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贵州省遵义市红花岗区2025年初中学业水平第一次模拟考试九年级数学试题卷
一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂）
1．（2025·红花岗模拟）下列数中与3相加和为0的是（　　）
A．1 B． C． D．0
2．（2025·红花岗模拟）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·红花岗模拟）今年春节期间，截止到2月5日，全省累计消费金额为12484000000元，12484000000用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·红花岗模拟）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·红花岗模拟）如图，，交于点D，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·红花岗模拟）下列运算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·红花岗模拟）如图，是的直径，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·红花岗模拟）在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．（2025·红花岗模拟）如图为2025年三月份日历，小红用“X”字形框出日历中的5个日期，这五个日期之和不可能是（　　）
A．95 B．60 C．85 D．72
10．（2025·红花岗模拟）小方在学习画角平分线后，想到用三角尺也能画出的角平分线，如图，她将两块三角尺的一直角边分别与角的两边、重合，移动三角尺使得，另两条直角边相交于点，则点一定在的角平分线上．这种做法的理由是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·红花岗模拟）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，以为圆心，为半径画弧，交上方的网格线于点，则的长为（　　）
A． B．3.7 C． D．
12．（2025·红花岗模拟）王明从家步行到公交车站台，然后等公交车去单位．下公交车后又步行了一段路程才到单位．图中的折线表示王明的行程s（米）与所花时间t（分）之间的函数关系．下列说法正确的是（　　）
A．王明等公交车时间为5分钟
B．王明步行的速度是60米/分
C．王明全程的平均速度为290米/分
D．公交车的速度是500米/分
二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分）
13．（2025·红花岗模拟）使代数式 有意义的x的取值范围是　 　．
14．（2025·红花岗模拟）已知是方程的解，则的值是　 　．
15．（2025·红花岗模拟）如图，是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图，窗户的高在教室地面上的影长米，点到墙角的距离米，窗户的下沿到教室地面的距离米（点在同一直线上），则窗户的高为　 　米．
16．（2025·红花岗模拟）如图，一张矩形纸片，厘米，厘米．将边沿折叠，使点落在上的点处，点在边上，打开后，得到折痕，再将沿折叠，使点落在上的点处，点在边上，打开后，得到折痕．则四边形的面积为　 　平方厘米．
三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025·红花岗模拟）（1）计算：；
（2）已知：，，当时，求值．
18．（2025·红花岗模拟）如图，在中，是上一点，为外部一点，连接交于点，，，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
19．（2025·红花岗模拟）为了解九年级学生选中考跳绳项目的训练情况，某校随机抽取了选定跳绳的九年级20名学生进行跳绳测试，并对测试成绩（单位：个）进行了统计分析：
【收集数据】
130，146，155，156，157，178，163，165，170，171
173，173，158，178，178，179，184，186，186，190
【整理数据】
学校规定：为不合格，为合格，为良好，为优秀，为满分（个数用表示）
等次 频数（人数） 频率
不合格 1 0.05
合格 5 0.25
良好 2 0.1
优秀 8 a
满分 4 0.2
合计 20 1
【分析数据】
此组数据的平均数是168.8，众数是，中位数是；
【解决问题】
（1）填空：______，______，______；
（2）若该校九年级选定跳绳项目共有300名学生，估计跳绳项目达到优秀以上成绩的学生约有多少人？
（3）现在从4名（其中3名女生，1名男生）满分学生中随机抽两名学生参加艺术节活动表演，请用列表或树状图求出抽到一男一女的概率是多少？
20．（2025·红花岗模拟）如图，正比例函数与反比例函数交于点和点B．
（1）求，的值；
（2）过点A作轴于点C，连接BC，求面积．
21．（2025·红花岗模拟）今年春节期间，电影《哪吒2》特别火爆，小强一家去某电影院观看此部电影．到了影院后，看到有以下优惠活动方案：
优惠方案一 会员费200元，票价35元/人．
优惠方案二 原票价50元/人，成人原价，学生票价是原价的5折．
（1）若小强一家6人（成人4人，学生2人），他选择哪种优惠方案划算？
（2）若成人人数是学生人数的2倍且两种优惠方案所付票价相等，求成人、学生各多少人？
22．（2025·红花岗模拟）小伟家庭院旁有一段斜坡路，斜坡路的截面如图①所示，为了行走方便，现将此段斜坡路用如图②的长方体石块铺成石台阶如图③所示．经测量，斜坡总长米，坡角为．（参考数据，）
（1）求斜坡的铅垂高是多少米？
（2）若长方体石块的宽为47厘米，一块长方体石块铺一级台阶，一共需要铺设几级台阶？
23．（2025·红花岗模拟）如图，为的直径，E是的中点，垂直于过点E的直线交于点D．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
24．（2025·红花岗模拟）2025年亚洲冬奥会在哈尔滨举行，如图是某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点A做水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者小张从点O正上方A点滑出，滑出后延一段抛物线运动．
