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世界少年奥林匹克思维能力测评地方选拔活动2024-2025学年上学期七年级数学B卷
一、填空题（每题8分，共计64分）
1．（2024七上·竞赛）2024年电影国庆档收官。截至10月7日，2024年国庆档档期总票房达到21.04亿元。从亮眼的票房成绩到丰富的影片供给，从更加亲民的票价到“跟着电影去旅游”的新玩法··……今年的电影国庆档亮点纷呈。若平均每张票约40元，估计观影人次约为　 　。（用科学记数法表示）。
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：21.04亿元=2104000000元，
∵平均每张票约40元，
∴观影人次约为2104000000÷40=5.26×107，
故答案为：5.26×107.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n(1≤a<10)的形式，"为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，"是正数；当原数的绝对值<1时，"是负数，由此即可求解.
2．（2024七上·竞赛）三个互不相等的，有理数，既可以表示为1，a+b，b的形式，也可以表示为0，，a的形式，则a2024+b2025的值是　 　.
【答案】0
【知识点】求代数式值的实际应用
【解析】【解答】解：∵三个互不相等的有理数，既可以表示为1， a+b，b的形式，也可以表示为0，，a的形式，
∴这两组的数分别对应相等，
①若a+b=0，，1=a，
则 a=1，b=-1，
∴a2024+b2025=12024+(-1)2025=1+(-1)=0，
②若，a=1，b=0，
则
此时与三个互不相等的有理数矛盾；
③若a+b=a ，b=0，时，
∵当b=0时，不成立，
∴此情况不成立
综上所述，a2024+b2025=0
故答案为：0.
【分析】根据题意可得这两组的数分别对应相等，分三种情况讨论即可解答.
3．（2024七上·竞赛）实数a、b满足，记代数式的最大值为m，最小值为n，则的值为　 　。
【答案】-27
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；化简含绝对值有理数；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由绝对值的定义可知，当-3≤a≤-1时，|a+1|+|a+3|的最小值是|-1+3|=2，当-2≤b≤5时， b+2|+|b﹣5|的最小值为|﹣2-5|=7，
∵|a+1|+|a+3|+|b+2|+|b-5|=9，
∴-3≤a≤-1， - 2≤b≤5，
∴当a=-3， b=5时， 代数式2ab+2a+b的值最小，即 ，
当a=-3， b=-2时， 代数式2ab+2a+b的值最大，即 ，
∴m+n=4-31=-27，
故答案为： 27.
【分析】根据|a+1|+|a+3|与|b+2|+|b﹣5所表示的意义， 结合|a+1|+|a+3|+|b+2|+|b-5|=9，确定a、b的取值范围，再根据有理数乘法、加法的计算法则确定当a=-3， b =5时， 代数式2ab+2a+b的值最小， 当a=-3， b=-2时， 代数式2ab+2a+b的值最大，求出m、n的值代入计算即可.
4．（2024七上·竞赛）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”。例如：方程和为“美好方程”。若关于x方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是　 　.
【答案】y=-2025
【知识点】一元一次方程的解；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：
∴x=2024，
∵关于x方程与是“合一方程”
∴的解是x=-2023
，
∴y+2=x=-2023
解得：y=-2025
∴关于y的方程的解是y=-2025，
故答案为：y=-2025.
【分析】先解方程，求出方程的解，再根据“合一方程”的定义求出方程的解，再把所求方程写成的形式，从而列出关于y的方程，解方程即可.
5．（2024七上·竞赛）如图，数轴上，两点的距离为12，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处.按照这样的规律继续跳动到点，，...（，是整数）处，问经过这样2024次跳动后的点与A1A中点的距离是　 　.
【答案】
【知识点】探索数与式的规律；有理数的乘方法则；线段的中点
【解析】【解答】解：∵数轴上O，A两点的距离为12，
∴点A表示的数为12，
A1表示的数为，
A2表示的数为
A3表示的数为
A4表示的数为
......，
An表示的数为
∴经过这样2024次跳动后的点A2024表示的数为
∵点A表示的数为12，A1表示的数为6
∴A1A的中点表示的数为
∴经过这样2024次跳动后的点与A1A的中点的距离为：
故答案为：.
