资源简介

广东省梅州市五华县 2024—2025 学年下学期八年级期中考试数学卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025八下·五华期中）2024年12月4日晚，在巴拉圭亚松森召开的联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第19届常会上，中国申报的“春节~中国人庆祝传统新年的社会实践”正式列入《人类非物质文化遗产代表作名录》．春节期间家家户户贴的下列窗花图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、该图案存在多条对称轴，同时绕中心旋转 180° 后能与自身重合，既是轴对称图形又是中心对称图形，故A符合题意 ；B、该图案是轴对称图形，但绕任意一点旋转 180° 后无法与自身重合，不是中心对称图形，故B不符合题意 ；
C、该图案是轴对称图形，但绕任意一点旋转 180° 后无法与自身重合，不是中心对称图形，故C不符合题意 ；
D、该图案绕中心旋转 180° 后能与自身重合，是中心对称图形，但不存在对称轴，不是轴对称图形，故D不符合题意 ；
故答案为：A。
【分析】先明确轴对称和中心对称图形的定义，再逐一验证每个选项是否同时满足这两个条件，从而确定符合要求的图形。
2．（2025八下·五华期中）下列数学表达式中，不等式有（ ）．
①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】不等式的概念
【解析】【解答】解：不等式有①②⑤⑥，共4个．
故选：C
【分析】根据不等式的定义逐项进行判断即可求出答案.
3．（2025八下·五华期中）到三角形三个顶点的距离都相等的点是（　　）
A．两条中线的交点 B．两条高的交点
C．两条角平线的交点 D．两条边的垂直平分线的交点
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，
∴ 到三角形三个顶点的距离都相等的点是两条边的垂直平分线的交点；
故答案为：D.
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，进行解答即可.
4．（2025八下·五华期中）若，且，则的值可能是（　　）
A．0 B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，且，
∴，
∴四个选项中，只有B选项符合题意，
故答案为：B．
【分析】根据不等式的两边同时除以一个负数，不等号的方向改变解题即可．
5．（2025八下·五华期中）不等式的正整数解有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：将含 的项移到左边，常数项移到右边，得到 。
合并同类项：计算得 。
系数化为1：两边同时除以，注意不等号方向改变，得到 。
确定正整数解：在 的范围内，正整数为1和2，共2个。
故答案为：B。
【分析】先解不等式 7 3x>2x 8 得到解集 x<3，再在解集中找出所有正整数 1、2，从而确定正整数解共有 2 个
6．（2025八下·五华期中）如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于点，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由 DE 是 AC 的垂直平分线，可得 AE=EC，因此∠C=∠EAC。设∠C=α，则∠EAC=α。
在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，所以∠BAC+∠C=90°。而∠BAC=∠BAE+∠EAC=22°+α，代入得 α+α+22°=90°。
解方程 2α+22°=90°，得 α=34°，即∠C=34°。
故答案为：C。
【分析】先利用线段垂直平分线的性质得到 AE=EC，推出∠C=∠EAC，再结合直角三角形两锐角互余，列出方程 α+α+22°=90°，解得∠C=34°。
7．（2025八下·五华期中）如图，已知的周长为， 现将沿方向平移至位置，连接，则四边形的周长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移性质可知，BC=B'C'，且对应点连线 BB'=CC'=3cm。四边形 AB'C'C 的周长 = CA+AB+BB'+B'C'+CC'。
代入等量关系，周长 = CA+AB+BC+2×BB'=△ABC 的周长 + 2×3cm。
已知△ABC 周长为 30cm，因此四边形周长 = 30+6=36cm。
故答案为：D。
【分析】根据平移性质，将四边形 AB'C'C 的周长转化为△ABC 的周长加上两倍的平移距离，计算得出周长为 36cm。
8．（2025八下·五华期中）如图，将绕点C顺时针旋转后得到，若于D，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：由△ABC 绕点 C 顺时针旋转 32° 得到△A'B'C，可知∠ACA'=32°，且∠A=∠A'。因为 A'B'⊥AC，所以∠A'DC=90°，△A'DC 是直角三角形。
在 Rt△A'DC 中，∠A'=90° ∠ACA'=90° 32°=58°。
由∠A=∠A'，得∠A=58°。
故答案为：C。
【分析】根据旋转性质得到∠ACA'=32° 且∠A=∠A'，再利用 A'B'⊥AC 得到直角三角形 A'DC，通过直角三角形两锐角互余求出∠A'=58°，进而得到∠A=58°。
9．（2025八下·五华期中）已知，则下列各式中一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A．不等式两边同时减b，可得，选项不成立，不符合题意；
B．当时，可得，选项不成立，不符合题意；
C．不等式两边同时除以2再减去1，可得，选项不成立，不符合题意；
D．不等式两边同时乘，可得，选项一定成立，符合题意；
故选：D．
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可求出答案.