（1）当小张滑到离A处的水平距离为6米时，其滑行高度最大为8米，则　 　，　 　；
（2）在（1）的条件下，当小张滑出后离A的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米？
（3）小张若想滑行到最大高度时恰好在坡顶正上方，且与坡顶距离不低于10米，求c的取值范围．
25．（2025·红花岗模拟）如图，在矩形中，，，是射线上一点，连接，沿折叠，点恰好与射线上的点重合．
（1）如图，当点在边上时．
①若，则的长为______；
②若时，求的长；
（2）作的平分线交射线于点，当时，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故选：C
【分析】根据有理数的加法逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A.图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
B.图形是中心对称图形，故该选项符合题意；
C.图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
D.图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意．
故选：B．
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形；将图形沿某一点旋转180°后能够重合的图形为中心对称图形.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：12484000000
故选：C．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
4．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：根据求不等式组解集“同小取其小”的口诀，可得不等式组的解集为，
故选：B．
【分析】将各解集在数轴上表示出来即可.
5．【答案】A
【知识点】平行线的性质；补角
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
【分析】根据补角可得∠ADE，再根据直线平行性质即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，故该选项错误，不符合题意；
B.，该选项正确，符合题意；
C.，故该选项错误，不符合题意；
D.，故该选项错误，不符合题意．
故选：B．
【分析】根据同底数幂相乘，同底数幂相除，合并同类项，积的乘方运算法则逐项进行判断即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴
故选：C．
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数的，
∴随的增大而减小，
又∵直线与轴的交点位于轴的负半轴，
∴直线经过第二、第三和第四象限，不经过第一象限，
故选：A．
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系即可求出答案.
9．【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：依题意，设“X”字形框中间位置的数为，则其他四个数分别是，
∴，
当时，则，故A选项不符合题意；
当时，则，故B选项不符合题意；
当时，则，故C选项不符合题意；
当时，则，不是整数，故D选项符合题意；
故选：D
【分析】设“X”字形框中间位置的数为，则其他四个数分别是，分别建立方程，再解方程进行判断即可求出答案.
10．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：，
，
，
∴是的角平分线，
即点一定在的角平分线上．这种做法的理由是
故选A
【分析】根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
11．【答案】D
【知识点】运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：连接，
由题可知，
在中，由勾股定理得，
．
故选：D．
【分析】根据勾股定理即可求出答案.
12．【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A． 依题意在第5分钟开始等公交车，第8分钟结束，故王明等公交车时间为3分钟，故选项错误；
B． 依题意得王明离家400米共用了5分钟，故步行的速度为80米/分，故选项错误；
C． 王明全程6800米，共用时25分钟，全程速度为272米/分，故选项错误；
D． 公交车分钟走了米，故公交车的速度为米/分，故选项正确．
故选：D．
【分析】根据函数图象信息逐项进行判断即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使 在实数范围内有意义，必须 。
【分析】要使二次根式有意义，即是使被开方数大于等于0，据此解答即可.
14．【答案】2
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵是方程的解，
∴
解得
故答案为：
【分析】将x=-2代入方程即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：，
，
，
解得，，
．
故答案为：．
【分析】根据直线平行性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得AC，再根据边之间的关系即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形
∴，，
由折叠可知，，，
∴四边形是正方形，
∴，，
由折叠可知，
如图，是等腰直角三角形，，设，则，延长到点，使得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积为
故答案为：
【分析】根据矩形性质可得，，再根据折叠性质可得，，根据正方形判定定理可得四边形是正方形，则，再根据边之间的关系可得CE，再根据折叠性质可得，根据等腰直角三角形性质可得，设，根据勾股定理可得NP，延长到点，使得，根据边之间的关系可得MT，再根据正切定义可得CH，再根据四边形的面积为，结合梯形，三角形面积即可求出答案.
