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2026年广东梅州市兴宁市实验学校、宁江中学 2025-2026学年第二学期第一次形成性评价（数学科）
一、单选题
1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．若反比例函数的图象经过点，则下列各点在此函数图象上的是（ ）．
A． B． C． D．
3．若二次函数的图象与轴只有一个交点，则实数的值为（　　）
A． B． C． D．
4．图2是从图1生活情境中抽象的几何模型，已知，，，那么等于（ ）
A． B． C． D．
5．在同一平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的图象如图，则一次函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．电影《浪浪山小妖怪》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，全国第一天票房约亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，前三天累计票房收入达亿元，设增长率为x，则方程可以列为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，点A、B、C、D在上，点A、C在直径同侧，若，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
8．年贵州省大力推动消费品以旧换新活动，成效显著，全年共使用政府补贴资金亿元，充分发挥了财政资金撬动市场活力的杠杆作用，将亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，是边上的中线，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在矩形中，是边上的一动点（不与端点重合）．将沿直线对折，得到，连接并延长，交线段于点，连接，，则下列结论错误的是（ ）
A．的面积为定值
B．的最小值为
C．的最大值为5
D．的最大值为
二、填空题
11．平面直角坐标系内与点关于原点对称的点的坐标是________．
12．若，则_______．
13．如图①中小狗手影是一种常见的游戏，它利用的原理是：光是沿直线传播的．如图②我们把光源看成一个点，手面看成平行于墙面的一条线段．在一次游戏中，手距离墙壁3米，光源与手的距离为1米．在手的位置不变的情况下，如果光源与手的距离增加1米，那么小狗手影的高度变为原来的___________（填“几分之几”）．
14．图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为___________．
15．如图，矩形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，以O为位似中心，在第一象限作矩形的位似图形，使矩形与矩形的位似比为，反比例函数的图象恰好经过点E，且与边交于点G．若点B的坐标为，则点G的坐标为______．
三、解答题
16．先化简，再求值：，其中
17．某初级中学数学兴趣小组为了解本校学生的年龄情况，随机抽取了该校部分学生的年龄作为样本，经过数据整理，绘制出如下不完整的统计图．依据相关信息解答以下问题：
(1)写出样本容量 ，并补全条形统计图：
(2)该校被抽取的学生的年龄的众数是 岁，中位数是 岁．
(3)若该校一共有1000名学生．估计该校学生年龄在15岁及以上的人数．
18．如图，的对角线、相交于点O，．
(1)求证：；
(2)若，连接、，判断四边形的形状，并证明你的结论．
19．学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题．
材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同．
材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折．
材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆．
(1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？
(2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？
20．如图，在中，，的平分线交于点D，点O是边上一点，以点O为圆心、长为半径作圆，恰好经过点D，交于点E．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若点E为的中点，，求阴影部分的面积．
21．如图，在中，，，点是边的中点，连接，作，垂足为点，连接．
(1)求证：；
(2)取边的中点，连接，求证：．
22．如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点B的坐标为，点C的坐标为，反比例函数的图象经过点A，与交于点E．
(1)求该反比例函数的表达式；
(2)点G是y轴上的动点，连接，求最小值时点G坐标；
(3)连接，在反比例函数图象上是否存在点P（点P与点E不重合），使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图1，和是有公共顶点的两个三角形，在线段上，，．
(1)【问题发现】如图2，若，，连接，则、的关系是 (请直接写出结果)．
(2)【解决问题】如图3，如果，，，，且满足，连接，求的长．小明经过思考发现可以构造如图所示的图形解决问题，过点作，交的延长线于点，证明，从而求出的长．请你按照小明的思路求出长．
(3)【拓展探究】如图4，在中，是直径，点为直径上方半圆上一点，，，若点也在上，且满足，直线与直线交于点，请直接写出线段的长．
参考答案
1．C
【详解】解：A选项既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B选项是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C选项既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D选项是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选C．
2．D
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点
∴，
∵反比例函数图象上的点满足横纵坐标的乘积等于，
∴对各选项逐一验证：
对于A选项：，不在图象上，
对于B选项：，不在图象上，
对于C选项：，不在图象上，
对于D选项：，在图象上．
故选：D．
3．D
【详解】解：二次函数的图象与轴只有一个交点，
．
解得 ．
4．B
【详解】解：∵，，，
∴，，
∴．
5．D
【详解】解：∵反比例函数图象在第一，三象限
∴
∴一次函数的图象与y轴交于正半轴，
∵二次函数的图象开口向下，顶点在第一象限
∴，
∴
∴
∴一次函数的图象y随x的增大而减小，
∴一次函数的图象大致是：
6．D
【详解】解：由题意，得
第一天票房为亿元，
第二天票房为亿元，
第三天票房为亿元．
∵三天累计票房为亿元，
∴．
故选D．
7．C
【详解】解：，
，
，
，
．
8．A
【详解】解：亿．
9．C
【详解】解：是边上的中线，，
，
在中，，
在中，，
故，
故选C．
10．C
【详解】解：，为定值，故选项A正确；
根据折叠的性质，，
∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动．
当三点共线时，最小，此时，
的最小值为，故选项B正确；
，
∴当最大时，最大．如图，
当与相切时，的值最大，此时点重合，
∵是矩形，
∴，，
∴，，
根据折叠可知，，
∴，，
∴，
∴，
的最大值为，
的最大值为，故选项C错误；
当点与点重合时，最大，最大值为，故选项D正确，
故选：C．
11．
【详解】解：点关于原点对称，横坐标取相反数为，纵坐标取相反数为，故对称点坐标为；
故答案为：．
12．
【详解】解：∵ ，
∴.