【分析】根据题意，第一次跳动到OA的中点A1处，离原点的长度为，第二次从A1处跳动到A2处，离原点的长度为，可推出跳动n次距离原点的长度为，即点An表示的数为，则点A2024表示的数为，再推出A1A的中点表示的数为9，即可解答.
6．（2024七上·竞赛）如图，点P在线段AB的延长线上，，记线段AP和AB的中点分别为、；线段和的中点分别为、；线段和的中点分别为和；依次进行这样的标记，则　 　.
【答案】63
【知识点】线段的中点
【解析】【解答】解：∵线段AP和AB的中点分别为P1，B1，
∴，，
∴，
又∵BP=64，
∴B1P1=32；
同理：，
，
，
，
.
∴B1P1+B2P2+B3P3+B4P4+B5P5+B6P6=32+16+8+4+2+1=63.
故答案为：63.
【分析】根据中点的性质依次求出BnPn的表达式，最后将各项相加得出结果.
7．（2024七上·竞赛）已知a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数是。现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数。化简：　 　.
【答案】507m+508n
【知识点】整式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意得：
∵1014÷3=338，1011÷3=337
∴a1011=a3=-1，，a1014=a3=-1，
∵2024÷3=674…2
∴a2022=a3=-1，，a2024=2，
∴a1m+a2m+...+a1014m+a1012n+a1013n+...+a2024n
=(a1+a2+..+a1014)m+(a1012+a1013+...+a2024)n
=(a1+a2+..+a1014)m+[(a1+a2+...+a2024)-(a1+a2+...+a1011)]n
=507m+508n.
故答案为：507m+508n.
【分析】根据前面发现的数字的特点，可以求得所求式子的值.
8．（2024七上·竞赛）科技创新小组为测试新款机器人的性能，令机器人在一个长25m的笔直测试道上来回运动，当机器人到达起点或终点时立即按当前运行速度折返，每次运动时间为4s，运动过程如下：第1次从起点出发以vm/s的速度运动到记录点；第2次从出发以2vm/s的速度运动到记录点；第3次从出发以3vm/s的速度运动到记录点；第4次从出发以4vm/s的速度运动到记录点，到达后停止.若机器人的运动速度不超过8m/s，记录点恰好为终点，则v的值为　 　.
【答案】或或
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：∵机器人的运动速度不超过 8m/s，
∴4v≤8，即 v≤2
若P1恰好为终点，则4v=25，解得，舍去；
若P2恰好为终点，则4v+4·2v=25，解得，舍去；
若P3恰好为终点，则4v+4·2v+4·3v=25，解得；
或4v+4·2v+4·3v=25×3，解得，舍去；
若P4恰好为终点，则4v+4·2v+4·3v+4·4v=25，解得，
或4v+4·2v+4·3v+4·4v=25×3，解得，
或4v+4·2v+4·3v+4·4v=25×5，解得，舍去.
综上所述，记录点恰好为终点时，v的值为或或，
故答案为：或或.
【分析】根据题意速度不超过8m/s，得到v≤2，进而分别当四个记录点恰好为终点进行计算即可.
二、计算题（每题10分，共计20分）
9．（2024七上·竞赛）
【答案】解：
=1+2024
=2025
【知识点】有理数的巧算
【解析】【分析】首先观察分子和分母的结构，通过代数变形化简即可求解.
10．（2024七上·竞赛）
【答案】解：
=256289
【知识点】有理数的巧算
【解析】【分析】分析每一项的规律，分母为2n时，分子是前n个奇数的和(和为n2)，因此每一项可表示为，转化为求1到1012的和的一半，进而即可求解.
