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第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题（初中二年级组）
一、填空题（每小题10分，共80分）
1． 计算　 　.
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：原式
故答案为：
【分析】直接化简二次根式，再利用二次根式混合运算法则分别计算得出答案.
2． 如果，那么　 　.
【答案】2017
【知识点】分式的化简求值-整体代入；分式条件求值；因式分解（奥数）
【解析】【解答】解：
故答案为： 2017.
【分析】先把分子分解因式约分，然后合并化为(a+b)2，然后整体代入计算即可.
3．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象过点A(1，1)，与坐标轴围成的三角形面积为2，这样的一次函数有　 　个.
【答案】3
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的面积问题；分类讨论
【解析】【解答】解：将A(1，1)代入y= kx+b， 得k+b=1，∴b=1-k，
一次函数解析式为y = kx+1-k，
令y=0， 有 kx+1-k=0，
令x=0， 有y =1-k，
即与y轴交于(0，1-k)，
与x轴交于
①k>1时，
解得， (舍去) ；
②k<0时， 解得， k=-1；
③0故答案为：3.
【分析】将A(1，1)代入y = kx+b， 然后用含k的代数式表示出函数与x轴、y轴的交点，然后分三种情况讨论.
4． 如图，两个边长为6的正方形ABFE和EFCD拼成长方形ABCD.点G在线段ED上，连接BG交EF于点H.如果五边形CDGHF的面积为33，那么线段BG的长等于　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，
设EG=y，EH=x，则
又∵
化简为 -6=0，即((x-2)(x+3)=0，
解得x=2或x=-3(舍).
当x=2时， ，
故答案为：.
【分析】设EG=y，EH=x，则 根据平行线得到△GEH∽△BFH，然后根据对应边成比例和△GEH的面积列方程求出EH长，再根据勾股定理求出BG长解答即可.

5． 已知 ，，， 都是正整数，那么 的最大值等于　 　.
【答案】29
【知识点】分式的混合运算；数的整除性
【解析】【解答】解：若p≥q，则 1，与题意不符.
若p当 时，q=3p-1，则 为正整数.
∵p为正整数，
∴p|2，
∴p=1，q=2或 都是正整数.
当 时， 则 为正整数.
∵p为正整数，
∴p|3，因此p=1或3.
p=1时， 不是正整数，舍去；p=3时， 是正整数.
综上所述，(p，q) =(1，2)，(2，5)，(3，4)， 最大值为29.
【分析】分为p≥q或p
6．某校给学生提供苹果、香蕉和梨三种水果，用作课间加餐，每个人至少选择一种，可以多选，某班30名学生的调查结果如下：
（a）没选苹果的学生中，选香蕉的人数是选梨的人数的2倍；
（b）三种水果都选的学生有7人；
（c）在恰好选了两种水果的学生中，选择香蕉和梨组合的人数比选其它组合的人数之和多3人；
（d）在只选一种水果的学生中，恰好有一半选了苹果.
那么，只选了一种水果的学生有　 　人。
【答案】16
【知识点】容斥问题
【解析】【解答】解：
解：a、c、g表示只选香蕉、梨、苹果一种水果的人数，b、e、f表示选其中两种水果的人数，d表示三种水果都选的人数，根据题意可画出图形.
列等式为：
代入化简得2a+2c+2e+2f+3+7=30，
把a=b+2c：代入上式，得2b+6c+2e+2f=20，
b+3c+e+f=10，
再把lb=e+f+3代入上式，得22(e+f)+3c=7.
当c=0时， (舍去) .
c=11时，e+f=2.
c=2时， (舍去) .
a=b+2c=5+2=7，a+c+g=2a+2c=14+2=16.故只选了一种水果的学生有16人.
故答案为：16.
