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广东省深圳市蛇口育才教育集团2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题
一、单选题（每题3分，共24分）
1．（2025八下·深圳期中）下列选项中，可以看作中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·深圳期中）如果，那么下列不等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·深圳期中）如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，该不等式组可能是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025八下·深圳期中）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025八下·深圳期中）的结果是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·深圳期中）下列各组数中，不能构成直角三角形三边的是（　　）
A．3，4，5 B．9，40，41 C． D．7，24，25
7．（2025八下·深圳期中）已知关于的不等式的最小整数解为3，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025八下·深圳期中）如图，在等腰直角三角形中，，内一动点P到A，B，C三点的距离之和的最小值为2，的长为（　　）．
A． B．4 C． D．8
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2025八下·深圳期中）因式分解： 　 　.
10．（2025八下·深圳期中）若代数式 有意义，则x的取值范围是　 　．
11．（2025八下·深圳期中）如图，一艘轮船由海平面上地出发，要到地的北偏东方向的处，已知轮船先沿正东方向行驶了100海里到达地，再沿北偏东方向行进，恰能到达目的地，那么，两地相距　 　海里．
12．（2025八下·深圳期中）如图，函数和的图象相交于点，则关于不等式的解集为　 　．
13．（2025八下·深圳期中）如图，中．D为上一动点，连接，的垂直平分线分别交，于点E，F，线段长的最大值是　 　．
三、解答题（共61分）
14．（2025八下·深圳期中）解不等式组：．
15．（2025八下·深圳期中）先化简，再求值：其中．
16．（2025八下·深圳期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为点．
（1）请在图中画出将向左平移4个单位长度得到的，并写出点的坐标；
（2）请在图中画出将绕着原点顺时针旋转得到的，并写出点的坐标；
（3）在x轴上找一点P，使得最小，并写出点P的坐标．
17．（2025八下·深圳期中）如图，，的垂直平分线交于D，交于E．
（1）若，求的度数；
（2）若，的周长为23，求的周长．
18．（2025八下·深圳期中）灵蛇献瑞，已蛇呈祥．新年之际，探亲访友，都会提上新春礼盒，缤纷美食，满载幸福与甜蜜．某百货超市计划主推两款礼盒：坚果礼盒“锦然秋鸿”和糖果礼盒“甘饴冬藏”．已知2件坚果礼盒和3件糖果礼盒进价660元，3件坚果礼盒和2件糖果礼盒进价690元．
（1）求每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是多少元？
（2）超市决定用不超过66600元资金购进坚果礼盒和糖果礼盒共500盒，其中坚果礼盒的数量不少于糖果礼盒数量的，且两种礼盒的进价保持不变，销售时每件坚果礼盒售价为175元，每件糖果礼盒售价为150元，若本次购进的两种礼盒全部售出，请问坚果礼盒购进多少件时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是多少元？
19．（2025八下·深圳期中）根据项目素材，探索解决问题．
项目主题 如何剪出直角三角形的完美线？
项目背景 新课标（2022版）要求学校教育要坚持“立德树人”，实施“跨学科学习、项目式学习”在学习完三角形的证明后，某校组织了该次项目式学习．
项目素材 在直角三角形中，过直角顶点剪一刀，剪痕将直角分成两个锐角，若这两个锐角分别等于此直角三角形中的另外两个内角，则称这条剪痕为直角三角形的“完美线”．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
问题解决
项目一 如图，有一张直角三角形纸片，，，图1中的是完美线，请在图2中画出与图1不相同的“完美线”剪法，并标出两个锐角的度数．
项目二 如图，在直角三角形纸片中，，过点C剪一刀，剪痕与交于点 D．你发现满足什么条件时，是直角三角形的“完美线”，请说明理由．
项目三 在中，，°，，的“完美线”与交于点D，将沿“完美线”翻折得到，求的长度．
20．（2025八下·深圳期中）数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动：
（1）【操作探究】如图1，为等边三角形，将绕点A旋转得到，连接，F是的中点，连接．
①图1中的角有_______个；
②图1中与的数量关系是_______．
（2）【迁移探究】如图2，将（1）中的等边绕点A逆时针旋转得到，连接，F是的中点，连接．探究与的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展应用】如图3，在中将绕点A旋转，得到，连接，F是的中点，连接．在旋转过程中，当时，直接写出线段的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，该选项符合题意；
B、不是中心对称图形，该选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，该选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，该选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
2．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A，，，，故此选项错误；
B，，，故此选项正确；
C，，，，故此选项错误；
D，，，，故此项错误；
故答案为：B．
【分析】利用一元一次不等式的性质（不等式的基本性质①：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质②：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质③：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）分析求解即可.
