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广东省河源市紫金县2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025八下·紫金期中）如果三角形的三边分别为，，，那么这个三角形的形状为（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
2．（2025八下·紫金期中）等腰三角形的两边长分别为3和6，那么该三角形的周长为（　　）
A．12 B．15 C．10 D．12或15
3．（2025八下·紫金期中）如图，在等腰三角形中，，是边上的高，则下列结论不正确的是（　　）
A． B．
C．平分 D．
4．（2025八下·紫金期中）下面四个图标中，中心对称图形个数是（　　）
A．0 B．1个 C．2个 D．3个
5．（2025八下·紫金期中）不等式3x＋1＜2x的解在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．（2025八下·紫金期中）小明用30元购买铅笔和签字笔，已知铅笔和签字笔的单价分别是2元和5元，他买了2支铅笔后，最多还能买几支签字笔？设小明还能买x支签字笔，则下列不等关系正确的是（　　）
A．5×2+2x≥30 B．5×2+2x≤30 C．2×2+2x≥30 D．2×2+5x≤30
7．（2025八下·紫金期中）已知 ，下列结论：① ；② ；③若 ，则 ；④若 ，则 ，其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2025八下·紫金期中）在中，分别平分，过点D作直线平行于，分别交于点E、F，若，则线段的长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
9．（2025八下·紫金期中）如图，在△ABC中，∠CAB=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得△ADE，则∠EAB的度数为（　　）
A．20° B．25° C．28° D．30°
10．（2025八下·紫金期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为．一个电动玩具从原点O出发，按照与点依次成中心对称跳跃．第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称；……．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（2025八下·紫金期中）如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是　 　．
12．（2025八下·紫金期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD⊥AC于D，则∠DBC=　 　度.
13．（2025八下·紫金期中）一次函数的图象过点，且随的增大而减小，则关于的不等式的解集是　 　．
14．（2025八下·紫金期中）如图，在中，，边上有一动点P，将绕点C逆时针旋转得，点P的对应点为，连接，则长的最小值为　 　．
15．（2025八下·紫金期中）如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3 在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=a，则△A6B6A7的边长为　 　．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．（2025八下·紫金期中）解不等式组：
17．（2025八下·紫金期中）如图，三个顶点的坐标分别为．
（1）请画出关于原点O成中心对称的；
（2）在x轴上找一点P，使得的值最小，并写出点P的坐标．
18．（2025八下·紫金期中）如图，已知，，垂足分别为N、M，，与相交于点P，连接．求证：点P在的平分线上．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．（2025八下·紫金期中）如图，在中，，是的垂直平分线，垂足为D，交于E．
（1）若，求的度数；
（2）若的周长为cm，cm，求的周长．
20．（2025八下·紫金期中）如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，，且与的图象交于点．
（1）求，的值；
（2）若，则的取值范围是__________；
（3）求四边形的面积．
21．（2025八下·紫金期中）多功能家庭早餐机可以制作多种口味的美食，深受消费者的喜爱，在新品上市促销活动中，已知8台A型早餐机和3台B型早餐机需要1000元，6台A型早餐机和1台B型早餐机需要600元．
（1）每台A型早餐机和每台B型早餐机的价格分别是多少元？
（2）某商家欲购进A，B两种型号早餐机共20台，但总费用不超过2200元，那么至少要购进A型早餐机多少台？
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．（2025八下·紫金期中）如图，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别是AB，BC，CA上的点．
（1）若AD＝BE＝CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论；
（2）若△DEF是等边三角形，问AD＝BE＝CF成立吗？试证明你的结论．
23．（2025八下·紫金期中）如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，现同时将点，分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到，的对应点，，连接，，．
（1）点的坐标为　 　，点的坐标为　 　，四边形的面积为　 　；
（2）在轴上是否存在一点，使得的面积是面积的2倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点是线段上一动点（，两点除外），试说明与的大小关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴这个三角形是直角三角形，
故选：B．
【分析】由题意可得，，根据勾股定理的逆定理求解即可．
2．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当等腰三角形的腰为3时，三边为3，3，6，3+3=6，三边关系不成立，
当等腰三角形的腰为6时，三边为3，6，6，三边关系成立，周长为3+6+6=15．
故选：B．
【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
3．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵，是边上的高，
∴，，即平分，
∴，
故选项A、C、D正确，不符合题意，
而已知条件无法证明，故选项B错误，符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，得， ，则 ，则进行判断结论错误的是B项．
4．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：根据中心对称图形的定义可知从左到右第1个图形和第三个图形是中心对称图形，第二和第四个图形不是中心对称图形．
故答案为：C．
【分析】利用中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
5．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集；数形结合
【解析】【解答】解：3x＋1＜2x
解得：
在数轴上表示其解集如下：
故答案为：B
【分析】先解不等式，得到不等式的解集，再在数轴上表示．
6．【答案】D
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：设小明还能买x支签字笔，
则：
故答案为：D
【分析】根据题意可知2×铅笔的数量+5×签字笔的数量≤30，列不等式即可.