【分析】用a、c、g表示只选香蕉、梨、苹果一种水果的人数，b、e、f表示选其中两种水果的人数，d表示三种水果都选的人数，画出图形，结合题意可得列方程组，将前4个式子代入最后一个式子中进行化简，可得2(e+f)+3c=7；对c取一些特殊值，如c取0、1、2，结合e、f都是正整数可以得到满足条件的c的值，进而求出e+f的值，再结合方程组中的关系式求出b、a的值，进一步计算出a+c+g的值，便可解决问题；
7．如图，在梯形ABCD中，AB//DC，AB=4，DC=1，分别以AD，BC为边向外作正方形ADEF与正方形BHGC，I为线段EG的中点，那么△DCI的面积等于　 　.
【答案】
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
8． 用[x]表示不大于数x的最大整数. 已知正整数n的平方的十位数字是7，那么，的所有可能值的和等于　 　.
【答案】200
【知识点】完全平方式；完全平方数
【解析】【解答】解：解：根据题意可知， 表示正整数n的末尾两位数.
平方的十位数字等于7的正整数的末尾数字有24、26、74、76，
∴和为24+26+74+76=200.
故答案为：200.
【分析】首先根据题意可知， 表示正整数n的末尾两位数，从而得出 的可能值；接下来将所得的可能值求和，即可得到答案.
二、解答下列各题（每小题10分，共40分，要求写出简要过程）
9． 已知 ，，求 的值.
【答案】解
即
或bc+ac+ab=0.
当bc+ac+ab=0时，
b+c=±1.综上，a+b+c的值为0或1或-1.
【知识点】分式条件求值
【解析】【分析】将等式变形，进而得出 得出a+b+c=0或bc+ac+ab=0，进而求出答案.
10．如图，等腰直角三角形PQR的斜边QR的长为2.正方形ABCD的边AB在QR上，边DC过点P，边DA，CB分别交PQ，PR于点M，N.当AB在QR上水平滑动时，△QAM与△BRN的周长和是否为定值？说明理由。
【答案】解： 过P作PE⊥QR于点E.
∵△PQR是等腰直角三角形， QR=2，
∴PE=1.
∵四边形ABCD是正方形， AB∥QR， BC⊥QR，
∴BC=PE=1， 即正方形ABCD的边长是1，
∴QA+BR=1.
∵∠Q=∠R=45°， ∠MAQ=∠NBR=90°，
∴△MAQ与△NBR都是等腰直角三角形，
∴△MAQ与△NBR的周长和是
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】过P作PE⊥QR于点E，此时结合等腰直角三角形和正方形的知识可得PE=1，BC=1；根据正方形的边长为1，QA+BR=1，此时怎么求其余长度；根据∠Q=∠R=45°， ∠MAQ=∠NBR=90°， 可得△MAQ与△NBR都是等腰直角三角形，据此即可得解.
11．求证：任意的5个整数中，必定有两个整数的平方差是7的倍数。
【答案】证明：整数被7除的余数可以分为余0，余±1，余±2，余±3四类.
根据抽屉原理，这5个整数中一定有两个属于同一类，
不妨设这两个数是a=7m+r，b=7n+r'.(r=0或±1或±2或±3，r与 相等或者互为相反数)，
则 +r').
(1)这两个数除以7的余数相同，则 7n+r+r')，此时，7整除
(2)这两个数除以7 的余数相反，则 7n+r-r')，此时，7整除
所以 即 是7 的倍数.
【知识点】因式分解的应用-判断整除；因式分解（奥数）
【解析】【分析】 应用抽屉原理及模7余数的分类。将整数按模7的余数分为四类，证明任意五个整数中必有两个属于同一类或互为相反数，从而其平方差为7的倍数 .
12． 正整数a，b，满足，（q是正整数），问可以取的值有多少个？
【答案】解：令n=a+b.
考虑 (其中p为质数，m为正整数)取
则
所以 显然(p-1)m是正整数，所以 都满足条件.
