1+3|=2，当-2≤b≤5时， b+2|+|b﹣5|的最小值为|﹣2-5|=7，
∵|a+1|+|a+3|+|b+2|+|b-5|=9，
∴-3≤a≤-1， - 2≤b≤5，
∴当a=-3， b=5时， 代数式2ab+2a+b的值最小，即 ，
当a=-3， b=-2时， 代数式2ab+2a+b的值最大，即 ，
∴m+n=4-31=-27，
故答案为： 27.
【分析】根据|a+1|+|a+3|与|b+2|+|b﹣5所表示的意义， 结合|a+1|+|a+3|+|b+2|+|b-5|=9，确定a、b的取值范围，再根据有理数乘法、加法的计算法则确定当a=-3， b =5时， 代数式2ab+2a+b的值最小， 当a=-3， b=-2时， 代数式2ab+2a+b的值最大，求出m、n的值代入计算即可.
9．已知直线/上线段AB=6，线段CD=2（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），若线段CD的端点C从点B开始以1个单位/秒的速度向右运动，同时点M从点A开始以2个单位/秒的速度向右运动，点N是线段BD的中点，则线段CD运动　 　秒时，MN=2DN。
【答案】2或18
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算；线段双中点差型
【解析】【解答】解：设线段 CD 运动的时间为t 秒，则AM=2t，BC=t，BD=BC+CD=t+2，AD=AB+BD=6+t+2=t+8.
∵点 N 是线段BD 的中点，
①当点M在点 N 左侧时，
解得t=2.
②当M 点在 N 点右侧时，
7，2DN=BD=t+2.
解得t=18.
综上所述，线段 CD 运动2 秒或 18 秒时，MN=2DN.
故答案为：2或18.
【分析】根据运动速度和运动方向得到AM=2t，BC=t，BD=t+2，AD=t+8，然后根据中点得到BN=ND=，再分为点M在点 N 左侧和M 点在 N 点右侧两种情况列方程求出时间t的值即可.
10．长江水质勘探队为考察某地水质，需要坐船逆流而上，途中不小心把勘探工具掉入水中（工具随水漂流），当有人发现后将船立即掉头，将船的静水速度变为原来的2倍追勘探工具，已知船从掉头到追上工具共用了8分钟，那么从工具掉入水里到追上共用的时间是　 　分钟（船掉头时间忽略不计）.
【答案】16
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】设x分钟后发现掉了物品，船在静水中的速度V1，水速V2
由题意得：（x+8）V2+x（V1-V2）=8（V1+V2）
xV2+8V2+xV1-xV2=8V1+8V2
xV1=8V1
∵V1≠0
∴x=8.
共用时间为：8+8=16，
故答案为16
【分析】设x分钟后发现掉了物品，船的静水速度V1水速为V2，根据等量关系：轮船顺水8分钟走的路程=物品（x+8）分漂流的路程+轮船逆水x分走的路程，代入数值计算即可.
11．已知一列数的和)，且，则　 　。
【答案】-3
【知识点】用代数式表示数值变化规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：
整理得：
2024k，
解得： k=0，
①+②， 得：
故答案为：-3.
【分析】根据所给的第二个等式的值为k，把第二个等式相加，结合 ， 可得k的值， 进而可得a 把两个等式相加后整理可得所求代数式的值.
12．某长方形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列。当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）：当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）：以此类推。现有2025块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖　 　块。
【答案】1010
【知识点】解一元一次方程；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：观察图1可知：中间的每个正方形都对应了两个等腰直角三角形，所以每增加一块正方形地砖，等腰直角三角形地砖就增加2块；
观察图形2可知：中间一个正方形的左上、左边、左下共有3个等腰直角三角形，它右上和右下各对应了一个等腰直角三角形，右边还有1个等腰直角三角形，即6=3+2×1+1=4+2×1；
图3和图1中间正方形右上和右下都对应了两个等腰直角三角形，均有图2一样的规律，图3： 8=3+2×2+1=4+2×2；归纳得： 4+2n (即2n+4) ；∴若一条这样的人行道一共有n (n为正整数)块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为2n+4块；
由规律知：等腰直角三角形地砖块数2n+4是偶数，
∴用2025-1=2024块，
再由题意得： 2n+4=2024，
解得： n=1010，
∴等腰直角三角形地砖剩余最少为1块，则需要正方形地砖1010块.
故答案为：1010.
【分析】由图观察即可，由每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖，再结合题干中的条件正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块，递推得到的公式建立方程，即可得到等腰直角三角形地砖剩余最少时需要正方形地砖的数量.

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