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广东省深圳市龙岗区百合外国语学校2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题
一、选择题（每题3分，共8小题）
1．（2025八下·龙岗期中）《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·龙岗期中）下列各式是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·龙岗期中）如图是某幼儿园附近道路对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行驶的速度不得超过．用表示汽车的速度，v与30应满足的关系为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·龙岗期中）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等的正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形A，B，C，D，形成一个“方胜”图案，则点D与之间的距离为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·龙岗期中）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出的大小，则图中与相等的角是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·龙岗期中）2024年5月24日-26日，中国图象图形大会（CCIG 2024）在陕西省西安市曲江国际会议中心召开了主题为“图聚智生，象合慧成”的文化图像大数据可视化论坛，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为，腰长为，则腰上的高是（　　）
A． B．6m C． D．4m
7．（2025八下·龙岗期中）若关于的不等式组的解集只有个整数解，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025八下·龙岗期中）如图，在和中，，，于点，的反向延长线与交于点，连接，则线段，，三者之间的关系为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共5小题）
9．（2025八下·龙岗期中）分解因式： 　 　．
10．（2025八下·龙岗期中）已知关于的不等式的解集为，则的值是　 　．
11．（2025八下·龙岗期中）若分式的值为0，则的值为　 　．
12．（2025八下·龙岗期中）如图为一块光学直棱镜，其截面为，所在的面为不透光的磨砂面，现将一束单色光从AC边上的O点射入， 折射后到达边上的点 D处，恰有 再经过反射后（即），从点E垂直于射出，则光线在棱镜内部经过的路径的总长度为　 　．
13．（2025八下·龙岗期中）如图，中，，CD平分，于点E，于点D，且与BE交于点H，于点F，且与CD交于点G．则下面的结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是　 　．
三、解答题（共61分）
14．（2025八下·龙岗期中）解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来．
15．（2025八下·龙岗期中）先化简： 再从中选合适的数求值．
16．（2025八下·龙岗期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．
（1）将向右平移6个单位长度得到，请画出；
（2）画出关于点O的中心对称图形；
（3）若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标．
17．（2025八下·龙岗期中）如图，中，点在边延长线上，的平分线交于点，过点作，垂足为，且．
（1）的度数是 ；
（2）求证：平分；
（3）若，且，求的面积．
18．（2025八下·龙岗期中）【问题背景】综合实践小组准备用长方形木板和弹性系数的轻质弹簧制作一个简易弹簧测力计．
【查阅资料】如图1，弹簧未受力时的长度称为原长，记为．如图2，弹簧受到拉力F后的长度记为L，则弹簧伸长的长度．已知弹簧发生弹性形变时，拉力F的大小跟弹簧伸长的长度x成正比，即，k为弹簧的弹性系数．
【实验操作】综合实践小组利用该弹簧和两个完全一样的钩码设计了如下实验：
如图3，当弹簧末端悬挂一个钩码时，弹簧的长度．如图4，当弹簧末端悬挂两个钩码时，弹簧的长度．
任务1：
（1）①图3中弹簧伸长的长度______；（用含的式子表示）
②图4中弹簧伸长的长度______；（用含的式子表示）
（2）求弹簧的原长．
【确定量程】已知在弹性形变范围内，该弹簧伸长的长度x的最大值是．
任务2：
（3）求该弹簧测力计的量程（测量范围）．
【设计刻度】综合实践小组拟通过以下方式设计刻度，通过刻度直接读取拉力．
任务3：
（4）补全刻度设计方案．将0刻度放在距离木板上端处，每隔标记一次刻度，这样弹簧的长度每增加一个刻度，就代表拉力增加了______N．
19．（2025八下·龙岗期中）知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等．
例1：分解因式；
解：将“”看成一个整体，令；
原式；
请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题：
（1）根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解．
（2）计算： ．
（3）已知，求的值．
20．（2025八下·龙岗期中）已知：如图，与为等腰直角三角形，，点C，D分别在边上，且，连接，点为线段的中点，连接．
（1）观察猜想：如图①，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ．
（2）探究证明：将绕点顺时针旋转到图②的位置，请判断与的数量关系和位置关系，并说明理由．
（3）拓展延伸：若，把绕点在平面内自由旋转，请求出D，O，M三点共线时的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故答案为：C．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2．【答案】C
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解：A、∵不是最简分式，∴A选项不符合题意；
B、∵不是最简分式，∴B选项不符合题意；
C、∵，是最简分式，∴C选项符合题意；
D∵不是最简分式，∴D选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用最简分式定义及分式的约分的计算方法逐项分析判断即可.
