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浙教版数学八年级下册期中模拟测试 三[范围：1-3章]
一、选择题(每题3分,共30分)
1．下列各式中，一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．某射击队员打靶成绩为6，7，8，8，9，10环，则这组数据的下四分位数为（　　）
A．7 B．8 C．8.5 D．9
3．小明运用配方法求解一元二次方程，其步骤如下，在进行最终验算时，发现所得结果有误，计算开始出现错误的步骤为(　　)
解：
即
x-1=③
A．① B．② C．③ D．④
4．如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有六种正方形纸片，面积分别是3，4，5，6，8，10，选取其中三块（不可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最小的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（　　）
A．3，4，5 B．3，5，8 C．4，6，10 D．6，8，10
5．当式子的值取最小值时，a的取值为（　　）
A．0 B． C．﹣1 D．1
6．已知关于x的一元二次方程（1﹣k）x2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的最大整数值是（　　）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
7．如图所示，某小区规划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草；如果使草坪部分的总面积为 设小路的宽为 xm，那么x满足的方程是(　　)
A． B．
C． D．
8．若将排序后的数据分为两组，计算组内离差平方和时需（　　)。
A．仅计算第一组的离差平方和 B．计算两组离差平方和的总和
C．仅计算最大值与最小值的差 D．计算两组离差平方和的平均数
9．已知，则的值为（　　）
A． B． C．2025 D．4050
10．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（　　）个；
①方程是倍根方程；
②若是倍根方程，则；
③若p、q满足，则关于x的方程是倍根方程；
④若方程是倍根方程，则必有．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(每题3分,共18分)
11． 化简的结果是　 　.
12． 已知关于 x 的一元二次方程 的一个根为 1，则 m = 　 　．
13．某单位要买一批直径为20 mm的零件，现有A，B两个零件加工厂，他们生产所需的材料相同，价格也相同，现分别从两个厂的产品中随机抽取10个零件，测得它们的直径，数据绘制成箱线图如图，你认为该单位应该选择购买　 　厂生产的这批零件.
14． 若x1，x2 是一元二次方程； 的两个实数根，则. 　 　。
15． 如图，在一次春游活动中，某中学八(1)班学生从A 地出发，沿北偏东 52°方向走了600 m到达 B地，然后由 B 地沿北偏西38°方向走了( 到达目的地点C，则A，C两地之间的距离为　 　.
16．关于x的方程 的解是 (a、b、m均为常数，a≠0)，则方程 的解是　 　．
三、解答题(17-21每题8分,22,23每题10分,24题12分,共72分)
17．解方程：
（1）；
（2）．
18．计算 的值时，小亮的解题过程如下：
解：
①
②
③
④
（1）老师认为小亮的解法有错，请你指出：小亮是从第　 　步开始出错的。
（2）请你给出正确的解题过程。
19．某市12月16~31日每日的最高气温（单位：℃)依次如下：
5，3，2，2，2，2，3，3，5，5，-2，-2，-5，-1，-1，-1。
求这组数据的四分位数：m25，m50，m75。
20．要焊接一个如图所示的钢架，图中于点，且．问：做这个钢架需要钢材多少米（不计焊接损耗）
21．
（1）求代数式的值，其中．
如图是小亮和小芳的解答过程：
　 　（填“小亮”或“小芳”）的解法是错误的，错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质：（填字母）　 　．
A． B．
（2）化简：．
22．综合与实践：洗衣粉售价方案设计
某厂家生产的一种洗衣粉采用A、B两种包装，当前销售的相关信息如下表：
包装规格
含量（千克／袋） 2 1
成本（元／袋） 10 5
售价（元／袋） 25 17
日销量（袋） 60 40
该厂家经市场调研发现适当提升包装洗衣粉售价可以增加每日利润，已知售价每提升1元会少卖2袋。一段时间后，由于产能下降，厂家决定每日定额生产150千克的洗衣粉（当日全部售出）。另外厂家下调了包装洗衣粉的售价，已知其售价每降低1元会多卖2袋。
根据以上信息解决问题：
设包装洗衣粉每袋售价提高元（）。
（1）问该厂家每日销售包装洗衣粉的利润能否达到1000元？若能，请求出包装洗衣粉的售价；若不能，请说明理由．
（2）当厂家每日定额产销150千克洗衣粉时，设包装洗衣粉每袋售价降低元（）。
①求关于的函数关系．
②请通过计算判断厂家销售两种包装洗衣粉的日总利润能否达到1450元？
23．【数据观念】艺术测评主要是为掌握学生艺术素养发展状况，改进美育教学.某校根据义务教育阶段音乐、美术等学科的课程标准，在九年级随机抽取了若干名学生进行艺术测评与分析，下面是对九（1）班抽测到的10名学生的测评分值的数据分析过程：
【收集与整理】10名学生的测评分值分组统计如下：
分组方式 组别 测评分值
方式一（按平均分相同分组） Ⅰ组 80，85，85，90，100
Ⅱ组 80，85，90，90，95
方式二（按分数段分组） 甲组 80，80，85，85，85
乙组 90，90，90，95，100
【描述与分析】
分组数据统计量分析表
分组方式 组别 中位数 众数 方差 组内离差平方和
方式一 Ⅰ组 85 46 360
Ⅱ组 90 90 26
方式二 甲组 85 85 6 110
乙组 90 16
说明：组内离差平方和表达了各小组内数据的离散程度.它的值越小，说明这种分组方式中同组成员之间的水平越接近.
