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平行四边形·面积问题提升训练—浙教版数学八（下）核心素养培优专题
一、单选题
1．（2024七上·南宁开学考）平行四边形与三角形的面积和底都相等，若平行四边形的高是，三角形的高是（　　）
A． B． C． D．
2．（2026八下·义乌开学考）如图，点E、F分别是平行四边形ABCD边BC、CD上一点，连接AE、DE，连接AF交ED于点P，连接BF分别交AE、DE于点G、H，设△BGE的面积为S1，△PDF的面积为S2，四边形CEHF的面积为S3，若S1=4，S2=3，S3=18，则阴影部分四边形AGHP的面积为（　　）
A．17 B．19 C．18 D．25
3．（2025八下·龙港期中）如图，G是直线EF上的一点，已知 ABCD与 CDEF的面积分别为24cm2、36cm2，则△ABG的面积为（　　）
A．24cm2 B．30cm2 C．36cm2 D．48cm2
4．如图， 在 中， 和 分别是 和 的五等分点， 和 分别是 和 的三等分点．若四边形 的面积为 1 ， 则平行四边形 的面积为(　　)
A． B． C． D．2
5．（2021八下·浙江期中）如图，在中，点是线段上一动点，过点作，当点从点向点运动过程中，四边形的面积的变化情况是（　　）
A．保持不变 B．一直减小
C．一直增大 D．先增大后减小
6．如图，为内任意一点，连结的面积为的面积为6，则的面积为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2024九上·龙岗开学考）如图，，分别是平行四边形的边，上的点，与相交于点，与相交于点，若，，，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024八下·大冶期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，，，则下列结论：①②③④，正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．（2025八下·路桥期中）如图，在中，，，，则的面积为　 　．
10．（2025八下·温州期中）图1是由两个全等直角三角形和两个长方形组成的，将其剪拼成不重叠，无缝隙的大正方形（如图2）。记①，②，③，④的面积分别为，已知。
（1）　 　；
（2）若的周长比图2正方形的周长大18，则图2正方形的边长为　 　。
11．（2025八下·长兴期中）如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD、AB上，依次连接EB、EC、FC、FD，图中阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4，已知S2=14、S3=4、S4=6，则S1=　 　.
12．（2025八下·瑞安期中） 如图，平行四边形ABCD中，AB=6，BC=4，∠DAB=60°，E在AB上，且AE：EB=1：2，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DO⊥CE于Q，则DQ：DP=　 　.
13．（2025八下·义乌期中）如图，是由，，，无缝拼接而成，，，则四边形的面积为　 　．
14．如图，已知坐标原点O为平行四边形ABCD的对角线AC的中点，顶点A的横坐标为4，AD平行于x轴，且AD长为5．若平行四边形ABCD的面积为10，则顶点B的坐标为　 　.
三、解答题
15．（2025八下·诸暨期中）如图，点E，F是平行四边形对角线上的两点，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求平行四边形的面积．
16．（2025八下·鄞州期中）如图的顶点A、B在x轴上，顶点D在y轴上．已知，，．
（1）求的面积
（2）如图1，点E是边上的一点，若的面积是的，求点E的坐标；
（3）如图2，将绕点О顺时针旋转，旋转得．在整个旋转过程中，能否使以点O、、、B为顶点的四边形是平行四边形？若能，求点的坐标；若不能，请说明理由．
17．（2025八下·长兴期中）知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成面积相等的两个部分，如图1，直线m经过□ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB=S四边形DEFC
（1）如图2，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，请利用直尺求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分。
（2）8个大小相同的正方形如图3所示摆放，利用直尺求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用两种不同的方法分割）.
18．（2025八下·海宁月考）已知中，一动点在边上，以每秒1cm的速度从点向点运动．
（1）如图，运动过程中，若平分，且满足，求的度数．
（2）如图，在（1）的条件下，连结并延长，与的延长线交于点，连结，若，直接写出：的面积为___________．
（3）如图，另一动点在边上，以每秒4cm的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点停止运动时点也停止，设运动时间为，若，则___________秒时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：设三角形和平行四边形的底为a，三角形的高为h由题意知：
∴h=12
故答案为：C．
【分析】
根据平行四边形的面积底高，三角形的面积底高的一半，根据平行四边形与三角形的面积和底都相等， 得出：，解出h．
2．【答案】D
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC， AB//CD，
设AD与BC之间的距离为m，AB与CD之间的距离为n，
∵，，S ABCD=AD·m=AB·n，
∴，
∴，
∵S△BGE=S1=4，S△PDF=S2=3，S四边形CEHF=S3=18
∴S四边形AGHP+S△ADP+S△GEH=S△ADP+3+18+S△GEH+4，
∴S四边形AGHP=25
故选：D.
