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广东省珠海部分学校2024-2025学年九年级下学期期中考试数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2025九下·珠海期中）在、、0、1这四个数中，最小的数是（　　）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵|-2|=2，，
∵-2<-<0<1，
∴最小的数是：-2.
故答案为：A.
【分析】根据数的比较中规定：正数都大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小，可知-2最小.
2．（2025九下·珠海期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，正确，故此选项符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
【分析】
A、
B、
C、
D、．
3．（2025九下·珠海期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵A选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，
∴A选项不符合题意；
∵B选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，
∴B选项不符合题意；
∵C选项中的图形不是轴对称图形，是中心对称图形，
∴C选项不符合题意；
∵D选项中的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，
∴D选项符合题意；
故选D
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形；将图形沿某一点旋转180°后能够重合的图形为中心对称图形.
4．（2025九下·珠海期中）DeepSeek﹣V3是一款基于混合专家（MoE）架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，DeepSeek的参数量已经高达亿，将亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：依题意，6710亿，
故选：C
【分析】用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数.
5．（2025九下·珠海期中）将一根木条固定在墙上，至少需要在木条上钉2枚钉子，这样做的数学依据是（　　）
A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短
C．两点之间，直线最短 D．以上说法都不对
【答案】A
【知识点】两点确定一条直线
【解析】【解答】解：将一根木条固定在墙上，至少需要在木条上钉2枚钉子，这样做的数学依据是两点确定一条直线，
故选：A.
【分析】根据两点确定一条直线即可求出答案.
6．（2025九下·珠海期中）圆锥的底面半径为1，母线长为2，则这个圆锥的侧面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：依题意知母线长为：2，底面半径r=1，
则由圆锥的侧面积公式得S=πrl=π×1×2=2π．
故选：B．
【分析】根据圆锥侧面积即可求出答案.
7．（2025九下·珠海期中）对于抛物线，下列判断不正确的是（　　）
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标是
C．对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而增大
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵中，
∴抛物线开口向下，
为顶点，
对称轴为直线，
当时，y随x的增大而增大．
故A，B，D正确，C错误，
故选：C．
【分析】根据二次函数性质即可求出答案.
8．（2025九下·珠海期中）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：重力的方向竖直向下，
重力与水平方向夹角为，
摩擦力的方向与斜面平行，，
，
故选：C．
【分析】根据三角形外角性质即可求出答案.
9．（2025九下·珠海期中）如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以为直径的圆经过点C，D，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；求正切值
【解析】【解答】解：如图，连接．
∵和所对的弧长都是，
∴根据圆周角定理知，，
∵为直径，
∴，
在中，根据锐角三角函数的定义知，
，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据圆周角定理得到，然后再在中，求出的正切值即可．
10．（2025九下·珠海期中）如图，，点D在边上（与B，O不重合），四边形为正方形，过点F作，交的延长线于点C，连接交于点H，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，点D坐标为，点A坐标为，给出以下结论：①四边形为矩形；②；③；④点H的坐标；⑤．其中正确的答案是（　　）
A．①③④⑤ B．①②③⑤ C．②③④⑤ D．①②③④
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；正方形的性质；一次函数的实际应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵点坐标为，点坐标为，
∴；
四边形为正方形，
，，
，
，
，
，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形，故①正确；
∴，
∴，
∵，
∴，故②正确；
在中，由勾股定理得，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，故③正确；
如图所示，过点E作轴于T，
同理可证明，
∴，
∴，
∴；
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
在中，当时，，
∴，故④正确；
∴，故⑤错误；
∴正确的是①②③④，
故选D．
【分析】根据两点间距离可得，根据正方形性质可得，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，根据直线平行判定定理可得，再根据矩形判定定理可判断①；根据三角形面积可判断②；根据勾股定理，结合边之间的关系可判断③；过点E作轴于T，根据全等三角形判定定理可得，则，根据点的坐标可得，设直线解析式为，根据待定系数法将点A，E坐标代入解析式可得直线解析式为，将x=3代入解析式可判断④；再根据勾股定理可判断⑤.
二、填空题（共5小题，每题3分，共15分）
11．（2025九下·珠海期中）因式分解： 　 　.
【答案】a(a-4)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】a2﹣4a=a（a﹣4）.
故答案为a（a﹣4）.
【分析】直接把公因式a提出来即可.
12．（2025九下·珠海期中）方程x(x－1)＝0的根是　 　.
【答案】x=0或x=1
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：依题意得：
x=0或x-1=0
∴x=0或x=1
【分析】根据因式分解法把方程转化为x=0或x-1=0，分别解方程即可求出答案.