根据以上信息，解答下面问题：
（1）扇形统计图中“100分”对应的圆心角度数为　 　 ；
（2） 　 　，　 　.
（3）【判断与决策】
为深入推进小组学习，促进同学间的互帮互助、共同进步，请你根据以上信息，选择一种利于开展小组学习的分组方式，并说明你这样选择的理由.
24．定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即，若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”．
（1）“全整根方程”的“最值码”是______．
（2）若（1）中的方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”，求的值．
（3）若关于的一元二次方程是（均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：A：-2＜0，所以不是二次根式，故A不符合题意；
B：的根指数是3，不是二次根式，故B不符合题意；
C：当a+1＜0，即a＜-1时，不是二次根式，故C不符合题意；
D：是二次根式，所以D符合题意。
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的定义，逐项进行识别，即可得出答案。
2．【答案】A
【知识点】四分位数
【解析】【解答】解：∵数据已排序：6， 7， 8， 8， 9， 10．
∴ 中位数为．
∵下半部分数据为前3个：6， 7， 8．
∴ 下四分位数为7，
故选：A．
【分析】根据下四分位数的定义即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，方程两边同时除以2，得到，因此①错误。
故答案为：A.
【分析】等式两边同时除以同一个不为0的数，等式不变。本题在解一元二次方程时，第一步是方程两边同时除以2，得到等式方程，与步骤①对比发现此步骤错误。
4．【答案】B
【知识点】二次根式的乘除混合运算；勾股定理；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、选择面积为卡片，
∴对应正方形的边长为，
∵，
∴不能构成直角三角形，A选项不符合题意；
B、选择面积为卡片，
∴对应正方形的边长分别为，
∵，
∴围成直角三角形的面积为；
C、选择面积为卡片，
∴对应正方形的边长分别为，
∵，
∴能构成直角三角形，
∴围成的面积为；
D、选择面积为卡片，
∴对应正方形的边长分别为，
∵，
∴不能构成直角三角形，D选项不符合题意；
∵，
∴要使所围成的三角形是面积最小的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是3，5，8，
故选：B ．
【分析】根据勾股定理逆定理，结合正方形性质逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵，
∴时为最小值.
即：，
∴.
故选B.
【分析】根据二次根式的非负性即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程(1-k)x2-2x-1=0有两个不相等的实数根
∴△=4+4(1-k)>0且1-k≠0
解得k<2且k≠1，
∴k的最大整数值是0.
故答案为：C .
【分析】先根据一元二次方程定义确定二次项系数不为0，再利用根的判别式△>0求出k的取值范围，最后确定k的最大整数值。
7．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设小路的宽为m，将三条小路进行平移，可将草坪拼接成一个新的矩形，
则新矩形的长为m，宽为m，
∵草坪的总面积为，
得，
展开整理：，
，
两边同时除以2得：。
故答案为：B
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用——面积问题，利用平移法将分散的草坪拼接成一个完整的矩形，可简化计算，根据小路的宽度求出拼接后矩形草坪的长和宽，再结合矩形的面积公式列出关于的方程，将方程展开并整理为一般形式，即可得到满足的方程。
8．【答案】B
【知识点】离差平方和
【解析】【解答】解：总离差平方和是数据中所有观测值与总体均值的离差平方和.当数据被分为两组后，总离差平方和等于组内离差平方和与组间离差平方和之和.因此，计算总离差平方和时需将两组的离差平方和相加.
