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数列综合专项训练-2026届高考数学复习
一、单选题
1．已知为等比数列的前项和，且，则“”是“”的（ ）条件.
A．充分不必要. B．必要不充分. C．充分必要. D．既不充分也不必要.
2．已知等差数列的公差，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
3．在复平面内，对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．数列满足，若数列单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知数列满足，某同学将其前20项中某一项正负号写错，得其前20项和为372，则写错之前这个数为（ ）
A． B． C．100 D．
6．设无穷数列满足，则（）
A．存在，为等差数列 B．存在，为等比数列
C．存在，为递减数列 D．存在，为递增数列
7．设函数满足：，都有，且.记，则数列的前10项和为（ ）
A．55 B．45 C． D．
8．等比数列中，，记，则数列（　　）
A．无最大项，无最小项 B．有最大项，有最小项
C．无最大项，有最小项 D．有最大项，无最小项
二、多选题
9．数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（ ）
A．为等差数列 B．可能为常数列
C．若为递增数列，则 D．若为递增数列，则
10．已知数列的前项和，则下列说法正确的是（ ）
A． B．取最小值时
C．数列是等差数列 D．
11．已知数列满足，，且，若记数列的前项的积为，，的前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A．数列是等比数列 B．
C．当为奇数时， D．当为偶数时，
三、填空题
12．从分别标有数字2024，2025，2026的三张卡片中随机抽取一张，记下数字后放回，再随机抽取一张，记下数字后放回，以此类推，抽取次后，记下的个数字之和为奇数的概率为 .
13．已知函数的导数为，函数的“牛顿数列”满足，若，则 ．
14．在数列中，已知，则的前10项和为 .
15．数列的前项和为，若，当为偶数时，，当为奇数时，，则 .
16．已知为等差数列，为其前n项和．若，则公差 ，数列的前5项和为 ．
四、解答题
17．已知等比数列的首项，公比，在中每相邻两项之间都插入6个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列.
(1)求数列的通项公式.
(2)记数列前项的乘积为，试问：是否有最大值？如果有，请求出此时的值以及的最大值；若没有，请说明理由.
18．设为数列的前n项和，时，，已知．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)若不等式对任意正整数n都成立，求实数的最小值．
19．已知等差数列满足：，且成等比数列，数列的前n项和为．
(1)求数列的通项公式，前n项和；
(2)是否存在正整数n，使得？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．
20．对于数列，若存在，使得或，称为的拐点值，为拐点.若，则为上拐点，为上拐点值；若，，则为下拐点，为下拐点值.
(1)写出数列的所有拐点；
(2)若数列的前项和为，且.
①求数列的拐点；
②已知是数列的拐点，当时，在中任取两个不同的数，记的概率为，求满足的正整数的取值集合.
21．设数列和都有无穷项，已知存在非零常数，使得，此时称数列是由“-生成”的．
(1)如果是等比数列，满足的，若数列是由“-生成”，求的值；
(2)已知数列是由“-生成”的，如果存在非零常数，使得是由“-生成”的，求数列的通项；
(3)设，且数列，，分别是由数列，，“-生成”的，表示数列的前n项和．已知，求的最小值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
1．B
【分析】利用充分条件与必要条件的定义以及等比数列的前和公式即可得出选项.
【详解】因为，当时，则，所以，
当时，，解得，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
2．B
【分析】根据给定条件，用公差表示，再利用基本不等式求最小值.
【详解】由，可得，解得：，由，
则，当且仅当，即时取等号.
所以的最小值为.
故选：B.
3．B
【分析】方法一：利用等比数列求和公式和负数的乘法运算化简，然后得到答案.方法二：利用虚数单位的幂的运算的周期性计算化简，然后得到答案.
【详解】解法一：∵，
解法二：,,
∴.
则所求复数对应的点为，位于第二象限.
故选：B.
4．D
【分析】依题意可得，解得即可.
【详解】因为单调递增，所以，解得，
即实数的取值范围为.