13．（2025九下·珠海期中）函数的自变量x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意可得x-1>0，
解得x>1.
故答案为：x>1.
【分析】根据二次根式以及分式有意义的条件可得x-1>0，求解即可.
14．（2025九下·珠海期中）如图，点是反比例函数在第一象限图象上的任意一点，点分别在轴正半轴上，且轴，若的面积为，则k的值为　 　．
【答案】4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵轴，
∴等高，
∴，且点是反比例函数在第一象限图象上的任意一点，
∴，
故答案为：4 ．
【分析】连接，根据反比例函数k的几何意义即可求出答案.
15．（2025九下·珠海期中）如图， 在平面直角坐标系中， 已知点，，，点在以为圆心， 为半径的上运动， 且始终满足， 则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；切线的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，
连接，分别交于点，
∵，，，
∴为中点，
∵，
∴，
∴转化为以为圆心，为半径的圆与有公共点时求的取值范围，
∴与重合时有最小值，与重合时有最大值，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的取值范围是，
故答案为：．
【分析】连接，分别交于点，根据已知可求出，从而转化为转化为以为圆心，为半径的圆与有公共点时求的取值范围，即与重合时有最小值，与重合时有最大值，即可得，根据勾股定理得，即可得的取值范围是.
三、解答题一（每小题7分，共21分）
16．（2025九下·珠海期中）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】负整数指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据绝对值，二次根式，特殊角的三角函数值，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
17．（2025九下·珠海期中）如图，是等腰直角三角形，．
（1）尺规作图：作的角平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，延长至点，使，连接．求证：．
【答案】（1）解：根据尺规作角平分线的方法作图如下，
∴点即为所求点的位置；
（2）解：如图所示，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
又，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；尺规作图-作角的平分线；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义作图即可.
（2）根据等腰直角三角形性质可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（1）解：根据尺规作角平分线的方法作图如下，
∴点即为所求点的位置；
（2）解：如图所示，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
又，
∴，
∴．
18．（2025九下·珠海期中）已知关于的一元二次方程．
（1）当方程有两个实数根时，求的取值范围．
（2）当方程的两个根满足时，求的值．
【答案】（1）解：关于的一元二次方程，方程有两个实数根，
∴，
整理得，，
解得，；
（2）解：方程的两个根，
∴，
∵，
∴，整理得，，
∴，
整理得，，
∴，
解得，，
当时，，
解得，，符合题意；
当时，，
∵，
∴原方程无实数，
∴舍去，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）根据二次方程有两个实数根，则判别式，解不等式即可求出答案.
（2）根据二次方程根与系数的关系可得，再根据完全平方公式化简等式，再整体代入，解方程可得，再结合二次方程判别式即可求出答案.
（1）解：关于的一元二次方程，方程有两个实数根，
∴，
整理得，，
解得，；
（2）解：方程的两个根，
∴，
∵，
∴，整理得，，
∴，
整理得，，
∴，
解得，，
当时，，
解得，，符合题意；
当时，，
∵，
∴原方程无实数，
∴舍去，
∴．
四、解答题二（每小题9分，共27分）
19．（2025九下·珠海期中）“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之间”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知A，B，C，D，E五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
（1）请将条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为______；
（3）甲、乙两位同学计划从A，B，C三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率．
【答案】（1）解：参与调查的总人数为：（人），
∴选择大学的人数为：，
补全统计图如图如下：
（2）
（3）解：列表如下，
甲
乙
由表格可知，共有9种等可能结果，其中两人恰好选取同一所大学的结果数有3种，
∴甲、乙两人恰好选取同一所大学的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（2）解：在扇形统计图中，
所在的扇形的圆心角的度数为，
故答案为：．
【分析】（1）根据的人数除以的百分数求出总人数，即可求出的人数，补全统计图即可.
（2）根据D所在的扇形的圆心角的度数等于的占比乘以，代入数据即可得D所在的扇形的圆心角的度数.
（3）根据题意列表得总的结果数，再找到两人选择同一大学的结果数，最后根据概率计算公式求解即可.