17．【答案】解：（1）
；
（2）∵，，
∴
当时，
可有．
【知识点】平方差公式及应用；分式的化简求值；零指数幂；实数的绝对值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）根据二次根式，绝对值，0指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
（2）将A，B代入代数式，根据分式性质，结合平方差公式化简，再将x值代入即可求出答案.
18．【答案】（1）证明：，
，
，
在和中，
，
，
∴；
（2）解：，，
，，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；补角
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，则，再根据补角即可求出答案.
（1）证明：，
，
，
在和中，
，
，
∴；
（2）解：，，
，，
，
．
19．【答案】（1），，
（2）解：（人）
答：估计跳绳项目达到优秀以上成绩的学生约有人；
（3）解：列表如下：
男 女1 女2 女3
男 女1，男 女2，男 女3，男
女1 男，女1 女2，女1 女3，女1
女2 男，女2 女1，女2 女3，女2
女3 男，女3 女1，女3 女2，女3
从表格中可知，共有12中等可能的结果，抽到一男一女的结果数为6种，
∴抽到一男一女的概率是
【知识点】用列表法或树状图法求概率；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：，
出现最多的数据是178，则众数，
数据排列如下：130，146，155，156，157，158，163，165，170，171，173，173，178，
178，178，179，184，186，186，190
第10和第11个数据为171，173，故中位数，
故答案为：，，
【分析】（1）根据频率等于频数除以总数即可求出，再根据中位数，众数的定义可得b，c.
（2）根据300乘以优秀以上的占比即可求出答案.
（3）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出抽到一男一女的结果，再根据概率公式即可求出答案.
（1）解：，
出现最多的数据是178，则众数，
数据排列如下：130，146，155，156，157，158，163，165，170，171，173，173，178，
178，178，179，184，186，186，190
第10和第11个数据为171，173，故中位数，
故答案为：，，
（2）（人）
答：估计跳绳项目达到优秀以上成绩的学生约有人；
（3）列表如下：
男 女1 女2 女3
男
女1，男 女2，男 女3，男
女1 男，女1
女2，女1 女3，女1
女2 男，女2 女1，女2
女3，女2
女3 男，女3 女1，女3 女2，女3
从表格中可知，共有12中等可能的结果，抽到一男一女的结果数为6种，
∴抽到一男一女的概率是
20．【答案】（1）解：∵正比例函数图象与反比例函数的图象交于点和点B．
∴把代入，得：，即
∴．
将代入，得：，
解得：，
∴反比例函数解析式为．
（2）解：联立，解得：或，
∴．
∵轴于点C，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将点A坐标代入正比例函数解析式可得，再根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（2）联立两函数解析式可得，根据两点间距离可得AC，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：∵正比例函数图象与反比例函数的图象交于点和点B．
∴把代入，得：，即
∴．
将代入，得：，
解得：，
∴反比例函数解析式为．
（2）联立，解得：或，
∴．
∵轴于点C，
∴，
∴．
21．【答案】（1）解：方案一：（元）；
方案二：（元）；
所以优惠方案二更划算；
（2）解：设学生人数为人，则成人人数是人，
依题意得，
解得，
则，
答：学生人数为人，则成人人数是人．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】（1）根据题意分别求出两种收费方案所需费用，再比较大小即可求出答案.
（2）设学生人数为x人时，根据两种方案车费一样多建立方程，再解方程即可求出答案.
（1）解：方案一：（元）；
方案二：（元）；
所以优惠方案二更划算；
（2）解：设学生人数为人，则成人人数是人，
依题意得，
解得，
则，
答：学生人数为人，则成人人数是人．
22．【答案】（1）解：在中，斜坡总长米，坡角为．
∴（米）
即斜坡的铅垂高是米；
（2）解：在中，斜坡总长米，坡角为．
∴（米）
∵米厘米，
∴米厘米，
则，
即长方体石块的宽为47厘米，一块长方体石块铺一级台阶，一共需要铺设级台阶．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）根据正弦定义即可求出答案.