三、解答题（第11题~第13题每题12分，第14题14分，第15题16分，共计66分）
11．（2024七上·竞赛）已知表示取三个数中最小的那个数。例如：当x=-2时，，当时，求x的值。
【答案】解：当时，，，不合题意；
当时，，当时，，不合题意；
当时，，，符合题意；
当时，，，不合题意，
所以
【知识点】实数的大小比较；直接开平方法解一元二次方程；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】根据定义分别计算，，的x值，找到满足条件的x值即可。
12．（2024七上·竞赛）阅读理解，并完成下列各题：
对于数轴上任一点P，把与点P相距a个单位长度（a>0）的两点所表示的数分别记作x和y（其中x（1）如果M（P，a）=4，2024，那么P表示的数是　 　，a的值是　 　.
（2）如果点P、Q是数轴上的两个动点，M（P，3）=x，y，M（Q，5）=m，n（其中×【答案】（1）1014；1010
（2）解：设点P和点Q表示的数分别为p、q，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，
∴，
∴，
∴点P、Q之间的距离为；
当时，
∴，
q-P=
∴点P、Q之间的距离为
综上所述，点P、Q之间的距离为或
【知识点】数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义；数轴的点常规运动模型；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】（1）解：∵M(P，a)=4，2024表示的是点P到数轴上数4和数2024的两个点的距离都为a，
∴点P表示的数为：，
故答案为：1014；1010.
【分析】(1)M(P，a)=<4，2024>表示与点P相距a个单位长度的两个点分别是4和2024，那么点P即为这两点的中点，进而可计算a；
(2)设点P、Q表示的数分别为p、q.根据题意可得：x=p-3，y=p+3，m=q-5，n=q+5，进而由|n-x|=4|y-m|得出|q-p+8|=4|p-q+8|，计算求解即可.
13．（2024七上·竞赛）如图，在射线OM上有A，B，C三点，满足OA=4cm，AB=12cm，BC=2cm。点P从点O出发，沿OM方向以1cm/s的速度运动：点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动（点Q运动到点O时停止运动），两点同时出发。
（1）若点Q的运动速度为3cm/s，经过多长时间P、Q两点相距10cm？
（2）当点P运动到线段AB上时，分别取OP和AB的中点E、F，求.
【答案】（1）解：设运动时间为t秒
则，，，，
∵点Q运动到O点时停止运动
∴点Q最多运动时间为
依题意，分以下两种情况：
①当点P、Q相遇前，
，即，
解得t=2(s)
②当点P、Q相遇后，
OP+CQ=OC+PQ，
1+3t=18+10，
解得：t=7，经检验不符合题意，舍去；
当t=6时，Q与O重合，停止运动，
此时OP=6，
当P再运动4s时，P，Q相距10cm，
此时t=10s，
综上，经过2秒，10秒，P、Q两点相距10cm；
（2）解：如图，设OP=xcm，
点P在线段AB上，则，即，
∵点E、F分别为OP和AB的中点，
∴，
∴
则
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】(1)分点P、Q相遇前和点P、Q相遇后两种情况，设运动时间为t秒，然后分别根据线段的和差、速度公式列出等式求解即可得；
(2)先画出图形，再根据线段的和差、线段的中点定义求出OB-AP和EF的长，从而即可得出答案.
14．（2024七上·竞赛）上海某食品加工，加工一种食品，销往宁波市和杭州市，有新旧两种加工工艺。
（1）如用旧工艺加工，则一天的废水排量要比环保限制的最大量还多200t；如用新工艺加工，则一天的废水排量要比环保限制的最大量少100t。新、旧工艺的废水排量之比为2：5，两种工艺的一天废水排量各是多少？
（2）若用新工艺，每天加工的食品总量比旧工艺每天加工的食品总量多50t，已知旧工艺每天加工的食品总量是新工艺每天加工的食品总量的；求：若用新工艺加工一个月的食品总量是多少吨？（每个月按30天计）
（3）在（1）（2）的条件下，已知厂家将（2）中新工艺加工一个月的食品以每吨900元的价格销往宁波市和杭州市，已知这些加工食品的原材料费共为200万元，选择铁路运输，在送货的过程中，列车先到杭州卸完一部分货后，再前往宁波送货，送货列车的到达时间表如下所示：卸货的时间忽略不计；已知：上海与宁波的距离为310km，上海到杭州的平均时速比杭州到宁波的平均时速快5km/h，已知铁路运输的收费标准是：每吨每千米收费0.6元；已知每吨污水的处理费是3元，这批食品全部售完后，仍可获利493万元，则销往杭州多少吨食品？
地点 上海 杭州 宁波
时间 8：00 10：00 12：00
【答案】（1）解：设新工艺的废水排量为2xt，则旧工艺的废水排量为5xt，
依题意得，2x+100=5x-200，
解得，x=100，
∴新工艺一天的废水排量为200t，旧工艺一天的废水排量为500t；
（2）解：设新工艺加工一天的食品量为at，则旧工艺加工一天的食品量为(a-50)t，
依懸意得，a-50=a.