7．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a＞b，则
①当a=0时， ，故不符合题意；
②当a＜0，b＜0时， ，故不符合题意；
③若 ，则 ，即 ，故不符合题意；
④若 ，则 ，则 ，故符合题意；
故答案为：A．
【分析】不等式的基本性质①不等式的两边同时加上或减去同一个数（或式子），不等号方向不变；②不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；③不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；据此逐一判断即可.
8．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵分别平分，
∴，
∵，
∴
∴
∴，，
∴，
故答案为：D．
【分析】由角平分线的定义，得，由，得角的等量代换以及等角对等边，则，，则EF=10．
9．【答案】D
【知识点】角的运算；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC的绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，∴∠EAC=60°，
∵∠CAB=90°，
∴∠EAB=90°-60°=30°．
故答案为：D．
【分析】利用旋转的性质可得∠EAC=60°，再结合∠CAB=90°，利用角的运算求出∠EAB=90°-60°=30°即可．
10．【答案】D
【知识点】点的坐标；中心对称及中心对称图形；探索数与式的规律；数轴的左右跳跃模型（动态规律模型）；中心对称的性质
【解析】【解答】解：∵点，，的坐标分别为，，，一个电动玩具从原点O出发，按照与点，，依次成中心对称跳跃，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴点，
∵第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴，
∵第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴，
∵第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴，
∵第五次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴，
∵第六次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴，
∵第七次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴，
……
∴点P的坐标的变化规律是6次一个循环，
∵，
∴点的坐标与相同为．
故答案为：B．
【分析】先结合题干求出点，，，，，，，可得规律点P的坐标的变化规律是6次一个循环，再结合，从而可得点的坐标与相同为．
11．【答案】2
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过P作PE⊥OA于点E，
∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，
∴PE＝PD，
∵PD＝2，
∴PE＝2，
∴点P到边OA的距离是2．
故答案为：2．
【分析】过P作PE⊥OA于点E，利用角平分线的性质可得PE＝PD，再结合PD=2，可得PE＝2，即可得到点P到边OA的距离是2．
12．【答案】20
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，即∠A+2∠ACB=180°，
又∵∠A=40°，
∴，即∠DCB=70°，
∵BD⊥AC，
∴在Rt△BDC中，∠DCB+∠DBC=90°，
∴∠DBC=90°-∠DCB=90°-70°=20°.
故答案为：20.
【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形的内角和求出，即∠DCB=70°，再结合∠DCB+∠DBC=90°，最后求出∠DBC=90°-∠DCB=90°-70°=20°即可.