（2）根据余弦定义即可求出答案.
（1）解：在中，斜坡总长米，坡角为．
∴（米）
即斜坡的铅垂高是米；
（2）在中，斜坡总长米，坡角为．
∴（米）
∵米厘米，
∴米厘米，
则，
即长方体石块的宽为47厘米，一块长方体石块铺一级台阶，一共需要铺设级台阶．
23．【答案】（1）证明：连接，设交于点F，
∵为的直径，
∴，
∵垂直于过点E的直线交于点D．
∴
∵E是的中点，
∴，
∴
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
∴
∴
∴，
∵四边形是矩形，
∴
∴

【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理；切线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，设交于点F，根据圆周角定理的推论可得，根据垂直可得，根据垂径定理可得，再根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据含30°角的直角三角形性质可得BC，再根据勾股定理可得AC，根据垂径定理可得AF，根据勾股定理可得OF，再根据矩形性质可得CD，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：连接，设交于点F，
∵为的直径，
∴，
∵垂直于过点E的直线交于点D．
∴
∵E是的中点，
∴，
∴
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）∵，，
∴，
∴
∴
∴，
∵四边形是矩形，
∴
∴
24．【答案】（1）2；2
（2）解：由（1）可知，，
设当小张滑出后离的水平距离为米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米，
则，
解得或（不符题意，舍去），
答：当小张滑出后离的水平距离为米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米．
（3）解：，
则当时，运动员到达坡顶，小山坡的顶点坐标为，
由题意得：，解得，
则，
当时，，
小张滑行到最大高度时恰好在坡顶正上方，且与坡顶距离不低于10米，
，
解得．
【知识点】公式法解一元二次方程；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，
抛物线的解析式为，
，，
解得，，
故答案为：，；
【分析】（1）由题意得：抛物线的顶点坐标为，根据抛物线对称轴公式，顶点坐标公式建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设当小张滑出后离的水平距离为米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）将解析式转换为顶点式，可得当时，运动员到达坡顶，小山坡的顶点坐标为，根据对称轴公式可得，再根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，
抛物线的解析式为，
，，
解得，，
故答案为：，；
（2）解：由（1）可知，，
设当小张滑出后离的水平距离为米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米，
则，
解得或（不符题意，舍去），
答：当小张滑出后离的水平距离为米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米．
（3）解：，
则当时，运动员到达坡顶，小山坡的顶点坐标为，
由题意得：，解得，
则，
当时，，
小张滑行到最大高度时恰好在坡顶正上方，且与坡顶距离不低于10米，
，
解得．
25．【答案】（1）①4；
②由题可知，，
，
又，
，
，
，
，
，
；
（2）解：①如图，当点在边上时， 过点作于点，
平分，，
，．
，
．
．
，，
．
，
．
，，，
（HL）．
．
设，则．
．
在中，由勾股定理得，
，
．
解得，（舍去）．
．
矩形中，．
．
②如图，当点在边延长线上时，
同①可得，，．
．
，．
综上所述：或6．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：①由题可知，，
在中，由勾股定理得，
，
∴的长为4；
故答案为：①4；
【分析】（1）①根据勾股定理即可求出答案.
②根据角之间的关系可得，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得DE，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）分情况讨论：①当点在边上时， 过点作于点，根据角平分线性质可得，，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得MN，根据全等三角形判定定理可得，则，设，则，则，根据勾股定理建立方程，解方程可得BC，再根据边之间的关系即可求出答案；②当点在边延长线上时，同①可得，，，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：①由题可知，，
在中，由勾股定理得，
，
∴的长为4；
故答案为：①4；
②由题可知，，
，
又，
，
，
，
，
，
；
（2）解：
①如图，当点在边上时， 过点作于点，
平分，，
，．
，
．
．
，，
．
，
．
，，，
（HL）．
．
设，则．
．
在中，由勾股定理得，
，
．
解得，（舍去）．
．
矩形中，．
．
②
如图，当点在边延长线上时，
同①可得，，．
．
，．
综上所述：或6．
1 / 1贵州省遵义市红花岗区2025年初中学业水平第一次模拟考试九年级数学试题卷
一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂）
1．（2025·红花岗模拟）下列数中与3相加和为0的是（　　）
A．1 B． C． D．0
【答案】C
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故选：C
【分析】根据有理数的加法逐项进行判断即可求出答案.