10．（2025八下·五华期中）如图，已知等边的边长为4，点P是边上的动点，以为边向右作等边，点D是边的中点，连接，则的最小值是（　　）
A． B． C．2 D．不能确定
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：由和都是等边三角形，可得，，，推出，用证明。
由全等得，因此点的轨迹是过且与夹角的射线。
根据垂线段最短，当时，取最小值，
如图：
已知是中点，，所以。在中，，则，故，再由勾股定理得：
故答案为：B。
【分析】先通过等边三角形的性质证明，得到，从而确定点的运动轨迹是过点且与夹角为的射线；再根据“垂线段最短”，当时最小，最后在直角三角形中利用勾股定理求出最小值。
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（2025八下·五华期中）在平面直角坐标系中，将点（﹣2，5）向左平移4个单位长度后得到的点的坐标为　 　．
【答案】（-6，5）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：将点（﹣2，5）向左平移4个单位长度后得到的点的坐标为（﹣6，5）．
故答案为（﹣6，5）．
【分析】把点（﹣2，5）的横坐标减4，纵坐标不变得到点（﹣6，5）平移后的对应点的坐标．
12．（2025八下·五华期中）如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在的延长线上，则旋转角的度数是　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由旋转性质可知：，
∵点在同一条直线上，
∴，
∴，
即旋转角的度数是，
故答案为：．
【分析】由旋转的性质可知，然后利用等边对等角得，再根据旋转性质即可求出答案.
13．（2025八下·五华期中）如图，中，，为的角平分线，与相交于点，若，，则的面积是　 　．
【答案】15
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，作于，
为的角平分线，，，
，
的面积，
故答案为：15．
【分析】根据角平分线的性质，作 DE⊥AB 于 E，可得 DE=CD=3，再利用三角形面积公式计算出△ABD 的面积为 15。
14．（2025八下·五华期中）若实数x、y满足，则的值是　 　．
【答案】2025
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：因为，
所以且，
所以，
解得：，
所以，
所以，
故答案为：2025．
【分析】根据二次根式有意义的条件，由x 1≥0和1 x≥0得出x=1，代入求出y=2024，进而得到x+y=2025。
15．（2025八下·五华期中）如图，在中，，点D在线段上，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，，垂足为点F，则的长为　 　．
【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴，
根据勾股定理得，，
∴，
又∵，
∴．
过点D作于点M，
则，
由旋转的性质得，，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
∴，
∴．
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴．
故答案为：3．
【分析】先在等腰直角△ABC 中求出 BC 和 DC 的长度，再作 DM⊥AC，利用旋转性质证明△ADM≌△EAF，得到 AF=DM，最后在等腰直角△DMC 中求出 DM=3，即 AF=3。
三、解答题（一）本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．（2025八下·五华期中）解不等式组
【答案】解：
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集是.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集 和 ，再取它们的公共部分，得到不等式组的解集为 。
17．（2025八下·五华期中）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B(1，1)，C(4，3)．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的，并写出点的坐标；
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的