13．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象过点，且随的增大而减小，
∴，
∴当时，，
故答案为：．
【分析】先画出草图，再结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
14．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图所示，连接，，作于点H，
∵将绕点C逆时针旋转得，点P的对应点为，
∴，
∵，
∴，即，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴当长最小时的长度最小，
∴当时，即H点与P点重合时，长最小，即的长度最小，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
∴．
故答案为：．
【分析】连接，，作于点H，先证出当时，即H点与P点重合时，长最小，即的长度最小，再利用求出AC的长，再结合，即，求出，最后求出即可．
15．【答案】32a
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：如图所示：
∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°-120°-30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°-60°-30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA1=A1B1=a，
∴A2B1=a，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，
∴A3B3=4B1A2=4a，
A4B4=8B1A2=8a，
A5B5=16B1A2=16a，
以此类推：A6B6=32B1A2=32a．
故答案是：32a．
【分析】 △A1B1A2是等边三角形 ，根据等边三角形的性质得 A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60° ，由三角形内角和得 ∠1=180°-120°-30°=30°， 平行线的判定，得A1B1∥A2B2∥A3B3，A2B2=2B1A2，得A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8， A5B5=16B1A2=16a， 以此类推：A6B6=32B1A2=32a
16．【答案】解：，
由①，得，
由②，得，
∴原不等式组的解集是：.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】根据不等式组的解法，先分别求两个不等式的解，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”得不等式组的解集.
17．【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求，
点P的坐标为．
【知识点】轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题；中心对称及中心对称图形；关于原点对称的点的坐标特征；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【分析】（1）先利用关于原点对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标变为相反数）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求.
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求，
点P的坐标为．
18．【答案】证明：∵，，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，
∴平分，
∴点P在的平分线上．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的判定
【解析】【分析】先利用“HL”证出，利用全等三角形的性质可得，再结合，，可证出平分，即可证出点P在的平分线上．
19．【答案】（1）解：∵是的垂直平分线，，∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴
∴；
（2）解：∵的周长为cm，cm，∴，
∴cm，
∵，
∴的周长（cm）．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）由 是的垂直平分线 ，得，；由，得，则，；
（2）由的周长为cm，cm ，得，则cm；根据，得的周长=．
（1）解：（1）∵是的垂直平分线，，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴
∴；
（2）解：∵的周长为cm，cm，
∴，
∴cm，
∵，
∴的周长（cm）．
20．【答案】（1）解：由题意，得：点在的图象上，
∴，
∴；
∴，
∵，在直线上，
∴，
∴.
（2）
（3）解：∵，当时，，
∴，
∵，当时，，
∴，
连接，
则：四边形的面积．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：（2）由图象，得：当，直线在直线的上方，
∴时，；
故答案为：.
【分析】（1）将点D的坐标代入求出m的值，再将点D的坐标代入求出b的值即可；
（2）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可；
（3）先求出点C的坐标，连接OD的长，再利用三角形的面积公式及割补法求出四边形AOCD的面积即可.
（1）解：由题意，得：点在的图象上，
∴，
∴；
∴，
∵，在直线上，
∴，
∴；
（2）由图象，得：当，直线在直线的上方，
∴时，；
故答案为：；
（3）∵，当时，，
∴，
∵，当时，，
∴，
连接，
则：四边形的面积．
21．【答案】（1）解：设A型早餐机每台x元，B型早餐机每台y元，依题意得：
，
解得：，
答：每台A型早餐机80元，每台B型早餐机120元；
（2）解：设购进A型早餐机n台，依题意得：
80n+120（20﹣n）≤2200，
解得：n≥5，
答：至少要购进A型早餐机5台．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设A型早餐机每台x元，B型早餐机每台y元，根据“ 8台A型早餐机和3台B型早餐机需要1000元，6台A型早餐机和1台B型早餐机需要600元 ”列二元一次方程组求解即可；
（2）设购进A型早餐机n台，根据“总费用不超过2200元”列不等式，求出n的取值范围解答即可．
22．【答案】解：（1）△DEF是等边三角形．
证明如下：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C，AB＝BC＝CA．
∵AD＝BE＝CF，
∴DB＝EC＝FA．
∴△ADF≌△BED≌△CFE，
∴DF＝ED＝FE．
∴△DEF是等边三角形．
（2）AD＝BE＝CF成立．证明如下：如图，
∵△DEF是等边三角形，
∴DE＝EF＝FD，∠FDE＝∠DEF＝∠EFD＝60°．
∴∠1＋∠2＝120°．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∴∠2＋∠3＝120°，
∴∠1＝∠3.