【分析】设AD与BC之间的距离为m，AB与CD之间的距离为n，则，，S ABCD=AD·m=AB·n，所以，则，于是得S四边形AGHP+S△ADP+S△GEH=S△ADP+3+18+S△GEH+4，求得S四边形AGHP=25，于是得到问题的答案.
3．【答案】B
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；平行四边形的性质；平行四边形的面积；平行公理的推论
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD与四边形CDEF都是平行四边形，
∴EF∥CD，CD∥AB，AB=CD，
∴EF∥AB，
设CD与EF之间的距离为h1，CD与AB之间的距离为h2，
∴EF与AB之间的距离为h1+h2，
∵S平行四边形ABCD=AB×h2=24cm2，S平行四边形CDEF=CD×h1=36cm2，
∴S△ABG=cm2.
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的对边平行且相等得EF∥CD，CD∥AB，AB=CD，由平行于同一直线的两条直线互相平行得EF∥AB，设CD与EF之间的距离为h1，CD与AB之间的距离为h2，EF与AB之间的距离为h1+h2，进而根据平行四边形的面积公式可得AB×h2=24cm2，CD×h1=36cm2，由三角形面积公式得S△ABG=，然后整体代入计算可得答案.
4．【答案】C
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：设平行四边形ABCD的面积是S，设AB=5a，BC=3b．AB边上的高是3x，BC边上的高是5y．
则S=5a 3x=3b 5y．即．
△AA4D2与△B2CC4全等，B2C=BC=b，B2C边上的高是 5y=4y．
则△AA4D2与△B2CC4的面积是．
同理△D2C4D与△A4BB2的面积是．
则四边形A4B2C4D2的面积是S-S-S--=S，
即S=1，
解得．
则平行四边形ABCD的面积为．
故答案为：C。
【分析】设平行四边形ABCD的面积是S，根据等分点的定义，利用平行四边形ABCD的面积减去四个角上的三角形的面积，求出四边形A4B2C4D2的面积，从而得到两个四边形面积的关系，即可求解．
5．【答案】A
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：如图，连接AF，
∵S△ABF=S=，
∴四边形的面积保持不变.
故答案为：A.
【分析】连接AF，根据平行四边形的性质可得S△ABF=S平行四边形BFGE=S平行四边形ABCD，据此判断.
6．【答案】B
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：设△COD的面积为x，
在平行四边形ABCD中， △AOB的面积为4，
∴平行四边形ABCD的面积=2（△COD的面积+△AOB的面积）=2（4+x），
∴S△ABD=×平行四边形ABCD的面积=4+x，
S△AOD=平行四边形ABCD的面积-△AOB的面积-△COB的面积-△COD的面积
=2（4+x）-4-6-x=x-2，
∴△BOD的面积=△ABD的面积-△AOB的面积-△AOD的面积=4+x-4-(x-2)=2.
故答案为：2.
【分析】设△COD的面积为x，由平行四边形的性质可得平行四边形ABCD的面积=2（△COD的面积+△AOB的面积）=2（4+x），再求S△ABD=4+x，S△AOD=x-2，利用△BOD的面积=△ABD的面积-△AOB的面积-△AOD的面积即可求解.
7．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接EF，过点E作EH⊥DC于点H，
∵平行四边形ABCD，∴AB∥DC，∴S△ADF=S△DEF，S△BFC=S△EFC，
∴S△APD=S△EPF=a，S△BQC=S△EQF=b，
∵S平行四边形ABCD=DC·EH=c，
∴S△EDC=DC·EH=c，
∴S阴影部分=S△EDC-S△EPF-S△EQF=c-a-b.
故答案为：B.
【分析】连接EF，过点E作EH⊥DC于点H，利用平行四边形的性质可证得AB∥DC，利用同底等高的两个三角形的面积相等，可推出S△ADF=S△DEF，S△BFC=S△EFC，由此可证得S△EPF=a，S△EQF=b；再证明S△EDC=c，然后根据S阴影部分=S△EDC-S△EPF-S△EQF，代入计算可求出结果.
8．【答案】D
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE.
∵四边形ABCD是平行四边形，，
∴AD//BC，∠ABC=，
∴∠DAE=∠AEB.
∴∠BAE=∠AEB.
∴△ABE为等边三角形，
∴∠ABE=60°，
∵AB=AE，AB=BC=1，
∴EC=BE.
∴∠EAC=∠ACE.
