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广东省汕头市育能实验学校 2024-2025学年下学期七年级数学期中考试卷
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．（2025七下·汕头期中）下列图形中，与是同位角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：由题意知，C选项中与是同位角，故符合要求；
故答案为：C．
【分析】根据两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁且在被截两直线的同一侧的角为同位角，进行判断．
2．（2025七下·汕头期中）下列各点中，位于第二象限的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵第二象限的点的横坐标为负数，纵坐标为正数，
∴在第二象限；
故选：D．
【分析】根据第二象限的点的符号特征，即可求得．
3．（2025七下·汕头期中）如图，点P是直线l外一点，A、B、C、D都在直线l上，于B，在P与A、B、C、D四点的连线中，线段最短，依据是（　　）
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．垂线段最短
【答案】D
【知识点】两点确定一条直线；两点之间线段最短；垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：于B，在P与A、B、C、D四点的连线中，线段最短，依据是垂线段最短．
故答案为：D.
【分析】利用垂线段最短的性质并结合图形分析求解即可.
4．（2025七下·汕头期中）下列各式中，为二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、是二元一次方程，A正确；
B、有3个未知数，不是二元一次方程，B错误；
C、不是整式方程，不是二元一次方程，C错误；
D、含有2次项，不是一次方程，不是二元一次方程，D错误；
故答案为：A．
【分析】根据二元一次方程的定义：含有2个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程，逐一判断即可．
5．（2025七下·汕头期中）的立方根是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：2的立方根是，
故答案为：A.
【分析】利用立方根的定义及计算方法求解即可.
6．（2025七下·汕头期中）如图，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】先根据平行线的性质（内错角相等）得到，进而根据邻补角即可求解。
7．（2025七下·汕头期中）的平方根是（　　）
A．±3 B．3 C．±9 D．9
【答案】A
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵ =9，
∴9的平方根为±3 ，
故选A.
8．（2025七下·汕头期中）不等式的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：移项，得：，
合并同类项，得：，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
故答案为：A．
【分析】先求出不等式的解集，再利用不等式解集的表示方法（小于向左，大于向右；边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点）分析求解即可.
9．（2025七下·汕头期中）下列命题是真命题的是（　　）
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
C．相等的两个角是对顶角
D．对任意的有理数a和b，若，则
【答案】B
【知识点】等式的基本性质；对顶角及其性质；真命题与假命题；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：A、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原命题是假命题，不符合题意；
B、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，原命题是真命题，符合题意；
C、有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角，原命题是假命题，不符合题意；
D、对任意的有理数a和b，若，则，原命题是假命题，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用平行线的性质、平行线的判定的推论、对顶角的定义和等式的性质逐项分析判断即可.
10．（2025七下·汕头期中）某车间有名工人生产太阳镜，名工人每天可生产镜片片或镜架个．两个镜片和一个镜架配套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排名工人生产镜片，名工人生产镜架，则可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设安排名工人生产镜片，名工人生产镜架，
根据题意，得：，
故答案为：A．
【分析】根据题意的等量关系：由名工人生产镜片+名工人生产镜架= 人，名工人每天可生产镜片片或镜架个．两个镜片和一个镜架配套 ，列二元一次方程组．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（2025七下·汕头期中）计算： ＝　 　
【答案】
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解： ；
故答案为：2.
【分析】如果一个正数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求解.
12．（2025七下·汕头期中）如图，两直线交于点O． 若，则　 　．
【答案】
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵两直线交于点O，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】利用对顶角的性质可得，再结合，求出即可.
13．（2025七下·汕头期中）不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为1得，，
故答案为：．
【分析】利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求解即可.
14．（2025七下·汕头期中）已知点在轴上，则点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点在轴上，
∴，
∴，
∴，
∴点P的坐标为，
故答案为：．
【分析】利用x轴上点坐标的特征可得，求出a的值，最后求出点P的坐标即可.
15．（2025七下·汕头期中）如图，已知直线与相交于点O，，，垂足均为O．若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】角的运算；垂线的概念；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，，
∴；
故答案为：．
【分析】先利用对顶角的性质可得，再利用角的运算求出即可.
三、解答题（每小题7分，共21分）
16．（2025七下·汕头期中）解方程组：．
【答案】解：
，得，
解得：，
把代入，，
解得：，
方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用加减消元法的计算方法及步骤分析求解即可.
