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第2章 图形与坐标
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题，共40分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1． 若点关于x轴对称的点为B，则点B的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，平面直角坐标系中，点在轴上，点，点在轴上，且，则的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
4．若点与关于轴对称，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．下列命题中的真命题是（ ）
A．如果，那么 B．相等的角是对顶角
C． D．点关于y轴对称的点为
6．在平面直角坐标系中，将按以下规律进行循环往复的轴对称变换：第次关于轴对称，第次关于轴对称，第次关于轴对称，，依次类推．若点的坐标为，则将经过第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，平分，于点，且，已知点到轴的距离是4，那么点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是长方形，，，点在线段上运动，当与△BAQ全等时，点的坐标为（ ）
A． B． C．或 D．
9．如图，在平面直角坐标系中，在轴上，，将绕点逆时针旋转，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，，轴，若，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题，共80分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.请把答案填在题中横线上）
11．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点坐标为_____．
12．已知点在轴上，则_____．
13．在平面直角坐标系中，点在第二象限，则a的取值范围是________．
14．如图，是坐标原点，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，则顶点的坐标为_______．
15．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，则点对应点的坐标为______．
三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
16．（10分）已知点与关于x轴对称，求的值．
17．（10分）画图与计算：
(1)尺规作图：过点画直线的垂线（保留作图痕迹，不写作法）；

(2)已知点关于轴的对称点为，求，的值．
18．（10分）在如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的各个顶点坐标分别是，，，请在坐标系内画出△ABC以及中线，高线，并写出点D和E的坐标．
19．（10分）问题情境：
如图1，学校有两块相邻的正方形菜地A、B，每块菜地周围都有矮篱笆，菜地内各有一段矮篱笆，现计划在区域A内利用已有篱笆规划一块三角形菜地种植青椒，在区域B内利用已有篱笆规划两块三角形菜地种植西红柿和黄瓜，嘉琪利用平面直角坐标系知识帮助老师完成规划，过程如下：①建立如图2所示的平面直角坐标系，区域内两条篱笆的端点分别为和，d），c、d满足，过点C作轴，垂足为点E，沿搭建篱笆，区域内种植青椒．
②如图3，在x轴正半轴上寻找一点G，在y轴负半轴寻找一点H，连接，沿、搭建篱笆，在和中分别种植西红柿和黄瓜，种植两种作物的面积相同．
(1)c的值为______，d的值为_____．
(2)①求的面积．
②如图2，在上的点处安装一个照明灯，从点电源处向照明灯M引电，需在y轴正半轴篱笆上安一开关P，求电线的最小值．
(3)请直接写出与的关系．
20．（10分）如图，△ABC是等腰直角三角形，，直角顶点C在x轴上，一锐角顶点B在y轴上．
(1)如图1，若点A的坐标是，求点B，点C的坐标．
(2)如图2，若y轴恰好平分，与y轴交于点D，过点A作轴于点E，求证：．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系中，，为轴正半轴上一点，连接，作交轴正半轴于点，求．
《第2章 图形与坐标（A卷）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D A C D A D B D
1．A
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得答案．
【详解】解：∵点关于x轴对称的点为B，
∴点B的坐标是，
故选：A．
2．C
【分析】本题主要考查了关于x轴对称的点的性质，直接利用关于x轴对称的点，其横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出答案．
【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为：．
故选C．
3．D
【分析】本题主要考查了坐标与图形，等腰三角形的性质，根据，，得出，从而得出，求出m的值即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
解得：．
故选：D．
4．A
【分析】本题考查平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标特征，掌握关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数，是解题的关键．
根据关于x轴对称的点的坐标特征求出a、b的值，即可得到点M的坐标．
【详解】解：∵点与关于x轴对称．
∴，．
∴点的坐标为．
故选：A．
5．C
【分析】本题考查命题的真假判断．选项A需考虑负数情况，选项B混淆角的关系，选项C涉及二次根式的性质，选项D考查对称点坐标．一一判断即可．
【详解】A：若a、b为负数，如，但，∴此选项为假命题；
B：相等的角不一定是对顶角，如平行线中的同位角，∴此选项为假命题；
C：当时，，两者相等；当时，无意义，但命题中隐含，∴成立，∴此选项为真命题；
D：点关于y轴对称的点为，而非，∴此选项为假命题．
故选：C．
6．D
【分析】本题考查了点坐标规律探索、点坐标与轴对称变换，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先求出第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标，再归纳类推出一般规律，由此即可得．
【详解】解：由题意可知，经过第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标为，
第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标为，
第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标为，
第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标为，
第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标为，
归纳类推得：轴对称变换后所得的点的对应点坐标按，，，循环，以4次为一个周期，
∵，
∴第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标与第次轴对称变换后所得的点的对应点坐标相同，即为，
故选：D．
7．A
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟知角平分线的性质是解题的关键．根据角平分线的性质得出点到轴的距离为3，再结合点到轴的距离得出点的坐标即可．
【详解】解：平分，，
点到的距离与的长相等．
又，
点的纵坐标为3．
点到轴的距离是4，
点的横坐标为，
点的坐标为．
故选：．
8．D
【分析】本题考查了全等三角形的性质．
分两种情况根据全等三角形的性质作答即可．
【详解】解：∵四边形是长方形，，，
∴，，
当与全等时，或，
当时，，但此时；
当时，，即点的坐标为；
故选：D．
9．B
【分析】本题考查了旋转性质，坐标与图形，全等三角形的性质．
根据旋转的性质得到，即，，根据第二象限的坐标特征作答即可．
【详解】解：依题意，将绕点逆时针旋转，得，如图：
．
，．
点在第二象限，
．
故选：B．
10．D
【分析】本题考查坐标与图形，过点作，则：，根据轴，得到，，进而求出点B的坐标即可．
【详解】解：∵轴，，
∴，
过点作，则轴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，即：；
故选D．
11．
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，关键是熟练应用知识点解题；点关于原点对称的点的坐标特征是横坐标和纵坐标都取相反数．
【详解】解：∵点与对称点关于原点对称，
∴对称点坐标为，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了坐标轴上点的坐标特征．根据y轴上点的横坐标为0，建立方程求解，即可作答．
【详解】解：∵点在轴上，
∴横坐标，
解得，
故答案为：
13．
【分析】本题主要考查了点的坐标问题，解题的关键是明确第二象限的符号，根据点在第二象限内，那么横坐标小于0，纵坐标大于0求解即可．
【详解】解：∵点在第二象限，
∴，
故答案为：．
14．．
【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，坐标与图形性质，关键是由勾股定理求出的长．由菱形的性质得到，推出，由点的坐标，得到，由勾股定理求出，得到，求出，可得结论．
【详解】解：如图，交轴于，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∵点的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为；
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，将线段绕点逆时针旋转得到，过点作轴于点，则，由旋转的性质得出，，则为等腰直角三角形，求出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到，过点作轴于点，则，
，
∵点的坐标为，
∴，
由旋转的性质可得，，
∴为等腰直角三角形，
∴由勾股定理得，
∴点对应点的坐标为，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查坐标与轴对称，代数式求值．根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出的值，再代值计算即可．
【详解】解：∵点与关于x轴对称，
∴，
∴，
∴．
17．(1)见解析；
(2)，．
【分析】本题考查了作图-基本作图、关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是根据题意准确画出图形．
（1）根据尺规作图过点画直线的垂线即可；
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特点进行解答．
【详解】（1）解：如图所示