∵∠AEB是△ACE的一个外角，
∴∠AEB=∠EAC+∠ACE=2∠ACE=60°，
∴∠ACE=30°，
∵AD//BC，
∴∠DAC=∠ACE=30°，
故 ① 正确；
过点A作AF⊥BC于F，过点D作DG⊥BC的延长线于G，
则∠AFC=∠DGF=90°，
∵AD//BC，
∴∠DAF=∠AFC=90°，
∴四边形AFGD是矩形.
∴AF=DG，
∵△ABE为等边三角形，AB=1，
.
.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，CD=AB=1
∴∠DCG=∠ABC=60°，
.
∴BG=BC+CG=2AB+CG=2.
.
故 ② 正确；
∵∠ABC+∠ACB=60°+30°=90°，
∴AB⊥AC，
∴，
故 ③ 正确；
∵BE=EC，OA=OC，
∴OE为中位线，
∴OE=
故 ④ 正确.
【分析】①通过说明△ABE为等边三角形，可得∠ABE=60°，再根据三角形外角的性质可得∠ACE=30°，再根据平行线的性质得出∠DAC=30°；②根据△ABE为等边三角形，求得AF，再说明四边形AFGD是矩形，可得DG=AF，再利用含有30度角的直角三角形的性质求出CG，进而可求得BG，再利用勾股定理求得BD； ③ 只需说明AB⊥AC即可；④利用三角形的中位线求得OE=AB，进而说明OE与AD的关系.
9．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作于E，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
故答案为：．
【分析】过点A作AE⊥BC于E，则△ABE是等腰直角三角形，可得AE=BE，在Rt△ABE中利用勾股定理求出AE的长，最后根据矩形面积公式计算即可.
10．【答案】（1）1：4
（2）
【知识点】勾股定理；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：(1)如图，
由题意设PE=x
∵，
∴，
∴PH=3PE=3x，
∴FG=EH=4x，HQ=QG=2x，
∴S2=PE·HQ=x·2x =2x2，
S3=FG·QG=4x·2x=8x2，
∴S2：S3= 2：8 = 1：4；
故答案为：1：4；
(2)如图，由勾股定理可得，
AB=CD=PQ==，
∵AD=BC=8x，EF=FG=GH=EH=4x，
又∵平行四边形的周长比长方形③的周长大18，
∴2+16 x -16x=18，
∴，
∴FG=4x=，
故答案为：.
【分析】(1)由题意，设PE=x，则FG=EH=4x，PH=3x，HQ=QG=2x，分别求出S3和S2，即可得到答案；
(2)根据的周长比图2正方形的周长大18，构建方程求出x即可.
11．【答案】4
【知识点】平行四边形的性质；几何图形的面积计算-割补法；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：如图所示.
四边形ABCD是平行四边形
故答案为：4.
【分析】分别标记中两个空白部分面积，由平行四边形的性质知在面积等于的面积等于面积的一半，即的面积等于与的面积和，则 S1等于S2、S3、S4
的和.
12．【答案】或：
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，
根据三角形的面积和平行四边形的面积得：，
即，
∴AF×DP=CE×DQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∵∠DAB=60°，
∴∠CBN=∠DAB=60°，
∴∠BFN=∠MCB=30°，
∵AB=6，BC=4，AE：EB=1：2，F是BC的中点，
∴BF=2，BE=4，BN=1，BM=2，
由勾股定理得：，，
，
，
∴
∴
故答案为：或：.
【分析】连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，根据三角形的面积和平行四边形的面积得出，求出AF×DP=CE×DQ，根据勾股定理得到，，代入求出即可.
13．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：设点A、点B到线段的距离分别为和，
∵，，
∴，则，
∵，，
∴，则，
∴，则，
那么，，
设，，则，，
∵，
∴，
则
，
故答案为：．
【分析】
本题主要考查四边形面积公式和比值的应用，设点A、点B到线段的距离分别为和，根据已知面积和四边形面积公式求得和，进一步求得，则，设，，则，，，结合求得，则即可求得．
14．【答案】(1，-1)
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：连接BD，设AD与y轴交于点M，
顶点A的横坐标为4，AD平行于x轴，且AD长为5 ，
∴点D的横坐标为-1，
，
即，
解得：OM=1，
∴点，由平行平行四边形的对称性得.
故答案为：(1，-1).
【分析】利用平行四边形的面积公式可得OM=1，可得点，然后根据平行四边形的性质可得.
15．【答案】（1）解：连接，交于，
在平行四边形中，，，
∵，
，
又，
∴，
∴，
四边形是平行四边形.
（2）解：作交的延长线与点，
，，
，
∴，
故平行四边形的面积为．
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；平行四边形的面积；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）连接BD交AC于点O，则根据平行四边形的性质可得OB＝OD、OA＝OC，再利用已知可证明，则OE＝OF，再利用对角互相平分即可证明结论成立；
（2）作四边形的边上的高，根据角直角三角形的性质求出高AH即可.