（1）解：参与调查的总人数为（人）
∴选择大学的人数为，
补全统计图如图所示，
（2）解：在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为，
故答案为：．
（3）解：列表如下，
甲 乙
由表格可知，共有9种等可能结果，其中两人恰好选取同一所大学的结果数有3种，
∴甲、乙两人恰好选取同一所大学的概率为．
20．（2025九下·珠海期中）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米，此时太阳光线与地面的夹角为．（参考数据：，，）
（1）据研究，当一个人从遮阳篷进出时，如果遮阳篷外端（即图中）到地面的距离小于时，则人进出时总会觉得没有安全感，就会不自觉的低下头或者用手护着头，请你通过计算，判断人进出此遮阳篷时是否有安全感；
（2）求阴影的长．（结果精确到0.1米）
【答案】（1）解：如图，
过点A作于点F，则，
在中，，
∴（米），
∴（米），
∵，
∴，
∴人进出此遮阳篷时有安全感.
（2）解：如图，
过点A作于点F，过点D作于点G，
根据（1）的解答，得，，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴（米），
∴阴影的长米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）过点A作于点F，则，根据锐角三角函数的定义可得（米），（米），进一步得，即可得人进出此遮阳篷时有安全感.
（2）过点A作于点F，过点D作于点G，根据（1）的解答，得，，
先根据题目条件判断四边形是矩形，即可得，，进一步计算得阴影的长米．
（1）解：过点A作于点F，
则，
在中，，
∴（米），
∴（米），
∵，
∴，
故人进出此遮阳篷时有安全感．
（2）解：过点A作于点F，过点D作于点G，
根据（1）的解答，得，，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴（米），
答：阴影的长米．
21．（2025九下·珠海期中）如图，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC.
（1）求证：BC平分∠PBD；
（2）求证：PC2＝PA·PB；
（3）若PA＝2，PC＝2，求阴影部分的面积(结果保留π).
【答案】（1）连接OC，∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥PD，∵BD⊥PD，∴BD∥OC，∴∠DBC＝∠BCO，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠OBC＝∠CBD，∴BC平分∠PBD；（2）连接AC，∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO＋∠BCO＝∠ACO＋∠ABC＝90°，∵∠PCA＋∠ACO＝90°，∴∠ACP＝∠ABC，∵∠P＝∠P，∴△ACP∽△CBP，∴＝，∴PC2＝PA·PB；（3）∵PC2＝PA·PB，PA＝2，PC＝2，∴PB＝6，∴AB＝4，∴OC＝2，PO＝4，∴∠POC＝60°，∴S阴影＝S△POC－S扇形＝×2×2－＝2－π.
（1）证明：连接OC，
∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥PD，
∵BD⊥PD，
∴BD∥OC，
∴∠DBC＝∠BCO，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠OBC＝∠CBD，
∴BC平分∠PBD；
（2）证明：连接AC，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO＋∠BCO＝∠ACO＋∠ABC＝90°，
∵∠PCA＋∠ACO＝90°，
∴∠ACP＝∠ABC，
∵∠P＝∠P，
∴△ACP∽△CBP，
∴＝，
∴PC2＝PA·PB；
（3）解：∵PC2＝PA·PB，PA＝2，PC＝2，
∴PB＝6，
∴AB＝4，
∴OC＝2，PO＝4，
∴∠POC＝60°，
∴S阴影＝S△POC－S扇形＝×2×2－＝2－π.
【知识点】切线的性质；扇形面积的计算；角平分线的概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接OC，由PD切⊙O于点C，得到OC⊥PD，根据平行线的性质得到∠DBC=∠BCO，又因为∠OCB=∠OBC，等量代换得到∠OBC=∠CBD；
（2）连接AC，由AB是半圆O的直径，得到∠ACB=90°，推出∠ACP=∠ABC，△ACP∽△CBP，由相似三角形的性质，得＝；
（3）根据图形的面积公式即可得到结果．
五、解答题三（第22题13分，第23题14分，共27分）
22．（2025九下·珠海期中）如图，矩形中，，，点是边上的一个动点，连接，过点作的垂线交于点，以为斜边作等腰直角三角形（点在上方）．
（1）若，求的长；
（2）当点E从点A运动到点B的过程中，的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到边的距离的最大值．
（3）当点E从点A运动到点B时，点G也随之运动，设线段长为t，四边形的面积为s，问：s是t的函数吗？如果是，求出函数解析式，如果不是，说明理由．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
（2）解：如图，找中点，作于，
由题意知，的外接圆的圆心在线段的中点处，圆心到边的距离为，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设 ，则，
由（1）可知，
∴，
∴
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴的最大值为，
∴圆心到边的距离的最大值为；
（3）解：s是t的函数，
过点作，于点，，连接，如图，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，，
∴，，
∵以为斜边作等腰直角三角形，
∴，，
则，
∴，
∴，
∴，，
则四边形为正方形，
∴四边形的面积，
∵线段的长，
由勾股定理得：，
∴
∴，
那么，．
【知识点】二次函数的最值；正方形的判定与性质；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据边之间的关系可得，根据矩形性质可得，根据角之间的关系可得，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
（2）找中点，作于，由题意知，的外接圆的圆心在线段的中点处，圆心到边的距离为，根据直线平行判定定理可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，即，设 ，则，根据相似三角形判定定理性质可得，代值化简可得，结合二次函数性质即可求出答案.