17．（2025七下·汕头期中）将下列证明过程补充完整：
已知：如图，点分别在上，分别交于点，．
求证：．
证明：∵（已知）
又∵（____________），
∴___________（等量代换）．
∴（ ）
∴（____________）．
又∵（已知），
∴（____________）．
∴__________
∴（ ）．
【答案】证明：∵（已知）
又∵（对顶角相等），
∴（等量代换）．
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）．
又∵（已知），
∴（内错角相等，两直线平行）．
∴，
∴（等量代换）．
故答案为：对顶角相等；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行；；等量代换.
【知识点】推理与论证；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】利用平行线的判定和性质以及推理方法和步骤分析求解即可.
18．（2025七下·汕头期中）计算：；
【答案】解：
．

【知识点】化简含绝对值有理数；实数的混合运算（含开方）；开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】实数的混合运算先计算乘方、算术平方根、绝对值、立方根，再计算加减得结果为。
四、解答题（每小题9分，共27分）
19．（2025七下·汕头期中）解不等式：．
【答案】解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求解即可.
20．（2025七下·汕头期中）如图，已知．求证：．
【答案】证明：∵，∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】垂线的概念；平行线的应用-证明问题；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】由同位角相等，两直线平行，得，由平行线的性质，得，由，可得，根据内错角相等，两直线平行，得．
21．（2025七下·汕头期中）在解方程组，甲看错了方程组中的，得到的解为，乙看错了方程组中的，得到的解是．
（1）求原方程组中、的值各是多少？
（2）求出原方程组中的正确解．
【答案】（1）解：，
将代入②得，
将代入①得，
，．

（2）解：由（1）得，，
原方程组为，
①2②，得：，
解得：，
将代入①，得：，
解得：，
原方程组的解为：．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【分析】（1）甲由于看错了方程①中的，得到方程组的解为，那么他的解对②还是正确的，把他的解代入②中解得；乙看错了②中的得到方程组的解为，那么他的解对①也是正确的，把他的解代入①中，解得；
（2）用加减消元法解二元一次方程组，方程组的解为：．．
（1）解：，
将代入②得，
将代入①得，
，．
（2）解：由（1）得，，
原方程组为，
①2②，得：，
解得：，
将代入①，得：，
解得：，
原方程组的解为：．
五、解答题（22题13分，23题14分，共27分）
22．（2025七下·汕头期中）随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元．
（1）求A，B两种头盔的单价各是多少元；
（2）若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，
由题意得：，
解得：，
答：A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元．
（2）解：设购进A种头盔m个，B种头盔n个，
由题意得：，
整理得：，
、n均为正整数，
或，
该商店共有2种购买方案：
①购进A种头盔2个，B种头盔10个，利润为元；
②购进A种头盔4个，B种头盔5个，利润为元；
，
最大利润是220元．
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，根据相等关系“购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元”列出二元一次方程组并求解即可；
设购进A种头盔m个，B种头盔n个，根据相等关系“计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买”列出二元一次方程并求出正整数解即可．
（1）解：设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，
由题意得：，
解得：，
答：A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元．
（2）解：设购进A种头盔m个，B种头盔n个，
由题意得：，
整理得：，
、n均为正整数，
或，
该商店共有2种购买方案：
①购进A种头盔2个，B种头盔10个，利润为元；
②购进A种头盔4个，B种头盔5个，利润为元；
，
最大利润是220元．
23．（2025七下·汕头期中）已知直线，E为平面内一点，点P，Q分别在直线，上，连接，．
（1）如图1，若点E在直线，之间，试探究之间的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，若点E在直线，之间，平分，平分，当时，求的度数．
（3）如图3，若点E在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点F，当时，求的度数．
【答案】（1）解：，理由如下：
如图1，过点作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：如图2，过点作，
由（1）可知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图3，过点作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
，
∴，
由对顶角相等得：，
由（2）可知，
，
所以的度数为．
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质；角平分线的概念；平行公理的推论
【解析】【分析】（1）过点作，根据直线平行性质即可求出答案.
（2）过点作，根据直线平行性质可得，根据角平分线定义可得，，再根据直线平行性质即可求出答案.
（3）过点作，则，根据直线平行性质可得，根据角平分线定义可得，，再根据角之间的关系即可求出答案.