故选：D
5．B
【分析】由并项求和及等差数列的求和公式即可直接求得答案.
【详解】，则其前20项和为．
设写错项为，则，解得，，
故写错之前这个数为．
故选：B．
6．D
【分析】对于A，等差数列要求为常数，即恒定；对于B，等比数列要求为常数，即与成比例；对于C，递减数列需，但时；对于D，递增数列需，结合的范围分析其单调性.
【详解】选项A：若存在，数列为等差数列，
则（常数），即对所有成立，
则必须满足，且，
唯一可能解为，此时或，但不包含端点，故A错误；
选项B：若存在，数列为等比数列，
则（常数），即，即，
若，则与成正比，
由的图象可知，无法保证与的变式速度相同；
若，则，仅当时成立，但，故B错误；
选项C：若存在，则，数列不是递减数列，故C错误；
选项D：若存在，数列为递增数列，
则，即，故，数列递增，故D正确.
故选：D.
7．C
【分析】利用函数恒等式的赋值思想，找到，从而转化为等比数列，再利用数列思想求和即可.
【详解】令可得，
再令可得，
又因为，所以，
再令可得，
又因为，所以有，
即是等比数列，则有首项，公比，
所以，即，
则，
故选：C.
8．C
【分析】根据题意可知等比数列的公比，由此结合|an|的变化规律进行分析，即可得到本题的答案．
【详解】设等比数列的公比为q，则，即，解得．
由且，可得：的各项正负交替出现，且|随n的增大而减小．
所以恒成立，且随着n的增大，变小．
因此，当时，最小，且时，，无最大值．
故选：C．
9．ABC
【分析】对于A，利用与的关系求出数列通项，再根据等差数列的定义判断即得；对于B，根据A项结论，取即可推得；对于C，通过作差判断易得；对于D，利用和条件，判断，由对的分析即可求得即可.
【详解】对于A，因为，所以当时，；
当时，．
显然当时，上式也成立，所以．
当时，因为，
所以是以为公差的等差数列，故A正确；
对于B，当时，为常数列，故B正确；
对于C，若为递增数列，则，即，故C正确；
对于D，若为递增数列，由可得，
由，需使，
即，因，故可得，解得，故，即D错误．
故选：ABC.
10．ACD
【分析】根据给定的前项和公式，结合等差数列逐项分析求解.
【详解】对于A，当时，，
而满足上式，因此，A正确；
对于B，由选项A知，数列单调递增，由，得，即数列前5项均为负数，
第6项为0，从第7项起为正数，取最小值时或，B错误；
对于C，，数列是等差数列，C正确；
对于D，
，D正确.
故选：ACD
11．ABD
【分析】利用数列的递推关系式以及，根据等比数列定义即可判断A正确，利用等比数列前项和公式计算可得B正确，由的通项公式可得，对为奇数或偶数时进行分组计算可判断C错误，D正确.
【详解】对于A，由，可得：
，
即，又，
可得数列是以为首项，公比为的等比数列，可得A正确；
对于B，由选项A分析可知，，即B正确；
对于C，易知，所以；
当为奇数时，
，可知C错误；
对于D，当为偶数时，
，可得D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题关键在于证明数列是等比数列后求得其通项公式，得出数列的递推公式，进而得出前项的积的表达式即可.
12．
【分析】根据题意，求得取到奇数的概率为，取得偶数的概率为，设为抽取次后和为奇数的概率，得到，得到，结合等比数列的通项公式，即可求解.
【详解】从分别标有数字2024，2025，2026的三张卡片中随机抽取一张，
取到奇数的概率为，取得偶数的概率为，
设为抽取次后和为奇数的概率，
可得，整理得，
又由，可得，
所以数列表示首项为，公比为的等比数列，
所以，所以.
故答案为：.
13．
【分析】求，根据题意得，然后用迭代法求解即可.
【详解】因为，所以，所以，
则.
因为，所以．
故答案为：
14．
【分析】由已知条件表示出的前10项和，再由等比数列求和公式得到答案即可.