故答案为：B.
【分析】根据总离差平方和的定义解答即可.
9．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；解一元一次不等式组；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴，解得：，
∴，
∴
故答案为：B.
【分析】先根据有意义，求出x，再求出y，然后代入求值.
10．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：①解方程（x-2）（x+1）=0，
∴x-2=0或x+1=0，解得，，，得，，
方程不是倍根方程；故①不正确；
②若是倍根方程，，所以或，
当时，，当时，，
，故②正确；
③∵pq=2，则：，
，，
，
所以是倍根方程，故③正确；
④方程的根为：，，
若，则，
即，
，
，
，
，
．
若时，则，，
则，
，
，
，
，
．
故④正确，
正确的有：②③④共3个．
故选：C．
【分析】理解倍根方程的定义（即两根呈倍数关系），掌握一元二次方程的解法（因式分解、求根公式）是解决此类问题的核心。需注意验证步骤的严谨性，确保推导条件与结论的充分必要性。①解给定方程，根据解的情况判断是否满足倍根方程的定义；②若已知其中一个根，利用倍根关系可确定另一根，从而建立m与n的关联式，验证其正确性；③当满足时，将方程因式分解为，求出两根后结合推导根的关系，验证倍根条件；④通过求根公式得到方程的两根，若存在或的关系，化简后分析参数关系是否成立。
11．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵π>3
∴
故答案为：.
【分析】根据公式，然后判断绝对值内的正负性，根据绝对值的性质去掉绝对值即可.
12．【答案】2
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：把x=1代入方程得：1-(m+2)+3=0，
去括号得：1-m-2+3=0，
解得：m=2
故答案为：2 .
【分析】将方程的根x=1代入原方程，得到关于m的一元一次方程，求解即可。
13．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；方差；箱线图
【解析】【解答】解：A厂生产的10个零件直径的平均数为：(20.2+19.8+20.2+20.2+19.8+19.7+20+20.1+19.7+20.3)÷10=20(mm)，
B厂生产的10个零件直径的平均数为：(20.1+19.9+20+20.1+20+19.9+19.8+19.9+20+20.1)÷10
A厂生产的10个零件直径的方差为： [
=0.048，
=0.01，
∴B厂生产的10个零件的直径更稳定在20mm附近，
∴该单位应该选择购买B厂生产的这批零件.
故答案为：B.
【分析】方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.根据方差的定义分别求出两个厂生产的10个零件直径的方差，然后得出结论即可.
14．【答案】2026
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意可得：
2026
故答案为：2026
【分析】根据二次方程根与系数的关系即可求出答案.
15．【答案】1800m
【知识点】二次根式的实际应用；勾股定理
【解析】【解答】解：
如图，连结AC
根据题意，得∠DAB=52°，∠EBC=38°.
∵EF∥AD，
∴∠FBA=∠DAB=52°，
∴∠ABC=180°-(∠EBC+∠FBA)=90°.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=====×=600×3=1800(m).
故A，C两地之间的距离为1800 m.
故答案为：1800m.
【分析】根据题意得Rt△ABC，再根据勾股定理计算出AC的长.
16．【答案】
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程可整理为 ，
根据题意得到x-1=-2或x-1=4，
解得 ，
故答案为：.
【分析】方程化为，根据题意可得x-1=-2或x-1=4，求出x的值解答即可.
17．【答案】（1）解：，
，
∴，；
（2）解：，
，
或，
∴，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】
（）先把两边的公因数约去，再利用直接开平方法求解即可；
（）当方程两边有公因式时，先移项再提公因式求解即可．
（1）解：
，
，
∴，；
（2）解：，
，
或，
∴，．
18．【答案】（1）③
（2）解：原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）第③步中没有化为最简二次根式合并，
故答案为：③；
【分析】(1)根据二次根式的混合运算的运算顺序进行判断即可；
(2)根据二次根式的混合运算的运算顺序和运算法则进行计算即可.
19．【答案】解：将这组数据按从小到大排列为：-5，-2，-2，-1，-1，-1，2，2，2，2，3，3，3，5，5，5，∴第4和第5个数分别是-1，-1，即m25=-1；
第8和第9个数分别是2，2，即m50=2；
第12和第13个数分别是3，3，即m75=3
【知识点】四分位数
【解析】【分析】根据四分位数的定义计算即可.