（1）解：，理由如下：
如图1，过点作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：如图2，过点作，
由（1）可知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图3，过点作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
，
∴，
由对顶角相等得：，
由（2）可知，
，
所以的度数为．
1 / 1广东省汕头市育能实验学校 2024-2025学年下学期七年级数学期中考试卷
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．（2025七下·汕头期中）下列图形中，与是同位角的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025七下·汕头期中）下列各点中，位于第二象限的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025七下·汕头期中）如图，点P是直线l外一点，A、B、C、D都在直线l上，于B，在P与A、B、C、D四点的连线中，线段最短，依据是（　　）
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．垂线段最短
4．（2025七下·汕头期中）下列各式中，为二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025七下·汕头期中）的立方根是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025七下·汕头期中）如图，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025七下·汕头期中）的平方根是（　　）
A．±3 B．3 C．±9 D．9
8．（2025七下·汕头期中）不等式的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025七下·汕头期中）下列命题是真命题的是（　　）
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
C．相等的两个角是对顶角
D．对任意的有理数a和b，若，则
10．（2025七下·汕头期中）某车间有名工人生产太阳镜，名工人每天可生产镜片片或镜架个．两个镜片和一个镜架配套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排名工人生产镜片，名工人生产镜架，则可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（2025七下·汕头期中）计算： ＝　 　
12．（2025七下·汕头期中）如图，两直线交于点O． 若，则　 　．
13．（2025七下·汕头期中）不等式的解集为　 　．
14．（2025七下·汕头期中）已知点在轴上，则点的坐标是　 　．
15．（2025七下·汕头期中）如图，已知直线与相交于点O，，，垂足均为O．若，则的度数为　 　．
三、解答题（每小题7分，共21分）
16．（2025七下·汕头期中）解方程组：．
17．（2025七下·汕头期中）将下列证明过程补充完整：
已知：如图，点分别在上，分别交于点，．
求证：．
证明：∵（已知）
又∵（____________），
∴___________（等量代换）．
∴（ ）
∴（____________）．
又∵（已知），
∴（____________）．
∴__________
∴（ ）．
18．（2025七下·汕头期中）计算：；
四、解答题（每小题9分，共27分）
19．（2025七下·汕头期中）解不等式：．
20．（2025七下·汕头期中）如图，已知．求证：．
21．（2025七下·汕头期中）在解方程组，甲看错了方程组中的，得到的解为，乙看错了方程组中的，得到的解是．
（1）求原方程组中、的值各是多少？
（2）求出原方程组中的正确解．
五、解答题（22题13分，23题14分，共27分）
22．（2025七下·汕头期中）随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元．
（1）求A，B两种头盔的单价各是多少元；
（2）若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？
23．（2025七下·汕头期中）已知直线，E为平面内一点，点P，Q分别在直线，上，连接，．
（1）如图1，若点E在直线，之间，试探究之间的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，若点E在直线，之间，平分，平分，当时，求的度数．
（3）如图3，若点E在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点F，当时，求的度数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：由题意知，C选项中与是同位角，故符合要求；
故答案为：C．
【分析】根据两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁且在被截两直线的同一侧的角为同位角，进行判断．
2．【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵第二象限的点的横坐标为负数，纵坐标为正数，
∴在第二象限；
故选：D．
【分析】根据第二象限的点的符号特征，即可求得．
3．【答案】D
【知识点】两点确定一条直线；两点之间线段最短；垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：于B，在P与A、B、C、D四点的连线中，线段最短，依据是垂线段最短．
故答案为：D.
【分析】利用垂线段最短的性质并结合图形分析求解即可.
4．【答案】A
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、是二元一次方程，A正确；
B、有3个未知数，不是二元一次方程，B错误；
C、不是整式方程，不是二元一次方程，C错误；
D、含有2次项，不是一次方程，不是二元一次方程，D错误；
故答案为：A．
【分析】根据二元一次方程的定义：含有2个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程，逐一判断即可．
5．【答案】A
【知识点】开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：2的立方根是，
故答案为：A.
【分析】利用立方根的定义及计算方法求解即可.
6．【答案】A
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】先根据平行线的性质（内错角相等）得到，进而根据邻补角即可求解。
7．【答案】A
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵ =9，
∴9的平方根为±3 ，
故选A.
8．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：移项，得：，
合并同类项，得：，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
故答案为：A．
【分析】先求出不等式的解集，再利用不等式解集的表示方法（小于向左，大于向右；边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点）分析求解即可.
9．【答案】B
【知识点】等式的基本性质；对顶角及其性质；真命题与假命题；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：A、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原命题是假命题，不符合题意；
B、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，原命题是真命题，符合题意；
C、有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角，原命题是假命题，不符合题意；
D、对任意的有理数a和b，若，则，原命题是假命题，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用平行线的性质、平行线的判定的推论、对顶角的定义和等式的性质逐项分析判断即可.
