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贵州省梁才教育集团初中集团初2023级第二次适应性定时训练
数学试卷
一、单选题
1．的绝对值为（ ）
A． B．2 C． D．
2．下列汉字中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．爱 B．我 C．中 D．华
3．从“播州视界”获悉，2024国庆中秋假期，播州区累计接待游客万人次．其中万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．如图是小星探索两直线平行的条件时所用的学具，木条，，在同一平面内，经测量，要使木条，则的度数应为（ ）
A． B． C． D．
5．某校九年级（1）班7名选报篮球专项的同学在一次1分钟投篮测试中，成绩如下（单位：个）：4，5，6，7，7，8，9，这组数据的众数、中位数分别是（ ）
A．7，5 B．7，7 C．8，5 D．8，7
6．若式子有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠2 B．x＞2 C．x≥2 D．x≥﹣2
7．如图，矩形中，对角线、交于点．若，，则的长为（ ）

A．3 B．4 C． D．5
8．一元二次方程根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．无实数根
9．《诗经》是我国第一部诗歌总集，其中《颂》的部分有篇，比《风》的篇数少，求《风》的篇数．若设《风》有篇，则根据题意列方程（　　）
A． B．
C． D．
10．某吊绳最大承受拉力对应的重物质量不超过8 吨．当没有吊起任何重物时，吊绳的自然长度是5米，通过实验测定，每吊起1 吨重物，吊绳会伸长0.3米．在吊绳的弹性限度内，吊起重物后吊绳的长度y（单位：米）与所吊重物的质量x（单位：吨）之间的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，在中，以点O为圆心，以适当长度为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接，过点P作交于点D，则和正确的关系是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
13．分解因式：______．
14．一个不透明的袋子中装有3个红球和5个黄球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到红球的概率是______．
15．已知点，若点P在二、四象限的角平分线上时，________．
16．如图，在平面直角坐标系中，，直线轴且过点E，长为5的线段在直线l上移动（点D在点C左侧），则的最小值为______．
三、解答题
17．计算、解不等式：
(1)．
(2)．
18．2021年，成都将举办世界大学生运动会，这是在中国西部第一次举办的世界综合性运动会，运动会相关准备工作正在有序进行，比赛项目已经确定．某校体育社团随机抽查了部分同学在田径、跳水、篮球、游泳四种比赛项目中选择一种观看的意愿（如图1）．根据以上信息，解答下列问题：
(1)这次被调查的同学共有 人；
(2)扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为 ．
(3)请把图2的条形统计图补充完整；
(4)现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两名同学担任大学生运动会的志愿者，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
19．为培养学生的阅读能力，某校购进《红楼梦》和《西游记》两种书籍，分别花费14000元和7000元，已知《红楼梦》的订购单价是《西游记》订购单价的1.4倍，并且订购的《红楼梦》的数量比《西游记》的数量多300本．
(1)求该校购买的《红楼梦》和《西游记》的单价；
(2)某班计划再订购这两种书籍共10本来备用，其中《西游记》的数量不超过《红楼梦》数量的2倍，这个班应怎样订购，才使得订购费用最低？
20．如图，平行四边形的对角线交于O，，连接．
(1)求证四边形是平行四边形；
(2)若点E是的中点，的面积为2，求四边形的面积．
21．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)点P在x轴上，如果，求点P的坐标．
22．寒假期间，小浩一家到某旅游风景区登山．他们从山脚处出发，先步行到达处，再从处坐缆车到达山顶处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，，，，在同一平面内．
(1)求小浩一家步行上升的垂直高度；
(2)求缆车的行驶路线的长．
（参考数据：，，；，，）
23．如图，是的弦，，点D在上，，点C是弦上一动点（不与点A、B重合），连接并延长交于点D，连接．
(1)证明：；
(2)求弦的长；
(3)求图中阴影部分的面积．
24．综合与应用
如果将运动员的身体看作一点，则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，运动员从点起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系．
(1)在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表：
水平距离x（m） 0 1 1.5
竖直高度y（m） 10 10 6.25
根据上述数据，求出y关于x的关系式；
(2)在（1）的这次训练中，求运动员甲从起点A到入水点的水平距离的长；
(3)信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度为，从到达到最高点B开始计时，则他到水面的距离与时间之间满足．