同理∠3＝∠4，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（AAS），
∴AD＝BE＝CF．
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先证出△ADF≌△BED≌△CFE，利用全等三角形的性质可得DF＝ED＝FE，即可证出△DEF是等边三角形；
（2）先利用“AAS”证出△ADF≌△BED≌△CFE，再利用全等三角形的性质可得AD＝BE＝CF．
23．【答案】（1）点C的坐标为；点D的坐标为；四边形的面积12
（2）解：存在．理由如下：
设点的坐标为，
∵的面积是的面积的2倍，
∴，解得或，
∴点的坐标为或；
（3）解：，理由如下：
过点作交轴于，如图所示：
∴
∴，，
∴．
【知识点】坐标与图形性质；平移的性质；坐标与图形变化﹣平移；四边形-动点问题；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】（1）解：∵点A、的坐标分别是，，同时将点、分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到A、的对应点、，
∴点的坐标为，点的坐标为，
；
故答案为：（0，2）；（6，2）；12；
【分析】（1）根据点平移的规律点向上平移，点的横坐标不变，纵坐标加单位长度，向右平移点的纵坐标不变，横坐标加单位长度，得点C的坐标为（0，2），点D的坐标为（6，2）；
（2）设点E的坐标为（x，0），由△DEC的面积是△DEB面积的2倍和三角形面积公式，得，解得x＝1或x＝7，则E（1，0）或（7，0）；
（3）当点P在线段BD上，作交轴于，由平行线的性质，由得，再根据平行线的性质，，得．
（1）解：∵点A、的坐标分别是，，同时将点、分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到A、的对应点、，
∴点的坐标为，点的坐标为，
；
（2）解：存在．理由如下：
设点的坐标为，
∵的面积是的面积的2倍，
∴，解得或，
∴点的坐标为或；
（3）解：，理由如下：
过点作交轴于，如图所示：
∴
∴，，
∴．
1 / 1广东省河源市紫金县2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025八下·紫金期中）如果三角形的三边分别为，，，那么这个三角形的形状为（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴这个三角形是直角三角形，
故选：B．
【分析】由题意可得，，根据勾股定理的逆定理求解即可．
2．（2025八下·紫金期中）等腰三角形的两边长分别为3和6，那么该三角形的周长为（　　）
A．12 B．15 C．10 D．12或15
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当等腰三角形的腰为3时，三边为3，3，6，3+3=6，三边关系不成立，
当等腰三角形的腰为6时，三边为3，6，6，三边关系成立，周长为3+6+6=15．
故选：B．
【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和6，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
3．（2025八下·紫金期中）如图，在等腰三角形中，，是边上的高，则下列结论不正确的是（　　）
A． B．
C．平分 D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵，是边上的高，
∴，，即平分，
∴，
故选项A、C、D正确，不符合题意，
而已知条件无法证明，故选项B错误，符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，得， ，则 ，则进行判断结论错误的是B项．
4．（2025八下·紫金期中）下面四个图标中，中心对称图形个数是（　　）
A．0 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：根据中心对称图形的定义可知从左到右第1个图形和第三个图形是中心对称图形，第二和第四个图形不是中心对称图形．
故答案为：C．
【分析】利用中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
5．（2025八下·紫金期中）不等式3x＋1＜2x的解在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集；数形结合
【解析】【解答】解：3x＋1＜2x
解得：
在数轴上表示其解集如下：
故答案为：B
【分析】先解不等式，得到不等式的解集，再在数轴上表示．
6．（2025八下·紫金期中）小明用30元购买铅笔和签字笔，已知铅笔和签字笔的单价分别是2元和5元，他买了2支铅笔后，最多还能买几支签字笔？设小明还能买x支签字笔，则下列不等关系正确的是（　　）
A．5×2+2x≥30 B．5×2+2x≤30 C．2×2+2x≥30 D．2×2+5x≤30
【答案】D
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：设小明还能买x支签字笔，
则：
故答案为：D
【分析】根据题意可知2×铅笔的数量+5×签字笔的数量≤30，列不等式即可.
