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广东省广州市花都区秀全外国语学校2024-2025学年八年级下学期数学期中试题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，用2B铅笔将答案涂在答题卡上，并写在答卷的方框内）
1．（2025八下·花都期中）要使有意义，则的值可以是（　　）
A． B．0 C．1 D．2
2．（2025八下·花都期中）以长度分别为下列各组数的线段为边，其中能构成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．6，8，12
3．（2025八下·花都期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·花都期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·花都期中）如图，在中，对角线、交于点，且，，则的周长为（　　）
A．28 B．24 C．18 D．14
6．（2025八下·花都期中）下列说法正确的是（　　）
A．四条边相等的四边形是矩形
B．有一个角是的平行四边形是正方形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
7．（2025八下·花都期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是，则正方形的面积是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025八下·花都期中）如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（　　）
A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.8
9．（2025八下·花都期中）如图，菱形的顶点坐标为，顶点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025八下·花都期中）如图，正方形的边长为，作正方形，使，，，是正方形各边的中点；做正方形，使，，，是正方形各边的中点……以此类推，则正方形的边长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025八下·花都期中）“两条直线平行，同位角相等”的逆命题可以写成　 　．
12．（2025八下·花都期中）如图，在数轴上点表示3，过点作，且，连接，以为圆心，为半径画弧交数轴正半轴于点，则点所表示的数为　 　．
13．（2025八下·花都期中） 已知菱形 的对角长 ， 则菱形 的面积为　 　.
14．（2025八下·花都期中）已知，化简：　 　．
15．（2025八下·花都期中）如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，则折痕的长为　 　．
16．（2025八下·花都期中）如图，在菱形中，，，，分别为，上的两个动点，，，分别交于点，．以下结论：①；②；③；④的最小值为．其中正确的结论是　 　．（请填写正确的序号）
三、解答题（本大题共9题，共72分，解答题应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（2025八下·花都期中）计算：．
18．（2025八下·花都期中）如图，在平行四边形中，分别是边上的点，且，求证：四边形是平行四边形．
19．（2025八下·花都期中）已知一个直角三角形的两条直角边长分别为和．求这个直角三角形的斜边长和面积．
20．（2025八下·花都期中）如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C是小正方形的顶点．
（1）求线段的长度；
（2）试判断的形状，并说明理由．
21．（2025八下·花都期中）如图，四边形是平行四边形．
（1）尺规作图：作的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接，，求证：四边形是菱形．
22．（2025八下·花都期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，M为斜边AB上一动点，过M分别作MD⊥AC于点D， 作ME⊥CB于点E．
(1) 求证：四边形DMEC是矩形．
(2) 求线段DE的最小值．
23．（2025八下·花都期中）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为，和的正方形木板，，．
（1）木板①中截出的正方形木板的边长为______（结果保留根号）；
（2）求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积（结果保留根号）；
（3）乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由．
24．（2025八下·花都期中）综合与实践：某校数学课题学习小组在“测量教学楼高度”的活动中，甲，乙两个小组分别设计了以下测量方案：
课题 测量教学楼的高度
测量小组 甲组 乙组
测量示意图
测量说明 于点，，图中所有的点都在同一平面内 于点，点、、在一条水平直线上，图中所有的点都在同一平面内
测量数据 ，， ，，
请你选择其中的一种测量方案，求教学楼的高度（结果保留根号）．
25．（2025八下·花都期中）定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）如图1，在四边形中，如果，，那么四边形　 　垂美四边形（填“是”或“不是”）．
（2）如图2，探究垂美四边形两组对边、与、之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明．
（3）如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形与正方形，连接，，，与交于点，已知，，求的中线的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴，
解得：，
∴只有D选项中的2符合题意．
故选：D．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A.因为，所以不能构成直角三角形；
B.因为，所以能构成直角三角形；
C.因为，所以不能构成直角三角形；
D.因为，所以不能构成直角三角形；
故答案为：B．
【分析】利用勾股定理的逆定理（两边平方和等于第三边平方）逐项分析判断即可.