解得，a=300，
∵30×300=9000，
∴用新工艺加工一个月的食品总量是9000t；
（3）解：设杭州到宁波的平均时速为vkm/h，则上海到杭州的平均时速(v+5)km/h，
依题意得，2(v+5)+2y=310，
解得，v=75，
∴杭州到宁波的路程为2×75=150(km），上海到杭州的路程为310-150=160(km），
设销往杭州m吨食品，则销往宁波（9000-m)吨食品，
依题意得，900×9000-2000000-200×30×3-9000×160×0.6-(9000-m)×150×0.6=4930000，
解得，m=5800，
∴销往杭州5800吨食品。
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【分析】(1)设新工艺的废水排量为2xt，则旧工艺的废水排量为5xt，依题意得，2x+100=5x-200，计算求解，然后作答即可；
(2)设新工艺加工一天的食品量为at，则日工艺加工一天的食品量为(a-50)t，依题意得，可求a=300，根据用新工艺加工一个月的食品总量是30×300，计算求解即可；
(3)设哈尔滨到齐齐哈尔的平均时速为以vkm/h，则哈尔滨到大庆的平均时速为(v+5)km/h，依题意得，2(v+5)+2v=310，可求v=75，进而可求哈尔滨到齐齐哈尔的路程为2×75=150(km)，哈尔滨到大庆的路程为310-150=160(km)，设销往大庆m吨食品，则销往齐齐哈尔(9000-m)吨食品，根据获利=总价-材料费-污水处理费-运费(销往大庆和销往齐齐哈尔)，列方程，计算求解即可.
15．（2024七上·竞赛）已知：OD平分∠AOB，∠AOC和∠BOC互为补角.
（1）如图1，求∠DOC的度数：
（2）如图2，OE平分∠AOC，求证：∠BOC=2∠DOE；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AE，∠EAO-∠BOC=30°，∠AEO=2∠BOE，求∠BOE的度数。
【答案】（1）解：∵OD平分∠AOB.
∴∠AOB=2∠BOD，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴2∠BOD+∠BOC+∠BOC=180°，
∴2(∠BOD+∠BOC)=180°，即2∠DOC=180°，
∴∠DOC=90°：
（2）证明：∵OE平分，
∴，
∴，
∴，
由(1)知：，即，
∴，
∴，
∴；
（3）解：在(2)的条件下，
，，，
，
∴∠BOC=60°-∠BOF.
∴∠AOE=∠BOC+∠BOE=60°+∠BOE，
∵∠EAO-∠BOC=30°，
∴∠EAO=∠BOC+30°=90°-∠BOE
∵∠AEO=2∠BOE，∠AOE+∠EAO+∠AEO=180°，
∴60°+∠BOE+90°-∠BOE+2∠BOE=180°，
∴∠BOE=30°，
∴∠BOE=18°.
【知识点】角的运算；角平分线的概念；补角
【解析】【分析】(1)由OD平分∠AOB得到∠AOB=2∠BOD，再根据∠AOC和∠BOC互为补角即可得到∠DOC的度数；
(2)由OE平分∠AOC得到，再根据∠AOC和∠BOC互为补角得到∠AOC=180°-∠BOC，从而得到，最后根据∠COE+∠DOE=90°即可完成证明；
(3)在(2)的条件下可得到，，由∠EAO-∠BOC=30°得到，最后由∠AEO=2∠BOE和∠AOE+∠EAO+∠AEO=180°可求得∠BOE的度数.