10．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设安排名工人生产镜片，名工人生产镜架，
根据题意，得：，
故答案为：A．
【分析】根据题意的等量关系：由名工人生产镜片+名工人生产镜架= 人，名工人每天可生产镜片片或镜架个．两个镜片和一个镜架配套 ，列二元一次方程组．
11．【答案】
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解： ；
故答案为：2.
【分析】如果一个正数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求解.
12．【答案】
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵两直线交于点O，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】利用对顶角的性质可得，再结合，求出即可.
13．【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为1得，，
故答案为：．
【分析】利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求解即可.
14．【答案】
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点在轴上，
∴，
∴，
∴，
∴点P的坐标为，
故答案为：．
【分析】利用x轴上点坐标的特征可得，求出a的值，最后求出点P的坐标即可.
15．【答案】
【知识点】角的运算；垂线的概念；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，，
∴；
故答案为：．
【分析】先利用对顶角的性质可得，再利用角的运算求出即可.
16．【答案】解：
，得，
解得：，
把代入，，
解得：，
方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用加减消元法的计算方法及步骤分析求解即可.
17．【答案】证明：∵（已知）
又∵（对顶角相等），
∴（等量代换）．
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）．
又∵（已知），
∴（内错角相等，两直线平行）．
∴，
∴（等量代换）．
故答案为：对顶角相等；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行；；等量代换.
【知识点】推理与论证；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】利用平行线的判定和性质以及推理方法和步骤分析求解即可.
18．【答案】解：
．

【知识点】化简含绝对值有理数；实数的混合运算（含开方）；开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】实数的混合运算先计算乘方、算术平方根、绝对值、立方根，再计算加减得结果为。
19．【答案】解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求解即可.
20．【答案】证明：∵，∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】垂线的概念；平行线的应用-证明问题；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】由同位角相等，两直线平行，得，由平行线的性质，得，由，可得，根据内错角相等，两直线平行，得．
21．【答案】（1）解：，
将代入②得，
将代入①得，
，．

（2）解：由（1）得，，
原方程组为，
①2②，得：，
解得：，
将代入①，得：，
解得：，
原方程组的解为：．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【分析】（1）甲由于看错了方程①中的，得到方程组的解为，那么他的解对②还是正确的，把他的解代入②中解得；乙看错了②中的得到方程组的解为，那么他的解对①也是正确的，把他的解代入①中，解得；
（2）用加减消元法解二元一次方程组，方程组的解为：．．
（1）解：，
将代入②得，
将代入①得，
，．
（2）解：由（1）得，，
原方程组为，
①2②，得：，
解得：，
将代入①，得：，
解得：，
原方程组的解为：．
22．【答案】（1）解：设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，
由题意得：，
解得：，
答：A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元．
（2）解：设购进A种头盔m个，B种头盔n个，
由题意得：，
整理得：，
、n均为正整数，
或，
该商店共有2种购买方案：
①购进A种头盔2个，B种头盔10个，利润为元；
②购进A种头盔4个，B种头盔5个，利润为元；
，
最大利润是220元．
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，根据相等关系“购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元”列出二元一次方程组并求解即可；
设购进A种头盔m个，B种头盔n个，根据相等关系“计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买”列出二元一次方程并求出正整数解即可．
（1）解：设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，
由题意得：，
解得：，
答：A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元．
（2）解：设购进A种头盔m个，B种头盔n个，
由题意得：，
整理得：，
、n均为正整数，
或，
该商店共有2种购买方案：
①购进A种头盔2个，B种头盔10个，利润为元；
②购进A种头盔4个，B种头盔5个，利润为元；
，
最大利润是220元．
23．【答案】（1）解：，理由如下：
如图1，过点作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：如图2，过点作，
由（1）可知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图3，过点作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
，
∴，
由对顶角相等得：，
由（2）可知，
，
所以的度数为．
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质；角平分线的概念；平行公理的推论
【解析】【分析】（1）过点作，根据直线平行性质即可求出答案.
（2）过点作，根据直线平行性质可得，根据角平分线定义可得，，再根据直线平行性质即可求出答案.
（3）过点作，则，根据直线平行性质可得，根据角平分线定义可得，，再根据角之间的关系即可求出答案.
（1）解：，理由如下：
如图1，过点作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：如图2，过点作，
由（1）可知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图3，过点作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
，
∴，
由对顶角相等得：，
由（2）可知，
，
所以的度数为．
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