3．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A中，不是最简二次根式，故不符合要求；
B中，是最简二次根式，故符合要求；
C中，不是最简二次根式，故不符合要求；
D中，不是最简二次根式，故不符合要求；
故答案为：B．
【分析】根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，故不正确；
B．，故不正确；
C．，故不正确；
D．，正确；
故选D．
【分析】根据二次根式的四则运算逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴的周长，
故选：C．
【分析】根据平行四边形性质可得，，再根据三角形周长，结合边之间的关系即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A．四条边相等的四边形是菱形，不一定是矩形，故选项错误，不符合题意；
B．有一个角是的平行四边形是矩形， 不一定是正方形 ，故选项错误，不符合题意；
C． 根据菱形的判定，对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故选项正确，符合题意；
D．一组对边平行且相等的四边形 可能是等腰梯形，不一定是平行四边形 ，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
【分析】
根据菱形、矩形、正方形、平行四边形的判定方法逐项判断即可求解．
7．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，分别设正方形的边长为，
由勾股定理得，，
正方形的面积，
故选：A．
【分析】分别设正方形的边长为，根据勾股定理即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】解：∵米，米，
∴（米），
∵梯子的顶部下滑0.4米，
∴米，
∴米，
∴米．
∴梯子的底部向外滑出（米）．
故答案为：D．
【分析】在Rt△中，由勾股定理得BC=2.4，抓住“梯子长度不变”得=2，在Rt△中，勾股定理得=1.5，得=0.8．
9．【答案】A
【知识点】点的坐标；菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：菱形的顶点坐标为，
，
顶点的横坐标为，
顶点的坐标为，
故选：A．
【分析】根据菱形性质及勾股定理可得OA=AB=5，再根据点的坐标即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】正方形的性质；用代数式表示图形变化规律；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，边长为，
∴，，
∵点是正方形边的中点，
∴，，
同理，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，则
∴正方形的边长为，
同理，是等腰直角三角形，
∴，则，
∴正方形的边长为，
，
∴正方形的边长为，
∴正方形的边长为，
故选：B ．
【分析】根据正方形性质可得，，，，同理，，根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，则，根据正方形性质可得正方形的边长为，同理，是等腰直角三角形，则，则，根据正方形性质可得正方形的边长为，总结规律即可求出答案.
11．【答案】同位角相等，两直线平行
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：命题“两直线平行，同位角相等．”的题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”．
所以它的逆命题是“同位角相等，两直线平行．”
故答案为：同位角相等，两直线平行．
【分析】根据逆命题即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；数形结合；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：由题意可知，
根据勾股定理，得，
，
因为点在正半轴，
所以点对应的实数为．
故答案为：．
【分析】根据数轴可知OA=3，AB=2，由勾股定理得=．
13．【答案】36
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，，，
∴菱形的面积为．
故答案为：36
【分析】根据菱形的性质（面积为对角线乘积的一半）结合题意进行计算即可求解。
14．【答案】1
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：1．
【分析】根据二次根式性质，结合完全平方公式化简计算即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，，，
折叠，
，
设，
则，
在中，，
，
解得，，
，，
，
，
，
，
，
作于，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
故答案为：．
【分析】根据矩形性质可得，，，根据折叠性质可得，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程可得，则，，根据直线平行性质可得，则，根据等角对等边可得，作于，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，，根据边之间的关系可得FH，再根据勾股定理即可求出答案.
16．【答案】①②④
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作于点，
四边形是菱形，，，
，，，
和是等边三角形，，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，故①正确；
，，②正确；
随着点离点越近，点离点越近，则点离点越近，点离菱形的对角线交点越近，则越接近等于，
错误，即③错误；
，，
点到的距离，
的最小值，等于当时，的值，
当时，，
此时，，
的最小值，故④正确，
综上所述，正确的结论是①②④．
【分析】连接，过点作于点，根据菱形性质可得，，，根据等边三角形判定定理可得和是等边三角形，，则，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质可判断①；根据边之间的关系可判断②，③；根据等腰三角形三线合一性质可得点到的距离，则的最小值，等于当时，的值，根据含30°角的直角三角形性质可得BM，根据勾股定理可得AM即可求出答案.