1 / 1世界少年奥林匹克思维能力测评地方选拔活动2024-2025学年上学期七年级数学B卷
一、填空题（每题8分，共计64分）
1．（2024七上·竞赛）2024年电影国庆档收官。截至10月7日，2024年国庆档档期总票房达到21.04亿元。从亮眼的票房成绩到丰富的影片供给，从更加亲民的票价到“跟着电影去旅游”的新玩法··……今年的电影国庆档亮点纷呈。若平均每张票约40元，估计观影人次约为　 　。（用科学记数法表示）。
2．（2024七上·竞赛）三个互不相等的，有理数，既可以表示为1，a+b，b的形式，也可以表示为0，，a的形式，则a2024+b2025的值是　 　.
3．（2024七上·竞赛）实数a、b满足，记代数式的最大值为m，最小值为n，则的值为　 　。
4．（2024七上·竞赛）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”。例如：方程和为“美好方程”。若关于x方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解是　 　.
5．（2024七上·竞赛）如图，数轴上，两点的距离为12，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处.按照这样的规律继续跳动到点，，...（，是整数）处，问经过这样2024次跳动后的点与A1A中点的距离是　 　.
6．（2024七上·竞赛）如图，点P在线段AB的延长线上，，记线段AP和AB的中点分别为、；线段和的中点分别为、；线段和的中点分别为和；依次进行这样的标记，则　 　.
7．（2024七上·竞赛）已知a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数是。现已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数。化简：　 　.
8．（2024七上·竞赛）科技创新小组为测试新款机器人的性能，令机器人在一个长25m的笔直测试道上来回运动，当机器人到达起点或终点时立即按当前运行速度折返，每次运动时间为4s，运动过程如下：第1次从起点出发以vm/s的速度运动到记录点；第2次从出发以2vm/s的速度运动到记录点；第3次从出发以3vm/s的速度运动到记录点；第4次从出发以4vm/s的速度运动到记录点，到达后停止.若机器人的运动速度不超过8m/s，记录点恰好为终点，则v的值为　 　.
二、计算题（每题10分，共计20分）
9．（2024七上·竞赛）
10．（2024七上·竞赛）
三、解答题（第11题~第13题每题12分，第14题14分，第15题16分，共计66分）
11．（2024七上·竞赛）已知表示取三个数中最小的那个数。例如：当x=-2时，，当时，求x的值。
12．（2024七上·竞赛）阅读理解，并完成下列各题：
对于数轴上任一点P，把与点P相距a个单位长度（a>0）的两点所表示的数分别记作x和y（其中x（1）如果M（P，a）=4，2024，那么P表示的数是　 　，a的值是　 　.
（2）如果点P、Q是数轴上的两个动点，M（P，3）=x，y，M（Q，5）=m，n（其中×13．（2024七上·竞赛）如图，在射线OM上有A，B，C三点，满足OA=4cm，AB=12cm，BC=2cm。点P从点O出发，沿OM方向以1cm/s的速度运动：点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动（点Q运动到点O时停止运动），两点同时出发。
（1）若点Q的运动速度为3cm/s，经过多长时间P、Q两点相距10cm？
（2）当点P运动到线段AB上时，分别取OP和AB的中点E、F，求.
14．（2024七上·竞赛）上海某食品加工，加工一种食品，销往宁波市和杭州市，有新旧两种加工工艺。
（1）如用旧工艺加工，则一天的废水排量要比环保限制的最大量还多200t；如用新工艺加工，则一天的废水排量要比环保限制的最大量少100t。新、旧工艺的废水排量之比为2：5，两种工艺的一天废水排量各是多少？
（2）若用新工艺，每天加工的食品总量比旧工艺每天加工的食品总量多50t，已知旧工艺每天加工的食品总量是新工艺每天加工的食品总量的；求：若用新工艺加工一个月的食品总量是多少吨？（每个月按30天计）
（3）在（1）（2）的条件下，已知厂家将（2）中新工艺加工一个月的食品以每吨900元的价格销往宁波市和杭州市，已知这些加工食品的原材料费共为200万元，选择铁路运输，在送货的过程中，列车先到杭州卸完一部分货后，再前往宁波送货，送货列车的到达时间表如下所示：卸货的时间忽略不计；已知：上海与宁波的距离为310km，上海到杭州的平均时速比杭州到宁波的平均时速快5km/h，已知铁路运输的收费标准是：每吨每千米收费0.6元；已知每吨污水的处理费是3元，这批食品全部售完后，仍可获利493万元，则销往杭州多少吨食品？
地点 上海 杭州 宁波
时间 8：00 10：00 12：00
15．（2024七上·竞赛）已知：OD平分∠AOB，∠AOC和∠BOC互为补角.