（1）解：连接，交于，
在平行四边形中，，，
∵，
，
又，
∴，
∴，
四边形是平行四边形，
（2）解：作交的延长线与点，
，，
，
∴，
故平行四边形的面积为．
16．【答案】（1）解：∵，，
∴AB=16，
∵，
∴；
（2）解：过点E作EF⊥AB于点F，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴AB //CD ，
∵OD=8，OB=10，
∴，
设直线BC的解析式为，则有：
，解得：，
∴直线BC的解析式为，
∵，
∴，
∴，解得：，
∴；
（3）解：由题意可分：①当A1D1//OB时，如图所示
∵OA=6，OD=8，
∴AD=10，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当四边形是平行四边形时，过点作于点N，如图所示：
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴；
③当四边形是平行四边形时，过点作于点G，如图所示：
∴，，
∴，
∴，
∴；
综上所述：当以点O、、、B为顶点的四边形是平行四边形，或或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；旋转的性质；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）根据线段和差得AB=OA+OB=16，然后根据平行四边形的面积等于底乘以高直接计算即可；
（2）过点E作EF⊥AB于点F，由平行四边形的对边平行且相等得出AB=CD=16，AB∥CD，然后根据点的坐标与图形性质得出C、D两点的坐标，进而利用待定系数法求出直线BC的解析式； 根据△ABE的面积是平行四边形ABCD的建立方程算出EF=4，可得点E的纵坐标为4，然后将y=4代入直线BC解析式算出x得值，即可得到点E的坐标；
（3）分类讨论：①当A1D1//OB时，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形，则OM⊥A1D1，由等面积法建立方程算出OM，然后根据勾股定理算出A1M的值，即可得到点A1的坐标；②当四边形是平行四边形时，过点作于点N，由有一个内角为直角的四边形是矩形得到四边形是矩形，由矩形性质及旋转的性质得，由等面积法建立方程算出A1N，然后根据勾股定理算出ON的值，即可得到点A1的坐标；③当四边形是平行四边形时，过点作于点G，由平行四边形的性质及旋转的性质可得到，， 由等面积法建立方程算出A1G，然后根据勾股定理算出OG的值，即可得到点A1的坐标.
（1）解：∵，，
∴AB=16，
∵，
∴；
（2）解：过点E作EF⊥AB于点F，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴AB //CD ，
∴，
设直线BC的解析式为，则有：
，解得：，
∴直线BC的解析式为，
∵，
∴，
∴，解得：，
∴；
（3）解：由题意可分：
①当A1D1//OB时，如图所示
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当四边形是平行四边形时，过点作于点N，如图所示：
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴；
③当四边形是平行四边形时，过点点作于点G，如图所示：
∴，，
∴，
∴，
∴；
综上所述：当以点O、、、B为顶点的四边形是平行四边形，则点或或．
17．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】平行四边形的面积；中心对称的性质；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）取大正方形的对角线的交点，再边两个正方形对角线的交点作直线即可；
（2）方法不唯一，由于图形3是轴对称图形，因此可补全图形得到一个大正方形，再过这个正方形的中心与缺少的小正方形的中心画一条直线即可；也分别作最上方两个小正方形拼成的矩形的对称中心及下方6个小正方形拼成的矩形的对称中心，再过两个对称中心画直线即可.