考虑 (其中p1、p2、p3、…、p 为两两不相等的质数)，
由n=a+b，可得b=n-a，且a设
所以ab=nq，故
整理得 所以 即p1p2p3…
由p1、p2、p3、…、p 为两两不相等的质数， 得 即n|a， 所以 矛盾，
综上所述，可得满足条件的n恰好为任意质数平方的整数倍.
考虑质数的平方小于100的有2，3，5，7，其中4的整数倍有24个，9的整数倍有11个，25的整数倍有3个，49的整数倍有2个，重复计算的有2个，36和72， 所以共计38个.
【知识点】分式条件求值
【解析】【分析】令n=a+b，可知需要考虑 (其中p为质数，m为正整数)取 分析 即可；②考虑 (其中 为两两不相等的质数)，由n=a+b，可得b=n-a，且a三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）
13．如图，△ABC，△AEF和△BDF均为正三角形，且∠ABF+∠AFB+∠ECD=60°，求∠AFC的度数.
【答案】解：∵△AFE和△BDF是等边三角形，
∴AF=DF，BF=FB，∠AFE=∠BFD=60°，
∴∠AFB=∠DFE，
∴△AFB≌△DFE，
∴AB=DE，且∠EDF=∠ABF.
又∵△ABC为正三角形，
∴DE=AC.
同理可证△BAF≌△BCD.
∴∠AFB=∠BDC.
∵∠ABF+∠CBF=∠CBD+∠CBF=60°，
∴∠ABF=∠CBD.
∴∠CDE=60°- (∠ABF+∠AFB).
∴△CED为等腰三角形，即CE=DE.
在△ACF和△ECF中，
∵AF=EF， CF=CF， AC=DE=CE，
∴△ACF≌△ECF.
∴∠AFC=∠CFE.
∴∠AFC=30°.
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；手拉手全等模型
【解析】【分析】根据等边三角形的性质，利用SAS得到△AFB≌△DFE，△BAF≌△BCD，进而得到△CED为等腰三角形，再根据三边对应相等得到△ACF≌△ECF，根据对应角相等解答即可.
14． 直线a平行于直线b，a上有5个点，b上有5个点，连接线段 . 所得到的图形中，三角形最多有多少个？
【答案】解：情况一：三角形的三个顶点都在a或者b上，这样的图形与三个点有关，
两个点在a上，一个点在b上，或者两个点在b上，一个点在a上，
这样的三角形有 -1)]×5=50+50=100(个)，
情况二：三角形中有两个顶点在a，b上，另一顶点是这些线段 的交点，
其中两个点在a上，两个点在b上，每组这样的四个点决定2个三角形满足一条边在a或者b上，
这样的4个一组共有 1)]=10×10=100(组)，
因此所得图形中有1100×4=400(个)三角形满足两个顶点在a或者b上，
情况三：三角形的一个顶点在直线a或者直线b上，另2个顶点为“正规线段”的交点，
此类三角形与直线a和直线b上的五个点有关，且两条平行直线各有3个点和2个点，构成1组，
这样的共有 (组) ，
每组构成两个三角形，且各组之间无公共三角形时，则此类三角形最多有2×200=400(个).
情况四，三角形的三个顶点都是正规线段的交点，此类三角形与直线a和直线b上的6个点有关.
其中三个点在a上，三个点在b上，构成1组，每组构成1个三角形，共有 (个) ，
组合上面两种情况共有1100+400+400+100=1000(个) .
【知识点】三角形的面积；枚举法；分类讨论
【解析】【分析】首先，分两种情况讨论，当三角形的三个顶点都在a或者b上时，这样的图形与三个点有关，两个点在a上，一个点在b上，或者两个点在b上，一个点在a上，计算出这样的三角形的个数；当三角形中有两个顶点在a，b上，另一顶点是这些线段 的交点，其中可分两个点在a上，两个点在b上，计算出满足条件的三角形的个数；分析只有一个顶点在直线a或b上和没有在直线上的顶点的两种情况，将所得情况相加即可确定本题的答案.