3．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由数轴知不等式组的解集为，
A选项不等式组的解集为；
B选项不等式组的解集为；
C选项不等式组的解集为；
D选项不等式组无解．
故答案为：B．
【分析】先求出不等式组的解集，然后对比数轴上的解集判断解题即可．
4．【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、，属于整式的乘法，故不符合题意；
B、，等式右边不是几个整式乘积的形式，不是因式分解，故不符合题意；
C、，等式右边不是整式，不是因式分解，故不符合题意；
D、，属于因式分解，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用因式分解的定义（因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式）逐个分析求解即可.
5．【答案】A
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：A．
【分析】利用分式的乘法的定义及计算方法（先约分，再将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子）分析求解即可.
6．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，能组成直角三角形，故此选项不符合题意；B、，能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、，不能组成直角三角形，故此选项符合题意；
D、，能组成直角三角形，故此选项不符合题意．
故答案为：C
【分析】根据勾股定理的逆定理三边满足，则是直角三角形，分别计算各个选项确定正确选项．
7．【答案】B
【知识点】一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式，得：，
不等式有最小整数解3，
，
解得：，
故答案为：B．
【分析】先求出不等式的解集，再结合“不等式最小整数解为3 ”可得，最后求出m的取值范围即可.
8．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质；三角形的综合；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，把绕点逆时针旋转得到，连接，，过点作，
，，
为等边三角形，
，
∴点可看成是线段绕点逆时针旋转而得的定点，为定长．
当、、、四点在同一直线上时，最小．
，
把绕点逆时针旋转得到，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
中，，
，
，
，
故答案为：A.
【分析】把绕点逆时针旋转得到，连接，，过点作，先证出点可看成是线段绕点逆时针旋转而得的定点，为定长，再求出当、、、四点在同一直线上时，最小，再设，则，，利用勾股定理求出，可得，最后求出BC的长即可.
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x 2 4 =( x + 2 ) ( x 2 )，
故答案为：( x + 2 ) ( x 2 ).
【分析】利用平方差公式分解因式即可. 注意分解到不能再分解为止.
10．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：因为 有意义
所以 >0
所以
故答案为：
【分析】根据二次根式有意义、分式有意义的条件，判断得到x的取值范围即可。
11．【答案】100
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；方位角
【解析】【解答】解：由题意可得：，，
，
，
，
故答案为：．
【分析】先利用角的运算和三角形的内角和求出∠C的度数，再结合，最后利用等角对等边的性质可得.
12．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；数形结合
【解析】【解答】解：把代入．
得．
解得．
即A点坐标为．
∵由图象可得，当时，，
∴关于x的不等式的解集为．
故答案为：．
【分析】先把点A的坐标代入中，m=-1，则的解集为。
13．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：连接，
中，，，，
，
垂直平分，
，过点F作于H，
若要使最大，则需要最小，
设，则，
，
，
（垂线段最短），
，
解得．
最小值为，的最大值为，
故答案为：．
【分析】连接DF，先证出要使最大，则需要最小，再设，则，利用含30°角的直角三角形的性质可得，再结合DF≥FH，可得，求出x的取值范围，最后求出BF的长即可.
14．【答案】解：，解不等式①得：，
解不等式①得：，
∴不等式组的解集为：．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】根据不等式组解集的原则“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”，先求出两个不等式的解集，再找出两个不等式的公共解集．
15．【答案】解：原式
；
∵，
∴原式
【知识点】分式的乘除法；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先对分式中的各个分式利用完全平方公式和平方差公式进行分解，然后再将除法换算成乘法，再进行化简约分，最后再将 代入上述化简后的式子，即可求解。
16．【答案】（1）解：如图，即为所求，点的坐标为，
点的坐标为
（2）解：如图，即为所求，点的坐标为，
（3）解：如图，点P即为所求，点P的坐标为
【知识点】两点之间线段最短；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣平移；作图﹣旋转；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【分析】（1）向左平移4个单位长度，纵坐标不变，横坐标减4，得对应点，顺次连接，得，则点（-3，3）；
（2）根据绕着原点顺时针旋转的规律：（a，b）变为(b，-a)，点绕着原点顺时针旋转，得到的对应点，顺次连接，得，则点（2，-3）；
（3）根据轴对称最短路径的要求进行作图，则点P（1，0）．
（1）解：如图，即为所求，点的坐标为，
（2）如图，即为所求，点的坐标为，
（3）如图，点P即为所求，点P的坐标为
17．【答案】（1）解：∵的垂直平分线交于，交于，∴，
∴，
∴．
（2）解：∵的垂直平分线交于，交于，∴，，
∵的周长为，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴的周长．
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；数形结合
【解析】【分析】（1）由的垂直平分线交于，交于，根据线段垂直平分线的性质，得，得=50°，得=100°．
（2）由的周长为，则，由，则的周长为37 ．
（1）解：∵的垂直平分线交于，交于，
∴，
∴，
∴．
（2）∵的垂直平分线交于，交于，
∴，，
∵的周长为，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴的周长．
18．【答案】（1）解：设每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是x元，y元，
根据题意得：，
解得，
答：每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是150元，120元.