（1）如图1，求∠DOC的度数：
（2）如图2，OE平分∠AOC，求证：∠BOC=2∠DOE；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AE，∠EAO-∠BOC=30°，∠AEO=2∠BOE，求∠BOE的度数。
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：21.04亿元=2104000000元，
∵平均每张票约40元，
∴观影人次约为2104000000÷40=5.26×107，
故答案为：5.26×107.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n(1≤a<10)的形式，"为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，"是正数；当原数的绝对值<1时，"是负数，由此即可求解.
2．【答案】0
【知识点】求代数式值的实际应用
【解析】【解答】解：∵三个互不相等的有理数，既可以表示为1， a+b，b的形式，也可以表示为0，，a的形式，
∴这两组的数分别对应相等，
①若a+b=0，，1=a，
则 a=1，b=-1，
∴a2024+b2025=12024+(-1)2025=1+(-1)=0，
②若，a=1，b=0，
则
此时与三个互不相等的有理数矛盾；
③若a+b=a ，b=0，时，
∵当b=0时，不成立，
∴此情况不成立
综上所述，a2024+b2025=0
故答案为：0.
【分析】根据题意可得这两组的数分别对应相等，分三种情况讨论即可解答.
3．【答案】-27
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；化简含绝对值有理数；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由绝对值的定义可知，当-3≤a≤-1时，|a+1|+|a+3|的最小值是|-1+3|=2，当-2≤b≤5时， b+2|+|b﹣5|的最小值为|﹣2-5|=7，
∵|a+1|+|a+3|+|b+2|+|b-5|=9，
∴-3≤a≤-1， - 2≤b≤5，
∴当a=-3， b=5时， 代数式2ab+2a+b的值最小，即 ，
当a=-3， b=-2时， 代数式2ab+2a+b的值最大，即 ，
∴m+n=4-31=-27，
故答案为： 27.
【分析】根据|a+1|+|a+3|与|b+2|+|b﹣5所表示的意义， 结合|a+1|+|a+3|+|b+2|+|b-5|=9，确定a、b的取值范围，再根据有理数乘法、加法的计算法则确定当a=-3， b =5时， 代数式2ab+2a+b的值最小， 当a=-3， b=-2时， 代数式2ab+2a+b的值最大，求出m、n的值代入计算即可.
4．【答案】y=-2025
【知识点】一元一次方程的解；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：
∴x=2024，
∵关于x方程与是“合一方程”
∴的解是x=-2023
，
∴y+2=x=-2023
解得：y=-2025
∴关于y的方程的解是y=-2025，
故答案为：y=-2025.
【分析】先解方程，求出方程的解，再根据“合一方程”的定义求出方程的解，再把所求方程写成的形式，从而列出关于y的方程，解方程即可.
5．【答案】
【知识点】探索数与式的规律；有理数的乘方法则；线段的中点
【解析】【解答】解：∵数轴上O，A两点的距离为12，
∴点A表示的数为12，
A1表示的数为，
A2表示的数为
A3表示的数为
A4表示的数为
......，
An表示的数为
∴经过这样2024次跳动后的点A2024表示的数为
∵点A表示的数为12，A1表示的数为6
∴A1A的中点表示的数为
∴经过这样2024次跳动后的点与A1A的中点的距离为：
故答案为：.
【分析】根据题意，第一次跳动到OA的中点A1处，离原点的长度为，第二次从A1处跳动到A2处，离原点的长度为，可推出跳动n次距离原点的长度为，即点An表示的数为，则点A2024表示的数为，再推出A1A的中点表示的数为9，即可解答.
