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广东省茂名市电白区2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025八下·电白期中）下列绿色能源图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·电白期中）不等式的解集在数轴上表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
3．（2025八下·电白期中）不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
4．（2025八下·电白期中）如图，是由绕点旋转得到的，，，则旋转角的度数是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·电白期中）在中，，则的长度为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·电白期中）若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　）
A．9 B．7 C．12 D．9或12
7．（2025八下·电白期中）下列命题：
①同旁内角互补，两直线平行；②若|a|=|b|，则a=b；③直角都相等；④相等的角是对顶角．
它们的逆命题是真命题的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．（2025八下·电白期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；作直线分别交、于点、，若，的周长为，则的周长为（　　）.
A． B． C． D．
9．（2025八下·电白期中）如图，是的角平分线，于点E，的面积为15，，，则的长为（　　）
A．5 B．8 C．7 D．6
10．（2025八下·电白期中）如图，D为内一点，平分，，，若，则的长为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（2025八下·电白期中）“x的3倍与4的差不小于2”用不等式可表示为　 　．
12．（2025八下·电白期中）在平面直角坐标系中，把点向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后点的坐标为　 　．
13．（2025八下·电白期中）不等式的正整数解有　 　个．
14．（2025八下·电白期中）如图，正比例函数（为常数，且）和一次函数（、为常数，且）的图象交于点，根据图象可得关于的不等式的解集是　 　．
15．（2025八下·电白期中）等腰三角形的一个角为，则它的顶角的度数为　 　．
三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题12分，第17题6分，第18题6分，共24分．
16．（2025八下·电白期中）解下列不等式：
（1）；
（2）．
17．（2025八下·电白期中）某市计划在张村，李村之间建一个活动中心，张，李两村坐落在两相交的笔直公路内（如图所示）．活动中心点必须满足下列条件：①点到两条公路的距离相等，②点到张，李两村的距离也相等，请你运用尺规作图法确定点的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（2025八下·电白期中）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，的顶点坐标分别为，，．
（1）平移使得点B与点O重合，平移以后的图形为，其中点A，C的对应点分别是点，，画出；
（2）将绕B点顺时针旋转得到，其中点A，C的对应点分别是点，，画出．
四、解答题（二）：本大题共3小题，第19题8分，第20题10分，第21题10分，共28分．
19．（2025八下·电白期中）如图，在四边形中，，，是上一点，且，连接、，．求证：．
20．（2025八下·电白期中）如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点
（1）求证：；
(2)若，，求的度数.
21．（2025八下·电白期中）深圳市南山区的无人机制造商“大疆创新科技”享誉全球．该公司旗下无人机配件销售部现有和两种配件，它们的进价和售价如表．用元可购进产品件和产品件．(利润售价进价)
种类 种配件 种配件
进价(元/件)
售价(元/件)
（1）求种配件进价的值．
（2）若该配件销售部购进种配件和种配件共件，据市场销售分析，种配件进货件数不低于种配件件数的倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题10分，第23题13分，共23分．
22．（2025八下·电白期中）先阅读理解下列例题，再按要求完成下列各题．
例题：解不等式．
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负”有①或②．
解不等式组①，得．解不等式组②，得．
所以不等式的解集是或．
（1）求不等式的解集；
（2）求不等式的解集．
23．（2025八下·电白期中）综合与实践：
数学课上，白老师出示了一个问题：已知等腰直角三角形和等腰直角三角形，，，，连接，，如图1．
独立思考：
（1）如图1，求证：；
实践探究：在原有条件不变的情况下，白老师把旋转到了特殊位置，增加了新的条件，并提出了新的问题，请你解答：
解决问题：
（2）如图2，在绕着点C旋转到某一位置时恰好有，．
①求的度数；
②线段与线段交于点F，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故答案为：B．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断。
2．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式的解集；数形结合
【解析】【解答】解：不等式的解集在数轴上表示为：
故答案为：B．
【分析】在数轴上表示不等式解集时：用实心圆点向右画， 要用实心圆点向左画，所以解集数轴表示正确的为B项。
3．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：由左图可知：，
由右图可知：，即A选项符合题意．
故答案为：A
【分析】根据不等式的性质即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵是由绕点旋转得到的，
∴旋转角的度数是，
故答案为：A．
【分析】由三角形内角和定理得，是由绕点旋转得到的图形，所以旋转角为的度数90°．
5．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中：
∠C = 90°，∠B = 30°，斜边AB = 6cm；
根据“30°角所对直角边是斜边的一半”，可得：；
故答案为：B。
【分析】在 Rt△ABC 中，利用 “30° 角所对直角边等于斜边的一半” 这一性质，由∠B=30°、AB=6cm，直接计算得出 AC=AB=3cm。
6．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：当腰长为2时，2+2=4＜5，不能构成三角形；
当腰长为5时，2+5=7＞5，能构成三角形，
∴它的周长为5+5+2=12.