17．【答案】解：；
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【分析】根据二次根式减法即可求出答案.
18．【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形判定定理及性质即可求出答案.
19．【答案】解：直角三角形的斜边长，
直角三角形的面积．
【知识点】二次根式的混合运算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】根据勾股定理及三角形面积即可求出答案.
20．【答案】（1）解：每个小正方形的边长均为1，
根据勾股定理得，

（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：
连接，
根据勾股定理得，，，
为等腰直角三角形．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）构造格点直角三角形，根据勾股定理即可得到AB的值；
（2）根据勾股定理分别计算AB、BC、AC，然后用勾股定理逆定理即可得到结论。
（1）解：每个小正方形的边长均为1，
根据勾股定理得，；
（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：
连接，
根据勾股定理得，，，，
，
为等腰直角三角形．
21．【答案】（1）解：如图，
直线即为所求；
（2）证明：设与交于点，
∵四边形是平行四边形，
，
，
垂直平分，
，即，
在和中，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴四边形是菱形；
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】
(1)根据垂直平分线的作法“分别以点B、D为圆心，以大于线段BD的一半为半径画弧，过两弧的两个交点作直线分别与AD、BC交于点E、F，直线EF为所求”作图即可；
(2)由线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”可得BO=DO，结合已知，用角角边可证，由全等三角形的对应边相等可得，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可求解.
（1）解：如图，
直线即为所求；
（2）证明：设与交于点，
∵四边形是平行四边形，
，
，
垂直平分，
，即，
在和中，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴四边形是菱形；
22．【答案】解：（1）∵MD⊥AC，ME⊥CB，∴∠MDC=∠MEC=90°，
又∵∠C=90°，∴ 四边形CDME是矩形；
（2）如图所示：连接CM，
∵四边形CDME是矩形，∴DE=CM，
∵∠C=90°，BC=3，AC=4，∴ AB== =5，
当CM⊥AB时，CM最短， 此时△ABC的面积=AB CM=BC AC，
∴CM的最小值= = ，
∴线段DE的最小值为.
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；勾股定理的应用；矩形的判定与性质；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）由MD⊥AC，ME⊥CB及∠C=90°，根据有三个角是直角的四边形是矩形，则 四边形DMEC是矩形 ；
（2）连接CM，由四边形CDME是矩形，得DE=CM， 由垂线段最短，由勾股定理，得，AB=5，当CM⊥AB时，CM最短，根据△ABC的面积=AB CM=BC AC，则AB边上的高DE=。
23．【答案】（1）
（2）解：∵正方形木板A，B，C的面积分别为：和，
∴正方形木板A，B，C的边长分别为：，
∴长方形木板的长为，宽为
由图可得：
∴
．
（3）解：能截出；
理由：∵，，
∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为，
由（2）得长方形的边长分别为：、，
，，
能截出．
【知识点】二次根式的实际应用；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】（1）解：∵木板B为正方形，且面积为，
∴木板B的边长为：．
【分析】（1）根据正方形性质，结合算术平方根即可求出答案.
（2）根据正方形性质，结合算术平方根可得正方形木板A，B，C的边长分别为：，则长方形木板的长为，宽为，再根据阴影部分面积=矩形面积-三个正方形面积即可求出答案.
（3）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，再比较大小即可求出答案.
