资源简介

2024-2025学年八年级上学期”走美杯“全国数学竞赛试题
一、填空题I(每题8分，共32分)
1． 已知，则　 　.
2．在一次函数y=x的图像上取一点，使（1，0)点与（2，1)点到该点的距离之和取得最小值，则这个点的坐标为　 　.
3．完成因式分解x3+y3+ z3 -3xyz=(x+y +z)（　 　）
4． 已知x4-2x2-4=0，则x=　 　.
二、填空题I(每题10分，共40分)
5． 如下图所示，在直径为1的中，，，，. 那么，　 　.
6．已知自然数n的平方是一个四位数，并且首位数字是3，末位数字是5，则n=　 　.
7． 已知x2+px+q=0的两个根都是正整数，并且p+q=2016，那么，这个方程较大的根与较小的根的比值等于　 　.
8．英国数学家亨利·杜德耐(HenryE.Dudeney）1902年提出“将一个正方形通过有铰链剖分为一个正三角形”的问题，以下图示是对这个问题的解答：
其中，正方形边长与正三角形边长之比为　 　.
三、填空题Ⅲ(每题12分，共48分）
9．将一个正五边形形沿对角线剖分为5个等腰三角形，然后按照如图所示方法移动5个等腰三角形，中间空白处形成的正五边形面积为　 　.平方厘米.
10．已知n≥10，211+28+2n是一个完全平方数，则n=　 　.
11．大于0的自然数，如果满足所有因数之和等于它自身的2倍，则这样的数称为完美数或完全数.比如，6的所有因数为1，2，3，6，而1+2+3+6=12，6就是最小的完美数.是否有无限多个完美数的问题至今仍然是困扰人类的难题之一.可以从计算自然数的所有因数之和开始研究完美数.设p是一个大于1的自然数，m是一个奇数，如果2p-1-m是一个完美数，那么，m=　 　.
12．如下图所示，我们可以在0，1，2，3，4中选择四个不同的数字填入圆圈中，使得有连线的两个圆圈中的数字之差（大数减小数）正好组成1，2，3，4.按照同样的方法，请在0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11中选择11个不同的数字，分别填入下图的11个圆圈中，使得有连线的两个圆圈中的数字之差（大数减小数正好组成1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11.
答案解析部分
1．【答案】2
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：，
故答案为：2.
【分析】把分子分解因式约分解答即可.
2．【答案】（1，1）
【知识点】点的坐标；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：作点(1，0)关于直线y=x的对称点(0，1)，然后连接(0，1)和(2，1)，则两直线的交点满足条件，
即y=1，代入求得x=1，
∴ 这个点的坐标为(1，1)，
故答案为：(1，1).
【分析】作点(1，0)关于直线y=x的对称点然后连接(0，1)和(2，1)，与y=x的交点即为所求，据此解答即可.
3．【答案】x2+y2+ z2 –xy-yz-xz
【知识点】因式分解﹣待定系数法；因式分解（奥数）
【解析】【解答】解：设
当x=0，y=0，z=1时，得
当x=0，y=z=1时，得
所以原式
故答案为：x2+y2+ z2 –xy-yz-xz.
【分析】设 分别把x=0，y=0，z=1；x=0，y=z=1代入式子求出k1，k2解答即可.
4．【答案】
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设 x2=y，则原方程为y2-2y-4=0，
解得y=或y=（舍去）
当y=，
故答案为：.
【分析】本题可通过换元法，将 设为一个新的未知数，将原方程转化为一元二次方程，求解后再根据平方根的定义求出x的值.
5．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥BD于点E，连接CP并延长交圆O于点F，连接FD，
∵，，
∴∠CBD=60°，
∴∠BCE=30°，
∴BE=，，
∴，
又∵∠F=∠DBC=60°，
∴∠DCF=30°，
∴，，
∴，
故答案为：.
【分析】过点C作CE⊥BD于点E，连接CP并延长交圆O于点F，连接FD，根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出BE，CE长，然后根据勾股定理求出，然后再在Rt△CDF中根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出CD2即可.