3．【答案】A
【知识点】列不等式
【解析】【解答】解：根据题意v与30应满足的不等关系为，
故选：A．
【分析】根据题意可知汽车的速度v不超过，即汽车的速度v小于等于，然后用符号表示即可．用“大于号”、“小于号”、“不等号”、“大于等于”或“小于等于”连接并具有大小关系的式子，叫做不等式，
4．【答案】D
【知识点】正方形的性质；平移的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
由平移性质得，
∴点D，之间的距离为，
故答案为：D．
【分析】在Rt△ABD在，由勾股定理得=，平移性质得，。
5．【答案】B
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：由图可知：，
∴，
∵，
∴；
故选B．
【分析】由图可知：，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，过A作于D，过B作于E，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即腰上的高是，
故答案为：A．
【分析】如图，作于点 D，
根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，得，含30度角的直角三角形的性质，=6，在Rt△ABD中，勾股定理得=，利用等腰三角形的性质得=，由含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半得．
7．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；已知不等式的解（集）求参数
【解析】【解答】解：∵，
解得，，
∴关于的不等式组的整数解为：3，4，5，
∴，
解得，，
故答案为：A．
【分析】解不等式组解集为，根据不等式组有3个整数解得到a的取值范围 ，解得．
8．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图连接，，
∵，，
∴，（等腰直角三角形的性质）
∵，
∴，，
∵在△BCD中∠CBD+∠BDC+∠BCD=180°，
即：，（三角形内角和）
∴2，
∴∠ABC+∠ABD=90°-∠ACD=90°-45°=45°，
即∠CBD=∠ABC+∠ABD=45°
∵，，
∴是线段的垂直平分线，（线段的垂直平分线的性质）
∴，
∴，即，
∴，
∴．
故选：C．
【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，线段的垂直平分线的性质，来分析BF、DF、CD之间的关系，证是本题的关键．由题意可得，由可得，由，可得是的垂直平分线，可得，根据勾股定理可求的值．
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】
故答案为： .
【分析】利用公式法进行因式分解。
10．【答案】2
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵的解集为，
∴，
∴；
故答案为：2
【分析】根据题意建立关于a的一次方程，解方程即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵的值为0，
，
解得，
∴x的值为，
故答案为：
【分析】根据分式值为0的条件，结合分式有意义的条件即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
，
，，
在中，，
∵，
，
，，
，
，
∴是等边三角形，
，
．
故答案为：．
【分析】由得，又，运用勾股定理可得，而，得=，三个角是60°的三角形是等边三角形，得是等边三角形，则，． ．
13．【答案】①③④
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵BE⊥AC，∠ACB＝45°，
∴∠ACB＝∠EBC＝45°，
∴BE＝CE．故①正确；
在Rt△ABE和Rt△HCE中，
∵∠ABE＝90°﹣∠DHB，∠DCA＝90°﹣∠EHC，且∠BHD＝∠EHC，
∴∠ABE＝∠DCA．
又∵∠AEB＝∠CEH＝90°，BE＝CE，
∴△ABE≌△CHE．
∴CH＝AB；EH＝AE．
∵BE＝EH+BH，
∴；故④正确；
在Rt△ACD和Rt△BCD中
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB．
又∵CD＝CD，∠BDC＝∠ADC＝90°，
∴Rt△ACD≌Rt△BCD（ASA）．
∴BD＝AD＝AB．
∵CH＝AB，
∴；故③正确；
∵CG≠CH
故②错误，
故答案为：①③④．
【分析】根据等角对等边可判断①；根据角之间的关系可得∠ABE＝∠DCA，再根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△CHE，则CH＝AB；EH＝AE，再根据边之间的关系可判断④；根据角平分线定义可得∠ACD＝∠DCB，再根据全等三角形判定定理及性质，结合边之间的关系可判断②，③.