1 / 1第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题（初中二年级组）
一、填空题（每小题10分，共80分）
1． 计算　 　.
2． 如果，那么　 　.
3．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象过点A(1，1)，与坐标轴围成的三角形面积为2，这样的一次函数有　 　个.
4． 如图，两个边长为6的正方形ABFE和EFCD拼成长方形ABCD.点G在线段ED上，连接BG交EF于点H.如果五边形CDGHF的面积为33，那么线段BG的长等于　 　.
5． 已知 ，，， 都是正整数，那么 的最大值等于　 　.
6．某校给学生提供苹果、香蕉和梨三种水果，用作课间加餐，每个人至少选择一种，可以多选，某班30名学生的调查结果如下：
（a）没选苹果的学生中，选香蕉的人数是选梨的人数的2倍；
（b）三种水果都选的学生有7人；
（c）在恰好选了两种水果的学生中，选择香蕉和梨组合的人数比选其它组合的人数之和多3人；
（d）在只选一种水果的学生中，恰好有一半选了苹果.
那么，只选了一种水果的学生有　 　人。
7．如图，在梯形ABCD中，AB//DC，AB=4，DC=1，分别以AD，BC为边向外作正方形ADEF与正方形BHGC，I为线段EG的中点，那么△DCI的面积等于　 　.
8． 用[x]表示不大于数x的最大整数. 已知正整数n的平方的十位数字是7，那么，的所有可能值的和等于　 　.
二、解答下列各题（每小题10分，共40分，要求写出简要过程）
9． 已知 ，，求 的值.
10．如图，等腰直角三角形PQR的斜边QR的长为2.正方形ABCD的边AB在QR上，边DC过点P，边DA，CB分别交PQ，PR于点M，N.当AB在QR上水平滑动时，△QAM与△BRN的周长和是否为定值？说明理由。
11．求证：任意的5个整数中，必定有两个整数的平方差是7的倍数。
12． 正整数a，b，满足，（q是正整数），问可以取的值有多少个？
三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）
13．如图，△ABC，△AEF和△BDF均为正三角形，且∠ABF+∠AFB+∠ECD=60°，求∠AFC的度数.
14． 直线a平行于直线b，a上有5个点，b上有5个点，连接线段 . 所得到的图形中，三角形最多有多少个？
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：原式
故答案为：
【分析】直接化简二次根式，再利用二次根式混合运算法则分别计算得出答案.
2．【答案】2017
【知识点】分式的化简求值-整体代入；分式条件求值；因式分解（奥数）
【解析】【解答】解：
故答案为： 2017.
【分析】先把分子分解因式约分，然后合并化为(a+b)2，然后整体代入计算即可.
3．【答案】3
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的面积问题；分类讨论
【解析】【解答】解：将A(1，1)代入y= kx+b， 得k+b=1，∴b=1-k，
一次函数解析式为y = kx+1-k，
令y=0， 有 kx+1-k=0，
令x=0， 有y =1-k，
即与y轴交于(0，1-k)，
与x轴交于
①k>1时，
解得， (舍去) ；
②k<0时， 解得， k=-1；
③0故答案为：3.
【分析】将A(1，1)代入y = kx+b， 然后用含k的代数式表示出函数与x轴、y轴的交点，然后分三种情况讨论.
4．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，
设EG=y，EH=x，则
又∵
化简为 -6=0，即((x-2)(x+3)=0，
解得x=2或x=-3(舍).
当x=2时， ，
故答案为：.
【分析】设EG=y，EH=x，则 根据平行线得到△GEH∽△BFH，然后根据对应边成比例和△GEH的面积列方程求出EH长，再根据勾股定理求出BG长解答即可.

5．【答案】29
【知识点】分式的混合运算；数的整除性
【解析】【解答】解：若p≥q，则 1，与题意不符.
若p当 时，q=3p-1，则 为正整数.
∵p为正整数，
∴p|2，
∴p=1，q=2或 都是正整数.
当 时， 则 为正整数.