7．（2025八下·紫金期中）已知 ，下列结论：① ；② ；③若 ，则 ；④若 ，则 ，其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵a＞b，则
①当a=0时， ，故不符合题意；
②当a＜0，b＜0时， ，故不符合题意；
③若 ，则 ，即 ，故不符合题意；
④若 ，则 ，则 ，故符合题意；
故答案为：A．
【分析】不等式的基本性质①不等式的两边同时加上或减去同一个数（或式子），不等号方向不变；②不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；③不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；据此逐一判断即可.
8．（2025八下·紫金期中）在中，分别平分，过点D作直线平行于，分别交于点E、F，若，则线段的长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵分别平分，
∴，
∵，
∴
∴
∴，，
∴，
故答案为：D．
【分析】由角平分线的定义，得，由，得角的等量代换以及等角对等边，则，，则EF=10．
9．（2025八下·紫金期中）如图，在△ABC中，∠CAB=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得△ADE，则∠EAB的度数为（　　）
A．20° B．25° C．28° D．30°
【答案】D
【知识点】角的运算；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC的绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，∴∠EAC=60°，
∵∠CAB=90°，
∴∠EAB=90°-60°=30°．
故答案为：D．
【分析】利用旋转的性质可得∠EAC=60°，再结合∠CAB=90°，利用角的运算求出∠EAB=90°-60°=30°即可．
10．（2025八下·紫金期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为．一个电动玩具从原点O出发，按照与点依次成中心对称跳跃．第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称；……．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标；中心对称及中心对称图形；探索数与式的规律；数轴的左右跳跃模型（动态规律模型）；中心对称的性质
【解析】【解答】解：∵点，，的坐标分别为，，，一个电动玩具从原点O出发，按照与点，，依次成中心对称跳跃，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴点，
∵第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴，
∵第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴，
∵第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴，
∵第五次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴，
∵第六次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴，
∵第七次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴，
……
∴点P的坐标的变化规律是6次一个循环，
∵，
∴点的坐标与相同为．
故答案为：B．
【分析】先结合题干求出点，，，，，，，可得规律点P的坐标的变化规律是6次一个循环，再结合，从而可得点的坐标与相同为．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（2025八下·紫金期中）如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是　 　．
【答案】2
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过P作PE⊥OA于点E，
∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，
∴PE＝PD，
∵PD＝2，
∴PE＝2，
∴点P到边OA的距离是2．
故答案为：2．
【分析】过P作PE⊥OA于点E，利用角平分线的性质可得PE＝PD，再结合PD=2，可得PE＝2，即可得到点P到边OA的距离是2．
12．（2025八下·紫金期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD⊥AC于D，则∠DBC=　 　度.
【答案】20
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，即∠A+2∠ACB=180°，
又∵∠A=40°，
∴，即∠DCB=70°，
∵BD⊥AC，
∴在Rt△BDC中，∠DCB+∠DBC=90°，
∴∠DBC=90°-∠DCB=90°-70°=20°.
故答案为：20.
【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形的内角和求出，即∠DCB=70°，再结合∠DCB+∠DBC=90°，最后求出∠DBC=90°-∠DCB=90°-70°=20°即可.