14．【答案】解：
解不等式①，得
解不等式②，得
，
∴原不等式组的解集为：
把解集表示在数轴上，如图所示：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；数形结合
【解析】【分析】分别根据不等式的性质解不等式①，解不等式②得，不等式组解集为，在数轴上表解集：表示小于向左拐，大于向右拐，包含等于实心圆点，不包含用空心圆圈。
15．【答案】解：
，
∵且，
且，
∴，
当时，原式
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值
【解析】【分析】先根据分式混合运算顺序： 分式的混合运算顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的 ，化简原式，再选取使分式有意义条件：分母不为零，则a可取-1，代入计算得2．
16．【答案】（1）解：如图所示，
（2）解：如图所示，
（3）解：旋转中心的坐标为
【知识点】作图﹣平移；旋转的性质；中心对称及中心对称图形；作图﹣中心对称；数形结合
【解析】【解答】（3）解：由图可知，
，，
，，
则的中点为，即，
则的中点为，即，
的中点均为，
与是以点为对称中心的中心对称图形，
旋转中心的坐标为．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出的对应点，再顺次连接各点；
（2）利用中心对称的性质分别作出的对应点，再顺次连接各点；
（3）结合图形并根据平移的性质、中心对称的性质求出点的坐标，连接，则的交点，即为旋转中心的坐标
（1）如图所示，
（2）如图所示，
（3）由图可知，，，
，，
则的中点为，即，
则的中点为，即，
的中点均为，
与是以点为对称中心的中心对称图形，
旋转中心的坐标为．
17．【答案】（1）
（2）证明：如图，过点作于点，作于点，
平分，，
，
由（1）可知，，即平分，
，
，
又点在的内部，
平分．
（3）解：如图，过点作于点，作于点，
由（2）已得：，
设，
，
，
，即，
又，
，
，
，
的面积为．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】（1）解：，
，
，
，
．
【分析】（1）根据补角可得∠ACD，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）过点作于点，作于点，根据角平分线性质可得，由（1）可知，，即平分，根据角平分线性质康可得，则，再根据角平分线判定定理即可求出答案.
（3）过点作于点，作于点，由（2）已得：，设，根据三角形面积建立方程，解方程可得x，则EM=3，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：，
，
，
，
．
（2）证明：如图，过点作于点，作于点，
平分，，
，
由（1）可知，，即平分，
，
，
又点在的内部，
平分．
（3）解：如图，过点作于点，作于点，
由（2）已得：，
设，
，
，
，即，
又，
，
，
，
的面积为．
18．【答案】解：（1）①；②；
（2）（2）∵拉力F的大小跟弹簧伸长的长度x成正比，即，
∴，，
又，
∴
∴；
（3）∵弹簧伸长的长度x的最大值是
∴，
∴，即，
∴该弹簧测力计的量程为；
（4）0.12.
【知识点】一元一次不等式的应用；解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】解：（1）①图3中弹簧伸长的长度，
故答案为：；
②图4中弹簧伸长的长度，
故答案为：；
（4）∵，
∴ 1.2×0.1=0.12，即弹簧的长度每增加一个刻度，就代表拉力增加，
故答案为：（1）；（2）；（4）0.12．
【分析】（1）①②根据弹簧伸长的长度即可求得；
（2）根据可得，，根据，即可求得L0；
（3）根据弹簧伸长的长度x的最大值是，得出，再根据，即可求得量程；
（4）直接根据即可．
19．【答案】（1）解：将看成一个整体，令，
则原式．
（2）
（3）解：∵，
∴
．
【知识点】因式分解﹣公式法；分式的加减法；整体思想
【解析】【解答】（2）解：将看成一个整体，令，将看成一个整体，令，
则原式
．
【分析】（1）将看成一个整体，令，根据完全平方进行因式分解即可求出答案.
（2）将看成一个整体，令，将看成一个整体，令，代入，结合多项式乘多项式化简即可求出答案.
（3）根据分式的加减化简即可求出答案.
（1）解：将看成一个整体，令，
则原式．
（2）解：将看成一个整体，令，将看成一个整体，令，
则原式
．
（3）解：∵，
∴
．
20．【答案】（1），
（2）解：，，理由如下：
延长至点，使，连接，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
故：，；
（3）解：①当在线段上时，如图，
由（2）知：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②当在上时，同理；
综上：．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；旋转的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（1）解：如图：
∵，
∴，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设交于点，则：，
∴；
故答案为：，；
【分析】（1）根据全等三角形判定定理可得，则，，根据直角三角形斜边上的中线性质可得，则，，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）延长至点，使，连接，根据线段中点可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，根据直线平行判定定理可得，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据角之间的关系即可求出答案.
（3）分情况讨论：①当在线段上时，由（2）知：，，则，再根据勾股定理即可求出答案；②当在上时，同理即可求出答案.