故答案为：.
13．
【详解】解：如图，
由题意可知，米，米，且，
∴，
∴，
设，
∴光源与手的距离增加1米，即（米），米，
如图，
同理，得，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．40
【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，
，
设抛物线的解析式为，
将代入，
得，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
，
故答案为：40．
15．
【详解】解：∵ 四边形是矩形，点的坐标为，
∴ ，．
∵ 矩形与矩形的位似比为，以为位似中心，
∴ 点的坐标为，即
∵ 点在反比例函数的图象上，
∴ ，即反比例函数解析式为．
∵ 点在边上，轴，
∴ 点的纵坐标为．
把代入，得，
解得．
∴ 点的坐标为．
故答案为：．
16．
【详解】解：
，
当时，原式．
17．(1)50，见解析
(2)15，14
(3)该校学生年龄在15岁及以上的有400人
【详解】（1）解：样本容量为：，
14岁的有：（人），
16岁的有：（人），
补充完整的条形统计图如图所示；
（2）解：由条形统计图可得，众数是15岁，
把这些数从小到大排列，处于中间位置的是第25、26个数的平均数，则中位数是（岁），
（3）解：（人），
答：该校学生年龄在15岁及以上的有400人．
18．(1)见解析
(2)矩形，证明见解析
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
即：，
在和中，
；
（2）矩形，理由如下：
证明：，，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形．
19．(1)A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人
(2)本次研学活动学校最少租车费用为27 000元
【详解】（1）解：设A型客车每辆载客量为人，根据题意得：
．
解之得．
经检验：是方程的根，且符合题意，
答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人．
（2）解：设租A型客车辆，B型客车辆，租车总费用，则
．
解之得．
．
∵，且对称轴为，
∴时，随着的增大而增大．
∵取正整数，且，
∴当时，最小值为27000（元）．
∴本次研学活动学校最少租车费用为27000元
20．(1)见解析；
(2)．
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
∵是的平分线，
∴，
∵
∴
∴．
∴
∴．
∴
∴直线是的切线；
（2）解：设的半径为R，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
由（1）可知：，
∴在中，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为：．
21．(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）证明：，
，
又，
，
，
点是边的中点，即，
，
又∵，
；
（2）证明：如图2，
由（1）知：，
，，
，
，
，
又，
∵，
，
点是边的中点，点是边的中点，
，
在中，，即，
．
22．(1)
(2)
(3)存在，点P坐标为
【详解】（1）解：∵的边在x轴上，点B坐标为，
如图1，过点B作轴于点H，过点A作轴于点D，
∴，，
∵点C坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是菱形，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴点．
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：如图2，作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于G，此时的值最小，最小为，
设直线解析式为，
∵点B坐标为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
∵反比例函数的图象与交于点E，
∴，
∴或（舍去），
∴，
∵，
∴，
连接，交y轴于点G，此时最小．
设直线的解析式为．
将，代入：
解得，
∴直线的解析式为．
令，得．
∴点G坐标为；
（3）解：反比例函数图象上存在点P（点P与点E不重合），使得，理由如下：
如图3，过点E作轴于点F，过点A作轴于点D，过点P作轴于点G，
∴，，，，
∴，
设，
∴
，
∵
，
∴，
整理得：，
∴或（舍去），
∴点P的坐标为．
23．(1)，
(2)
(3)或
【详解】（1）解：，，
，，
又，，
，
，，
，
，
综上所述，，；
（2）如图，过点作于，
，，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
又，，
，
，，
，
（3）当点与点在同侧时，如图，过点作于，
是直径，
，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
或不合题意舍去，
，，
，
∴
，
，
，
，
当点与点在的异侧时，如图4-1，过点作于，
同理可求，
，
，
∴
，
，
，
，
综上所述：为或．

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