（2）解：设坚果礼盒购进a件，则糖果礼盒购进件，
根据题意得：，
解得：，
又，
解得：，
，
设利润为w元，根据题意得：
，
，
随a的增大而减少，
当时，w最大，最大值为，
答：坚果礼盒购进200件时．可使本次销售获得最大利润，最大利润是14000元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是x元，y元，利用“ 2件坚果礼盒和3件糖果礼盒进价660元，3件坚果礼盒和2件糖果礼盒进价690元 ”列出方程组求解即可；
（2）设坚果礼盒购进a件，则糖果礼盒购进件，先利用“ 超市决定用不超过66600元资金 ”列出不等式求出a的取值范围，再设利润为w元，利用“利润=每件的利润×数量”列出函数解析式，最后求出最大利润即可.
（1）解：设每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是x元，y元，
根据题意得：，
解得，
答：每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是150元，120元；
（2）解：设坚果礼盒购进a件，则糖果礼盒购进件，
根据题意得：，
解得：，
又，
解得：，
，
设利润为w元，根据题意得：
，
，
随a的增大而减少，
当时，w最大，最大值为，
答：坚果礼盒购进200件时．可使本次销售获得最大利润，最大利润是14000元．
19．【答案】解：项目一：如图，过点作，
，
，，
为的“完美线”；
项目二：当为斜边上的高时，如图所示：
，
，，
，
同理可得：，
为的“完美线”；
当为斜边上的中线时，如图所示：
为斜边上的中线，
，
，，
为的“完美线”；
综上所述，当为斜边上的高或为斜边上的中线时，为的“完美线”；
项目三：在中，，，，
，，，
当为斜边上的高时，如图所示：
，
，，
根据折叠可知，，，
，
三点共线，
；
当为斜边上的中线时，如图所示：
为斜边上的中线，，，
，
，
根据折叠可知，，，
，为等边三角形，，且与互相平分，
；
综上所述，或．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】项目一：过点作，先求出∠ACD的度数，再利用“完美线”的定义分析求解即可；
项目二：根据完美线的定义，分类讨论：①当为斜边上的高时，②当为斜边上的中线时，先分别画出图形，再求解即可；
项目三：分类讨论：①当为斜边上的高时，②当为斜边上的中线时，分别画出图形，再求解即可.
20．【答案】（1）①4； ②；
（2）解：，理由如下：
如图所示：
等边绕点逆时针旋转，得到，
，，，
，
，
为中点，，
，
是等腰直角三角形，
，
.
（3）或．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形的综合；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（1）解：①为等边三角形，
将绕点旋转，得到，
，
为中点，
，是的中位线，也是的中位线，
，
；
故答案为：4；
②由①知，是的中位线，
，
故答案为：；
（3）解：①当在下方时，如图所示：
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，为中点，
，
，
，
，
，
；
②当在上方时，如图所示：
，，
；
综上所述，的长为或．
【分析】（1）①利用旋转的性质和平行线的性质及直角的定义分析求解即可；
②利用三角形中位线的性质分析求解即可；
（2）先证出是等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质和等量代换可得；
（3）分类讨论： ①当在下方时， ②当在上方时，先分别画出图形，再利用角的运算求解即可.