（2）解：由题意可知：，，
解得：，
18．图见解析，点D的坐标为，E的坐标为
【分析】本题主要考查了三角形的中线、三角形的高，熟练掌握相关知识是解题关键．
首先确定的中点的位置，连接即可；根据三角形的高的定义，作出边上的高即可；结合图形确定点D、E的坐标即可．
【详解】解：如图，，，即为所求．
由图得，点D的坐标为，E的坐标为．
19．(1)4，
(2)①；②的最小值为
(3)
【分析】本题主要考查坐标与图形，轴对称，三角形面积等知识，正确理解题意是解答本题的关键．
（1）根据非负数的性质可求出的值；
（2）①由点得，故可得；
②作点关于轴的对称点,连接，根据两点之间线段最短得的最小值为，根据两点间距离公式可求出；
（3）由点结合三角形面积公式可得．
【详解】（1）解：∵，
∴
∴，
故答案为：4，；
（2）解：①由（1）得，
又轴，
∴，
∴；
②作点关于轴的对称点,连接，根据两点之间线段最短得的最小值为，
∵，
∴，
∵
∴，
∴的最小值为；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴
∴．
20．(1)；
(2)见解析
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形，全等三角形的性质与判定和坐标与图形性质，正确画出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
（1）过点A作轴，可证，根据全等三角形对应边相等即可求出答案；
（2）延长、交于点F，可证，可证，即可证明结论．
【详解】（1）解：如图，过点A作轴，
∵点A的坐标是，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴点C的坐标为，，
∴点B的坐标为，
综上∶点B的坐标为，点C的坐标为．
（2）解：如图，延长、交于点F，
∵是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵轴，
∴
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
21．
【分析】本题主要考查图形与坐标、四边形的内角和等于、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
先过点作轴交于点，轴交于点，求出、，再通过，求出、、、的值，然后通过，推出，最后证明，通过等量代换求解即可．
【详解】解：过点作轴交于点，轴交于点，
∵轴，轴，
∴，
∵四边形的内角和为，
∴，
∴
∵，
∴，，
∴，，，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
，
．

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