2．（2025·红花岗模拟）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A.图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
B.图形是中心对称图形，故该选项符合题意；
C.图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该选项不符合题意；
D.图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意．
故选：B．
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形；将图形沿某一点旋转180°后能够重合的图形为中心对称图形.
3．（2025·红花岗模拟）今年春节期间，截止到2月5日，全省累计消费金额为12484000000元，12484000000用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：12484000000
故选：C．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
4．（2025·红花岗模拟）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：根据求不等式组解集“同小取其小”的口诀，可得不等式组的解集为，
故选：B．
【分析】将各解集在数轴上表示出来即可.
5．（2025·红花岗模拟）如图，，交于点D，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；补角
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
【分析】根据补角可得∠ADE，再根据直线平行性质即可求出答案.
6．（2025·红花岗模拟）下列运算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，故该选项错误，不符合题意；
B.，该选项正确，符合题意；
C.，故该选项错误，不符合题意；
D.，故该选项错误，不符合题意．
故选：B．
【分析】根据同底数幂相乘，同底数幂相除，合并同类项，积的乘方运算法则逐项进行判断即可求出答案.
7．（2025·红花岗模拟）如图，是的直径，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴
故选：C．
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求出答案.
8．（2025·红花岗模拟）在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数的，
∴随的增大而减小，
又∵直线与轴的交点位于轴的负半轴，
∴直线经过第二、第三和第四象限，不经过第一象限，
故选：A．
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系即可求出答案.
9．（2025·红花岗模拟）如图为2025年三月份日历，小红用“X”字形框出日历中的5个日期，这五个日期之和不可能是（　　）
A．95 B．60 C．85 D．72
【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：依题意，设“X”字形框中间位置的数为，则其他四个数分别是，
∴，
当时，则，故A选项不符合题意；
当时，则，故B选项不符合题意；
当时，则，故C选项不符合题意；
当时，则，不是整数，故D选项符合题意；
故选：D
【分析】设“X”字形框中间位置的数为，则其他四个数分别是，分别建立方程，再解方程进行判断即可求出答案.
10．（2025·红花岗模拟）小方在学习画角平分线后，想到用三角尺也能画出的角平分线，如图，她将两块三角尺的一直角边分别与角的两边、重合，移动三角尺使得，另两条直角边相交于点，则点一定在的角平分线上．这种做法的理由是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：，
，
，
∴是的角平分线，
即点一定在的角平分线上．这种做法的理由是
故选A
【分析】根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
11．（2025·红花岗模拟）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，以为圆心，为半径画弧，交上方的网格线于点，则的长为（　　）
A． B．3.7 C． D．
【答案】D
【知识点】运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：连接，
由题可知，
在中，由勾股定理得，
．
故选：D．
【分析】根据勾股定理即可求出答案.
12．（2025·红花岗模拟）王明从家步行到公交车站台，然后等公交车去单位．下公交车后又步行了一段路程才到单位．图中的折线表示王明的行程s（米）与所花时间t（分）之间的函数关系．下列说法正确的是（　　）
A．王明等公交车时间为5分钟
B．王明步行的速度是60米/分
C．王明全程的平均速度为290米/分
D．公交车的速度是500米/分
【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A． 依题意在第5分钟开始等公交车，第8分钟结束，故王明等公交车时间为3分钟，故选项错误；
B． 依题意得王明离家400米共用了5分钟，故步行的速度为80米/分，故选项错误；
C． 王明全程6800米，共用时25分钟，全程速度为272米/分，故选项错误；
D． 公交车分钟走了米，故公交车的速度为米/分，故选项正确．
故选：D．
【分析】根据函数图象信息逐项进行判断即可求出答案.
二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分）
13．（2025·红花岗模拟）使代数式 有意义的x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使 在实数范围内有意义，必须 。
【分析】要使二次根式有意义，即是使被开方数大于等于0，据此解答即可.
14．（2025·红花岗模拟）已知是方程的解，则的值是　 　．
【答案】2
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵是方程的解，
∴
解得
故答案为：
【分析】将x=-2代入方程即可求出答案.