（1）解：①为等边三角形，
将绕点旋转，得到，
，
为中点，
，是的中位线，也是的中位线，
，
；
故答案为：4；
②由①知，是的中位线，
，
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
如图所示：
等边绕点逆时针旋转，得到，
，，，
，
，
为中点，，
，
是等腰直角三角形，
，
；
（3）解：①当在下方时，如图所示：
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，为中点，
，
，
，
，
，
；
②当在上方时，如图所示：
，，
；
综上所述，的长为或．
1 / 1广东省深圳市蛇口育才教育集团2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题
一、单选题（每题3分，共24分）
1．（2025八下·深圳期中）下列选项中，可以看作中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，该选项符合题意；
B、不是中心对称图形，该选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，该选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，该选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
2．（2025八下·深圳期中）如果，那么下列不等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A，，，，故此选项错误；
B，，，故此选项正确；
C，，，，故此选项错误；
D，，，，故此项错误；
故答案为：B．
【分析】利用一元一次不等式的性质（不等式的基本性质①：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质②：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质③：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）分析求解即可.
3．（2025八下·深圳期中）如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，该不等式组可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由数轴知不等式组的解集为，
A选项不等式组的解集为；
B选项不等式组的解集为；
C选项不等式组的解集为；
D选项不等式组无解．
故答案为：B．
【分析】先求出不等式组的解集，然后对比数轴上的解集判断解题即可．
4．（2025八下·深圳期中）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、，属于整式的乘法，故不符合题意；
B、，等式右边不是几个整式乘积的形式，不是因式分解，故不符合题意；
C、，等式右边不是整式，不是因式分解，故不符合题意；
D、，属于因式分解，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用因式分解的定义（因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式）逐个分析求解即可.
5．（2025八下·深圳期中）的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：A．
【分析】利用分式的乘法的定义及计算方法（先约分，再将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子）分析求解即可.
6．（2025八下·深圳期中）下列各组数中，不能构成直角三角形三边的是（　　）
A．3，4，5 B．9，40，41 C． D．7，24，25
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，能组成直角三角形，故此选项不符合题意；B、，能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、，不能组成直角三角形，故此选项符合题意；
D、，能组成直角三角形，故此选项不符合题意．
故答案为：C
【分析】根据勾股定理的逆定理三边满足，则是直角三角形，分别计算各个选项确定正确选项．
7．（2025八下·深圳期中）已知关于的不等式的最小整数解为3，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式，得：，
不等式有最小整数解3，
，
解得：，
故答案为：B．
【分析】先求出不等式的解集，再结合“不等式最小整数解为3 ”可得，最后求出m的取值范围即可.
8．（2025八下·深圳期中）如图，在等腰直角三角形中，，内一动点P到A，B，C三点的距离之和的最小值为2，的长为（　　）．
A． B．4 C． D．8
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质；三角形的综合；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，把绕点逆时针旋转得到，连接，，过点作，
，，
为等边三角形，
，
∴点可看成是线段绕点逆时针旋转而得的定点，为定长．
当、、、四点在同一直线上时，最小．
，
把绕点逆时针旋转得到，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
中，，
，
，
，
故答案为：A.
【分析】把绕点逆时针旋转得到，连接，，过点作，先证出点可看成是线段绕点逆时针旋转而得的定点，为定长，再求出当、、、四点在同一直线上时，最小，再设，则，，利用勾股定理求出，可得，最后求出BC的长即可.
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2025八下·深圳期中）因式分解： 　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x 2 4 =( x + 2 ) ( x 2 )，
故答案为：( x + 2 ) ( x 2 ).
【分析】利用平方差公式分解因式即可. 注意分解到不能再分解为止.
10．（2025八下·深圳期中）若代数式 有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：因为 有意义
所以 >0
所以
故答案为：
【分析】根据二次根式有意义、分式有意义的条件，判断得到x的取值范围即可。
11．（2025八下·深圳期中）如图，一艘轮船由海平面上地出发，要到地的北偏东方向的处，已知轮船先沿正东方向行驶了100海里到达地，再沿北偏东方向行进，恰能到达目的地，那么，两地相距　 　海里．
【答案】100
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；方位角
【解析】【解答】解：由题意可得：，，
，
，
，
故答案为：．
【分析】先利用角的运算和三角形的内角和求出∠C的度数，再结合，最后利用等角对等边的性质可得.
12．（2025八下·深圳期中）如图，函数和的图象相交于点，则关于不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；数形结合
【解析】【解答】解：把代入．
得．
解得．
即A点坐标为．
∵由图象可得，当时，，
∴关于x的不等式的解集为．
故答案为：．
【分析】先把点A的坐标代入中，m=-1，则的解集为。
13．（2025八下·深圳期中）如图，中．D为上一动点，连接，的垂直平分线分别交，于点E，F，线段长的最大值是　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：连接，
中，，，，
，
垂直平分，
，过点F作于H，
若要使最大，则需要最小，
设，则，
，
，
（垂线段最短），
，
解得．
最小值为，的最大值为，
故答案为：．
【分析】连接DF，先证出要使最大，则需要最小，再设，则，利用含30°角的直角三角形的性质可得，再结合DF≥FH，可得，求出x的取值范围，最后求出BF的长即可.