（3）过点作，于点，，连接，根据矩形判定定理可得四边形为矩形，，则，，根据等腰直角三角形性质可得，，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据正方形判定定理可得四边形为正方形，再根据，根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
故答案为：．
（2）解：如图，找中点，作于，
由题意知，的外接圆的圆心在线段的中点处，圆心到边的距离为，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设 ，则，
由（1）可知，
∴，
∴
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴的最大值为，
∴圆心到边的距离的最大值为；
（3）解：s是t的函数，
过点作，于点，，连接，如图，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，，
∴，，
∵以为斜边作等腰直角三角形，
∴，，
则，
∴，
∴，
∴，，
则四边形为正方形，
∴四边形的面积，
∵线段的长，
由勾股定理得：，
∴
∴，
那么，．
23．（2025九下·珠海期中）如图（1）是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点是抛物线的顶点，杯底，点是的中点，且，杯子的高度（即之间的距离）为．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系（个单位长度表示）．
（1）求杯体所在抛物线的解析式；
（2）将杯子向右平移，并倒满饮料，杯体与轴交于点，如图（2），过点放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点，设吸管所在直线的解析式为，写出的取值范围______________；
（3）将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，如图（3），液面恰好到达点处，此时，
①请你以的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，并求出与轴的交点坐标：
②求出此时杯子内液体的最大深度．
【答案】（1）解：∵点是的中点，且，杯子的高度（即之间的距离）为，
∴，，
设杯体所在抛物线的解析式为，
∴，
解得，，
∴抛物线解析式为；
（2）
（3）解：①建立平面直角坐标系如图所示，设与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，
根据题意，，，杯子的高度（即之间的距离）为，
∴，，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴与轴的交点坐标；
②已知二次函数解析式为，如图所示，在抛物线第一象限取点，过点作轴交于点，过点作轴于点，作于点，
∴，，，
∴，
由（2）可知，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∵轴，
∴，
∴，
∴杯子内液体的最大深度为．
【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（2）解：抛物线解析式为，将杯子向右平移，
∴平移后的解析式为，则，
∴抛物线的对称轴直线为：，
当时，，即，如图所示，连接，
∴点的对称点坐标为，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
∵喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点，
∴；
【分析】（1）根据点的坐标可得，，设杯体所在抛物线的解析式为，根据待定系数法将点C坐标代入解析式即可求出答案.
（2）根据函数图象的平移性质可得平移后的解析式为，则，当时，，即，连接，则点的对称点坐标为，设直线的解析式为，根据待定系数法将点D坐标代入解析式可得直线的解析式为，设直线的解析式为，再根据待定系数法将点D，F坐标代入解析式即可求出答案.
（3）①建立平面直角坐标系，设与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，根据题意，，，杯子的高度（即之间的距离）为，则，，，解直角三角形可得，根据点的坐标可得OM，再根据点的坐标即可求出答案.