6．【答案】63
【知识点】线段的中点
【解析】【解答】解：∵线段AP和AB的中点分别为P1，B1，
∴，，
∴，
又∵BP=64，
∴B1P1=32；
同理：，
，
，
，
.
∴B1P1+B2P2+B3P3+B4P4+B5P5+B6P6=32+16+8+4+2+1=63.
故答案为：63.
【分析】根据中点的性质依次求出BnPn的表达式，最后将各项相加得出结果.
7．【答案】507m+508n
【知识点】整式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意得：
∵1014÷3=338，1011÷3=337
∴a1011=a3=-1，，a1014=a3=-1，
∵2024÷3=674…2
∴a2022=a3=-1，，a2024=2，
∴a1m+a2m+...+a1014m+a1012n+a1013n+...+a2024n
=(a1+a2+..+a1014)m+(a1012+a1013+...+a2024)n
=(a1+a2+..+a1014)m+[(a1+a2+...+a2024)-(a1+a2+...+a1011)]n
=507m+508n.
故答案为：507m+508n.
【分析】根据前面发现的数字的特点，可以求得所求式子的值.
8．【答案】或或
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：∵机器人的运动速度不超过 8m/s，
∴4v≤8，即 v≤2
若P1恰好为终点，则4v=25，解得，舍去；
若P2恰好为终点，则4v+4·2v=25，解得，舍去；
若P3恰好为终点，则4v+4·2v+4·3v=25，解得；
或4v+4·2v+4·3v=25×3，解得，舍去；
若P4恰好为终点，则4v+4·2v+4·3v+4·4v=25，解得，
或4v+4·2v+4·3v+4·4v=25×3，解得，
或4v+4·2v+4·3v+4·4v=25×5，解得，舍去.
综上所述，记录点恰好为终点时，v的值为或或，
故答案为：或或.
【分析】根据题意速度不超过8m/s，得到v≤2，进而分别当四个记录点恰好为终点进行计算即可.
9．【答案】解：
=1+2024
=2025
【知识点】有理数的巧算
【解析】【分析】首先观察分子和分母的结构，通过代数变形化简即可求解.
10．【答案】解：
=256289
【知识点】有理数的巧算
【解析】【分析】分析每一项的规律，分母为2n时，分子是前n个奇数的和(和为n2)，因此每一项可表示为，转化为求1到1012的和的一半，进而即可求解.
11．【答案】解：当时，，，不合题意；
当时，，当时，，不合题意；
当时，，，符合题意；
当时，，，不合题意，
所以
【知识点】实数的大小比较；直接开平方法解一元二次方程；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】根据定义分别计算，，的x值，找到满足条件的x值即可。
12．【答案】（1）1014；1010
（2）解：设点P和点Q表示的数分别为p、q，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，
∴，
∴，
∴点P、Q之间的距离为；
当时，
∴，
q-P=
∴点P、Q之间的距离为
综上所述，点P、Q之间的距离为或
【知识点】数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义；数轴的点常规运动模型；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】（1）解：∵M(P，a)=4，2024表示的是点P到数轴上数4和数2024的两个点的距离都为a，
∴点P表示的数为：，
故答案为：1014；1010.
【分析】(1)M(P，a)=<4，2024>表示与点P相距a个单位长度的两个点分别是4和2024，那么点P即为这两点的中点，进而可计算a；
(2)设点P、Q表示的数分别为p、q.根据题意可得：x=p-3，y=p+3，m=q-5，n=q+5，进而由|n-x|=4|y-m|得出|q-p+8|=4|p-q+8|，计算求解即可.