18．【答案】（1）解：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
．

（2）
（3）秒、秒、秒、秒、秒、秒
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；平行四边形的面积；四边形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】（2）解：如图，设边上的高为，边上的高为，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
．
（3）解：，
当时，四边形是平行四边形，
（），
，
①当时，
解得：；
此时当与重合，与重合；
②当时，
解得：；
③当时，
解得：；
④当时，
解得：；
⑤当时，
解得：；
⑥当时，
解得：；
综上所述：为秒、秒、秒、秒、秒、秒．
【分析】（1）根据角平分线的性质及平行四边的性质得出，根据等角对等边可证，从而可证，即可求解；
（2）设边上的高为，边上的高为，由三角形及平行四边形的面积公式可知，可得，即可求解；
（3）根据题意，先确定运动时间t的取值范围，若四边形是平行四边形，只需，根据点Q的运动状态，进行分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，⑥当时，即可求解．
（1）解：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
．
（2）解：如图，设边上的高为，边上的高为，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
．
（3）解：，
当时，四边形是平行四边形，
（），
，
①当时，
解得：；
此时当与重合，与重合；
②当时，
解得：；
③当时，
解得：；
④当时，
解得：；
⑤当时，
解得：；
⑥当时，
解得：；
综上所述：为秒、秒、秒、秒、秒、秒．
1 / 1平行四边形·面积问题提升训练—浙教版数学八（下）核心素养培优专题
一、单选题
1．（2024七上·南宁开学考）平行四边形与三角形的面积和底都相等，若平行四边形的高是，三角形的高是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：设三角形和平行四边形的底为a，三角形的高为h由题意知：
∴h=12
故答案为：C．
【分析】
根据平行四边形的面积底高，三角形的面积底高的一半，根据平行四边形与三角形的面积和底都相等， 得出：，解出h．
2．（2026八下·义乌开学考）如图，点E、F分别是平行四边形ABCD边BC、CD上一点，连接AE、DE，连接AF交ED于点P，连接BF分别交AE、DE于点G、H，设△BGE的面积为S1，△PDF的面积为S2，四边形CEHF的面积为S3，若S1=4，S2=3，S3=18，则阴影部分四边形AGHP的面积为（　　）
A．17 B．19 C．18 D．25
【答案】D
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC， AB//CD，
设AD与BC之间的距离为m，AB与CD之间的距离为n，
∵，，S ABCD=AD·m=AB·n，
∴，
∴，
∵S△BGE=S1=4，S△PDF=S2=3，S四边形CEHF=S3=18
∴S四边形AGHP+S△ADP+S△GEH=S△ADP+3+18+S△GEH+4，
∴S四边形AGHP=25
故选：D.
【分析】设AD与BC之间的距离为m，AB与CD之间的距离为n，则，，S ABCD=AD·m=AB·n，所以，则，于是得S四边形AGHP+S△ADP+S△GEH=S△ADP+3+18+S△GEH+4，求得S四边形AGHP=25，于是得到问题的答案.
3．（2025八下·龙港期中）如图，G是直线EF上的一点，已知 ABCD与 CDEF的面积分别为24cm2、36cm2，则△ABG的面积为（　　）
A．24cm2 B．30cm2 C．36cm2 D．48cm2
【答案】B
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；平行四边形的性质；平行四边形的面积；平行公理的推论
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD与四边形CDEF都是平行四边形，
∴EF∥CD，CD∥AB，AB=CD，
∴EF∥AB，
设CD与EF之间的距离为h1，CD与AB之间的距离为h2，
∴EF与AB之间的距离为h1+h2，
∵S平行四边形ABCD=AB×h2=24cm2，S平行四边形CDEF=CD×h1=36cm2，
∴S△ABG=cm2.
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的对边平行且相等得EF∥CD，CD∥AB，AB=CD，由平行于同一直线的两条直线互相平行得EF∥AB，设CD与EF之间的距离为h1，CD与AB之间的距离为h2，EF与AB之间的距离为h1+h2，进而根据平行四边形的面积公式可得AB×h2=24cm2，CD×h1=36cm2，由三角形面积公式得S△ABG=，然后整体代入计算可得答案.
4．如图， 在 中， 和 分别是 和 的五等分点， 和 分别是 和 的三等分点．若四边形 的面积为 1 ， 则平行四边形 的面积为(　　)
A． B． C． D．2
【答案】C
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：设平行四边形ABCD的面积是S，设AB=5a，BC=3b．AB边上的高是3x，BC边上的高是5y．
则S=5a 3x=3b 5y．即．
△AA4D2与△B2CC4全等，B2C=BC=b，B2C边上的高是 5y=4y．
则△AA4D2与△B2CC4的面积是．
同理△D2C4D与△A4BB2的面积是．
则四边形A4B2C4D2的面积是S-S-S--=S，
即S=1，
解得．
则平行四边形ABCD的面积为．
故答案为：C。
【分析】设平行四边形ABCD的面积是S，根据等分点的定义，利用平行四边形ABCD的面积减去四个角上的三角形的面积，求出四边形A4B2C4D2的面积，从而得到两个四边形面积的关系，即可求解．
5．（2021八下·浙江期中）如图，在中，点是线段上一动点，过点作，当点从点向点运动过程中，四边形的面积的变化情况是（　　）
A．保持不变 B．一直减小
C．一直增大 D．先增大后减小
【答案】A
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：如图，连接AF，
∵S△ABF=S=，
∴四边形的面积保持不变.
故答案为：A.
【分析】连接AF，根据平行四边形的性质可得S△ABF=S平行四边形BFGE=S平行四边形ABCD，据此判断.