②已知二次函数解析式为，在抛物线第一象限取点，过点作轴交于点，过点作轴于点，作于点，则，，，，根据边之间的关系可得OH，根据点的坐标可得，再根据两点间距离可得GN，结合二次函数的性质可得当时，有最大值，最大值为，根据直线平行性质可得，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
（1）解：∵点是的中点，且，杯子的高度（即之间的距离）为，
∴，，
设杯体所在抛物线的解析式为，
∴，
解得，，
∴抛物线解析式为；
（2）解：抛物线解析式为，将杯子向右平移，
∴平移后的解析式为，则，
∴抛物线的对称轴直线为：，
当时，，即，如图所示，连接，
∴点的对称点坐标为，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
∵喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点，
∴；
（3）解：①建立平面直角坐标系如图所示，设与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，
根据题意，，，杯子的高度（即之间的距离）为，
∴，，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴与轴的交点坐标；
②已知二次函数解析式为，如图所示，在抛物线第一象限取点，过点作轴交于点，过点作轴于点，作于点，
∴，，，
∴，
由（2）可知，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∵轴，
∴，
∴，
∴杯子内液体的最大深度为．
1 / 1广东省珠海部分学校2024-2025学年九年级下学期期中考试数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（2025九下·珠海期中）在、、0、1这四个数中，最小的数是（　　）
A． B． C．0 D．1
2．（2025九下·珠海期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025九下·珠海期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025九下·珠海期中）DeepSeek﹣V3是一款基于混合专家（MoE）架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，DeepSeek的参数量已经高达亿，将亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025九下·珠海期中）将一根木条固定在墙上，至少需要在木条上钉2枚钉子，这样做的数学依据是（　　）
A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短
C．两点之间，直线最短 D．以上说法都不对
6．（2025九下·珠海期中）圆锥的底面半径为1，母线长为2，则这个圆锥的侧面积是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025九下·珠海期中）对于抛物线，下列判断不正确的是（　　）
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的顶点坐标是
C．对称轴为直线 D．当时，y随x的增大而增大
8．（2025九下·珠海期中）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025九下·珠海期中）如图，在边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以为直径的圆经过点C，D，则的值为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025九下·珠海期中）如图，，点D在边上（与B，O不重合），四边形为正方形，过点F作，交的延长线于点C，连接交于点H，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，点D坐标为，点A坐标为，给出以下结论：①四边形为矩形；②；③；④点H的坐标；⑤．其中正确的答案是（　　）
A．①③④⑤ B．①②③⑤ C．②③④⑤ D．①②③④
二、填空题（共5小题，每题3分，共15分）
11．（2025九下·珠海期中）因式分解： 　 　.
12．（2025九下·珠海期中）方程x(x－1)＝0的根是　 　.
13．（2025九下·珠海期中）函数的自变量x的取值范围是　 　．
14．（2025九下·珠海期中）如图，点是反比例函数在第一象限图象上的任意一点，点分别在轴正半轴上，且轴，若的面积为，则k的值为　 　．
15．（2025九下·珠海期中）如图， 在平面直角坐标系中， 已知点，，，点在以为圆心， 为半径的上运动， 且始终满足， 则的取值范围是　 　．
三、解答题一（每小题7分，共21分）
16．（2025九下·珠海期中）计算：．
17．（2025九下·珠海期中）如图，是等腰直角三角形，．
（1）尺规作图：作的角平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，延长至点，使，连接．求证：．
18．（2025九下·珠海期中）已知关于的一元二次方程．
（1）当方程有两个实数根时，求的取值范围．
（2）当方程的两个根满足时，求的值．
四、解答题二（每小题9分，共27分）
19．（2025九下·珠海期中）“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之间”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知A，B，C，D，E五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
（1）请将条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为______；
（3）甲、乙两位同学计划从A，B，C三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率．
20．（2025九下·珠海期中）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米，此时太阳光线与地面的夹角为．（参考数据：，，）
（1）据研究，当一个人从遮阳篷进出时，如果遮阳篷外端（即图中）到地面的距离小于时，则人进出时总会觉得没有安全感，就会不自觉的低下头或者用手护着头，请你通过计算，判断人进出此遮阳篷时是否有安全感；
（2）求阴影的长．（结果精确到0.1米）
21．（2025九下·珠海期中）如图，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC.
（1）求证：BC平分∠PBD；
（2）求证：PC2＝PA·PB；
（3）若PA＝2，PC＝2，求阴影部分的面积(结果保留π).
五、解答题三（第22题13分，第23题14分，共27分）
22．（2025九下·珠海期中）如图，矩形中，，，点是边上的一个动点，连接，过点作的垂线交于点，以为斜边作等腰直角三角形（点在上方）．
（1）若，求的长；
（2）当点E从点A运动到点B的过程中，的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到边的距离的最大值．
（3）当点E从点A运动到点B时，点G也随之运动，设线段长为t，四边形的面积为s，问：s是t的函数吗？如果是，求出函数解析式，如果不是，说明理由．
23．（2025九下·珠海期中）如图（1）是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点是抛物线的顶点，杯底，点是的中点，且，杯子的高度（即之间的距离）为．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系（个单位长度表示）．
（1）求杯体所在抛物线的解析式；
（2）将杯子向右平移，并倒满饮料，杯体与轴交于点，如图（2），过点放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点，设吸管所在直线的解析式为，写出的取值范围______________；
（3）将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，如图（3），液面恰好到达点处，此时，
①请你以的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，并求出与轴的交点坐标：
②求出此时杯子内液体的最大深度．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵|-2|=2，，
∵-2<-<0<1，
∴最小的数是：-2.
故答案为：A.
【分析】根据数的比较中规定：正数都大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小，可知-2最小.