【答案】（1）如图，即为所作，点的坐标为(2，-4)；
（2）如图，即为所作．
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；作图﹣旋转
【解析】【分析】(1) 根据关于 x 轴对称的点的坐标特征（横坐标不变，纵坐标取反），找到点 A、B、C 的对称点 A1、B1、C1，顺次连接得到△A1B1C1，点 A1的坐标为 (2， -4)；
(2) 根据绕点逆时针旋转 90° 的坐标变换规则，找到点 A、C 旋转后的对应点 A2、C2，顺次连接得到△A2BC2。
（1）如图，即为所作，点的坐标为(2，-4)；
（2）如图，即为所作．
18．（2025八下·五华期中）如图，C是内一点，于点A，于点B，连接AB，．求证：平分．
【答案】解：∵，∴，
∵于点A，于点B，
∴C在的角平分线上，
∴平分．
【知识点】等腰三角形的判定；角平分线的判定
【解析】【分析】由∠CAB = ∠CBA，根据 “等角对等边” 推出 CA = CB，再结合 CA⊥OM、CB⊥ON，利用角平分线的判定定理，证明点 C 在∠MON 的平分线上，从而得到 OC 平分∠MON。
四、解答题（二）本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．（2025八下·五华期中）广东百千万高质量发展工程预计到2025年将实现县域经济发展加快，乡村振兴取得新成效．某乡村龙眼上市，先后两次共摘龙眼21吨，第一次卖出龙眼的价格为万元/吨；因龙眼大量上市，价格下跌，第二次卖出龙眼的价格为万元/吨，两次龙眼共卖了9万元．
（1）求两次各摘龙眼多少吨？
（2）由于龙眼放置时间短，村民把龙眼加工成桂圆肉和龙眼干进行销售，预计还能摘20吨，若1吨龙眼可加工成桂圆肉吨或龙眼干吨，桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万元/吨和3万元/吨，若全部的销售额不少于36万元，则至少需要把多少吨龙眼加工成桂圆肉？
【答案】（1）解：设第一次卖出龙眼x吨，则第二次卖出龙眼吨，
由题意得：，
解得：，
∴（吨），
答：第一次卖出龙眼6吨，则第二次卖出龙眼15吨；
（2）解：设把y吨龙眼加工成桂圆肉，则把吨龙眼加工成龙眼干，
由题意得：
解得：，
答：至少需要把12吨龙眼加工成桂圆肉．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【分析】（1）设第一次卖出龙眼x吨，则第二次卖出龙眼吨，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设把y吨龙眼加工成桂圆肉，则把吨龙眼加工成龙眼干，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
20．（2025八下·五华期中）已知：如图，在△ADC中，AD＝CD，且AB∥DC，CB⊥AB于B，CE⊥AD交AD的延长线于E，连接BE．
（1）求证：CE＝CB；
（2）若∠CAE＝30°，CE＝2，求BE的长度．
【答案】（1）证明：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵AB∥CD，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∴AC是∠EAB的角平分线，
又∵CE⊥AD，CB⊥AB，
∴CE＝CB．
（2）∵AC是∠EAB的角平分线，
∴∠EAB＝2∠CAE＝60°，
∵∠DCA＝∠DAC＝30°，
∴∠EDC＝∠DCA+∠DAC＝60°，
∵CE⊥AD，
∴∠CED＝90°，
∴∠ECD＝30°，
∵CB⊥AB，
∴∠CBA＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠CBA+∠DCB＝180°，
∴∠DCB＝90°，
∴∠ECB＝∠ECD+∠DCB＝120°，
∵CE＝CB＝2，
∴∠CBE＝∠CEB＝（180°﹣∠ECB）＝30°，
∴∠EBA＝60°，
∴∠AEB＝∠EAB＝∠ABE＝60°，
∴△AEB是等边三角形，
∴BE＝AB；
在Rt△ABC中，
∵BC⊥AB，∠CAB＝30°，
∴AC＝2BC＝4，
∴AB＝，
∴BE＝2．
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据等边对等角可得∠DAC＝∠DCA，再根据直线平行性质可得∠DCA＝∠CAB，则∠DAC＝∠CAB，再根据角平分线判定定理可得AC是∠EAB的角平分线，则CE＝CB，即可求出答案.