（1）解：∵，
∴，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设交于点，则：，
∴；
故答案为：，；
（2），，理由如下：
延长至点，使，连接，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
故：，；
（3）①当在线段上时，如图，
由（2）知：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②当在上时，同理；
综上：．
1 / 1广东省深圳市龙岗区百合外国语学校2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题
一、选择题（每题3分，共8小题）
1．（2025八下·龙岗期中）《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故答案为：C．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2．（2025八下·龙岗期中）下列各式是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解：A、∵不是最简分式，∴A选项不符合题意；
B、∵不是最简分式，∴B选项不符合题意；
C、∵，是最简分式，∴C选项符合题意；
D∵不是最简分式，∴D选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用最简分式定义及分式的约分的计算方法逐项分析判断即可.
3．（2025八下·龙岗期中）如图是某幼儿园附近道路对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行驶的速度不得超过．用表示汽车的速度，v与30应满足的关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列不等式
【解析】【解答】解：根据题意v与30应满足的不等关系为，
故选：A．
【分析】根据题意可知汽车的速度v不超过，即汽车的速度v小于等于，然后用符号表示即可．用“大于号”、“小于号”、“不等号”、“大于等于”或“小于等于”连接并具有大小关系的式子，叫做不等式，
4．（2025八下·龙岗期中）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等的正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形A，B，C，D，形成一个“方胜”图案，则点D与之间的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正方形的性质；平移的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
由平移性质得，
∴点D，之间的距离为，
故答案为：D．
【分析】在Rt△ABD在，由勾股定理得=，平移性质得，。
5．（2025八下·龙岗期中）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出的大小，则图中与相等的角是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：由图可知：，
∴，
∵，
∴；
故选B．
【分析】由图可知：，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
6．（2025八下·龙岗期中）2024年5月24日-26日，中国图象图形大会（CCIG 2024）在陕西省西安市曲江国际会议中心召开了主题为“图聚智生，象合慧成”的文化图像大数据可视化论坛，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为，腰长为，则腰上的高是（　　）
A． B．6m C． D．4m
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，过A作于D，过B作于E，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即腰上的高是，
故答案为：A．
【分析】如图，作于点 D，
根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，得，含30度角的直角三角形的性质，=6，在Rt△ABD中，勾股定理得=，利用等腰三角形的性质得=，由含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半得．
7．（2025八下·龙岗期中）若关于的不等式组的解集只有个整数解，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；已知不等式的解（集）求参数
【解析】【解答】解：∵，
解得，，
∴关于的不等式组的整数解为：3，4，5，
∴，
解得，，
故答案为：A．
【分析】解不等式组解集为，根据不等式组有3个整数解得到a的取值范围 ，解得．
8．（2025八下·龙岗期中）如图，在和中，，，于点，的反向延长线与交于点，连接，则线段，，三者之间的关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图连接，，
∵，，
∴，（等腰直角三角形的性质）
∵，
∴，，
∵在△BCD中∠CBD+∠BDC+∠BCD=180°，
即：，（三角形内角和）
∴2，
∴∠ABC+∠ABD=90°-∠ACD=90°-45°=45°，
即∠CBD=∠ABC+∠ABD=45°
∵，，
∴是线段的垂直平分线，（线段的垂直平分线的性质）
∴，
∴，即，
∴，
∴．
故选：C．
【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，线段的垂直平分线的性质，来分析BF、DF、CD之间的关系，证是本题的关键．由题意可得，由可得，由，可得是的垂直平分线，可得，根据勾股定理可求的值．
二、填空题（每题3分，共5小题）
9．（2025八下·龙岗期中）分解因式： 　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】
故答案为： .
【分析】利用公式法进行因式分解。
10．（2025八下·龙岗期中）已知关于的不等式的解集为，则的值是　 　．
【答案】2
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵的解集为，
∴，
∴；
故答案为：2
【分析】根据题意建立关于a的一次方程，解方程即可求出答案.
11．（2025八下·龙岗期中）若分式的值为0，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵的值为0，
，
解得，
∴x的值为，
故答案为：
【分析】根据分式值为0的条件，结合分式有意义的条件即可求出答案.