三、解答题（共61分）
14．（2025八下·深圳期中）解不等式组：．
【答案】解：，解不等式①得：，
解不等式①得：，
∴不等式组的解集为：．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】根据不等式组解集的原则“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”，先求出两个不等式的解集，再找出两个不等式的公共解集．
15．（2025八下·深圳期中）先化简，再求值：其中．
【答案】解：原式
；
∵，
∴原式
【知识点】分式的乘除法；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先对分式中的各个分式利用完全平方公式和平方差公式进行分解，然后再将除法换算成乘法，再进行化简约分，最后再将 代入上述化简后的式子，即可求解。
16．（2025八下·深圳期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为点．
（1）请在图中画出将向左平移4个单位长度得到的，并写出点的坐标；
（2）请在图中画出将绕着原点顺时针旋转得到的，并写出点的坐标；
（3）在x轴上找一点P，使得最小，并写出点P的坐标．
【答案】（1）解：如图，即为所求，点的坐标为，
点的坐标为
（2）解：如图，即为所求，点的坐标为，
（3）解：如图，点P即为所求，点P的坐标为
【知识点】两点之间线段最短；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣平移；作图﹣旋转；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【分析】（1）向左平移4个单位长度，纵坐标不变，横坐标减4，得对应点，顺次连接，得，则点（-3，3）；
（2）根据绕着原点顺时针旋转的规律：（a，b）变为(b，-a)，点绕着原点顺时针旋转，得到的对应点，顺次连接，得，则点（2，-3）；
（3）根据轴对称最短路径的要求进行作图，则点P（1，0）．
（1）解：如图，即为所求，点的坐标为，
（2）如图，即为所求，点的坐标为，
（3）如图，点P即为所求，点P的坐标为
17．（2025八下·深圳期中）如图，，的垂直平分线交于D，交于E．
（1）若，求的度数；
（2）若，的周长为23，求的周长．
【答案】（1）解：∵的垂直平分线交于，交于，∴，
∴，
∴．
（2）解：∵的垂直平分线交于，交于，∴，，
∵的周长为，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴的周长．
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；数形结合
【解析】【分析】（1）由的垂直平分线交于，交于，根据线段垂直平分线的性质，得，得=50°，得=100°．
（2）由的周长为，则，由，则的周长为37 ．
（1）解：∵的垂直平分线交于，交于，
∴，
∴，
∴．
（2）∵的垂直平分线交于，交于，
∴，，
∵的周长为，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴的周长．
18．（2025八下·深圳期中）灵蛇献瑞，已蛇呈祥．新年之际，探亲访友，都会提上新春礼盒，缤纷美食，满载幸福与甜蜜．某百货超市计划主推两款礼盒：坚果礼盒“锦然秋鸿”和糖果礼盒“甘饴冬藏”．已知2件坚果礼盒和3件糖果礼盒进价660元，3件坚果礼盒和2件糖果礼盒进价690元．
（1）求每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是多少元？
（2）超市决定用不超过66600元资金购进坚果礼盒和糖果礼盒共500盒，其中坚果礼盒的数量不少于糖果礼盒数量的，且两种礼盒的进价保持不变，销售时每件坚果礼盒售价为175元，每件糖果礼盒售价为150元，若本次购进的两种礼盒全部售出，请问坚果礼盒购进多少件时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是x元，y元，
根据题意得：，
解得，
答：每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是150元，120元.
（2）解：设坚果礼盒购进a件，则糖果礼盒购进件，
根据题意得：，
解得：，
又，
解得：，
，
设利润为w元，根据题意得：
，
，
随a的增大而减少，
当时，w最大，最大值为，
答：坚果礼盒购进200件时．可使本次销售获得最大利润，最大利润是14000元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是x元，y元，利用“ 2件坚果礼盒和3件糖果礼盒进价660元，3件坚果礼盒和2件糖果礼盒进价690元 ”列出方程组求解即可；
（2）设坚果礼盒购进a件，则糖果礼盒购进件，先利用“ 超市决定用不超过66600元资金 ”列出不等式求出a的取值范围，再设利润为w元，利用“利润=每件的利润×数量”列出函数解析式，最后求出最大利润即可.