15．（2025·红花岗模拟）如图，是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图，窗户的高在教室地面上的影长米，点到墙角的距离米，窗户的下沿到教室地面的距离米（点在同一直线上），则窗户的高为　 　米．
【答案】
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：，
，
，
解得，，
．
故答案为：．
【分析】根据直线平行性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得AC，再根据边之间的关系即可求出答案.
16．（2025·红花岗模拟）如图，一张矩形纸片，厘米，厘米．将边沿折叠，使点落在上的点处，点在边上，打开后，得到折痕，再将沿折叠，使点落在上的点处，点在边上，打开后，得到折痕．则四边形的面积为　 　平方厘米．
【答案】
【知识点】三角形的面积；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形
∴，，
由折叠可知，，，
∴四边形是正方形，
∴，，
由折叠可知，
如图，是等腰直角三角形，，设，则，延长到点，使得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积为
故答案为：
【分析】根据矩形性质可得，，再根据折叠性质可得，，根据正方形判定定理可得四边形是正方形，则，再根据边之间的关系可得CE，再根据折叠性质可得，根据等腰直角三角形性质可得，设，根据勾股定理可得NP，延长到点，使得，根据边之间的关系可得MT，再根据正切定义可得CH，再根据四边形的面积为，结合梯形，三角形面积即可求出答案.
三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025·红花岗模拟）（1）计算：；
（2）已知：，，当时，求值．
【答案】解：（1）
；
（2）∵，，
∴
当时，
可有．
【知识点】平方差公式及应用；分式的化简求值；零指数幂；实数的绝对值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）根据二次根式，绝对值，0指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
（2）将A，B代入代数式，根据分式性质，结合平方差公式化简，再将x值代入即可求出答案.
18．（2025·红花岗模拟）如图，在中，是上一点，为外部一点，连接交于点，，，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：，
，
，
在和中，
，
，
∴；
（2）解：，，
，，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；补角
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，则，再根据补角即可求出答案.
（1）证明：，
，
，
在和中，
，
，
∴；
（2）解：，，
，，
，
．
19．（2025·红花岗模拟）为了解九年级学生选中考跳绳项目的训练情况，某校随机抽取了选定跳绳的九年级20名学生进行跳绳测试，并对测试成绩（单位：个）进行了统计分析：
【收集数据】
130，146，155，156，157，178，163，165，170，171
173，173，158，178，178，179，184，186，186，190
【整理数据】
学校规定：为不合格，为合格，为良好，为优秀，为满分（个数用表示）
等次 频数（人数） 频率
不合格 1 0.05
合格 5 0.25
良好 2 0.1
优秀 8 a
满分 4 0.2
合计 20 1
【分析数据】
此组数据的平均数是168.8，众数是，中位数是；
【解决问题】
（1）填空：______，______，______；
（2）若该校九年级选定跳绳项目共有300名学生，估计跳绳项目达到优秀以上成绩的学生约有多少人？
（3）现在从4名（其中3名女生，1名男生）满分学生中随机抽两名学生参加艺术节活动表演，请用列表或树状图求出抽到一男一女的概率是多少？
【答案】（1），，
（2）解：（人）
答：估计跳绳项目达到优秀以上成绩的学生约有人；
（3）解：列表如下：
男 女1 女2 女3
男 女1，男 女2，男 女3，男
女1 男，女1 女2，女1 女3，女1
女2 男，女2 女1，女2 女3，女2
女3 男，女3 女1，女3 女2，女3
从表格中可知，共有12中等可能的结果，抽到一男一女的结果数为6种，
∴抽到一男一女的概率是
【知识点】用列表法或树状图法求概率；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：，
出现最多的数据是178，则众数，
数据排列如下：130，146，155，156，157，158，163，165，170，171，173，173，178，
178，178，179，184，186，186，190
第10和第11个数据为171，173，故中位数，
故答案为：，，
【分析】（1）根据频率等于频数除以总数即可求出，再根据中位数，众数的定义可得b，c.
（2）根据300乘以优秀以上的占比即可求出答案.
（3）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出抽到一男一女的结果，再根据概率公式即可求出答案.