∵p为正整数，
∴p|3，因此p=1或3.
p=1时， 不是正整数，舍去；p=3时， 是正整数.
综上所述，(p，q) =(1，2)，(2，5)，(3，4)， 最大值为29.
【分析】分为p≥q或p
6．【答案】16
【知识点】容斥问题
【解析】【解答】解：
解：a、c、g表示只选香蕉、梨、苹果一种水果的人数，b、e、f表示选其中两种水果的人数，d表示三种水果都选的人数，根据题意可画出图形.
列等式为：
代入化简得2a+2c+2e+2f+3+7=30，
把a=b+2c：代入上式，得2b+6c+2e+2f=20，
b+3c+e+f=10，
再把lb=e+f+3代入上式，得22(e+f)+3c=7.
当c=0时， (舍去) .
c=11时，e+f=2.
c=2时， (舍去) .
a=b+2c=5+2=7，a+c+g=2a+2c=14+2=16.故只选了一种水果的学生有16人.
故答案为：16.
【分析】用a、c、g表示只选香蕉、梨、苹果一种水果的人数，b、e、f表示选其中两种水果的人数，d表示三种水果都选的人数，画出图形，结合题意可得列方程组，将前4个式子代入最后一个式子中进行化简，可得2(e+f)+3c=7；对c取一些特殊值，如c取0、1、2，结合e、f都是正整数可以得到满足条件的c的值，进而求出e+f的值，再结合方程组中的关系式求出b、a的值，进一步计算出a+c+g的值，便可解决问题；
7．【答案】
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
8．【答案】200
【知识点】完全平方式；完全平方数
【解析】【解答】解：解：根据题意可知， 表示正整数n的末尾两位数.
平方的十位数字等于7的正整数的末尾数字有24、26、74、76，
∴和为24+26+74+76=200.
故答案为：200.
【分析】首先根据题意可知， 表示正整数n的末尾两位数，从而得出 的可能值；接下来将所得的可能值求和，即可得到答案.
9．【答案】解
即
或bc+ac+ab=0.
当bc+ac+ab=0时，
b+c=±1.综上，a+b+c的值为0或1或-1.
【知识点】分式条件求值
【解析】【分析】将等式变形，进而得出 得出a+b+c=0或bc+ac+ab=0，进而求出答案.
10．【答案】解： 过P作PE⊥QR于点E.
∵△PQR是等腰直角三角形， QR=2，
∴PE=1.
∵四边形ABCD是正方形， AB∥QR， BC⊥QR，
∴BC=PE=1， 即正方形ABCD的边长是1，
∴QA+BR=1.
∵∠Q=∠R=45°， ∠MAQ=∠NBR=90°，
∴△MAQ与△NBR都是等腰直角三角形，
∴△MAQ与△NBR的周长和是
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】过P作PE⊥QR于点E，此时结合等腰直角三角形和正方形的知识可得PE=1，BC=1；根据正方形的边长为1，QA+BR=1，此时怎么求其余长度；根据∠Q=∠R=45°， ∠MAQ=∠NBR=90°， 可得△MAQ与△NBR都是等腰直角三角形，据此即可得解.
11．【答案】证明：整数被7除的余数可以分为余0，余±1，余±2，余±3四类.
根据抽屉原理，这5个整数中一定有两个属于同一类，
不妨设这两个数是a=7m+r，b=7n+r'.(r=0或±1或±2或±3，r与 相等或者互为相反数)，
则 +r').
(1)这两个数除以7的余数相同，则 7n+r+r')，此时，7整除
(2)这两个数除以7 的余数相反，则 7n+r-r')，此时，7整除
所以 即 是7 的倍数.
【知识点】因式分解的应用-判断整除；因式分解（奥数）
【解析】【分析】 应用抽屉原理及模7余数的分类。将整数按模7的余数分为四类，证明任意五个整数中必有两个属于同一类或互为相反数，从而其平方差为7的倍数 .