（2）根据角平分线定义可得∠EAB＝2∠CAE＝60°，再根据角之间的关系可得∠CBA＝90°，由直线平行性质可得∠CBA+∠DCB＝180°，则∠DCB＝90°，∠ECB＝120°，再根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠CBE＝∠CEB＝30°，再根据等边三角形判定定理可得△AEB是等边三角形，则BE＝AB，再根据含30°角的直角三角形性质可得AC＝2BC＝4，再根据勾股定理即可求出答案.
21．（2025八下·五华期中）如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B．
（1）分别求出这两个函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）根据图象写出不等式的解集为______．
【答案】（1）解：将点代入，
得，解得，
∴，
将点代入，
得，解得，
∴，
∴这两个函数的解析式分别为和；
（2）解：在中，令，得，
∴．
在中，令，得，
∴．
∴；
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】（3）解：由函数图象可知，当时，．
∴不等式的解集为：．
故答案为：。
【分析】(1) 将点P(-2， -5)分别代入两个函数解析式，用待定系数法求出、，得到和；
(2) 令求出A、B坐标，再用三角形面积公式算出；
(3) 根据图象交点，直接得出不等式的解集为。
（1）解：将点代入，
得，解得，
∴，
将点代入，
得，解得，
∴，
∴这两个函数的解析式分别为和；
（2）解：在中，令，得，
∴．
在中，令，得，
∴．
∴；
（3）解：由函数图象可知，当时，．
∴不等式的解集为：．
五、解答题（三）本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．（2025八下·五华期中）关于x，y的方程组．
（1）若，求的值；
（2）若、均为非负数，求的取值范围；
（3）在（2）的条件下，求的最大值和最小值．
【答案】（1）解：，①②得：，
∵，
∴，
解得：；
（2）解：，
解得，
∵、均为非负数，
∴，，
即，
解得；
（3）解：∵，
∴
，
∵，
∴，
∴，
即，
∴的最大值为，最小值为．
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式组；不等式的性质；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】(1) 将方程组两式相加，得到，代入，解得；
(2) 解方程组得、，由、列不等式组，解得；
(3) 将、代入化简得，再根据的范围求出的最大值为，最小值为
（1）解：，
①②得：，
∵，
∴，
解得：；
（2）解：，
解得，
∵、均为非负数，
∴，，
即，
解得；
（3）解：∵，
∴
，
∵，
∴，
∴，
即，
∴的最大值为，最小值为．
23．（2025八下·五华期中）
（1）如图①，与都是等腰直角三角形，且，，将绕点A旋转到图②的位置时，连接，相交于点P．
①求证：．
②连接，猜想线段、、之间有怎样的数量关系？并加以证明；
（2）将绕点A旋转到图③的位置时，连接，相交于点P，连接，猜想线段、、之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．
【答案】（1）①证明：∵与都是等腰直角三角形，∴，，，∴，即，∴，∴，∵，∴，∴．②解：结论：，理由：在上截取，连接，∵，∴，∵，，∴，∴，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴．（2），
（1）①证明：∵与都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
②解：结论：，
理由：在上截取，连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
（2）解：
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形；旋转全等模型
【解析】【解答】（2）解：结论：
理由：在上截取，连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
【分析】（1）①根据等腰直角三角形性质可得，，，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
②在上截取，连接，根据全等三角形性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，则，根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，再根据勾股定理可得PF，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）在上截取，连接，根据全等三角形性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，再根据勾股定理可得PN，再根据边之间的关系即可求出答案.