（1）解：∵木板B为正方形，且面积为，
∴木板B的边长为：．
（2）解：∵正方形木板A，B，C的面积分别为：和，
∴正方形木板A，B，C的边长分别为：，
∴长方形木板的长为，宽为
由图可得：
∴
．
（3）解：能截出；
理由：∵，，
∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为，
由（2）得长方形的边长分别为：、，
，，
能截出．
24．【答案】解：甲组：，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
即教学楼的高度为 ；
选择乙组：于点，，
是等腰直角三角形，
．
，
，
在中，
，
，
，
，
（舍负），
即教学楼的高度为．
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；等腰直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】甲组：根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，根据等角对等边可得，再根据含30°角点的直角三角形性质可得AC，再根据勾股定理建立方程，解方程可得AE，再根据边之间的关系即可求出答案.
乙组：根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
25．【答案】（1）是
（2）解：猜想：．
理由：∵，
∴，
由勾股定理，得，
，
∴．
（3）解：连接、，设，交于点M，如图所示：
∵四边形和为正方形，
∴，，，
∴，
即，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴四边形是垂美四边形，
∴，
∵，，，
∴，， ，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；手拉手全等模型
【解析】【解答】（1）解：四边形是垂美四边形．理由如下：
，
点在线段的垂直平分线上，
，
点在线段的垂直平分线上，
直线是线段的垂直平分线，
，即四边形是垂美四边形；
【分析】（1）根据垂直平分线判定定理可得直线是线段的垂直平分线，即AC⊥BD，再根据垂美四边形定义即可求出答案.
（2）根据勾股定理，结合边之间的关系即可求出答案.
（3）连接、，设，交于点M，根据正方形性质可得，，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则根据角之间的关系可得，即，根据垂美四边形定义可得 四边形是垂美四边形，则，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：四边形是垂美四边形．理由如下：
，
点在线段的垂直平分线上，
，
点在线段的垂直平分线上，
直线是线段的垂直平分线，
，即四边形是垂美四边形；
（2）解：猜想：．
理由：∵，
∴，
由勾股定理，得，
，
∴．
（3）解：连接、，设，交于点M，如图所示：
∵四边形和为正方形，
∴，，，
∴，
即，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴四边形是垂美四边形，
∴，
∵，，，
∴，， ，
∴，
∴，
∴．
1 / 1广东省广州市花都区秀全外国语学校2024-2025学年八年级下学期数学期中试题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，用2B铅笔将答案涂在答题卡上，并写在答卷的方框内）
1．（2025八下·花都期中）要使有意义，则的值可以是（　　）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵有意义，
∴，
解得：，
∴只有D选项中的2符合题意．
故选：D．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
2．（2025八下·花都期中）以长度分别为下列各组数的线段为边，其中能构成直角三角形的是（　　）
A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．6，8，12
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A.因为，所以不能构成直角三角形；
B.因为，所以能构成直角三角形；
C.因为，所以不能构成直角三角形；
D.因为，所以不能构成直角三角形；
故答案为：B．
【分析】利用勾股定理的逆定理（两边平方和等于第三边平方）逐项分析判断即可.
3．（2025八下·花都期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A中，不是最简二次根式，故不符合要求；
B中，是最简二次根式，故符合要求；
C中，不是最简二次根式，故不符合要求；
D中，不是最简二次根式，故不符合要求；
故答案为：B．
【分析】根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案.
4．（2025八下·花都期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，故不正确；
B．，故不正确；
C．，故不正确；
D．，正确；
故选D．
【分析】根据二次根式的四则运算逐项进行判断即可求出答案.
5．（2025八下·花都期中）如图，在中，对角线、交于点，且，，则的周长为（　　）
A．28 B．24 C．18 D．14
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴的周长，
故选：C．
【分析】根据平行四边形性质可得，，再根据三角形周长，结合边之间的关系即可求出答案.
6．（2025八下·花都期中）下列说法正确的是（　　）
A．四条边相等的四边形是矩形
B．有一个角是的平行四边形是正方形
C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A．四条边相等的四边形是菱形，不一定是矩形，故选项错误，不符合题意；
B．有一个角是的平行四边形是矩形， 不一定是正方形 ，故选项错误，不符合题意；
C． 根据菱形的判定，对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，故选项正确，符合题意；
D．一组对边平行且相等的四边形 可能是等腰梯形，不一定是平行四边形 ，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
【分析】
根据菱形、矩形、正方形、平行四边形的判定方法逐项判断即可求解．
7．（2025八下·花都期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是，则正方形的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，分别设正方形的边长为，
由勾股定理得，，
正方形的面积，
故选：A．
【分析】分别设正方形的边长为，根据勾股定理即可求出答案.