6．如图，为内任意一点，连结的面积为的面积为6，则的面积为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：设△COD的面积为x，
在平行四边形ABCD中， △AOB的面积为4，
∴平行四边形ABCD的面积=2（△COD的面积+△AOB的面积）=2（4+x），
∴S△ABD=×平行四边形ABCD的面积=4+x，
S△AOD=平行四边形ABCD的面积-△AOB的面积-△COB的面积-△COD的面积
=2（4+x）-4-6-x=x-2，
∴△BOD的面积=△ABD的面积-△AOB的面积-△AOD的面积=4+x-4-(x-2)=2.
故答案为：2.
【分析】设△COD的面积为x，由平行四边形的性质可得平行四边形ABCD的面积=2（△COD的面积+△AOB的面积）=2（4+x），再求S△ABD=4+x，S△AOD=x-2，利用△BOD的面积=△ABD的面积-△AOB的面积-△AOD的面积即可求解.
7．（2024九上·龙岗开学考）如图，，分别是平行四边形的边，上的点，与相交于点，与相交于点，若，，，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接EF，过点E作EH⊥DC于点H，
∵平行四边形ABCD，∴AB∥DC，∴S△ADF=S△DEF，S△BFC=S△EFC，
∴S△APD=S△EPF=a，S△BQC=S△EQF=b，
∵S平行四边形ABCD=DC·EH=c，
∴S△EDC=DC·EH=c，
∴S阴影部分=S△EDC-S△EPF-S△EQF=c-a-b.
故答案为：B.
【分析】连接EF，过点E作EH⊥DC于点H，利用平行四边形的性质可证得AB∥DC，利用同底等高的两个三角形的面积相等，可推出S△ADF=S△DEF，S△BFC=S△EFC，由此可证得S△EPF=a，S△EQF=b；再证明S△EDC=c，然后根据S阴影部分=S△EDC-S△EPF-S△EQF，代入计算可求出结果.
8．（2024八下·大冶期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，，，则下列结论：①②③④，正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE.
∵四边形ABCD是平行四边形，，
∴AD//BC，∠ABC=，
∴∠DAE=∠AEB.
∴∠BAE=∠AEB.
∴△ABE为等边三角形，
∴∠ABE=60°，
∵AB=AE，AB=BC=1，
∴EC=BE.
∴∠EAC=∠ACE.
∵∠AEB是△ACE的一个外角，
∴∠AEB=∠EAC+∠ACE=2∠ACE=60°，
∴∠ACE=30°，
∵AD//BC，
∴∠DAC=∠ACE=30°，
故 ① 正确；
过点A作AF⊥BC于F，过点D作DG⊥BC的延长线于G，
则∠AFC=∠DGF=90°，
∵AD//BC，
∴∠DAF=∠AFC=90°，
∴四边形AFGD是矩形.
∴AF=DG，
∵△ABE为等边三角形，AB=1，
.
.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，CD=AB=1
∴∠DCG=∠ABC=60°，
.
∴BG=BC+CG=2AB+CG=2.
.
故 ② 正确；
∵∠ABC+∠ACB=60°+30°=90°，
∴AB⊥AC，
∴，
故 ③ 正确；
∵BE=EC，OA=OC，
∴OE为中位线，
∴OE=
故 ④ 正确.
【分析】①通过说明△ABE为等边三角形，可得∠ABE=60°，再根据三角形外角的性质可得∠ACE=30°，再根据平行线的性质得出∠DAC=30°；②根据△ABE为等边三角形，求得AF，再说明四边形AFGD是矩形，可得DG=AF，再利用含有30度角的直角三角形的性质求出CG，进而可求得BG，再利用勾股定理求得BD； ③ 只需说明AB⊥AC即可；④利用三角形的中位线求得OE=AB，进而说明OE与AD的关系.
二、填空题
9．（2025八下·路桥期中）如图，在中，，，，则的面积为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作于E，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
故答案为：．
【分析】过点A作AE⊥BC于E，则△ABE是等腰直角三角形，可得AE=BE，在Rt△ABE中利用勾股定理求出AE的长，最后根据矩形面积公式计算即可.
10．（2025八下·温州期中）图1是由两个全等直角三角形和两个长方形组成的，将其剪拼成不重叠，无缝隙的大正方形（如图2）。记①，②，③，④的面积分别为，已知。
（1）　 　；
（2）若的周长比图2正方形的周长大18，则图2正方形的边长为　 　。
【答案】（1）1：4
（2）
【知识点】勾股定理；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：(1)如图，
由题意设PE=x
∵，
∴，
∴PH=3PE=3x，
∴FG=EH=4x，HQ=QG=2x，
∴S2=PE·HQ=x·2x =2x2，
S3=FG·QG=4x·2x=8x2，
∴S2：S3= 2：8 = 1：4；
故答案为：1：4；
(2)如图，由勾股定理可得，
AB=CD=PQ==，
∵AD=BC=8x，EF=FG=GH=EH=4x，
又∵平行四边形的周长比长方形③的周长大18，
∴2+16 x -16x=18，
∴，
∴FG=4x=，
故答案为：.