6．【答案】55
【知识点】完全平方式；完全平方数
【解析】【解答】解：∵ 自然数n的平方是一个四位数，
∴自然数n的值小于100，
又∵平方的末尾数字为5，
∴自然数n的末尾数为5，
设n=10a+5，则平方数为(10a+5)2=100a2+100a+25=100a(a+1)+25，
∵ 平平方首位数字是3，
∴30≤a(a+1)＜40，
即可得到n=5，或n=-5（舍去），
∴这个自然数为55，
故答案为，55.
【分析】根据平方的末尾数字为5，则这个数的个位数字为5，设n=10a+5，根据平方数得到30≤a(a+1)＜40，求出a的值即可解答即可.
7．【答案】1009
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；因式分解的应用-化简求值；因式分解（奥数）
【解析】【解答】解：设 x1，x2是方程的两个根，
则 =-p①，x1x2=q②，
由②-①得p+q=
2017.
∵两个根均为正整数，
1=2017或
方程的两个根是 或
∴方程较大的根与较小的根的比值等于
故答案为：1009.
【分析】跟方程的两根为 x1，x2，根据根与系数的关系可得 =-p，x1x2=q，两式相减分解为 2017，即可求出整数 x1，x2的值，然后求出比值解答即可.
8．【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；图形的剪拼
【解析】【解答】解：设正三角形的边长为a，
则正三角形大面积为，
∴正方形的边长为，
∴ 正方形边长与正三角形边长之比为，
故答案为：.
【分析】设正三角形的边长为a，即可求出正三角形的面积，然后求出正方形的边长，求出比值解答即可.
9．【答案】
【知识点】三角形的面积；正多边形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，通过观察和拼接可得在正五边形外的每一个大三角形上，都多出一个三角形ABC，即五个△ABC的面积为中间空白部分面积，
根据题意得到∠A=∠BCD=54°，∠ABC=72°，BC=AB=1，
在BC上找一点D使得∠BAD=36°，连接AD，过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点F，过点B作BG⊥AD于点G，如图所示，
则∠ABD=∠DBF=36°，
∴AF=BF=BD，∠ADB=∠BFD=∠AFE=72°，
∴AB=AD=1，△AEF≌△BFG，
∴EF=FG=DG，
∵∠BAF=∠DBF，∠ADB=∠ADB，
∴△DBF∽△DAB，
∴BD2=DF×AD，即BD2=(1-BD)×1，解得BD=AF=BF=，（负值舍去）
∴DF=，，
∴BE=，
∴，
∴，
∴，
∴ 中间空白处形成的正五边形面积为平方厘米，
故答案为：.
【分析】根据平移可得五个△ABC的面积为中间空白部分面积，在BC上找一点D使得∠BAD=36°，连接AD，过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点F，过点B作BG⊥AD于点G，证明△AEF≌△BFG，即可得到EF=FG=DG，然后根据相似得到BD2=DF×AD，求出BD长即可求出BE长，然后根据勾股定理求出AE长，再根据三角形的面积公式计算即可.
10．【答案】12
【知识点】完全平方式；幂的乘方运算；完全平方数
【解析】【解答】解：
∴只有 时，原式为完全平方数，即自然数n=12.
故答案为：12.
【分析】根据完全平方公式得出： 进而得出 即可求解.
11．【答案】2p-1
【知识点】因式分解的应用；因式分解（奥数）
【解析】【解答】解：设 为完美数，其中p>1，m为奇数。
完美数的定义：所有因数和等于 2n 。
对于偶数完美数，形式为 其中 为质数。
若 则 。
为使m为奇数， 必须为1，即k=1，
则m=2p-1，
故答案为：2p-1.
【分析】设 为完美数，根据定义可得 其中 为质数，即可得到 ，根据题意可得 必须为1，然后求出m的值解答即可.
12．【答案】解：

【知识点】幻方、幻圆数学问题
【解析】【分析】根据差为11得到相邻的两个数比为11和0，然后依次填入差为10，9，8，7，6，5，4，3，2，1的数即可.