8．（2025八下·花都期中）如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（　　）
A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.8
【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【解答】解：∵米，米，
∴（米），
∵梯子的顶部下滑0.4米，
∴米，
∴米，
∴米．
∴梯子的底部向外滑出（米）．
故答案为：D．
【分析】在Rt△中，由勾股定理得BC=2.4，抓住“梯子长度不变”得=2，在Rt△中，勾股定理得=1.5，得=0.8．
9．（2025八下·花都期中）如图，菱形的顶点坐标为，顶点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标；菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：菱形的顶点坐标为，
，
顶点的横坐标为，
顶点的坐标为，
故选：A．
【分析】根据菱形性质及勾股定理可得OA=AB=5，再根据点的坐标即可求出答案.
10．（2025八下·花都期中）如图，正方形的边长为，作正方形，使，，，是正方形各边的中点；做正方形，使，，，是正方形各边的中点……以此类推，则正方形的边长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正方形的性质；用代数式表示图形变化规律；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，边长为，
∴，，
∵点是正方形边的中点，
∴，，
同理，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，则
∴正方形的边长为，
同理，是等腰直角三角形，
∴，则，
∴正方形的边长为，
，
∴正方形的边长为，
∴正方形的边长为，
故选：B ．
【分析】根据正方形性质可得，，，，同理，，根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，则，根据正方形性质可得正方形的边长为，同理，是等腰直角三角形，则，则，根据正方形性质可得正方形的边长为，总结规律即可求出答案.
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2025八下·花都期中）“两条直线平行，同位角相等”的逆命题可以写成　 　．
【答案】同位角相等，两直线平行
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：命题“两直线平行，同位角相等．”的题设是“两直线平行”，结论是“同位角相等”．
所以它的逆命题是“同位角相等，两直线平行．”
故答案为：同位角相等，两直线平行．
【分析】根据逆命题即可求出答案.
12．（2025八下·花都期中）如图，在数轴上点表示3，过点作，且，连接，以为圆心，为半径画弧交数轴正半轴于点，则点所表示的数为　 　．
【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；数形结合；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：由题意可知，
根据勾股定理，得，
，
因为点在正半轴，
所以点对应的实数为．
故答案为：．
【分析】根据数轴可知OA=3，AB=2，由勾股定理得=．
13．（2025八下·花都期中） 已知菱形 的对角长 ， 则菱形 的面积为　 　.
【答案】36
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，，，
∴菱形的面积为．
故答案为：36
【分析】根据菱形的性质（面积为对角线乘积的一半）结合题意进行计算即可求解。
14．（2025八下·花都期中）已知，化简：　 　．
【答案】1
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：1．
【分析】根据二次根式性质，结合完全平方公式化简计算即可求出答案.
15．（2025八下·花都期中）如图，在矩形纸片中，，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，则折痕的长为　 　．
【答案】
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，，，
折叠，
，
设，
则，
在中，，
，
解得，，
，，
，
，
，
，
，
作于，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
故答案为：．
【分析】根据矩形性质可得，，，根据折叠性质可得，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程可得，则，，根据直线平行性质可得，则，根据等角对等边可得，作于，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，，根据边之间的关系可得FH，再根据勾股定理即可求出答案.