（1）解：，
出现最多的数据是178，则众数，
数据排列如下：130，146，155，156，157，158，163，165，170，171，173，173，178，
178，178，179，184，186，186，190
第10和第11个数据为171，173，故中位数，
故答案为：，，
（2）（人）
答：估计跳绳项目达到优秀以上成绩的学生约有人；
（3）列表如下：
男 女1 女2 女3
男
女1，男 女2，男 女3，男
女1 男，女1
女2，女1 女3，女1
女2 男，女2 女1，女2
女3，女2
女3 男，女3 女1，女3 女2，女3
从表格中可知，共有12中等可能的结果，抽到一男一女的结果数为6种，
∴抽到一男一女的概率是
20．（2025·红花岗模拟）如图，正比例函数与反比例函数交于点和点B．
（1）求，的值；
（2）过点A作轴于点C，连接BC，求面积．
【答案】（1）解：∵正比例函数图象与反比例函数的图象交于点和点B．
∴把代入，得：，即
∴．
将代入，得：，
解得：，
∴反比例函数解析式为．
（2）解：联立，解得：或，
∴．
∵轴于点C，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将点A坐标代入正比例函数解析式可得，再根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（2）联立两函数解析式可得，根据两点间距离可得AC，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：∵正比例函数图象与反比例函数的图象交于点和点B．
∴把代入，得：，即
∴．
将代入，得：，
解得：，
∴反比例函数解析式为．
（2）联立，解得：或，
∴．
∵轴于点C，
∴，
∴．
21．（2025·红花岗模拟）今年春节期间，电影《哪吒2》特别火爆，小强一家去某电影院观看此部电影．到了影院后，看到有以下优惠活动方案：
优惠方案一 会员费200元，票价35元/人．
优惠方案二 原票价50元/人，成人原价，学生票价是原价的5折．
（1）若小强一家6人（成人4人，学生2人），他选择哪种优惠方案划算？
（2）若成人人数是学生人数的2倍且两种优惠方案所付票价相等，求成人、学生各多少人？
【答案】（1）解：方案一：（元）；
方案二：（元）；
所以优惠方案二更划算；
（2）解：设学生人数为人，则成人人数是人，
依题意得，
解得，
则，
答：学生人数为人，则成人人数是人．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；一元一次方程的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】（1）根据题意分别求出两种收费方案所需费用，再比较大小即可求出答案.
（2）设学生人数为x人时，根据两种方案车费一样多建立方程，再解方程即可求出答案.
（1）解：方案一：（元）；
方案二：（元）；
所以优惠方案二更划算；
（2）解：设学生人数为人，则成人人数是人，
依题意得，
解得，
则，
答：学生人数为人，则成人人数是人．
22．（2025·红花岗模拟）小伟家庭院旁有一段斜坡路，斜坡路的截面如图①所示，为了行走方便，现将此段斜坡路用如图②的长方体石块铺成石台阶如图③所示．经测量，斜坡总长米，坡角为．（参考数据，）
（1）求斜坡的铅垂高是多少米？
（2）若长方体石块的宽为47厘米，一块长方体石块铺一级台阶，一共需要铺设几级台阶？
【答案】（1）解：在中，斜坡总长米，坡角为．
∴（米）
即斜坡的铅垂高是米；
（2）解：在中，斜坡总长米，坡角为．
∴（米）
∵米厘米，
∴米厘米，
则，
即长方体石块的宽为47厘米，一块长方体石块铺一级台阶，一共需要铺设级台阶．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）根据正弦定义即可求出答案.
（2）根据余弦定义即可求出答案.