【分析】(1)由题意，设PE=x，则FG=EH=4x，PH=3x，HQ=QG=2x，分别求出S3和S2，即可得到答案；
(2)根据的周长比图2正方形的周长大18，构建方程求出x即可.
11．（2025八下·长兴期中）如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD、AB上，依次连接EB、EC、FC、FD，图中阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4，已知S2=14、S3=4、S4=6，则S1=　 　.
【答案】4
【知识点】平行四边形的性质；几何图形的面积计算-割补法；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：如图所示.
四边形ABCD是平行四边形
故答案为：4.
【分析】分别标记中两个空白部分面积，由平行四边形的性质知在面积等于的面积等于面积的一半，即的面积等于与的面积和，则 S1等于S2、S3、S4
的和.
12．（2025八下·瑞安期中） 如图，平行四边形ABCD中，AB=6，BC=4，∠DAB=60°，E在AB上，且AE：EB=1：2，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DO⊥CE于Q，则DQ：DP=　 　.
【答案】或：
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，
根据三角形的面积和平行四边形的面积得：，
即，
∴AF×DP=CE×DQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∵∠DAB=60°，
∴∠CBN=∠DAB=60°，
∴∠BFN=∠MCB=30°，
∵AB=6，BC=4，AE：EB=1：2，F是BC的中点，
∴BF=2，BE=4，BN=1，BM=2，
由勾股定理得：，，
，
，
∴
∴
故答案为：或：.
【分析】连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，根据三角形的面积和平行四边形的面积得出，求出AF×DP=CE×DQ，根据勾股定理得到，，代入求出即可.
13．（2025八下·义乌期中）如图，是由，，，无缝拼接而成，，，则四边形的面积为　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：设点A、点B到线段的距离分别为和，
∵，，
∴，则，
∵，，
∴，则，
∴，则，
那么，，
设，，则，，
∵，
∴，
则
，
故答案为：．
【分析】
本题主要考查四边形面积公式和比值的应用，设点A、点B到线段的距离分别为和，根据已知面积和四边形面积公式求得和，进一步求得，则，设，，则，，，结合求得，则即可求得．
14．如图，已知坐标原点O为平行四边形ABCD的对角线AC的中点，顶点A的横坐标为4，AD平行于x轴，且AD长为5．若平行四边形ABCD的面积为10，则顶点B的坐标为　 　.
【答案】(1，-1)
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：连接BD，设AD与y轴交于点M，
顶点A的横坐标为4，AD平行于x轴，且AD长为5 ，
∴点D的横坐标为-1，
，
即，
解得：OM=1，
∴点，由平行平行四边形的对称性得.
故答案为：(1，-1).
【分析】利用平行四边形的面积公式可得OM=1，可得点，然后根据平行四边形的性质可得.
三、解答题
15．（2025八下·诸暨期中）如图，点E，F是平行四边形对角线上的两点，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求平行四边形的面积．
【答案】（1）解：连接，交于，
在平行四边形中，，，
∵，
，
又，
∴，
∴，
四边形是平行四边形.
（2）解：作交的延长线与点，
，，
，
∴，
故平行四边形的面积为．
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；平行四边形的面积；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）连接BD交AC于点O，则根据平行四边形的性质可得OB＝OD、OA＝OC，再利用已知可证明，则OE＝OF，再利用对角互相平分即可证明结论成立；
（2）作四边形的边上的高，根据角直角三角形的性质求出高AH即可.