12．【答案】解：令n=a+b.
考虑 (其中p为质数，m为正整数)取
则
所以 显然(p-1)m是正整数，所以 都满足条件.
考虑 (其中p1、p2、p3、…、p 为两两不相等的质数)，
由n=a+b，可得b=n-a，且a设
所以ab=nq，故
整理得 所以 即p1p2p3…
由p1、p2、p3、…、p 为两两不相等的质数， 得 即n|a， 所以 矛盾，
综上所述，可得满足条件的n恰好为任意质数平方的整数倍.
考虑质数的平方小于100的有2，3，5，7，其中4的整数倍有24个，9的整数倍有11个，25的整数倍有3个，49的整数倍有2个，重复计算的有2个，36和72， 所以共计38个.
【知识点】分式条件求值
【解析】【分析】令n=a+b，可知需要考虑 (其中p为质数，m为正整数)取 分析 即可；②考虑 (其中 为两两不相等的质数)，由n=a+b，可得b=n-a，且a13．【答案】解：∵△AFE和△BDF是等边三角形，
∴AF=DF，BF=FB，∠AFE=∠BFD=60°，
∴∠AFB=∠DFE，
∴△AFB≌△DFE，
∴AB=DE，且∠EDF=∠ABF.
又∵△ABC为正三角形，
∴DE=AC.
同理可证△BAF≌△BCD.
∴∠AFB=∠BDC.
∵∠ABF+∠CBF=∠CBD+∠CBF=60°，
∴∠ABF=∠CBD.
∴∠CDE=60°- (∠ABF+∠AFB).
∴△CED为等腰三角形，即CE=DE.
在△ACF和△ECF中，
∵AF=EF， CF=CF， AC=DE=CE，
∴△ACF≌△ECF.
∴∠AFC=∠CFE.
∴∠AFC=30°.
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；手拉手全等模型
【解析】【分析】根据等边三角形的性质，利用SAS得到△AFB≌△DFE，△BAF≌△BCD，进而得到△CED为等腰三角形，再根据三边对应相等得到△ACF≌△ECF，根据对应角相等解答即可.
14．【答案】解：情况一：三角形的三个顶点都在a或者b上，这样的图形与三个点有关，
两个点在a上，一个点在b上，或者两个点在b上，一个点在a上，
这样的三角形有 -1)]×5=50+50=100(个)，
情况二：三角形中有两个顶点在a，b上，另一顶点是这些线段 的交点，
其中两个点在a上，两个点在b上，每组这样的四个点决定2个三角形满足一条边在a或者b上，
这样的4个一组共有 1)]=10×10=100(组)，
因此所得图形中有1100×4=400(个)三角形满足两个顶点在a或者b上，
情况三：三角形的一个顶点在直线a或者直线b上，另2个顶点为“正规线段”的交点，
此类三角形与直线a和直线b上的五个点有关，且两条平行直线各有3个点和2个点，构成1组，
这样的共有 (组) ，
每组构成两个三角形，且各组之间无公共三角形时，则此类三角形最多有2×200=400(个).
情况四，三角形的三个顶点都是正规线段的交点，此类三角形与直线a和直线b上的6个点有关.
其中三个点在a上，三个点在b上，构成1组，每组构成1个三角形，共有 (个) ，
组合上面两种情况共有1100+400+400+100=1000(个) .
【知识点】三角形的面积；枚举法；分类讨论
【解析】【分析】首先，分两种情况讨论，当三角形的三个顶点都在a或者b上时，这样的图形与三个点有关，两个点在a上，一个点在b上，或者两个点在b上，一个点在a上，计算出这样的三角形的个数；当三角形中有两个顶点在a，b上，另一顶点是这些线段 的交点，其中可分两个点在a上，两个点在b上，计算出满足条件的三角形的个数；分析只有一个顶点在直线a或b上和没有在直线上的顶点的两种情况，将所得情况相加即可确定本题的答案.
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