（1）解：在中，斜坡总长米，坡角为．
∴（米）
即斜坡的铅垂高是米；
（2）在中，斜坡总长米，坡角为．
∴（米）
∵米厘米，
∴米厘米，
则，
即长方体石块的宽为47厘米，一块长方体石块铺一级台阶，一共需要铺设级台阶．
23．（2025·红花岗模拟）如图，为的直径，E是的中点，垂直于过点E的直线交于点D．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：连接，设交于点F，
∵为的直径，
∴，
∵垂直于过点E的直线交于点D．
∴
∵E是的中点，
∴，
∴
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
∴
∴
∴，
∵四边形是矩形，
∴
∴

【知识点】含30°角的直角三角形；垂径定理；切线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，设交于点F，根据圆周角定理的推论可得，根据垂直可得，根据垂径定理可得，再根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据含30°角的直角三角形性质可得BC，再根据勾股定理可得AC，根据垂径定理可得AF，根据勾股定理可得OF，再根据矩形性质可得CD，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：连接，设交于点F，
∵为的直径，
∴，
∵垂直于过点E的直线交于点D．
∴
∵E是的中点，
∴，
∴
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）∵，，
∴，
∴
∴
∴，
∵四边形是矩形，
∴
∴
24．（2025·红花岗模拟）2025年亚洲冬奥会在哈尔滨举行，如图是某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点A做水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者小张从点O正上方A点滑出，滑出后延一段抛物线运动．
（1）当小张滑到离A处的水平距离为6米时，其滑行高度最大为8米，则　 　，　 　；
（2）在（1）的条件下，当小张滑出后离A的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米？
（3）小张若想滑行到最大高度时恰好在坡顶正上方，且与坡顶距离不低于10米，求c的取值范围．
【答案】（1）2；2
（2）解：由（1）可知，，
设当小张滑出后离的水平距离为米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米，
则，
解得或（不符题意，舍去），
答：当小张滑出后离的水平距离为米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米．
（3）解：，
则当时，运动员到达坡顶，小山坡的顶点坐标为，
由题意得：，解得，
则，
当时，，
小张滑行到最大高度时恰好在坡顶正上方，且与坡顶距离不低于10米，
，
解得．
【知识点】公式法解一元二次方程；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，
抛物线的解析式为，
，，
解得，，
故答案为：，；
【分析】（1）由题意得：抛物线的顶点坐标为，根据抛物线对称轴公式，顶点坐标公式建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设当小张滑出后离的水平距离为米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）将解析式转换为顶点式，可得当时，运动员到达坡顶，小山坡的顶点坐标为，根据对称轴公式可得，再根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，
抛物线的解析式为，
，，
解得，，
故答案为：，；
（2）解：由（1）可知，，
设当小张滑出后离的水平距离为米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米，
则，
解得或（不符题意，舍去），
答：当小张滑出后离的水平距离为米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为米．
（3）解：，
则当时，运动员到达坡顶，小山坡的顶点坐标为，
由题意得：，解得，
则，
当时，，
小张滑行到最大高度时恰好在坡顶正上方，且与坡顶距离不低于10米，
，
解得．
25．（2025·红花岗模拟）如图，在矩形中，，，是射线上一点，连接，沿折叠，点恰好与射线上的点重合．
（1）如图，当点在边上时．
①若，则的长为______；
②若时，求的长；
（2）作的平分线交射线于点，当时，求的长．
【答案】（1）①4；
②由题可知，，
，
又，
，
，
，
，
，
；
（2）解：①如图，当点在边上时， 过点作于点，
平分，，
，．
，
．
．
，，
．
，
．
，，，
（HL）．
．
设，则．
．
在中，由勾股定理得，
，
．
解得，（舍去）．
．
矩形中，．
．
②如图，当点在边延长线上时，
同①可得，，．
．
，．
综上所述：或6．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：①由题可知，，
在中，由勾股定理得，
，
∴的长为4；
故答案为：①4；
【分析】（1）①根据勾股定理即可求出答案.
②根据角之间的关系可得，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得DE，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）分情况讨论：①当点在边上时， 过点作于点，根据角平分线性质可得，，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得MN，根据全等三角形判定定理可得，则，设，则，则，根据勾股定理建立方程，解方程可得BC，再根据边之间的关系即可求出答案；②当点在边延长线上时，同①可得，，，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：①由题可知，，
在中，由勾股定理得，
，
∴的长为4；
故答案为：①4；
②由题可知，，
，
又，
，
，
，
，
，
；
（2）解：
①如图，当点在边上时， 过点作于点，
平分，，
，．
，
．
．
，，
．
，
．
，，，
（HL）．
．
设，则．
．
在中，由勾股定理得，
，
．
解得，（舍去）．
．
矩形中，．
．
②
如图，当点在边延长线上时，
同①可得，，．
．
，．
综上所述：或6．
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