1 / 1广东省梅州市五华县 2024—2025 学年下学期八年级期中考试数学卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025八下·五华期中）2024年12月4日晚，在巴拉圭亚松森召开的联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第19届常会上，中国申报的“春节~中国人庆祝传统新年的社会实践”正式列入《人类非物质文化遗产代表作名录》．春节期间家家户户贴的下列窗花图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·五华期中）下列数学表达式中，不等式有（ ）．
①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（2025八下·五华期中）到三角形三个顶点的距离都相等的点是（　　）
A．两条中线的交点 B．两条高的交点
C．两条角平线的交点 D．两条边的垂直平分线的交点
4．（2025八下·五华期中）若，且，则的值可能是（　　）
A．0 B．1 C． D．
5．（2025八下·五华期中）不等式的正整数解有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2025八下·五华期中）如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于点，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八下·五华期中）如图，已知的周长为， 现将沿方向平移至位置，连接，则四边形的周长为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025八下·五华期中）如图，将绕点C顺时针旋转后得到，若于D，则等于（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八下·五华期中）已知，则下列各式中一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025八下·五华期中）如图，已知等边的边长为4，点P是边上的动点，以为边向右作等边，点D是边的中点，连接，则的最小值是（　　）
A． B． C．2 D．不能确定
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（2025八下·五华期中）在平面直角坐标系中，将点（﹣2，5）向左平移4个单位长度后得到的点的坐标为　 　．
12．（2025八下·五华期中）如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，点恰好落在的延长线上，则旋转角的度数是　 　．
13．（2025八下·五华期中）如图，中，，为的角平分线，与相交于点，若，，则的面积是　 　．
14．（2025八下·五华期中）若实数x、y满足，则的值是　 　．
15．（2025八下·五华期中）如图，在中，，点D在线段上，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，，垂足为点F，则的长为　 　．
三、解答题（一）本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．（2025八下·五华期中）解不等式组
17．（2025八下·五华期中）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B(1，1)，C(4，3)．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的，并写出点的坐标；
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的
18．（2025八下·五华期中）如图，C是内一点，于点A，于点B，连接AB，．求证：平分．
四、解答题（二）本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．（2025八下·五华期中）广东百千万高质量发展工程预计到2025年将实现县域经济发展加快，乡村振兴取得新成效．某乡村龙眼上市，先后两次共摘龙眼21吨，第一次卖出龙眼的价格为万元/吨；因龙眼大量上市，价格下跌，第二次卖出龙眼的价格为万元/吨，两次龙眼共卖了9万元．
（1）求两次各摘龙眼多少吨？
（2）由于龙眼放置时间短，村民把龙眼加工成桂圆肉和龙眼干进行销售，预计还能摘20吨，若1吨龙眼可加工成桂圆肉吨或龙眼干吨，桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万元/吨和3万元/吨，若全部的销售额不少于36万元，则至少需要把多少吨龙眼加工成桂圆肉？
20．（2025八下·五华期中）已知：如图，在△ADC中，AD＝CD，且AB∥DC，CB⊥AB于B，CE⊥AD交AD的延长线于E，连接BE．
（1）求证：CE＝CB；
（2）若∠CAE＝30°，CE＝2，求BE的长度．
21．（2025八下·五华期中）如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B．
（1）分别求出这两个函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）根据图象写出不等式的解集为______．
五、解答题（三）本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．（2025八下·五华期中）关于x，y的方程组．
（1）若，求的值；
（2）若、均为非负数，求的取值范围；
（3）在（2）的条件下，求的最大值和最小值．
23．（2025八下·五华期中）
（1）如图①，与都是等腰直角三角形，且，，将绕点A旋转到图②的位置时，连接，相交于点P．
①求证：．
②连接，猜想线段、、之间有怎样的数量关系？并加以证明；
（2）将绕点A旋转到图③的位置时，连接，相交于点P，连接，猜想线段、、之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、该图案存在多条对称轴，同时绕中心旋转 180° 后能与自身重合，既是轴对称图形又是中心对称图形，故A符合题意 ；B、该图案是轴对称图形，但绕任意一点旋转 180° 后无法与自身重合，不是中心对称图形，故B不符合题意 ；
C、该图案是轴对称图形，但绕任意一点旋转 180° 后无法与自身重合，不是中心对称图形，故C不符合题意 ；
D、该图案绕中心旋转 180° 后能与自身重合，是中心对称图形，但不存在对称轴，不是轴对称图形，故D不符合题意 ；
故答案为：A。
【分析】先明确轴对称和中心对称图形的定义，再逐一验证每个选项是否同时满足这两个条件，从而确定符合要求的图形。
2．【答案】C
【知识点】不等式的概念
【解析】【解答】解：不等式有①②⑤⑥，共4个．
故选：C
【分析】根据不等式的定义逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，
∴ 到三角形三个顶点的距离都相等的点是两条边的垂直平分线的交点；
故答案为：D.