13．（2025八下·紫金期中）一次函数的图象过点，且随的增大而减小，则关于的不等式的解集是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象过点，且随的增大而减小，
∴，
∴当时，，
故答案为：．
【分析】先画出草图，再结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
14．（2025八下·紫金期中）如图，在中，，边上有一动点P，将绕点C逆时针旋转得，点P的对应点为，连接，则长的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图所示，连接，，作于点H，
∵将绕点C逆时针旋转得，点P的对应点为，
∴，
∵，
∴，即，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴当长最小时的长度最小，
∴当时，即H点与P点重合时，长最小，即的长度最小，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
∴．
故答案为：．
【分析】连接，，作于点H，先证出当时，即H点与P点重合时，长最小，即的长度最小，再利用求出AC的长，再结合，即，求出，最后求出即可．
15．（2025八下·紫金期中）如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3 在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=a，则△A6B6A7的边长为　 　．
【答案】32a
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：如图所示：
∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°-120°-30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°-60°-30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA1=A1B1=a，
∴A2B1=a，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，
∴A3B3=4B1A2=4a，
A4B4=8B1A2=8a，
A5B5=16B1A2=16a，
以此类推：A6B6=32B1A2=32a．
故答案是：32a．
【分析】 △A1B1A2是等边三角形 ，根据等边三角形的性质得 A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60° ，由三角形内角和得 ∠1=180°-120°-30°=30°， 平行线的判定，得A1B1∥A2B2∥A3B3，A2B2=2B1A2，得A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8， A5B5=16B1A2=16a， 以此类推：A6B6=32B1A2=32a
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．（2025八下·紫金期中）解不等式组：
【答案】解：，
由①，得，
由②，得，
∴原不等式组的解集是：.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】根据不等式组的解法，先分别求两个不等式的解，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”得不等式组的解集.
17．（2025八下·紫金期中）如图，三个顶点的坐标分别为．
（1）请画出关于原点O成中心对称的；
（2）在x轴上找一点P，使得的值最小，并写出点P的坐标．
【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求，
点P的坐标为．
【知识点】轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题；中心对称及中心对称图形；关于原点对称的点的坐标特征；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【分析】（1）先利用关于原点对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标变为相反数）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求.
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求，
点P的坐标为．
18．（2025八下·紫金期中）如图，已知，，垂足分别为N、M，，与相交于点P，连接．求证：点P在的平分线上．
【答案】证明：∵，，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，
∴平分，
∴点P在的平分线上．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的判定
【解析】【分析】先利用“HL”证出，利用全等三角形的性质可得，再结合，，可证出平分，即可证出点P在的平分线上．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．（2025八下·紫金期中）如图，在中，，是的垂直平分线，垂足为D，交于E．
（1）若，求的度数；
（2）若的周长为cm，cm，求的周长．
【答案】（1）解：∵是的垂直平分线，，∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴
∴；
（2）解：∵的周长为cm，cm，∴，
∴cm，
∵，
∴的周长（cm）．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）由 是的垂直平分线 ，得，；由，得，则，；
（2）由的周长为cm，cm ，得，则cm；根据，得的周长=．
（1）解：（1）∵是的垂直平分线，，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴
∴；
（2）解：∵的周长为cm，cm，
∴，
∴cm，
∵，
∴的周长（cm）．
20．（2025八下·紫金期中）如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，，且与的图象交于点．
（1）求，的值；
（2）若，则的取值范围是__________；
（3）求四边形的面积．
【答案】（1）解：由题意，得：点在的图象上，
∴，
∴；
∴，
∵，在直线上，
∴，
∴.
（2）
（3）解：∵，当时，，
∴，
∵，当时，，
∴，
连接，
则：四边形的面积．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：（2）由图象，得：当，直线在直线的上方，
∴时，；
故答案为：.
【分析】（1）将点D的坐标代入求出m的值，再将点D的坐标代入求出b的值即可；
（2）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可；
（3）先求出点C的坐标，连接OD的长，再利用三角形的面积公式及割补法求出四边形AOCD的面积即可.