信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的270C动作．
问题解决：
①请通过计算说明，在（1）的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？
②运动员甲进行第二次跳水训练，此时他的竖直高度与水平距离的关系为，若选手在达到最高点后要顺利完成270C动作，则a的取值范围是______．
25．中，，，点E是边上一点，点D是射线上一点，过点D作交直线于F．
(1)如图①，若，点D是的中点，点E是的中点，连接，则______；
(2)如图②，若点D是的中点，点F在边上，证明：；
(3)若，试探究，的数量关系．
参考答案
1．B
2．C
3．B
4．B
5．B
6．C
7．C
8．A
9．D
10．A
11．B
12．B
13．
14．
15．4
16．
17．（1）解：
；
（2）解：
不等式两边同乘6得：
去括号得：
移项得：
合并同类项得：．
18．（1）解：根据题意得：
54÷30%＝180（人），
答：这次被调查的学生共有180人；
故答案为：180；
（2）根据题意得：
360°×（1﹣20%﹣15%﹣30%）＝126°，
答：扇形统计图中“篮球”对应的扇形圆心角的度数为126°，
故答案为：126°；
（3）篮球的人数有：180×（1﹣20%﹣15%﹣30%）＝63（人），补全统计图如下：
（4）列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 一 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲）
乙 （甲，乙） 一 （丙，乙） （丁，乙）
丙 （甲，丙） （乙，丙） 一 （丁，丙）
丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） 一
∵共有12种等可能的情况，恰好选中甲，
∴P（选中甲、乙）＝＝．
19．（1）解：设该校购买《西游记》的单价为x元，则购买《红楼梦》的单价为元，
，解得，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴，
答：该校购买的《西游记》的单价为10元，《红楼梦》的单价为14元．
（2）解：设这个班订购m本《红楼梦》，订购总费用为n元，则订购《西游记》本，
根据题意得，解得，
∵m为正整数，
∴m的最小值是4，又，
∴n是关于m的一次函数，且，
∴n随m的增大而增大，
∴当时，n取得最小值，此时，
答：这个班应订购4本《红楼梦》，6本《西游记》，才使得订购费用最低．
20．（1）证明：为平行四边形，
，．
，
．
∴四边形是平行四边形．
（2）解：当E为中点时，的面积的面积．
，
的面积的面积．
，
的面积的面积，
的面积的面积．
∴四边形的面积．
21．（1）解：把点A的坐标代入反比例函数的解析式得，解得，
∴反比例函数的解析式为，
把点B的坐标代入反比例函数的解析式得，解得，
∴点B的坐标为，
把点A和点B的坐标代入一次函数的解析式得，
∴，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：在中，当时，，
∴一次函数与x轴的交点C的坐标为，
∵，
∴，
∴，
∴点P的横坐标为或，
∴点P的坐标为或．
22（1）解：过点B作于点E，
根据题意，，
故小浩一家步行上升的垂直高度为62米．
（2）解：过点B作于点F，
则四边形是矩形，
故，
故，
又，
故．
23．（1）证明：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，过点O作于E，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：由（1）知，，
∴，
∴，
∴，
∴．
24．(1）解：由运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系，
设二次函数的关系为，代入，，，
得，
解得，
y关于x的关系式为；
（2）解：把代入，
得，
解得，（不合题意，舍去），
运动员甲从起点A到入水点的水平距离的长为2米；
（3）解：①运动员甲不能成功完成此动作，理由如下：
由运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系为，
整理得，
得运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度k为，即，
把代入，
得，
解得，（不合题意，舍去），
，
运动员甲不能成功完成此动作；
②由运动员甲进行第二次跳水训练，竖直高度与水平距离的关系为，
得顶点为，
得，
得，
把代入，
得，
由运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的270C动作，得，
则，即，
解得．
故答案为：．
25．（1）解∶ 连接，
∵，，点D是的中点，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，点E是的中点，，
∴，
∴，
又，
∴；
（2）证明 ∶连接，
∵，，点D是的中点，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴；
（3）解∶当点D在上时，如图，过D作交于G，
∴，
∴，，
∵，，点D是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
当点D在AB延长线上时，如图，过D作交延长线于H，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上所述，，的数量关系是．

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