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，进行解答即可.
4．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，且，
∴，
∴四个选项中，只有B选项符合题意，
故答案为：B．
【分析】根据不等式的两边同时除以一个负数，不等号的方向改变解题即可．
5．【答案】B
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解：将含 的项移到左边，常数项移到右边，得到 。
合并同类项：计算得 。
系数化为1：两边同时除以，注意不等号方向改变，得到 。
确定正整数解：在 的范围内，正整数为1和2，共2个。
故答案为：B。
【分析】先解不等式 7 3x>2x 8 得到解集 x<3，再在解集中找出所有正整数 1、2，从而确定正整数解共有 2 个
6．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由 DE 是 AC 的垂直平分线，可得 AE=EC，因此∠C=∠EAC。设∠C=α，则∠EAC=α。
在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，所以∠BAC+∠C=90°。而∠BAC=∠BAE+∠EAC=22°+α，代入得 α+α+22°=90°。
解方程 2α+22°=90°，得 α=34°，即∠C=34°。
故答案为：C。
【分析】先利用线段垂直平分线的性质得到 AE=EC，推出∠C=∠EAC，再结合直角三角形两锐角互余，列出方程 α+α+22°=90°，解得∠C=34°。
7．【答案】D
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移性质可知，BC=B'C'，且对应点连线 BB'=CC'=3cm。四边形 AB'C'C 的周长 = CA+AB+BB'+B'C'+CC'。
代入等量关系，周长 = CA+AB+BC+2×BB'=△ABC 的周长 + 2×3cm。
已知△ABC 周长为 30cm，因此四边形周长 = 30+6=36cm。
故答案为：D。
【分析】根据平移性质，将四边形 AB'C'C 的周长转化为△ABC 的周长加上两倍的平移距离，计算得出周长为 36cm。
8．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：由△ABC 绕点 C 顺时针旋转 32° 得到△A'B'C，可知∠ACA'=32°，且∠A=∠A'。因为 A'B'⊥AC，所以∠A'DC=90°，△A'DC 是直角三角形。
在 Rt△A'DC 中，∠A'=90° ∠ACA'=90° 32°=58°。
由∠A=∠A'，得∠A=58°。
故答案为：C。
【分析】根据旋转性质得到∠ACA'=32° 且∠A=∠A'，再利用 A'B'⊥AC 得到直角三角形 A'DC，通过直角三角形两锐角互余求出∠A'=58°，进而得到∠A=58°。
9．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A．不等式两边同时减b，可得，选项不成立，不符合题意；
B．当时，可得，选项不成立，不符合题意；
C．不等式两边同时除以2再减去1，可得，选项不成立，不符合题意；
D．不等式两边同时乘，可得，选项一定成立，符合题意；
故选：D．
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：由和都是等边三角形，可得，，，推出，用证明。
由全等得，因此点的轨迹是过且与夹角的射线。
根据垂线段最短，当时，取最小值，
如图：
已知是中点，，所以。在中，，则，故，再由勾股定理得：
故答案为：B。
【分析】先通过等边三角形的性质证明，得到，从而确定点的运动轨迹是过点且与夹角为的射线；再根据“垂线段最短”，当时最小，最后在直角三角形中利用勾股定理求出最小值。
11．【答案】（-6，5）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：将点（﹣2，5）向左平移4个单位长度后得到的点的坐标为（﹣6，5）．
故答案为（﹣6，5）．
【分析】把点（﹣2，5）的横坐标减4，纵坐标不变得到点（﹣6，5）平移后的对应点的坐标．
12．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由旋转性质可知：，
∵点在同一条直线上，
∴，
∴，
即旋转角的度数是，
故答案为：．
【分析】由旋转的性质可知，然后利用等边对等角得，再根据旋转性质即可求出答案.