故答案为：C
【分析】当腰长为2时，2+2=4＜5，不能构成三角形；当腰长为5时，2+5=7＞5，能构成三角形，然后求出此三角形的周长.
7．【答案】B
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，是真命题；
②若|a|=|b|，则a=b的逆命题是若a=b，则|a|=|b|，是真命题；
③直角都相等的逆命题是相等的角是直角，是假命题；
④相等的角是对项角的逆命题是对顶角是相等的角，是真命题；
它们的逆命题是真命题的个数是3个．
故选B．
【分析】先写出命题的逆命题，再对逆命题的真假进行判断即可．
8．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由题意得垂直平分，
，，
的周长为，
，
，
即，
．
故答案为：B.
【分析】由基本作图可知MN是AC的垂直平分线，由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AE=CE=6cm，AD=CD，根据三角形周长计算公式及线段和差求出AB+BC=26cm，最后再根据三角形周长计算公式可算出△ABC的周长.
9．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，过点作于，
∵是的角平分线，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】如图，过点作于，
由角平分线的性质角平分线上的点到角两边的距离相等，得，利用的面积为两个三角形的面积和，解得BC=15.
10．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长与交于点E，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】如图，延长与交于点E，
等腰三角形等角对等边，得，由等角的余角相等，得等腰△BCE，则，，由，则=5
11．【答案】3x－4≥2
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：用不等式表示为3x－4≥2，
故答案为：3x－4≥2.
【分析】根据和差倍分列不等式，注意“不等于”包含等于和大于即可解题.
12．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：点向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，可得点的坐标，即，
故答案为：．
【分析】利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析求解即可.
13．【答案】2
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
其正整数解为：1，2
所有其正整数解的个数为：2．
故答案为：2．
【分析】根据等式性质1先移项，合并同类项，系数化为1，解出不等式得解集为，则正整数解为1和2，两个数．
14．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；数形结合
【解析】【解答】解：由函数图象可知，和一次函数交于点，
当时，函数的图象在直线的下方，
不等式的解集是：．
【分析】观察两函数图象的交点为P(-3，1)，当函数的图象在直线的下方时，的解集为．
15．【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当为底角时，
顶角为：，
当为顶角时，
底角为：，
故答案为：或．
【分析】根据等腰三角形性质及三角形内角和定理分类讨论即可求出答案.
16．【答案】（1）解：
移项，合并同类项得，
系数化为1得，.
（2）解：
去分母得，
去括号得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，．
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】（1）利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求解即可；
（2）利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求解即可.
（1）解：
移项，合并同类项得，
系数化为1得，；
（2）解：
去分母得，
去括号得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，．
17．【答案】解：如图，点即为所求．
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】利用角平分线的性质和线段垂直平分线的性质分析（ 作线段的垂直平分线，作的角平分线，交于点 ，点 即为所求）即可.