20．【答案】解：∵BD⊥AC于点D，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
在Rt△BDC中，BD=2，CD=1，
∴BC=，
∵BD：AD=1：2，
∴AD=2BD=2×2=4，
在Rt△ABD中，BD=2，AD=4，
AB=，
∴ 做这个钢架需要钢材：AB+BC+CD+AD+BD=++1+4+2=(7+)m.
答：做这个钢架需要钢材(7+)m.
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的实际应用；勾股定理的应用
【解析】【分析】先根据BD：AD=1：2求出AD的长度，再用勾股定理算出斜边AB和BC的长度，最后把钢架的所有边长相加得到总钢材长度。
21．【答案】（1）小亮；A
（2）解：，
∴当时，原式；当时，原式．
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1）小亮的解法是错误的，错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质；
故答案为：小亮，A。
【分析】(1)先把根号里的式子化为完全平方形式，再根据二次根式性质化简。当a=1012>1时，，小亮直接去掉绝对值写成1-a，忽略了1-a为负数，所以小亮的解法错误，错误原因是未正确运用(选项A)；
(2)先把根号内的式子 配方成，再根据 写成，最后根据 a 与 3 的大小关系去掉绝对值符号。
22．【答案】（1）解：能，由题意可得，
解，得．
包装洗衣粉的售价为30或35元
（2）①由题意可得，
化简，得
②日总利润为
即
此时，所以达不到1450元
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A包装洗衣粉每袋售价提高x元，则每袋A包装洗衣粉的利润为(25+x-10)元，由“ A包装洗衣粉售价每提升1元会少卖2袋 ”可得A包装洗衣粉每天的销售数量为(60-2x)袋，根据每袋洗衣粉的利润×每天销售数量=每天销售A包装洗衣粉获取的总利润，建立方程，求解并检验即可；
（2）①设B包装洗衣粉每袋销售价格降低y元，则每天可销售B包装洗衣粉的质量为1×(40+2y)千克；每天销售A包装洗衣粉的质量为2(60-2x)千克，根据销售两种包装洗衣粉的总质量等于厂家每天定额生产的洗衣粉的总质量，列出y与x的关系式，进而再用含x的式子表示出y即可；
②根据每袋利润×每天销售数量=每天获取的总利润，由每天销售(40+2y)袋B包装洗衣粉的利润+每天销售(60-2x)袋A包装洗衣粉的利润=1450建立出方程，然后根据根的判别式判断该方程是否有实数根即可得出答案.
23．【答案】（1）36
（2）85；90
（3）解：方式二利于开展小组学习，
由表知，方式二的组内离差平方和小于方式一，更利于开展小组学习，促进同学间的互帮互助、共同进步.
【知识点】扇形统计图；中位数；众数；离差平方和
【解析】【解答】解：（1）扇形统计图中“100分”对应的圆心角度数为
故答案为：36°
（2）方式一中Ⅰ组的数据中，处在最中间的为为85，则m=85
方式二中乙组数据中出现次数最多的为90，则n=90
故答案为：85；90
【分析】（1）根据360°乘以100分的占比即可求出答案.
（2）根据中位数，众数的定义即可求出答案.
（3）根据组内离差平方和意义进行分析即可求出答案.
24．【答案】（1）
（2）解：∵关于x的一元二次方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”，
∴，
∴，解得：；
（3）解：对于方程，，，，
，
，
，
．
对于方程，，，，
，
，
．
∵方程是方程的“全整根伴侣方程”，
，
，
∴，
∴，
或．
、均为正整数，
不符合题意，
，
∴的值为2．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）在关于x的一元二次方程中，，，
，
，
，
“全整根方程”的“最值码”是．
故答案为：．
【分析】（1）利用“最值码”定义求解．
（2）利用 “全整根伴侣方程” 定义可得，转化为关于a的方程求解．
（3）分别求出两方程的最值码，根据，即可得出的值．
（1）解：在关于x的一元二次方程中，，，
，
，
，
“全整根方程”的“最值码”是．
故答案为：．
（2）解：∵关于x的一元二次方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”，
∴，
∴，
解得；
（3）解：对于方程，，，，
，
，
，
．
对于方程，，，，
，
，
．
∵方程是方程的“全整根伴侣方程”，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
或．
、均为正整数，
不符合题意，
，
故的值为2．
1 / 1浙教版数学八年级下册期中模拟测试 三[范围：1-3章]
一、选择题(每题3分,共30分)
1．下列各式中，一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：A：-2＜0，所以不是二次根式，故A不符合题意；
B：的根指数是3，不是二次根式，故B不符合题意；
C：当a+1＜0，即a＜-1时，不是二次根式，故C不符合题意；
D：是二次根式，所以D符合题意。
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的定义，逐项进行识别，即可得出答案。
2．某射击队员打靶成绩为6，7，8，8，9，10环，则这组数据的下四分位数为（　　）
A．7 B．8 C．8.5 D．9
【答案】A
【知识点】四分位数
【解析】【解答】解：∵数据已排序：6， 7， 8， 8， 9， 10．
∴ 中位数为．
∵下半部分数据为前3个：6， 7， 8．
∴ 下四分位数为7，
故选：A．
【分析】根据下四分位数的定义即可求出答案.