12．（2025八下·龙岗期中）如图为一块光学直棱镜，其截面为，所在的面为不透光的磨砂面，现将一束单色光从AC边上的O点射入， 折射后到达边上的点 D处，恰有 再经过反射后（即），从点E垂直于射出，则光线在棱镜内部经过的路径的总长度为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
，
，，
在中，，
∵，
，
，，
，
，
∴是等边三角形，
，
．
故答案为：．
【分析】由得，又，运用勾股定理可得，而，得=，三个角是60°的三角形是等边三角形，得是等边三角形，则，． ．
13．（2025八下·龙岗期中）如图，中，，CD平分，于点E，于点D，且与BE交于点H，于点F，且与CD交于点G．则下面的结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是　 　．
【答案】①③④
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵BE⊥AC，∠ACB＝45°，
∴∠ACB＝∠EBC＝45°，
∴BE＝CE．故①正确；
在Rt△ABE和Rt△HCE中，
∵∠ABE＝90°﹣∠DHB，∠DCA＝90°﹣∠EHC，且∠BHD＝∠EHC，
∴∠ABE＝∠DCA．
又∵∠AEB＝∠CEH＝90°，BE＝CE，
∴△ABE≌△CHE．
∴CH＝AB；EH＝AE．
∵BE＝EH+BH，
∴；故④正确；
在Rt△ACD和Rt△BCD中
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB．
又∵CD＝CD，∠BDC＝∠ADC＝90°，
∴Rt△ACD≌Rt△BCD（ASA）．
∴BD＝AD＝AB．
∵CH＝AB，
∴；故③正确；
∵CG≠CH
故②错误，
故答案为：①③④．
【分析】根据等角对等边可判断①；根据角之间的关系可得∠ABE＝∠DCA，再根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△CHE，则CH＝AB；EH＝AE，再根据边之间的关系可判断④；根据角平分线定义可得∠ACD＝∠DCB，再根据全等三角形判定定理及性质，结合边之间的关系可判断②，③.
三、解答题（共61分）
14．（2025八下·龙岗期中）解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】解：
解不等式①，得
解不等式②，得
，
∴原不等式组的解集为：
把解集表示在数轴上，如图所示：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；数形结合
【解析】【分析】分别根据不等式的性质解不等式①，解不等式②得，不等式组解集为，在数轴上表解集：表示小于向左拐，大于向右拐，包含等于实心圆点，不包含用空心圆圈。
15．（2025八下·龙岗期中）先化简： 再从中选合适的数求值．
【答案】解：
，
∵且，
且，
∴，
当时，原式
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值
【解析】【分析】先根据分式混合运算顺序： 分式的混合运算顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的 ，化简原式，再选取使分式有意义条件：分母不为零，则a可取-1，代入计算得2．
16．（2025八下·龙岗期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．
（1）将向右平移6个单位长度得到，请画出；
（2）画出关于点O的中心对称图形；
（3）若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标．
【答案】（1）解：如图所示，
（2）解：如图所示，
（3）解：旋转中心的坐标为
【知识点】作图﹣平移；旋转的性质；中心对称及中心对称图形；作图﹣中心对称；数形结合
【解析】【解答】（3）解：由图可知，
，，
，，
则的中点为，即，
则的中点为，即，
的中点均为，
与是以点为对称中心的中心对称图形，
旋转中心的坐标为．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出的对应点，再顺次连接各点；
（2）利用中心对称的性质分别作出的对应点，再顺次连接各点；
（3）结合图形并根据平移的性质、中心对称的性质求出点的坐标，连接，则的交点，即为旋转中心的坐标
（1）如图所示，
（2）如图所示，
（3）由图可知，，，
，，
则的中点为，即，
则的中点为，即，
的中点均为，
与是以点为对称中心的中心对称图形，
旋转中心的坐标为．
17．（2025八下·龙岗期中）如图，中，点在边延长线上，的平分线交于点，过点作，垂足为，且．
（1）的度数是 ；
（2）求证：平分；
（3）若，且，求的面积．
【答案】（1）
（2）证明：如图，过点作于点，作于点，
平分，，
，
由（1）可知，，即平分，
，
，
又点在的内部，
平分．
（3）解：如图，过点作于点，作于点，
由（2）已得：，
设，
，
，
，即，
又，
，
，
，
的面积为．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】（1）解：，
，
，
，
．
【分析】（1）根据补角可得∠ACD，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）过点作于点，作于点，根据角平分线性质可得，由（1）可知，，即平分，根据角平分线性质康可得，则，再根据角平分线判定定理即可求出答案.