（1）解：由题意，得：点在的图象上，
∴，
∴；
∴，
∵，在直线上，
∴，
∴；
（2）由图象，得：当，直线在直线的上方，
∴时，；
故答案为：；
（3）∵，当时，，
∴，
∵，当时，，
∴，
连接，
则：四边形的面积．
21．（2025八下·紫金期中）多功能家庭早餐机可以制作多种口味的美食，深受消费者的喜爱，在新品上市促销活动中，已知8台A型早餐机和3台B型早餐机需要1000元，6台A型早餐机和1台B型早餐机需要600元．
（1）每台A型早餐机和每台B型早餐机的价格分别是多少元？
（2）某商家欲购进A，B两种型号早餐机共20台，但总费用不超过2200元，那么至少要购进A型早餐机多少台？
【答案】（1）解：设A型早餐机每台x元，B型早餐机每台y元，依题意得：
，
解得：，
答：每台A型早餐机80元，每台B型早餐机120元；
（2）解：设购进A型早餐机n台，依题意得：
80n+120（20﹣n）≤2200，
解得：n≥5，
答：至少要购进A型早餐机5台．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设A型早餐机每台x元，B型早餐机每台y元，根据“ 8台A型早餐机和3台B型早餐机需要1000元，6台A型早餐机和1台B型早餐机需要600元 ”列二元一次方程组求解即可；
（2）设购进A型早餐机n台，根据“总费用不超过2200元”列不等式，求出n的取值范围解答即可．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．（2025八下·紫金期中）如图，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别是AB，BC，CA上的点．
（1）若AD＝BE＝CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论；
（2）若△DEF是等边三角形，问AD＝BE＝CF成立吗？试证明你的结论．
【答案】解：（1）△DEF是等边三角形．
证明如下：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C，AB＝BC＝CA．
∵AD＝BE＝CF，
∴DB＝EC＝FA．
∴△ADF≌△BED≌△CFE，
∴DF＝ED＝FE．
∴△DEF是等边三角形．
（2）AD＝BE＝CF成立．证明如下：如图，
∵△DEF是等边三角形，
∴DE＝EF＝FD，∠FDE＝∠DEF＝∠EFD＝60°．
∴∠1＋∠2＝120°．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∴∠2＋∠3＝120°，
∴∠1＝∠3.
同理∠3＝∠4，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（AAS），
∴AD＝BE＝CF．
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先证出△ADF≌△BED≌△CFE，利用全等三角形的性质可得DF＝ED＝FE，即可证出△DEF是等边三角形；
（2）先利用“AAS”证出△ADF≌△BED≌△CFE，再利用全等三角形的性质可得AD＝BE＝CF．
23．（2025八下·紫金期中）如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，现同时将点，分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到，的对应点，，连接，，．
（1）点的坐标为　 　，点的坐标为　 　，四边形的面积为　 　；
（2）在轴上是否存在一点，使得的面积是面积的2倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点是线段上一动点（，两点除外），试说明与的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）点C的坐标为；点D的坐标为；四边形的面积12
（2）解：存在．理由如下：
设点的坐标为，
∵的面积是的面积的2倍，
∴，解得或，
∴点的坐标为或；
（3）解：，理由如下：
过点作交轴于，如图所示：
∴
∴，，
∴．
【知识点】坐标与图形性质；平移的性质；坐标与图形变化﹣平移；四边形-动点问题；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】（1）解：∵点A、的坐标分别是，，同时将点、分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到A、的对应点、，
∴点的坐标为，点的坐标为，
；
故答案为：（0，2）；（6，2）；12；
【分析】（1）根据点平移的规律点向上平移，点的横坐标不变，纵坐标加单位长度，向右平移点的纵坐标不变，横坐标加单位长度，得点C的坐标为（0，2），点D的坐标为（6，2）；
（2）设点E的坐标为（x，0），由△DEC的面积是△DEB面积的2倍和三角形面积公式，得，解得x＝1或x＝7，则E（1，0）或（7，0）；
（3）当点P在线段BD上，作交轴于，由平行线的性质，由得，再根据平行线的性质，，得．
（1）解：∵点A、的坐标分别是，，同时将点、分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到A、的对应点、，
∴点的坐标为，点的坐标为，
；
（2）解：存在．理由如下：
设点的坐标为，
∵的面积是的面积的2倍，
∴，解得或，
∴点的坐标为或；
（3）解：，理由如下：
过点作交轴于，如图所示：
∴
∴，，
∴．
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