13．【答案】（1）解：设运动时间为t秒
则，，，，
∵点Q运动到O点时停止运动
∴点Q最多运动时间为
依题意，分以下两种情况：
①当点P、Q相遇前，
，即，
解得t=2(s)
②当点P、Q相遇后，
OP+CQ=OC+PQ，
1+3t=18+10，
解得：t=7，经检验不符合题意，舍去；
当t=6时，Q与O重合，停止运动，
此时OP=6，
当P再运动4s时，P，Q相距10cm，
此时t=10s，
综上，经过2秒，10秒，P、Q两点相距10cm；
（2）解：如图，设OP=xcm，
点P在线段AB上，则，即，
∵点E、F分别为OP和AB的中点，
∴，
∴
则
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】(1)分点P、Q相遇前和点P、Q相遇后两种情况，设运动时间为t秒，然后分别根据线段的和差、速度公式列出等式求解即可得；
(2)先画出图形，再根据线段的和差、线段的中点定义求出OB-AP和EF的长，从而即可得出答案.
14．【答案】（1）解：设新工艺的废水排量为2xt，则旧工艺的废水排量为5xt，
依题意得，2x+100=5x-200，
解得，x=100，
∴新工艺一天的废水排量为200t，旧工艺一天的废水排量为500t；
（2）解：设新工艺加工一天的食品量为at，则旧工艺加工一天的食品量为(a-50)t，
依懸意得，a-50=a.
解得，a=300，
∵30×300=9000，
∴用新工艺加工一个月的食品总量是9000t；
（3）解：设杭州到宁波的平均时速为vkm/h，则上海到杭州的平均时速(v+5)km/h，
依题意得，2(v+5)+2y=310，
解得，v=75，
∴杭州到宁波的路程为2×75=150(km），上海到杭州的路程为310-150=160(km），
设销往杭州m吨食品，则销往宁波（9000-m)吨食品，
依题意得，900×9000-2000000-200×30×3-9000×160×0.6-(9000-m)×150×0.6=4930000，
解得，m=5800，
∴销往杭州5800吨食品。
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【分析】(1)设新工艺的废水排量为2xt，则旧工艺的废水排量为5xt，依题意得，2x+100=5x-200，计算求解，然后作答即可；
(2)设新工艺加工一天的食品量为at，则日工艺加工一天的食品量为(a-50)t，依题意得，可求a=300，根据用新工艺加工一个月的食品总量是30×300，计算求解即可；
(3)设哈尔滨到齐齐哈尔的平均时速为以vkm/h，则哈尔滨到大庆的平均时速为(v+5)km/h，依题意得，2(v+5)+2v=310，可求v=75，进而可求哈尔滨到齐齐哈尔的路程为2×75=150(km)，哈尔滨到大庆的路程为310-150=160(km)，设销往大庆m吨食品，则销往齐齐哈尔(9000-m)吨食品，根据获利=总价-材料费-污水处理费-运费(销往大庆和销往齐齐哈尔)，列方程，计算求解即可.
15．【答案】（1）解：∵OD平分∠AOB.
∴∠AOB=2∠BOD，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴2∠BOD+∠BOC+∠BOC=180°，
∴2(∠BOD+∠BOC)=180°，即2∠DOC=180°，
∴∠DOC=90°：
（2）证明：∵OE平分，
∴，
∴，
∴，
由(1)知：，即，
∴，
∴，
∴；
（3）解：在(2)的条件下，
，，，
，
∴∠BOC=60°-∠BOF.
∴∠AOE=∠BOC+∠BOE=60°+∠BOE，
∵∠EAO-∠BOC=30°，
∴∠EAO=∠BOC+30°=90°-∠BOE
∵∠AEO=2∠BOE，∠AOE+∠EAO+∠AEO=180°，
∴60°+∠BOE+90°-∠BOE+2∠BOE=180°，
∴∠BOE=30°，
∴∠BOE=18°.
【知识点】角的运算；角平分线的概念；补角
【解析】【分析】(1)由OD平分∠AOB得到∠AOB=2∠BOD，再根据∠AOC和∠BOC互为补角即可得到∠DOC的度数；
(2)由OE平分∠AOC得到，再根据∠AOC和∠BOC互为补角得到∠AOC=180°-∠BOC，从而得到，最后根据∠COE+∠DOE=90°即可完成证明；
(3)在(2)的条件下可得到，，由∠EAO-∠BOC=30°得到，最后由∠AEO=2∠BOE和∠AOE+∠EAO+∠AEO=180°可求得∠BOE的度数.
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