2．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，正确，故此选项符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
【分析】
A、
B、
C、
D、．
3．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵A选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，
∴A选项不符合题意；
∵B选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，
∴B选项不符合题意；
∵C选项中的图形不是轴对称图形，是中心对称图形，
∴C选项不符合题意；
∵D选项中的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，
∴D选项符合题意；
故选D
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形；将图形沿某一点旋转180°后能够重合的图形为中心对称图形.
4．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：依题意，6710亿，
故选：C
【分析】用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数.
5．【答案】A
【知识点】两点确定一条直线
【解析】【解答】解：将一根木条固定在墙上，至少需要在木条上钉2枚钉子，这样做的数学依据是两点确定一条直线，
故选：A.
【分析】根据两点确定一条直线即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：依题意知母线长为：2，底面半径r=1，
则由圆锥的侧面积公式得S=πrl=π×1×2=2π．
故选：B．
【分析】根据圆锥侧面积即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵中，
∴抛物线开口向下，
为顶点，
对称轴为直线，
当时，y随x的增大而增大．
故A，B，D正确，C错误，
故选：C．
【分析】根据二次函数性质即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：重力的方向竖直向下，
重力与水平方向夹角为，
摩擦力的方向与斜面平行，，
，
故选：C．
【分析】根据三角形外角性质即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】圆周角定理；求正切值
【解析】【解答】解：如图，连接．
∵和所对的弧长都是，
∴根据圆周角定理知，，
∵为直径，
∴，
在中，根据锐角三角函数的定义知，
，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据圆周角定理得到，然后再在中，求出的正切值即可．
10．【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；正方形的性质；一次函数的实际应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵点坐标为，点坐标为，
∴；
四边形为正方形，
，，
，
，
，
，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形，故①正确；
∴，
∴，
∵，
∴，故②正确；
在中，由勾股定理得，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，故③正确；
如图所示，过点E作轴于T，
同理可证明，
∴，
∴，
∴；
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
在中，当时，，
∴，故④正确；
∴，故⑤错误；
∴正确的是①②③④，
故选D．
【分析】根据两点间距离可得，根据正方形性质可得，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，根据直线平行判定定理可得，再根据矩形判定定理可判断①；根据三角形面积可判断②；根据勾股定理，结合边之间的关系可判断③；过点E作轴于T，根据全等三角形判定定理可得，则，根据点的坐标可得，设直线解析式为，根据待定系数法将点A，E坐标代入解析式可得直线解析式为，将x=3代入解析式可判断④；再根据勾股定理可判断⑤.
11．【答案】a(a-4)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】a2﹣4a=a（a﹣4）.
故答案为a（a﹣4）.
【分析】直接把公因式a提出来即可.
12．【答案】x=0或x=1
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：依题意得：
x=0或x-1=0
∴x=0或x=1
【分析】根据因式分解法把方程转化为x=0或x-1=0，分别解方程即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意可得x-1>0，
解得x>1.
故答案为：x>1.
【分析】根据二次根式以及分式有意义的条件可得x-1>0，求解即可.
14．【答案】4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵轴，
∴等高，
∴，且点是反比例函数在第一象限图象上的任意一点，
∴，
故答案为：4 ．
【分析】连接，根据反比例函数k的几何意义即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；切线的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，
连接，分别交于点，
∵，，，
∴为中点，
∵，
∴，
∴转化为以为圆心，为半径的圆与有公共点时求的取值范围，
∴与重合时有最小值，与重合时有最大值，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的取值范围是，
故答案为：．
【分析】连接，分别交于点，根据已知可求出，从而转化为转化为以为圆心，为半径的圆与有公共点时求的取值范围，即与重合时有最小值，与重合时有最大值，即可得，根据勾股定理得，即可得的取值范围是.
16．【答案】解：
．
【知识点】负整数指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据绝对值，二次根式，特殊角的三角函数值，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
17．【答案】（1）解：根据尺规作角平分线的方法作图如下，
∴点即为所求点的位置；
（2）解：如图所示，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
又，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；尺规作图-作角的平分线；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义作图即可.
（2）根据等腰直角三角形性质可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（1）解：根据尺规作角平分线的方法作图如下，
∴点即为所求点的位置；
（2）解：如图所示，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
又，
∴，
∴．
18．【答案】（1）解：关于的一元二次方程，方程有两个实数根，
∴，
整理得，，
解得，；
（2）解：方程的两个根，
∴，
∵，
∴，整理得，，
∴，
整理得，，
∴，
解得，，
当时，，
解得，，符合题意；
当时，，
∵，
∴原方程无实数，
∴舍去，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）根据二次方程有两个实数根，则判别式，解不等式即可求出答案.