3．小明运用配方法求解一元二次方程，其步骤如下，在进行最终验算时，发现所得结果有误，计算开始出现错误的步骤为(　　)
解：
即
x-1=③
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，方程两边同时除以2，得到，因此①错误。
故答案为：A.
【分析】等式两边同时除以同一个不为0的数，等式不变。本题在解一元二次方程时，第一步是方程两边同时除以2，得到等式方程，与步骤①对比发现此步骤错误。
4．如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有六种正方形纸片，面积分别是3，4，5，6，8，10，选取其中三块（不可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最小的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（　　）
A．3，4，5 B．3，5，8 C．4，6，10 D．6，8，10
【答案】B
【知识点】二次根式的乘除混合运算；勾股定理；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、选择面积为卡片，
∴对应正方形的边长为，
∵，
∴不能构成直角三角形，A选项不符合题意；
B、选择面积为卡片，
∴对应正方形的边长分别为，
∵，
∴围成直角三角形的面积为；
C、选择面积为卡片，
∴对应正方形的边长分别为，
∵，
∴能构成直角三角形，
∴围成的面积为；
D、选择面积为卡片，
∴对应正方形的边长分别为，
∵，
∴不能构成直角三角形，D选项不符合题意；
∵，
∴要使所围成的三角形是面积最小的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是3，5，8，
故选：B ．
【分析】根据勾股定理逆定理，结合正方形性质逐项进行判断即可求出答案.
5．当式子的值取最小值时，a的取值为（　　）
A．0 B． C．﹣1 D．1
【答案】B
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵，
∴时为最小值.
即：，
∴.
故选B.
【分析】根据二次根式的非负性即可求出答案.
6．已知关于x的一元二次方程（1﹣k）x2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的最大整数值是（　　）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程(1-k)x2-2x-1=0有两个不相等的实数根
∴△=4+4(1-k)>0且1-k≠0
解得k<2且k≠1，
∴k的最大整数值是0.
故答案为：C .
【分析】先根据一元二次方程定义确定二次项系数不为0，再利用根的判别式△>0求出k的取值范围，最后确定k的最大整数值。
7．如图所示，某小区规划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草；如果使草坪部分的总面积为 设小路的宽为 xm，那么x满足的方程是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设小路的宽为m，将三条小路进行平移，可将草坪拼接成一个新的矩形，
则新矩形的长为m，宽为m，
∵草坪的总面积为，
得，
展开整理：，
，
两边同时除以2得：。
故答案为：B
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用——面积问题，利用平移法将分散的草坪拼接成一个完整的矩形，可简化计算，根据小路的宽度求出拼接后矩形草坪的长和宽，再结合矩形的面积公式列出关于的方程，将方程展开并整理为一般形式，即可得到满足的方程。
8．若将排序后的数据分为两组，计算组内离差平方和时需（　　)。
A．仅计算第一组的离差平方和 B．计算两组离差平方和的总和
C．仅计算最大值与最小值的差 D．计算两组离差平方和的平均数
【答案】B
【知识点】离差平方和
【解析】【解答】解：总离差平方和是数据中所有观测值与总体均值的离差平方和.当数据被分为两组后，总离差平方和等于组内离差平方和与组间离差平方和之和.因此，计算总离差平方和时需将两组的离差平方和相加.
故答案为：B.
【分析】根据总离差平方和的定义解答即可.