18．【答案】（1）解：且点B与点O重合，
向右平移五个单位长度，向下平移两个单位长度，
，
，，
连接、、得即为所求；
（2）解：将绕B点顺时针旋转得到如图即为所求：
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转；数形结合
【解析】【分析】（1）由 平移使得点B与点O重合， 可知点B右平移五个单位长度，纵坐标不变，横坐标加5，再向下平移两个单位长度， 横坐标不变，纵坐标减2，确定点，的坐标，描点连线；
（2）利用旋转绕B点顺时针旋转分别作出点A，C对应点，描点连线；
19．【答案】证明：∵，∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，得，由等角对等边，得，则（HL）．
20．【答案】（1）证明：，
，
，
，
；
（2），
∴∠AEF=∠B=65°，
，
，
又∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-65°-28°=87°，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据SAS证明，再根据全等三角形对应边的关系，即可得出结论；
（2）首先根据全等三角形对应角的关系得出∠AEF=∠B=65°，再根据等腰三角形获的性质及三角形内角和定理，求得，再根据三角形内角和及对顶角相等求得∠FGC。
21．【答案】（1）解：依题意得：，
解得：，
答：的值为；
（2）解：设购进种配件件，则购进种配件件，
依题意得：，
解得：，
为正整数，
设两种配件全部售出后获得的总利润为元，
，
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值为：，
此时，
答：当购进种配件件，种配件件时，本次销售获得的利润最大，最大利润是元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-盈亏问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据“用元可购进产品件和产品件”列一元一次方程，则解得为260；
（2）设购进种配件件，则购进种配件件，根据“种配件进货件数不低于种配件件数的倍”列不等式，得出（为正整数），再设两种配件全部售出后获得的总利润为元，根据“利润售价进价”列函数关系式，根据一次函数的增减性，最大利润是元．
（1）解：依题意得：，
解得：，
答：的值为；
（2）设购进种配件件，则购进种配件件，
依题意得：，
解得：，
为正整数，
设两种配件全部售出后获得的总利润为元，
，
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值为：，
此时，
答：当购进种配件件，种配件件时，本次销售获得的利润最大，最大利润是元．
22．【答案】（1）解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负”有①或②
解不等式组①，得，
解不等式组②，得，
∴不等式的解集是或；
（2）解：
由有理数的除法法则“两数相除，同号得正，异号得负”有①或②
解不等式组①，得，
解不等式组②，无解，
∴不等式的解集是．
【知识点】解一元一次不等式组；有理数的乘法法则；有理数的除法法则；分类讨论
【解析】【分析】（1）仿照题意，得①或②，分别解两个不等式组，找到两个不等式组解集的公共部分，没有公共部分则两个解集为不等式组的解集；
（2）根据有理数除法计算法则，得①或②， 分别解两个不等式组，找到两个不等式组解集的公共部分 ，确定解集 ．
23．【答案】（1）证明：在等腰直角三角形和等腰直角三角形中，
，，，
，
．
在和中，，
，
；
（2）解：①，
．
，
．
，
；
②如图，连接，
由（1）知，
，．
，
．
由①知，
在和中，，
，
．
，
，
是等边三角形，
．
，
，
在中，，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形和等腰直角三角形，得，，，等角代换得，则（SAS），由全等三角形的性质，得；
（2）①由，由两直线平行，内错角相等，得，再加上有两个直角和，则；
②如图，连接，
由（1）得，则（SAS），BD=BE，则是等边三角形， 为30度的直角三角形，所对的直角边等于斜边的一半，得。
1 / 1广东省茂名市电白区2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025八下·电白期中）下列绿色能源图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故答案为：B．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断。
2．（2025八下·电白期中）不等式的解集在数轴上表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式的解集；数形结合
【解析】【解答】解：不等式的解集在数轴上表示为：
故答案为：B．
【分析】在数轴上表示不等式解集时：用实心圆点向右画， 要用实心圆点向左画，所以解集数轴表示正确的为B项。
3．（2025八下·电白期中）不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　）
A．若，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：由左图可知：，
由右图可知：，即A选项符合题意．
故答案为：A
【分析】根据不等式的性质即可求出答案.
4．（2025八下·电白期中）如图，是由绕点旋转得到的，，，则旋转角的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵是由绕点旋转得到的，
∴旋转角的度数是，
故答案为：A．
【分析】由三角形内角和定理得，是由绕点旋转得到的图形，所以旋转角为的度数90°．
5．（2025八下·电白期中）在中，，则的长度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中：
∠C = 90°，∠B = 30°，斜边AB = 6cm；
根据“30°角所对直角边是斜边的一半”，可得：；
故答案为：B。
【分析】在 Rt△ABC 中，利用 “30° 角所对直角边等于斜边的一半” 这一性质，由∠B=30°、AB=6cm，直接计算得出 AC=AB=3cm。
6．（2025八下·电白期中）若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　）
A．9 B．7 C．12 D．9或12
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：当腰长为2时，2+2=4＜5，不能构成三角形；
当腰长为5时，2+5=7＞5，能构成三角形，
∴它的周长为5+5+2=12.
故答案为：C
【分析】当腰长为2时，2+2=4＜5，不能构成三角形；当腰长为5时，2+5=7＞5，能构成三角形，然后求出此三角形的周长.