（2）根据二次方程根与系数的关系可得，再根据完全平方公式化简等式，再整体代入，解方程可得，再结合二次方程判别式即可求出答案.
（1）解：关于的一元二次方程，方程有两个实数根，
∴，
整理得，，
解得，；
（2）解：方程的两个根，
∴，
∵，
∴，整理得，，
∴，
整理得，，
∴，
解得，，
当时，，
解得，，符合题意；
当时，，
∵，
∴原方程无实数，
∴舍去，
∴．
19．【答案】（1）解：参与调查的总人数为：（人），
∴选择大学的人数为：，
补全统计图如图如下：
（2）
（3）解：列表如下，
甲
乙
由表格可知，共有9种等可能结果，其中两人恰好选取同一所大学的结果数有3种，
∴甲、乙两人恰好选取同一所大学的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（2）解：在扇形统计图中，
所在的扇形的圆心角的度数为，
故答案为：．
【分析】（1）根据的人数除以的百分数求出总人数，即可求出的人数，补全统计图即可.
（2）根据D所在的扇形的圆心角的度数等于的占比乘以，代入数据即可得D所在的扇形的圆心角的度数.
（3）根据题意列表得总的结果数，再找到两人选择同一大学的结果数，最后根据概率计算公式求解即可.
（1）解：参与调查的总人数为（人）
∴选择大学的人数为，
补全统计图如图所示，
（2）解：在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为，
故答案为：．
（3）解：列表如下，
甲 乙
由表格可知，共有9种等可能结果，其中两人恰好选取同一所大学的结果数有3种，
∴甲、乙两人恰好选取同一所大学的概率为．
20．【答案】（1）解：如图，
过点A作于点F，则，
在中，，
∴（米），
∴（米），
∵，
∴，
∴人进出此遮阳篷时有安全感.
（2）解：如图，
过点A作于点F，过点D作于点G，
根据（1）的解答，得，，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴（米），
∴阴影的长米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）过点A作于点F，则，根据锐角三角函数的定义可得（米），（米），进一步得，即可得人进出此遮阳篷时有安全感.
（2）过点A作于点F，过点D作于点G，根据（1）的解答，得，，
先根据题目条件判断四边形是矩形，即可得，，进一步计算得阴影的长米．
（1）解：过点A作于点F，
则，
在中，，
∴（米），
∴（米），
∵，
∴，
故人进出此遮阳篷时有安全感．
（2）解：过点A作于点F，过点D作于点G，
根据（1）的解答，得，，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴（米），
答：阴影的长米．
21．【答案】（1）连接OC，∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥PD，∵BD⊥PD，∴BD∥OC，∴∠DBC＝∠BCO，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠OBC＝∠CBD，∴BC平分∠PBD；（2）连接AC，∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO＋∠BCO＝∠ACO＋∠ABC＝90°，∵∠PCA＋∠ACO＝90°，∴∠ACP＝∠ABC，∵∠P＝∠P，∴△ACP∽△CBP，∴＝，∴PC2＝PA·PB；（3）∵PC2＝PA·PB，PA＝2，PC＝2，∴PB＝6，∴AB＝4，∴OC＝2，PO＝4，∴∠POC＝60°，∴S阴影＝S△POC－S扇形＝×2×2－＝2－π.
（1）证明：连接OC，
∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥PD，
∵BD⊥PD，
∴BD∥OC，
∴∠DBC＝∠BCO，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠OBC＝∠CBD，
∴BC平分∠PBD；
（2）证明：连接AC，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO＋∠BCO＝∠ACO＋∠ABC＝90°，
∵∠PCA＋∠ACO＝90°，
∴∠ACP＝∠ABC，
∵∠P＝∠P，
∴△ACP∽△CBP，
∴＝，
∴PC2＝PA·PB；
（3）解：∵PC2＝PA·PB，PA＝2，PC＝2，
∴PB＝6，
∴AB＝4，
∴OC＝2，PO＝4，
∴∠POC＝60°，
∴S阴影＝S△POC－S扇形＝×2×2－＝2－π.