13．【答案】15
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，作于，
为的角平分线，，，
，
的面积，
故答案为：15．
【分析】根据角平分线的性质，作 DE⊥AB 于 E，可得 DE=CD=3，再利用三角形面积公式计算出△ABD 的面积为 15。
14．【答案】2025
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：因为，
所以且，
所以，
解得：，
所以，
所以，
故答案为：2025．
【分析】根据二次根式有意义的条件，由x 1≥0和1 x≥0得出x=1，代入求出y=2024，进而得到x+y=2025。
15．【答案】3
【知识点】等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴，
根据勾股定理得，，
∴，
又∵，
∴．
过点D作于点M，
则，
由旋转的性质得，，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
∴，
∴．
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴．
故答案为：3．
【分析】先在等腰直角△ABC 中求出 BC 和 DC 的长度，再作 DM⊥AC，利用旋转性质证明△ADM≌△EAF，得到 AF=DM，最后在等腰直角△DMC 中求出 DM=3，即 AF=3。
16．【答案】解：
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集是.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集 和 ，再取它们的公共部分，得到不等式组的解集为 。
17．【答案】（1）如图，即为所作，点的坐标为(2，-4)；
（2）如图，即为所作．
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；作图﹣旋转
【解析】【分析】(1) 根据关于 x 轴对称的点的坐标特征（横坐标不变，纵坐标取反），找到点 A、B、C 的对称点 A1、B1、C1，顺次连接得到△A1B1C1，点 A1的坐标为 (2， -4)；
(2) 根据绕点逆时针旋转 90° 的坐标变换规则，找到点 A、C 旋转后的对应点 A2、C2，顺次连接得到△A2BC2。
（1）如图，即为所作，点的坐标为(2，-4)；
（2）如图，即为所作．
18．【答案】解：∵，∴，
∵于点A，于点B，
∴C在的角平分线上，
∴平分．
【知识点】等腰三角形的判定；角平分线的判定
【解析】【分析】由∠CAB = ∠CBA，根据 “等角对等边” 推出 CA = CB，再结合 CA⊥OM、CB⊥ON，利用角平分线的判定定理，证明点 C 在∠MON 的平分线上，从而得到 OC 平分∠MON。
19．【答案】（1）解：设第一次卖出龙眼x吨，则第二次卖出龙眼吨，
由题意得：，
解得：，
∴（吨），
答：第一次卖出龙眼6吨，则第二次卖出龙眼15吨；
（2）解：设把y吨龙眼加工成桂圆肉，则把吨龙眼加工成龙眼干，
由题意得：
解得：，
答：至少需要把12吨龙眼加工成桂圆肉．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-盈亏问题
【解析】【分析】（1）设第一次卖出龙眼x吨，则第二次卖出龙眼吨，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设把y吨龙眼加工成桂圆肉，则把吨龙眼加工成龙眼干，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
20．【答案】（1）证明：∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵AB∥CD，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∴AC是∠EAB的角平分线，
又∵CE⊥AD，CB⊥AB，
∴CE＝CB．
（2）∵AC是∠EAB的角平分线，
∴∠EAB＝2∠CAE＝60°，
∵∠DCA＝∠DAC＝30°，
∴∠EDC＝∠DCA+∠DAC＝60°，
∵CE⊥AD，
∴∠CED＝90°，
∴∠ECD＝30°，
∵CB⊥AB，
∴∠CBA＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠CBA+∠DCB＝180°，
∴∠DCB＝90°，
∴∠ECB＝∠ECD+∠DCB＝120°，
∵CE＝CB＝2，
∴∠CBE＝∠CEB＝（180°﹣∠ECB）＝30°，
∴∠EBA＝60°，
∴∠AEB＝∠EAB＝∠ABE＝60°，
∴△AEB是等边三角形，
∴BE＝AB；
在Rt△ABC中，
∵BC⊥AB，∠CAB＝30°，
∴AC＝2BC＝4，
∴AB＝，
∴BE＝2．
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据等边对等角可得∠DAC＝∠DCA，再根据直线平行性质可得∠DCA＝∠CAB，则∠DAC＝∠CAB，再根据角平分线判定定理可得AC是∠EAB的角平分线，则CE＝CB，即可求出答案.