1 / 12024-2025学年八年级上学期”走美杯“全国数学竞赛试题
一、填空题I(每题8分，共32分)
1． 已知，则　 　.
【答案】2
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：，
故答案为：2.
【分析】把分子分解因式约分解答即可.
2．在一次函数y=x的图像上取一点，使（1，0)点与（2，1)点到该点的距离之和取得最小值，则这个点的坐标为　 　.
【答案】（1，1）
【知识点】点的坐标；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：作点(1，0)关于直线y=x的对称点(0，1)，然后连接(0，1)和(2，1)，则两直线的交点满足条件，
即y=1，代入求得x=1，
∴ 这个点的坐标为(1，1)，
故答案为：(1，1).
【分析】作点(1，0)关于直线y=x的对称点然后连接(0，1)和(2，1)，与y=x的交点即为所求，据此解答即可.
3．完成因式分解x3+y3+ z3 -3xyz=(x+y +z)（　 　）
【答案】x2+y2+ z2 –xy-yz-xz
【知识点】因式分解﹣待定系数法；因式分解（奥数）
【解析】【解答】解：设
当x=0，y=0，z=1时，得
当x=0，y=z=1时，得
所以原式
故答案为：x2+y2+ z2 –xy-yz-xz.
【分析】设 分别把x=0，y=0，z=1；x=0，y=z=1代入式子求出k1，k2解答即可.
4． 已知x4-2x2-4=0，则x=　 　.
【答案】
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：设 x2=y，则原方程为y2-2y-4=0，
解得y=或y=（舍去）
当y=，
故答案为：.
【分析】本题可通过换元法，将 设为一个新的未知数，将原方程转化为一元二次方程，求解后再根据平方根的定义求出x的值.
二、填空题I(每题10分，共40分)
5． 如下图所示，在直径为1的中，，，，. 那么，　 　.
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥BD于点E，连接CP并延长交圆O于点F，连接FD，
∵，，
∴∠CBD=60°，
∴∠BCE=30°，
∴BE=，，
∴，
又∵∠F=∠DBC=60°，
∴∠DCF=30°，
∴，，
∴，
故答案为：.
【分析】过点C作CE⊥BD于点E，连接CP并延长交圆O于点F，连接FD，根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出BE，CE长，然后根据勾股定理求出，然后再在Rt△CDF中根据30°的直角三角形的性质和勾股定理求出CD2即可.
6．已知自然数n的平方是一个四位数，并且首位数字是3，末位数字是5，则n=　 　.
【答案】55
【知识点】完全平方式；完全平方数
【解析】【解答】解：∵ 自然数n的平方是一个四位数，
∴自然数n的值小于100，
又∵平方的末尾数字为5，
∴自然数n的末尾数为5，
设n=10a+5，则平方数为(10a+5)2=100a2+100a+25=100a(a+1)+25，
∵ 平平方首位数字是3，
∴30≤a(a+1)＜40，
即可得到n=5，或n=-5（舍去），
∴这个自然数为55，
故答案为，55.
【分析】根据平方的末尾数字为5，则这个数的个位数字为5，设n=10a+5，根据平方数得到30≤a(a+1)＜40，求出a的值即可解答即可.
7． 已知x2+px+q=0的两个根都是正整数，并且p+q=2016，那么，这个方程较大的根与较小的根的比值等于　 　.
【答案】1009
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；因式分解的应用-化简求值；因式分解（奥数）
【解析】【解答】解：设 x1，x2是方程的两个根，
则 =-p①，x1x2=q②，
由②-①得p+q=
2017.
∵两个根均为正整数，
1=2017或
方程的两个根是 或
∴方程较大的根与较小的根的比值等于
故答案为：1009.
【分析】跟方程的两根为 x1，x2，根据根与系数的关系可得 =-p，x1x2=q，两式相减分解为 2017，即可求出整数 x1，x2的值，然后求出比值解答即可.
8．英国数学家亨利·杜德耐(HenryE.Dudeney）1902年提出“将一个正方形通过有铰链剖分为一个正三角形”的问题，以下图示是对这个问题的解答：
其中，正方形边长与正三角形边长之比为　 　.