【知识点】切线的性质；扇形面积的计算；角平分线的概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接OC，由PD切⊙O于点C，得到OC⊥PD，根据平行线的性质得到∠DBC=∠BCO，又因为∠OCB=∠OBC，等量代换得到∠OBC=∠CBD；
（2）连接AC，由AB是半圆O的直径，得到∠ACB=90°，推出∠ACP=∠ABC，△ACP∽△CBP，由相似三角形的性质，得＝；
（3）根据图形的面积公式即可得到结果．
22．【答案】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
（2）解：如图，找中点，作于，
由题意知，的外接圆的圆心在线段的中点处，圆心到边的距离为，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设 ，则，
由（1）可知，
∴，
∴
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴的最大值为，
∴圆心到边的距离的最大值为；
（3）解：s是t的函数，
过点作，于点，，连接，如图，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，，
∴，，
∵以为斜边作等腰直角三角形，
∴，，
则，
∴，
∴，
∴，，
则四边形为正方形，
∴四边形的面积，
∵线段的长，
由勾股定理得：，
∴
∴，
那么，．
【知识点】二次函数的最值；正方形的判定与性质；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据边之间的关系可得，根据矩形性质可得，根据角之间的关系可得，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
（2）找中点，作于，由题意知，的外接圆的圆心在线段的中点处，圆心到边的距离为，根据直线平行判定定理可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，即，设 ，则，根据相似三角形判定定理性质可得，代值化简可得，结合二次函数性质即可求出答案.
（3）过点作，于点，，连接，根据矩形判定定理可得四边形为矩形，，则，，根据等腰直角三角形性质可得，，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据正方形判定定理可得四边形为正方形，再根据，根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
故答案为：．
（2）解：如图，找中点，作于，
由题意知，的外接圆的圆心在线段的中点处，圆心到边的距离为，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设 ，则，
由（1）可知，
∴，
∴
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴的最大值为，
∴圆心到边的距离的最大值为；
（3）解：s是t的函数，
过点作，于点，，连接，如图，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，，
∴，，
∵以为斜边作等腰直角三角形，
∴，，
则，
∴，
∴，
∴，，
则四边形为正方形，
∴四边形的面积，
∵线段的长，
由勾股定理得：，
∴
∴，
那么，．
23．【答案】（1）解：∵点是的中点，且，杯子的高度（即之间的距离）为，
∴，，
设杯体所在抛物线的解析式为，
∴，
解得，，
∴抛物线解析式为；
（2）
（3）解：①建立平面直角坐标系如图所示，设与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，
根据题意，，，杯子的高度（即之间的距离）为，
∴，，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴与轴的交点坐标；
②已知二次函数解析式为，如图所示，在抛物线第一象限取点，过点作轴交于点，过点作轴于点，作于点，
∴，，，
∴，
由（2）可知，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∵轴，
∴，
∴，
∴杯子内液体的最大深度为．
【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（2）解：抛物线解析式为，将杯子向右平移，
∴平移后的解析式为，则，
∴抛物线的对称轴直线为：，
当时，，即，如图所示，连接，
∴点的对称点坐标为，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
∵喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点，
∴；
【分析】（1）根据点的坐标可得，，设杯体所在抛物线的解析式为，根据待定系数法将点C坐标代入解析式即可求出答案.
（2）根据函数图象的平移性质可得平移后的解析式为，则，当时，，即，连接，则点的对称点坐标为，设直线的解析式为，根据待定系数法将点D坐标代入解析式可得直线的解析式为，设直线的解析式为，再根据待定系数法将点D，F坐标代入解析式即可求出答案.
（3）①建立平面直角坐标系，设与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，根据题意，，，杯子的高度（即之间的距离）为，则，，，解直角三角形可得，根据点的坐标可得OM，再根据点的坐标即可求出答案.
②已知二次函数解析式为，在抛物线第一象限取点，过点作轴交于点，过点作轴于点，作于点，则，，，，根据边之间的关系可得OH，根据点的坐标可得，再根据两点间距离可得GN，结合二次函数的性质可得当时，有最大值，最大值为，根据直线平行性质可得，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
（1）解：∵点是的中点，且，杯子的高度（即之间的距离）为，
∴，，
设杯体所在抛物线的解析式为，
∴，
解得，，
∴抛物线解析式为；
（2）解：抛物线解析式为，将杯子向右平移，
∴平移后的解析式为，则，
∴抛物线的对称轴直线为：，
当时，，即，如图所示，连接，
∴点的对称点坐标为，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
∵喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点，
∴；
（3）解：①建立平面直角坐标系如图所示，设与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，
根据题意，，，杯子的高度（即之间的距离）为，
∴，，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴与轴的交点坐标；
②已知二次函数解析式为，如图所示，在抛物线第一象限取点，过点作轴交于点，过点作轴于点，作于点，
∴，，，
∴，
由（2）可知，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∵轴，
∴，
∴，
∴杯子内液体的最大深度为．
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