16．（2025八下·花都期中）如图，在菱形中，，，，分别为，上的两个动点，，，分别交于点，．以下结论：①；②；③；④的最小值为．其中正确的结论是　 　．（请填写正确的序号）
【答案】①②④
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作于点，
四边形是菱形，，，
，，，
和是等边三角形，，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，故①正确；
，，②正确；
随着点离点越近，点离点越近，则点离点越近，点离菱形的对角线交点越近，则越接近等于，
错误，即③错误；
，，
点到的距离，
的最小值，等于当时，的值，
当时，，
此时，，
的最小值，故④正确，
综上所述，正确的结论是①②④．
【分析】连接，过点作于点，根据菱形性质可得，，，根据等边三角形判定定理可得和是等边三角形，，则，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质可判断①；根据边之间的关系可判断②，③；根据等腰三角形三线合一性质可得点到的距离，则的最小值，等于当时，的值，根据含30°角的直角三角形性质可得BM，根据勾股定理可得AM即可求出答案.
三、解答题（本大题共9题，共72分，解答题应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（2025八下·花都期中）计算：．
【答案】解：；
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【分析】根据二次根式减法即可求出答案.
18．（2025八下·花都期中）如图，在平行四边形中，分别是边上的点，且，求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形判定定理及性质即可求出答案.
19．（2025八下·花都期中）已知一个直角三角形的两条直角边长分别为和．求这个直角三角形的斜边长和面积．
【答案】解：直角三角形的斜边长，
直角三角形的面积．
【知识点】二次根式的混合运算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】根据勾股定理及三角形面积即可求出答案.
20．（2025八下·花都期中）如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C是小正方形的顶点．
（1）求线段的长度；
（2）试判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：每个小正方形的边长均为1，
根据勾股定理得，

（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：
连接，
根据勾股定理得，，，
为等腰直角三角形．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
（1）构造格点直角三角形，根据勾股定理即可得到AB的值；
（2）根据勾股定理分别计算AB、BC、AC，然后用勾股定理逆定理即可得到结论。
（1）解：每个小正方形的边长均为1，
根据勾股定理得，；
（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：
连接，
根据勾股定理得，，，，
，
为等腰直角三角形．
21．（2025八下·花都期中）如图，四边形是平行四边形．
（1）尺规作图：作的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）连接，，求证：四边形是菱形．
【答案】（1）解：如图，
直线即为所求；
（2）证明：设与交于点，
∵四边形是平行四边形，
，
，
垂直平分，
，即，
在和中，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴四边形是菱形；
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】
(1)根据垂直平分线的作法“分别以点B、D为圆心，以大于线段BD的一半为半径画弧，过两弧的两个交点作直线分别与AD、BC交于点E、F，直线EF为所求”作图即可；
(2)由线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”可得BO=DO，结合已知，用角角边可证，由全等三角形的对应边相等可得，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可求解.
（1）解：如图，
直线即为所求；
（2）证明：设与交于点，
∵四边形是平行四边形，
，
，
垂直平分，
，即，
在和中，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴四边形是菱形；
22．（2025八下·花都期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，M为斜边AB上一动点，过M分别作MD⊥AC于点D， 作ME⊥CB于点E．
(1) 求证：四边形DMEC是矩形．
(2) 求线段DE的最小值．
【答案】解：（1）∵MD⊥AC，ME⊥CB，∴∠MDC=∠MEC=90°，
又∵∠C=90°，∴ 四边形CDME是矩形；
（2）如图所示：连接CM，
∵四边形CDME是矩形，∴DE=CM，
∵∠C=90°，BC=3，AC=4，∴ AB== =5，
当CM⊥AB时，CM最短， 此时△ABC的面积=AB CM=BC AC，
∴CM的最小值= = ，
∴线段DE的最小值为.