7．（2025八下·电白期中）下列命题：
①同旁内角互补，两直线平行；②若|a|=|b|，则a=b；③直角都相等；④相等的角是对顶角．
它们的逆命题是真命题的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，是真命题；
②若|a|=|b|，则a=b的逆命题是若a=b，则|a|=|b|，是真命题；
③直角都相等的逆命题是相等的角是直角，是假命题；
④相等的角是对项角的逆命题是对顶角是相等的角，是真命题；
它们的逆命题是真命题的个数是3个．
故选B．
【分析】先写出命题的逆命题，再对逆命题的真假进行判断即可．
8．（2025八下·电白期中）如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；作直线分别交、于点、，若，的周长为，则的周长为（　　）.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由题意得垂直平分，
，，
的周长为，
，
，
即，
．
故答案为：B.
【分析】由基本作图可知MN是AC的垂直平分线，由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AE=CE=6cm，AD=CD，根据三角形周长计算公式及线段和差求出AB+BC=26cm，最后再根据三角形周长计算公式可算出△ABC的周长.
9．（2025八下·电白期中）如图，是的角平分线，于点E，的面积为15，，，则的长为（　　）
A．5 B．8 C．7 D．6
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：如图，过点作于，
∵是的角平分线，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】如图，过点作于，
由角平分线的性质角平分线上的点到角两边的距离相等，得，利用的面积为两个三角形的面积和，解得BC=15.
10．（2025八下·电白期中）如图，D为内一点，平分，，，若，则的长为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：延长与交于点E，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】如图，延长与交于点E，
等腰三角形等角对等边，得，由等角的余角相等，得等腰△BCE，则，，由，则=5
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（2025八下·电白期中）“x的3倍与4的差不小于2”用不等式可表示为　 　．
【答案】3x－4≥2
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：用不等式表示为3x－4≥2，
故答案为：3x－4≥2.
【分析】根据和差倍分列不等式，注意“不等于”包含等于和大于即可解题.
12．（2025八下·电白期中）在平面直角坐标系中，把点向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：点向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，可得点的坐标，即，
故答案为：．
【分析】利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析求解即可.
13．（2025八下·电白期中）不等式的正整数解有　 　个．
【答案】2
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
其正整数解为：1，2
所有其正整数解的个数为：2．
故答案为：2．
【分析】根据等式性质1先移项，合并同类项，系数化为1，解出不等式得解集为，则正整数解为1和2，两个数．
14．（2025八下·电白期中）如图，正比例函数（为常数，且）和一次函数（、为常数，且）的图象交于点，根据图象可得关于的不等式的解集是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；数形结合
【解析】【解答】解：由函数图象可知，和一次函数交于点，
当时，函数的图象在直线的下方，
不等式的解集是：．
【分析】观察两函数图象的交点为P(-3，1)，当函数的图象在直线的下方时，的解集为．
15．（2025八下·电白期中）等腰三角形的一个角为，则它的顶角的度数为　 　．
【答案】或
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当为底角时，
顶角为：，
当为顶角时，
底角为：，
故答案为：或．
【分析】根据等腰三角形性质及三角形内角和定理分类讨论即可求出答案.
三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题12分，第17题6分，第18题6分，共24分．
16．（2025八下·电白期中）解下列不等式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
移项，合并同类项得，
系数化为1得，.
（2）解：
去分母得，
去括号得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，．
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】（1）利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求解即可；
（2）利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求解即可.
（1）解：
移项，合并同类项得，
系数化为1得，；
（2）解：
去分母得，
去括号得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，．
17．（2025八下·电白期中）某市计划在张村，李村之间建一个活动中心，张，李两村坐落在两相交的笔直公路内（如图所示）．活动中心点必须满足下列条件：①点到两条公路的距离相等，②点到张，李两村的距离也相等，请你运用尺规作图法确定点的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：如图，点即为所求．
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】利用角平分线的性质和线段垂直平分线的性质分析（ 作线段的垂直平分线，作的角平分线，交于点 ，点 即为所求）即可.
18．（2025八下·电白期中）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，的顶点坐标分别为，，．
（1）平移使得点B与点O重合，平移以后的图形为，其中点A，C的对应点分别是点，，画出；
（2）将绕B点顺时针旋转得到，其中点A，C的对应点分别是点，，画出．
【答案】（1）解：且点B与点O重合，
向右平移五个单位长度，向下平移两个单位长度，
，
，，
连接、、得即为所求；
（2）解：将绕B点顺时针旋转得到如图即为所求：
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转；数形结合
【解析】【分析】（1）由 平移使得点B与点O重合， 可知点B右平移五个单位长度，纵坐标不变，横坐标加5，再向下平移两个单位长度， 横坐标不变，纵坐标减2，确定点，的坐标，描点连线；
（2）利用旋转绕B点顺时针旋转分别作出点A，C对应点，描点连线；
四、解答题（二）：本大题共3小题，第19题8分，第20题10分，第21题10分，共28分．
19．（2025八下·电白期中）如图，在四边形中，，，是上一点，且，连接、，．求证：．
【答案】证明：∵，∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，得，由等角对等边，得，则（HL）．
20．（2025八下·电白期中）如图，中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点
（1）求证：；
(2)若，，求的度数.