【详解】因为，所以，
，，
，，
则的前10项和为.
故答案为：
15．30
【分析】根据题意列举数列的前6项，得出数列的周期性规律，根据规律分组（并项）求和即可.
【详解】由题意，，则，，，，，
归纳可得数列是以3为周期的数列，且，则，
故.
故答案为：30.
16． 1
【分析】根据题意，由等差数列的通项公式求出第一空答案，求出Sn的表达式，结合裂项相消法计算可得第二空答案．
【详解】根据题意，设数列的前5项和为T，
为等差数列，若，则有，
解可得，
又由，则，
故，所以，
则．
故答案为：1；．
17．(1)
(2)是，或6，最大值为
【分析】（1）利用等比数列的通项公式求解即可；（2）求出数列的前n项的乘积为，利用二次函数的性质求最值即可.
【详解】（1），公比，，
设新数列的公比为，
则，，由，
所以.
（2）.
令，
当或6时，有最大值30.
所以的最大值为，此时或6.
18．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）结合变形给定等式，再利用构造法推理得证.
（2）由（1）求出，再利用构造法求出通项公式.
（3）利用错位相减法求和，再借助恒成立的不等式求出的范围即可.
【详解】（1）当时，，即，
则，而，则，
于是时，，整理得，又，
所以数列是首项和公比都是2的等比数列.
（2）由（1）知，数列是首项和公比都是2的等比数列，则，
因此，数列是首项为，公差为的等差数列，，
所以数列的通项公式.
（3）由（2）知，，
，
两式相减得，，
则．不等式，
当时，为任意实数；当时，恒成立，而，因此，
所以实数的取值范围是，的最小值为.
19．(1)答案见解析
(2)存在，n＝41
【分析】（1）由已知列式求解公差，可得数列的通项公式及前n项和；
（2）把Sn分类代入，求解得答案．
【详解】（1）设等差数列的公差为d，
由，且成等比数列，
得，解得或，
当时，，；
当时，，．
（2）当时，，此时不存在正整数n，使得成立；
当时，由，得，解得或．
此时存在正整数，使得成立．
20．(1)上拐点为3，下拐点为5
(2)①上拐点是33，没有下拐点②
【分析】（1）根据定义直接得出；
（2）①利用的关系式，求出通项，根据前项和与通项关系，求差比较大小，得出拐点；②根据数列的通项求出，求出概率，再通过解不等式得出的取值集合.
【详解】（1）因为，
所以该数列的上拐点为3，下拐点为5.
（2）①由，得，
所以是公差为的等差数列，
取得，又，所以，
所以当时，，所以，
所以；
因为时，，
所以，
同理，，所以的上拐点是33，没有下拐点.
②因为，
由得，所以时，，即，
同理，时，，即，
所以数列的下拐点为35，没有上拐点，所以.
由知都是正数，都是负数，
所以要使一个属于，，一个属于，
当时，的概率，
由得，
由得，
所以正整数满足，
因为，所以，
结合知满足的正整数的取值集合为.
21．(1)或；
(2)；
(3).
【分析】（1）设，利用定义推理可得，求解方程并验证即得.
（2）利用定义求出首项，结合递推公式求解，并借助反证法推理求得通项公式.
（3）设分别表示的前项和，利用给定的定义，结合前和与第的关系推理求出最小值.
【详解】（1）设，
则由，解得，
又，
而，因此，解得.
当时，；
当时，，
当时，，
即，符合题意，
所以或.
（2）由是由“生成”的，是由“生成”的，
得，则，
于是或，而，因此，
若，则，，
若，且，
假设是第一个使不同时为0的整数，则，
此时，而，则，矛盾，
从而不存在使不同时为0的整数，
所以.
（3）设分别表示的前项和，
即分别是由-生成"的，
由，得；
当时，.
于是，同理，
而，则，
，，
.
所以，，
令，则，
，，
因此，
所以取到最小值.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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