9．已知，则的值为（　　）
A． B． C．2025 D．4050
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；解一元一次不等式组；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴，解得：，
∴，
∴
故答案为：B.
【分析】先根据有意义，求出x，再求出y，然后代入求值.
10．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（　　）个；
①方程是倍根方程；
②若是倍根方程，则；
③若p、q满足，则关于x的方程是倍根方程；
④若方程是倍根方程，则必有．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：①解方程（x-2）（x+1）=0，
∴x-2=0或x+1=0，解得，，，得，，
方程不是倍根方程；故①不正确；
②若是倍根方程，，所以或，
当时，，当时，，
，故②正确；
③∵pq=2，则：，
，，
，
所以是倍根方程，故③正确；
④方程的根为：，，
若，则，
即，
，
，
，
，
．
若时，则，，
则，
，
，
，
，
．
故④正确，
正确的有：②③④共3个．
故选：C．
【分析】理解倍根方程的定义（即两根呈倍数关系），掌握一元二次方程的解法（因式分解、求根公式）是解决此类问题的核心。需注意验证步骤的严谨性，确保推导条件与结论的充分必要性。①解给定方程，根据解的情况判断是否满足倍根方程的定义；②若已知其中一个根，利用倍根关系可确定另一根，从而建立m与n的关联式，验证其正确性；③当满足时，将方程因式分解为，求出两根后结合推导根的关系，验证倍根条件；④通过求根公式得到方程的两根，若存在或的关系，化简后分析参数关系是否成立。
二、填空题(每题3分,共18分)
11． 化简的结果是　 　.
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵π>3
∴
故答案为：.
【分析】根据公式，然后判断绝对值内的正负性，根据绝对值的性质去掉绝对值即可.
12． 已知关于 x 的一元二次方程 的一个根为 1，则 m = 　 　．
【答案】2
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：把x=1代入方程得：1-(m+2)+3=0，
去括号得：1-m-2+3=0，
解得：m=2
故答案为：2 .
【分析】将方程的根x=1代入原方程，得到关于m的一元一次方程，求解即可。
13．某单位要买一批直径为20 mm的零件，现有A，B两个零件加工厂，他们生产所需的材料相同，价格也相同，现分别从两个厂的产品中随机抽取10个零件，测得它们的直径，数据绘制成箱线图如图，你认为该单位应该选择购买　 　厂生产的这批零件.
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；方差；箱线图
【解析】【解答】解：A厂生产的10个零件直径的平均数为：(20.2+19.8+20.2+20.2+19.8+19.7+20+20.1+19.7+20.3)÷10=20(mm)，
B厂生产的10个零件直径的平均数为：(20.1+19.9+20+20.1+20+19.9+19.8+19.9+20+20.1)÷10
A厂生产的10个零件直径的方差为： [
=0.048，
=0.01，
∴B厂生产的10个零件的直径更稳定在20mm附近，
∴该单位应该选择购买B厂生产的这批零件.
故答案为：B.
【分析】方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.根据方差的定义分别求出两个厂生产的10个零件直径的方差，然后得出结论即可.
14． 若x1，x2 是一元二次方程； 的两个实数根，则. 　 　。
【答案】2026
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意可得：
2026
故答案为：2026
【分析】根据二次方程根与系数的关系即可求出答案.
15． 如图，在一次春游活动中，某中学八(1)班学生从A 地出发，沿北偏东 52°方向走了600 m到达 B地，然后由 B 地沿北偏西38°方向走了( 到达目的地点C，则A，C两地之间的距离为　 　.
【答案】1800m
【知识点】二次根式的实际应用；勾股定理
【解析】【解答】解：
如图，连结AC
根据题意，得∠DAB=52°，∠EBC=38°.
∵EF∥AD，
∴∠FBA=∠DAB=52°，
∴∠ABC=180°-(∠EBC+∠FBA)=90°.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=====×=600×3=1800(m).
故A，C两地之间的距离为1800 m.
故答案为：1800m.
【分析】根据题意得Rt△ABC，再根据勾股定理计算出AC的长.
16．关于x的方程 的解是 (a、b、m均为常数，a≠0)，则方程 的解是　 　．
【答案】
【知识点】换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程可整理为 ，
根据题意得到x-1=-2或x-1=4，
解得 ，
故答案为：.
【分析】方程化为，根据题意可得x-1=-2或x-1=4，求出x的值解答即可.