【答案】（1）证明：，
，
，
，
；
（2），
∴∠AEF=∠B=65°，
，
，
又∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-65°-28°=87°，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据SAS证明，再根据全等三角形对应边的关系，即可得出结论；
（2）首先根据全等三角形对应角的关系得出∠AEF=∠B=65°，再根据等腰三角形获的性质及三角形内角和定理，求得，再根据三角形内角和及对顶角相等求得∠FGC。
21．（2025八下·电白期中）深圳市南山区的无人机制造商“大疆创新科技”享誉全球．该公司旗下无人机配件销售部现有和两种配件，它们的进价和售价如表．用元可购进产品件和产品件．(利润售价进价)
种类 种配件 种配件
进价(元/件)
售价(元/件)
（1）求种配件进价的值．
（2）若该配件销售部购进种配件和种配件共件，据市场销售分析，种配件进货件数不低于种配件件数的倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：依题意得：，
解得：，
答：的值为；
（2）解：设购进种配件件，则购进种配件件，
依题意得：，
解得：，
为正整数，
设两种配件全部售出后获得的总利润为元，
，
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值为：，
此时，
答：当购进种配件件，种配件件时，本次销售获得的利润最大，最大利润是元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-盈亏问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据“用元可购进产品件和产品件”列一元一次方程，则解得为260；
（2）设购进种配件件，则购进种配件件，根据“种配件进货件数不低于种配件件数的倍”列不等式，得出（为正整数），再设两种配件全部售出后获得的总利润为元，根据“利润售价进价”列函数关系式，根据一次函数的增减性，最大利润是元．
（1）解：依题意得：，
解得：，
答：的值为；
（2）设购进种配件件，则购进种配件件，
依题意得：，
解得：，
为正整数，
设两种配件全部售出后获得的总利润为元，
，
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值为：，
此时，
答：当购进种配件件，种配件件时，本次销售获得的利润最大，最大利润是元．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题10分，第23题13分，共23分．
22．（2025八下·电白期中）先阅读理解下列例题，再按要求完成下列各题．
例题：解不等式．
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负”有①或②．
解不等式组①，得．解不等式组②，得．
所以不等式的解集是或．
（1）求不等式的解集；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正，异号得负”有①或②
解不等式组①，得，
解不等式组②，得，
∴不等式的解集是或；
（2）解：
由有理数的除法法则“两数相除，同号得正，异号得负”有①或②
解不等式组①，得，
解不等式组②，无解，
∴不等式的解集是．
【知识点】解一元一次不等式组；有理数的乘法法则；有理数的除法法则；分类讨论
【解析】【分析】（1）仿照题意，得①或②，分别解两个不等式组，找到两个不等式组解集的公共部分，没有公共部分则两个解集为不等式组的解集；
（2）根据有理数除法计算法则，得①或②， 分别解两个不等式组，找到两个不等式组解集的公共部分 ，确定解集 ．
23．（2025八下·电白期中）综合与实践：
数学课上，白老师出示了一个问题：已知等腰直角三角形和等腰直角三角形，，，，连接，，如图1．
独立思考：
（1）如图1，求证：；
实践探究：在原有条件不变的情况下，白老师把旋转到了特殊位置，增加了新的条件，并提出了新的问题，请你解答：
解决问题：
（2）如图2，在绕着点C旋转到某一位置时恰好有，．
①求的度数；
②线段与线段交于点F，求的值．
【答案】（1）证明：在等腰直角三角形和等腰直角三角形中，
，，，
，
．
在和中，，
，
；
（2）解：①，
．
，
．
，
；
②如图，连接，
由（1）知，
，．
，
．
由①知，
在和中，，
，
．
，
，
是等边三角形，
．
，
，
在中，，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形和等腰直角三角形，得，，，等角代换得，则（SAS），由全等三角形的性质，得；
（2）①由，由两直线平行，内错角相等，得，再加上有两个直角和，则；
②如图，连接，
由（1）得，则（SAS），BD=BE，则是等边三角形， 为30度的直角三角形，所对的直角边等于斜边的一半，得。
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