（3）过点作于点，作于点，由（2）已得：，设，根据三角形面积建立方程，解方程可得x，则EM=3，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：，
，
，
，
．
（2）证明：如图，过点作于点，作于点，
平分，，
，
由（1）可知，，即平分，
，
，
又点在的内部，
平分．
（3）解：如图，过点作于点，作于点，
由（2）已得：，
设，
，
，
，即，
又，
，
，
，
的面积为．
18．（2025八下·龙岗期中）【问题背景】综合实践小组准备用长方形木板和弹性系数的轻质弹簧制作一个简易弹簧测力计．
【查阅资料】如图1，弹簧未受力时的长度称为原长，记为．如图2，弹簧受到拉力F后的长度记为L，则弹簧伸长的长度．已知弹簧发生弹性形变时，拉力F的大小跟弹簧伸长的长度x成正比，即，k为弹簧的弹性系数．
【实验操作】综合实践小组利用该弹簧和两个完全一样的钩码设计了如下实验：
如图3，当弹簧末端悬挂一个钩码时，弹簧的长度．如图4，当弹簧末端悬挂两个钩码时，弹簧的长度．
任务1：
（1）①图3中弹簧伸长的长度______；（用含的式子表示）
②图4中弹簧伸长的长度______；（用含的式子表示）
（2）求弹簧的原长．
【确定量程】已知在弹性形变范围内，该弹簧伸长的长度x的最大值是．
任务2：
（3）求该弹簧测力计的量程（测量范围）．
【设计刻度】综合实践小组拟通过以下方式设计刻度，通过刻度直接读取拉力．
任务3：
（4）补全刻度设计方案．将0刻度放在距离木板上端处，每隔标记一次刻度，这样弹簧的长度每增加一个刻度，就代表拉力增加了______N．
【答案】解：（1）①；②；
（2）（2）∵拉力F的大小跟弹簧伸长的长度x成正比，即，
∴，，
又，
∴
∴；
（3）∵弹簧伸长的长度x的最大值是
∴，
∴，即，
∴该弹簧测力计的量程为；
（4）0.12.
【知识点】一元一次不等式的应用；解含括号的一元一次方程
【解析】【解答】解：（1）①图3中弹簧伸长的长度，
故答案为：；
②图4中弹簧伸长的长度，
故答案为：；
（4）∵，
∴ 1.2×0.1=0.12，即弹簧的长度每增加一个刻度，就代表拉力增加，
故答案为：（1）；（2）；（4）0.12．
【分析】（1）①②根据弹簧伸长的长度即可求得；
（2）根据可得，，根据，即可求得L0；
（3）根据弹簧伸长的长度x的最大值是，得出，再根据，即可求得量程；
（4）直接根据即可．
19．（2025八下·龙岗期中）知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等．
例1：分解因式；
解：将“”看成一个整体，令；
原式；
请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题：
（1）根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解．
（2）计算： ．
（3）已知，求的值．
【答案】（1）解：将看成一个整体，令，
则原式．
（2）
（3）解：∵，
∴
．
【知识点】因式分解﹣公式法；分式的加减法；整体思想
【解析】【解答】（2）解：将看成一个整体，令，将看成一个整体，令，
则原式
．
【分析】（1）将看成一个整体，令，根据完全平方进行因式分解即可求出答案.
（2）将看成一个整体，令，将看成一个整体，令，代入，结合多项式乘多项式化简即可求出答案.
（3）根据分式的加减化简即可求出答案.
（1）解：将看成一个整体，令，
则原式．
（2）解：将看成一个整体，令，将看成一个整体，令，
则原式
．
（3）解：∵，
∴
．
20．（2025八下·龙岗期中）已知：如图，与为等腰直角三角形，，点C，D分别在边上，且，连接，点为线段的中点，连接．
（1）观察猜想：如图①，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ．
（2）探究证明：将绕点顺时针旋转到图②的位置，请判断与的数量关系和位置关系，并说明理由．
（3）拓展延伸：若，把绕点在平面内自由旋转，请求出D，O，M三点共线时的长．
【答案】（1），
（2）解：，，理由如下：
延长至点，使，连接，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
故：，；
（3）解：①当在线段上时，如图，
由（2）知：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②当在上时，同理；
综上：．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；旋转的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（1）解：如图：
∵，
∴，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设交于点，则：，
∴；
故答案为：，；
【分析】（1）根据全等三角形判定定理可得，则，，根据直角三角形斜边上的中线性质可得，则，，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）延长至点，使，连接，根据线段中点可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，根据直线平行判定定理可得，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据角之间的关系即可求出答案.
（3）分情况讨论：①当在线段上时，由（2）知：，，则，再根据勾股定理即可求出答案；②当在上时，同理即可求出答案.
（1）解：∵，
∴，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设交于点，则：，
∴；
故答案为：，；
（2），，理由如下：
延长至点，使，连接，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
故：，；
（3）①当在线段上时，如图，
由（2）知：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②当在上时，同理；
综上：．
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