三、解答题(17-21每题8分,22,23每题10分,24题12分,共72分)
17．解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
，
∴，；
（2）解：，
，
或，
∴，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】
（）先把两边的公因数约去，再利用直接开平方法求解即可；
（）当方程两边有公因式时，先移项再提公因式求解即可．
（1）解：
，
，
∴，；
（2）解：，
，
或，
∴，．
18．计算 的值时，小亮的解题过程如下：
解：
①
②
③
④
（1）老师认为小亮的解法有错，请你指出：小亮是从第　 　步开始出错的。
（2）请你给出正确的解题过程。
【答案】（1）③
（2）解：原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）第③步中没有化为最简二次根式合并，
故答案为：③；
【分析】(1)根据二次根式的混合运算的运算顺序进行判断即可；
(2)根据二次根式的混合运算的运算顺序和运算法则进行计算即可.
19．某市12月16~31日每日的最高气温（单位：℃)依次如下：
5，3，2，2，2，2，3，3，5，5，-2，-2，-5，-1，-1，-1。
求这组数据的四分位数：m25，m50，m75。
【答案】解：将这组数据按从小到大排列为：-5，-2，-2，-1，-1，-1，2，2，2，2，3，3，3，5，5，5，∴第4和第5个数分别是-1，-1，即m25=-1；
第8和第9个数分别是2，2，即m50=2；
第12和第13个数分别是3，3，即m75=3
【知识点】四分位数
【解析】【分析】根据四分位数的定义计算即可.
20．要焊接一个如图所示的钢架，图中于点，且．问：做这个钢架需要钢材多少米（不计焊接损耗）
【答案】解：∵BD⊥AC于点D，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
在Rt△BDC中，BD=2，CD=1，
∴BC=，
∵BD：AD=1：2，
∴AD=2BD=2×2=4，
在Rt△ABD中，BD=2，AD=4，
AB=，
∴ 做这个钢架需要钢材：AB+BC+CD+AD+BD=++1+4+2=(7+)m.
答：做这个钢架需要钢材(7+)m.
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的实际应用；勾股定理的应用
【解析】【分析】先根据BD：AD=1：2求出AD的长度，再用勾股定理算出斜边AB和BC的长度，最后把钢架的所有边长相加得到总钢材长度。
21．
（1）求代数式的值，其中．
如图是小亮和小芳的解答过程：
　 　（填“小亮”或“小芳”）的解法是错误的，错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质：（填字母）　 　．
A． B．
（2）化简：．
【答案】（1）小亮；A
（2）解：，
∴当时，原式；当时，原式．
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1）小亮的解法是错误的，错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质；
故答案为：小亮，A。
【分析】(1)先把根号里的式子化为完全平方形式，再根据二次根式性质化简。当a=1012>1时，，小亮直接去掉绝对值写成1-a，忽略了1-a为负数，所以小亮的解法错误，错误原因是未正确运用(选项A)；
(2)先把根号内的式子 配方成，再根据 写成，最后根据 a 与 3 的大小关系去掉绝对值符号。
22．综合与实践：洗衣粉售价方案设计
某厂家生产的一种洗衣粉采用A、B两种包装，当前销售的相关信息如下表：
包装规格
含量（千克／袋） 2 1
成本（元／袋） 10 5
售价（元／袋） 25 17
日销量（袋） 60 40
该厂家经市场调研发现适当提升包装洗衣粉售价可以增加每日利润，已知售价每提升1元会少卖2袋。一段时间后，由于产能下降，厂家决定每日定额生产150千克的洗衣粉（当日全部售出）。另外厂家下调了包装洗衣粉的售价，已知其售价每降低1元会多卖2袋。
根据以上信息解决问题：
设包装洗衣粉每袋售价提高元（）。
（1）问该厂家每日销售包装洗衣粉的利润能否达到1000元？若能，请求出包装洗衣粉的售价；若不能，请说明理由．
（2）当厂家每日定额产销150千克洗衣粉时，设包装洗衣粉每袋售价降低元（）。
①求关于的函数关系．
②请通过计算判断厂家销售两种包装洗衣粉的日总利润能否达到1450元？
【答案】（1）解：能，由题意可得，
解，得．
包装洗衣粉的售价为30或35元
（2）①由题意可得，
化简，得
②日总利润为
即
此时，所以达不到1450元
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A包装洗衣粉每袋售价提高x元，则每袋A包装洗衣粉的利润为(25+x-10)元，由“ A包装洗衣粉售价每提升1元会少卖2袋 ”可得A包装洗衣粉每天的销售数量为(60-2x)袋，根据每袋洗衣粉的利润×每天销售数量=每天销售A包装洗衣粉获取的总利润，建立方程，求解并检验即可；
（2）①设B包装洗衣粉每袋销售价格降低y元，则每天可销售B包装洗衣粉的质量为1×(40+2y)千克；每天销售A包装洗衣粉的质量为2(60-2x)千克，根据销售两种包装洗衣粉的总质量等于厂家每天定额生产的洗衣粉的总质量，列出y与x的关系式，进而再用含x的式子表示出y即可；
②根据每袋利润×每天销售数量=每天获取的总利润，由每天销售(40+2y)袋B包装洗衣粉的利润+每天销售(60-2x)袋A包装洗衣粉的利润=1450建立出方程，然后根据根的判别式判断该方程是否有实数根即可得出答案.