【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；图形的剪拼
【解析】【解答】解：设正三角形的边长为a，
则正三角形大面积为，
∴正方形的边长为，
∴ 正方形边长与正三角形边长之比为，
故答案为：.
【分析】设正三角形的边长为a，即可求出正三角形的面积，然后求出正方形的边长，求出比值解答即可.
三、填空题Ⅲ(每题12分，共48分）
9．将一个正五边形形沿对角线剖分为5个等腰三角形，然后按照如图所示方法移动5个等腰三角形，中间空白处形成的正五边形面积为　 　.平方厘米.
【答案】
【知识点】三角形的面积；正多边形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，通过观察和拼接可得在正五边形外的每一个大三角形上，都多出一个三角形ABC，即五个△ABC的面积为中间空白部分面积，
根据题意得到∠A=∠BCD=54°，∠ABC=72°，BC=AB=1，
在BC上找一点D使得∠BAD=36°，连接AD，过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点F，过点B作BG⊥AD于点G，如图所示，
则∠ABD=∠DBF=36°，
∴AF=BF=BD，∠ADB=∠BFD=∠AFE=72°，
∴AB=AD=1，△AEF≌△BFG，
∴EF=FG=DG，
∵∠BAF=∠DBF，∠ADB=∠ADB，
∴△DBF∽△DAB，
∴BD2=DF×AD，即BD2=(1-BD)×1，解得BD=AF=BF=，（负值舍去）
∴DF=，，
∴BE=，
∴，
∴，
∴，
∴ 中间空白处形成的正五边形面积为平方厘米，
故答案为：.
【分析】根据平移可得五个△ABC的面积为中间空白部分面积，在BC上找一点D使得∠BAD=36°，连接AD，过点B作BE⊥AC于点E，交AD于点F，过点B作BG⊥AD于点G，证明△AEF≌△BFG，即可得到EF=FG=DG，然后根据相似得到BD2=DF×AD，求出BD长即可求出BE长，然后根据勾股定理求出AE长，再根据三角形的面积公式计算即可.
10．已知n≥10，211+28+2n是一个完全平方数，则n=　 　.
【答案】12
【知识点】完全平方式；幂的乘方运算；完全平方数
【解析】【解答】解：
∴只有 时，原式为完全平方数，即自然数n=12.
故答案为：12.
【分析】根据完全平方公式得出： 进而得出 即可求解.
11．大于0的自然数，如果满足所有因数之和等于它自身的2倍，则这样的数称为完美数或完全数.比如，6的所有因数为1，2，3，6，而1+2+3+6=12，6就是最小的完美数.是否有无限多个完美数的问题至今仍然是困扰人类的难题之一.可以从计算自然数的所有因数之和开始研究完美数.设p是一个大于1的自然数，m是一个奇数，如果2p-1-m是一个完美数，那么，m=　 　.
【答案】2p-1
【知识点】因式分解的应用；因式分解（奥数）
【解析】【解答】解：设 为完美数，其中p>1，m为奇数。
完美数的定义：所有因数和等于 2n 。
对于偶数完美数，形式为 其中 为质数。
若 则 。
为使m为奇数， 必须为1，即k=1，
则m=2p-1，
故答案为：2p-1.
【分析】设 为完美数，根据定义可得 其中 为质数，即可得到 ，根据题意可得 必须为1，然后求出m的值解答即可.
12．如下图所示，我们可以在0，1，2，3，4中选择四个不同的数字填入圆圈中，使得有连线的两个圆圈中的数字之差（大数减小数）正好组成1，2，3，4.按照同样的方法，请在0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11中选择11个不同的数字，分别填入下图的11个圆圈中，使得有连线的两个圆圈中的数字之差（大数减小数正好组成1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11.
【答案】解：

【知识点】幻方、幻圆数学问题
【解析】【分析】根据差为11得到相邻的两个数比为11和0，然后依次填入差为10，9，8，7，6，5，4，3，2，1的数即可.
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