（1）解：设每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是x元，y元，
根据题意得：，
解得，
答：每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是150元，120元；
（2）解：设坚果礼盒购进a件，则糖果礼盒购进件，
根据题意得：，
解得：，
又，
解得：，
，
设利润为w元，根据题意得：
，
，
随a的增大而减少，
当时，w最大，最大值为，
答：坚果礼盒购进200件时．可使本次销售获得最大利润，最大利润是14000元．
19．（2025八下·深圳期中）根据项目素材，探索解决问题．
项目主题 如何剪出直角三角形的完美线？
项目背景 新课标（2022版）要求学校教育要坚持“立德树人”，实施“跨学科学习、项目式学习”在学习完三角形的证明后，某校组织了该次项目式学习．
项目素材 在直角三角形中，过直角顶点剪一刀，剪痕将直角分成两个锐角，若这两个锐角分别等于此直角三角形中的另外两个内角，则称这条剪痕为直角三角形的“完美线”．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
问题解决
项目一 如图，有一张直角三角形纸片，，，图1中的是完美线，请在图2中画出与图1不相同的“完美线”剪法，并标出两个锐角的度数．
项目二 如图，在直角三角形纸片中，，过点C剪一刀，剪痕与交于点 D．你发现满足什么条件时，是直角三角形的“完美线”，请说明理由．
项目三 在中，，°，，的“完美线”与交于点D，将沿“完美线”翻折得到，求的长度．
【答案】解：项目一：如图，过点作，
，
，，
为的“完美线”；
项目二：当为斜边上的高时，如图所示：
，
，，
，
同理可得：，
为的“完美线”；
当为斜边上的中线时，如图所示：
为斜边上的中线，
，
，，
为的“完美线”；
综上所述，当为斜边上的高或为斜边上的中线时，为的“完美线”；
项目三：在中，，，，
，，，
当为斜边上的高时，如图所示：
，
，，
根据折叠可知，，，
，
三点共线，
；
当为斜边上的中线时，如图所示：
为斜边上的中线，，，
，
，
根据折叠可知，，，
，为等边三角形，，且与互相平分，
；
综上所述，或．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】项目一：过点作，先求出∠ACD的度数，再利用“完美线”的定义分析求解即可；
项目二：根据完美线的定义，分类讨论：①当为斜边上的高时，②当为斜边上的中线时，先分别画出图形，再求解即可；
项目三：分类讨论：①当为斜边上的高时，②当为斜边上的中线时，分别画出图形，再求解即可.
20．（2025八下·深圳期中）数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动：
（1）【操作探究】如图1，为等边三角形，将绕点A旋转得到，连接，F是的中点，连接．
①图1中的角有_______个；
②图1中与的数量关系是_______．
（2）【迁移探究】如图2，将（1）中的等边绕点A逆时针旋转得到，连接，F是的中点，连接．探究与的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展应用】如图3，在中将绕点A旋转，得到，连接，F是的中点，连接．在旋转过程中，当时，直接写出线段的长．
【答案】（1）①4； ②；
（2）解：，理由如下：
如图所示：
等边绕点逆时针旋转，得到，
，，，
，
，
为中点，，
，
是等腰直角三角形，
，
.
（3）或．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形的综合；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】（1）解：①为等边三角形，
将绕点旋转，得到，
，
为中点，
，是的中位线，也是的中位线，
，
；
故答案为：4；
②由①知，是的中位线，
，
故答案为：；
（3）解：①当在下方时，如图所示：
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，为中点，
，
，
，
，
，
；
②当在上方时，如图所示：
，，
；
综上所述，的长为或．
【分析】（1）①利用旋转的性质和平行线的性质及直角的定义分析求解即可；
②利用三角形中位线的性质分析求解即可；
（2）先证出是等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质和等量代换可得；
（3）分类讨论： ①当在下方时， ②当在上方时，先分别画出图形，再利用角的运算求解即可.
（1）解：①为等边三角形，
将绕点旋转，得到，
，
为中点，
，是的中位线，也是的中位线，
，
；
故答案为：4；
②由①知，是的中位线，
，
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
如图所示：
等边绕点逆时针旋转，得到，
，，，
，
，
为中点，，
，
是等腰直角三角形，
，
；
（3）解：①当在下方时，如图所示：
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，为中点，
，
，
，
，
，
；
②当在上方时，如图所示：
，，
；
综上所述，的长为或．
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