（2）根据角平分线定义可得∠EAB＝2∠CAE＝60°，再根据角之间的关系可得∠CBA＝90°，由直线平行性质可得∠CBA+∠DCB＝180°，则∠DCB＝90°，∠ECB＝120°，再根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠CBE＝∠CEB＝30°，再根据等边三角形判定定理可得△AEB是等边三角形，则BE＝AB，再根据含30°角的直角三角形性质可得AC＝2BC＝4，再根据勾股定理即可求出答案.
21．【答案】（1）解：将点代入，
得，解得，
∴，
将点代入，
得，解得，
∴，
∴这两个函数的解析式分别为和；
（2）解：在中，令，得，
∴．
在中，令，得，
∴．
∴；
（3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与一元一次方程的关系；一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】（3）解：由函数图象可知，当时，．
∴不等式的解集为：．
故答案为：。
【分析】(1) 将点P(-2， -5)分别代入两个函数解析式，用待定系数法求出、，得到和；
(2) 令求出A、B坐标，再用三角形面积公式算出；
(3) 根据图象交点，直接得出不等式的解集为。
（1）解：将点代入，
得，解得，
∴，
将点代入，
得，解得，
∴，
∴这两个函数的解析式分别为和；
（2）解：在中，令，得，
∴．
在中，令，得，
∴．
∴；
（3）解：由函数图象可知，当时，．
∴不等式的解集为：．
22．【答案】（1）解：，①②得：，
∵，
∴，
解得：；
（2）解：，
解得，
∵、均为非负数，
∴，，
即，
解得；
（3）解：∵，
∴
，
∵，
∴，
∴，
即，
∴的最大值为，最小值为．
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式组；不等式的性质；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】(1) 将方程组两式相加，得到，代入，解得；
(2) 解方程组得、，由、列不等式组，解得；
(3) 将、代入化简得，再根据的范围求出的最大值为，最小值为
（1）解：，
①②得：，
∵，
∴，
解得：；
（2）解：，
解得，
∵、均为非负数，
∴，，
即，
解得；
（3）解：∵，
∴
，
∵，
∴，
∴，
即，
∴的最大值为，最小值为．
23．【答案】（1）①证明：∵与都是等腰直角三角形，∴，，，∴，即，∴，∴，∵，∴，∴．②解：结论：，理由：在上截取，连接，∵，∴，∵，，∴，∴，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴．（2），
（1）①证明：∵与都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
②解：结论：，
理由：在上截取，连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
（2）解：
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形；旋转全等模型
【解析】【解答】（2）解：结论：
理由：在上截取，连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
【分析】（1）①根据等腰直角三角形性质可得，，，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
②在上截取，连接，根据全等三角形性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，则，根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，再根据勾股定理可得PF，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）在上截取，连接，根据全等三角形性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，再根据勾股定理可得PN，再根据边之间的关系即可求出答案.
1 / 1

展开更多......

收起↑