（1）解：连接，交于，
在平行四边形中，，，
∵，
，
又，
∴，
∴，
四边形是平行四边形，
（2）解：作交的延长线与点，
，，
，
∴，
故平行四边形的面积为．
16．（2025八下·鄞州期中）如图的顶点A、B在x轴上，顶点D在y轴上．已知，，．
（1）求的面积
（2）如图1，点E是边上的一点，若的面积是的，求点E的坐标；
（3）如图2，将绕点О顺时针旋转，旋转得．在整个旋转过程中，能否使以点O、、、B为顶点的四边形是平行四边形？若能，求点的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：∵，，
∴AB=16，
∵，
∴；
（2）解：过点E作EF⊥AB于点F，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴AB //CD ，
∵OD=8，OB=10，
∴，
设直线BC的解析式为，则有：
，解得：，
∴直线BC的解析式为，
∵，
∴，
∴，解得：，
∴；
（3）解：由题意可分：①当A1D1//OB时，如图所示
∵OA=6，OD=8，
∴AD=10，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当四边形是平行四边形时，过点作于点N，如图所示：
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴；
③当四边形是平行四边形时，过点作于点G，如图所示：
∴，，
∴，
∴，
∴；
综上所述：当以点O、、、B为顶点的四边形是平行四边形，或或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；旋转的性质；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）根据线段和差得AB=OA+OB=16，然后根据平行四边形的面积等于底乘以高直接计算即可；
（2）过点E作EF⊥AB于点F，由平行四边形的对边平行且相等得出AB=CD=16，AB∥CD，然后根据点的坐标与图形性质得出C、D两点的坐标，进而利用待定系数法求出直线BC的解析式； 根据△ABE的面积是平行四边形ABCD的建立方程算出EF=4，可得点E的纵坐标为4，然后将y=4代入直线BC解析式算出x得值，即可得到点E的坐标；
（3）分类讨论：①当A1D1//OB时，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形是平行四边形，则OM⊥A1D1，由等面积法建立方程算出OM，然后根据勾股定理算出A1M的值，即可得到点A1的坐标；②当四边形是平行四边形时，过点作于点N，由有一个内角为直角的四边形是矩形得到四边形是矩形，由矩形性质及旋转的性质得，由等面积法建立方程算出A1N，然后根据勾股定理算出ON的值，即可得到点A1的坐标；③当四边形是平行四边形时，过点作于点G，由平行四边形的性质及旋转的性质可得到，， 由等面积法建立方程算出A1G，然后根据勾股定理算出OG的值，即可得到点A1的坐标.
（1）解：∵，，
∴AB=16，
∵，
∴；
（2）解：过点E作EF⊥AB于点F，如图所示：
∵四边形是平行四边形，
∴AB //CD ，
∴，
设直线BC的解析式为，则有：
，解得：，
∴直线BC的解析式为，
∵，
∴，
∴，解得：，
∴；
（3）解：由题意可分：
①当A1D1//OB时，如图所示
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当四边形是平行四边形时，过点作于点N，如图所示：
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴；
③当四边形是平行四边形时，过点点作于点G，如图所示：
∴，，
∴，
∴，
∴；
综上所述：当以点O、、、B为顶点的四边形是平行四边形，则点或或．
17．（2025八下·长兴期中）知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成面积相等的两个部分，如图1，直线m经过□ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB=S四边形DEFC
（1）如图2，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，请利用直尺求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分。
（2）8个大小相同的正方形如图3所示摆放，利用直尺求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用两种不同的方法分割）.
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】平行四边形的面积；中心对称的性质；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）取大正方形的对角线的交点，再边两个正方形对角线的交点作直线即可；
（2）方法不唯一，由于图形3是轴对称图形，因此可补全图形得到一个大正方形，再过这个正方形的中心与缺少的小正方形的中心画一条直线即可；也分别作最上方两个小正方形拼成的矩形的对称中心及下方6个小正方形拼成的矩形的对称中心，再过两个对称中心画直线即可.
18．（2025八下·海宁月考）已知中，一动点在边上，以每秒1cm的速度从点向点运动．
（1）如图，运动过程中，若平分，且满足，求的度数．
（2）如图，在（1）的条件下，连结并延长，与的延长线交于点，连结，若，直接写出：的面积为___________．
（3）如图，另一动点在边上，以每秒4cm的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点停止运动时点也停止，设运动时间为，若，则___________秒时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．
【答案】（1）解：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
．

（2）
（3）秒、秒、秒、秒、秒、秒
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；平行四边形的面积；四边形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】（2）解：如图，设边上的高为，边上的高为，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
．
（3）解：，
当时，四边形是平行四边形，
（），
，
①当时，
解得：；
此时当与重合，与重合；
②当时，
解得：；
③当时，
解得：；
④当时，
解得：；
⑤当时，
解得：；
⑥当时，
解得：；
综上所述：为秒、秒、秒、秒、秒、秒．
【分析】（1）根据角平分线的性质及平行四边的性质得出，根据等角对等边可证，从而可证，即可求解；
（2）设边上的高为，边上的高为，由三角形及平行四边形的面积公式可知，可得，即可求解；
（3）根据题意，先确定运动时间t的取值范围，若四边形是平行四边形，只需，根据点Q的运动状态，进行分类讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，⑥当时，即可求解．
（1）解：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
．
（2）解：如图，设边上的高为，边上的高为，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
．
（3）解：，
当时，四边形是平行四边形，
（），
，
①当时，
解得：；
此时当与重合，与重合；
②当时，
解得：；
③当时，
解得：；
④当时，
解得：；
⑤当时，
解得：；
⑥当时，
解得：；
综上所述：为秒、秒、秒、秒、秒、秒．
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