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；勾股定理的应用；矩形的判定与性质；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）由MD⊥AC，ME⊥CB及∠C=90°，根据有三个角是直角的四边形是矩形，则 四边形DMEC是矩形 ；
（2）连接CM，由四边形CDME是矩形，得DE=CM， 由垂线段最短，由勾股定理，得，AB=5，当CM⊥AB时，CM最短，根据△ABC的面积=AB CM=BC AC，则AB边上的高DE=。
23．（2025八下·花都期中）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为，和的正方形木板，，．
（1）木板①中截出的正方形木板的边长为______（结果保留根号）；
（2）求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积（结果保留根号）；
（3）乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由．
【答案】（1）
（2）解：∵正方形木板A，B，C的面积分别为：和，
∴正方形木板A，B，C的边长分别为：，
∴长方形木板的长为，宽为
由图可得：
∴
．
（3）解：能截出；
理由：∵，，
∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为，
由（2）得长方形的边长分别为：、，
，，
能截出．
【知识点】二次根式的实际应用；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】（1）解：∵木板B为正方形，且面积为，
∴木板B的边长为：．
【分析】（1）根据正方形性质，结合算术平方根即可求出答案.
（2）根据正方形性质，结合算术平方根可得正方形木板A，B，C的边长分别为：，则长方形木板的长为，宽为，再根据阴影部分面积=矩形面积-三个正方形面积即可求出答案.
（3）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，再比较大小即可求出答案.
（1）解：∵木板B为正方形，且面积为，
∴木板B的边长为：．
（2）解：∵正方形木板A，B，C的面积分别为：和，
∴正方形木板A，B，C的边长分别为：，
∴长方形木板的长为，宽为
由图可得：
∴
．
（3）解：能截出；
理由：∵，，
∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为，
由（2）得长方形的边长分别为：、，
，，
能截出．
24．（2025八下·花都期中）综合与实践：某校数学课题学习小组在“测量教学楼高度”的活动中，甲，乙两个小组分别设计了以下测量方案：
课题 测量教学楼的高度
测量小组 甲组 乙组
测量示意图
测量说明 于点，，图中所有的点都在同一平面内 于点，点、、在一条水平直线上，图中所有的点都在同一平面内
测量数据 ，， ，，
请你选择其中的一种测量方案，求教学楼的高度（结果保留根号）．
【答案】解：甲组：，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
即教学楼的高度为 ；
选择乙组：于点，，
是等腰直角三角形，
．
，
，
在中，
，
，
，
，
（舍负），
即教学楼的高度为．
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；等腰直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】甲组：根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，根据等角对等边可得，再根据含30°角点的直角三角形性质可得AC，再根据勾股定理建立方程，解方程可得AE，再根据边之间的关系即可求出答案.
乙组：根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
25．（2025八下·花都期中）定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）如图1，在四边形中，如果，，那么四边形　 　垂美四边形（填“是”或“不是”）．
（2）如图2，探究垂美四边形两组对边、与、之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明．
（3）如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形与正方形，连接，，，与交于点，已知，，求的中线的长．
【答案】（1）是
（2）解：猜想：．
理由：∵，
∴，
由勾股定理，得，
，
∴．
（3）解：连接、，设，交于点M，如图所示：
∵四边形和为正方形，
∴，，，
∴，
即，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴四边形是垂美四边形，
∴，
∵，，，
∴，， ，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；手拉手全等模型
【解析】【解答】（1）解：四边形是垂美四边形．理由如下：
，
点在线段的垂直平分线上，
，
点在线段的垂直平分线上，
直线是线段的垂直平分线，
，即四边形是垂美四边形；
【分析】（1）根据垂直平分线判定定理可得直线是线段的垂直平分线，即AC⊥BD，再根据垂美四边形定义即可求出答案.
（2）根据勾股定理，结合边之间的关系即可求出答案.
（3）连接、，设，交于点M，根据正方形性质可得，，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则根据角之间的关系可得，即，根据垂美四边形定义可得 四边形是垂美四边形，则，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：四边形是垂美四边形．理由如下：
，
点在线段的垂直平分线上，
，
点在线段的垂直平分线上，
直线是线段的垂直平分线，
，即四边形是垂美四边形；
（2）解：猜想：．
理由：∵，
∴，
由勾股定理，得，
，
∴．
（3）解：连接、，设，交于点M，如图所示：
∵四边形和为正方形，
∴，，，
∴，
即，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴四边形是垂美四边形，
∴，
∵，，，
∴，， ，
∴，
∴，
∴．
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