23．【数据观念】艺术测评主要是为掌握学生艺术素养发展状况，改进美育教学.某校根据义务教育阶段音乐、美术等学科的课程标准，在九年级随机抽取了若干名学生进行艺术测评与分析，下面是对九（1）班抽测到的10名学生的测评分值的数据分析过程：
【收集与整理】10名学生的测评分值分组统计如下：
分组方式 组别 测评分值
方式一（按平均分相同分组） Ⅰ组 80，85，85，90，100
Ⅱ组 80，85，90，90，95
方式二（按分数段分组） 甲组 80，80，85，85，85
乙组 90，90，90，95，100
【描述与分析】
分组数据统计量分析表
分组方式 组别 中位数 众数 方差 组内离差平方和
方式一 Ⅰ组 85 46 360
Ⅱ组 90 90 26
方式二 甲组 85 85 6 110
乙组 90 16
说明：组内离差平方和表达了各小组内数据的离散程度.它的值越小，说明这种分组方式中同组成员之间的水平越接近.
根据以上信息，解答下面问题：
（1）扇形统计图中“100分”对应的圆心角度数为　 　 ；
（2） 　 　，　 　.
（3）【判断与决策】
为深入推进小组学习，促进同学间的互帮互助、共同进步，请你根据以上信息，选择一种利于开展小组学习的分组方式，并说明你这样选择的理由.
【答案】（1）36
（2）85；90
（3）解：方式二利于开展小组学习，
由表知，方式二的组内离差平方和小于方式一，更利于开展小组学习，促进同学间的互帮互助、共同进步.
【知识点】扇形统计图；中位数；众数；离差平方和
【解析】【解答】解：（1）扇形统计图中“100分”对应的圆心角度数为
故答案为：36°
（2）方式一中Ⅰ组的数据中，处在最中间的为为85，则m=85
方式二中乙组数据中出现次数最多的为90，则n=90
故答案为：85；90
【分析】（1）根据360°乘以100分的占比即可求出答案.
（2）根据中位数，众数的定义即可求出答案.
（3）根据组内离差平方和意义进行分析即可求出答案.
24．定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即，若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”．
（1）“全整根方程”的“最值码”是______．
（2）若（1）中的方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”，求的值．
（3）若关于的一元二次方程是（均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值．
【答案】（1）
（2）解：∵关于x的一元二次方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”，
∴，
∴，解得：；
（3）解：对于方程，，，，
，
，
，
．
对于方程，，，，
，
，
．
∵方程是方程的“全整根伴侣方程”，
，
，
∴，
∴，
或．
、均为正整数，
不符合题意，
，
∴的值为2．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）在关于x的一元二次方程中，，，
，
，
，
“全整根方程”的“最值码”是．
故答案为：．
【分析】（1）利用“最值码”定义求解．
（2）利用 “全整根伴侣方程” 定义可得，转化为关于a的方程求解．
（3）分别求出两方程的最值码，根据，即可得出的值．
（1）解：在关于x的一元二次方程中，，，
，
，
，
“全整根方程”的“最值码”是．
故答案为：．
（2）解：∵关于x的一元二次方程是关于的一元二次方程的“全整根伴侣方程”，
∴，
∴，
解得；
（3）解：对于方程，，，，
，
，
，
．
对于方程，，，，
，
，
．
∵方程是方程的“全整根伴侣方程”，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
或．
、均为正整数，
不符合题意，
，
故的值为2．
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