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广东省/湛江市六校联考2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
1．（2025八下·湛江期中）下列式子中，是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：，不符合二次根式的形式，不是二次根式；
中根指数是3，不是二次根式；
是二次根式．
故选：D．
【分析】根据二次根式定义即可求出答案.
2．（2025八下·湛江期中）下列各组数中，是勾股数的是（　　）
A．6、7、10 B．12、16、20 C．1、2、3 D．4、5、8
【答案】B
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A.62+72=85，102=100，所以62+72≠102，不是勾股数，故不符合；
B.122+162=400=202，是勾股数，故符合；
C.12+22=5，32=9，12+22≠32，不是勾股数，故不符合；
D.42+52=41，82=64，42+52≠82，不是勾股数，故不符合.
故答案为：B.
【分析】分别求两个较小的数的平方和，与最大的数的平方比较，相等的是勾股数，否则不是勾股数.
3．（2025八下·湛江期中）计算的结果为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：二次根式乘法的核心是“被开方数相乘，根指数不变”。将 ， 代入法则，可得 。计算被开方数的乘积，，因此结果为 。
故答案为：A。
【分析】二次根式相乘时，被开方数相乘，根指数保持不变，即 （其中 ，）。
4．（2025八下·湛江期中）如图，四边形是平行四边形，点在线段的延长线上，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：已知∠BCE = 62°，且点 E 在 DC 的延长线上，因此∠BCE 与∠BCD 互为邻补角，它们的和为 180°。由此可得：∠BCD = 180° - 62° = 118°。
平行四边形对角相等：在平行四边形 ABCD 中，对角∠A 与∠BCD 是相等的。
所以，∠A = ∠BCD = 118°。
故答案为：D。
【分析】这道题的核心是利用平行四边形的性质和邻补角的定义来求解角度，先求出与已知角相关的平行四边形内角，再利用平行四边形对角相等的性质得到最终结果。
5．（2025八下·湛江期中）下列计算中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、 与 不是同类二次根式，不能直接合并，因此 ，A错误；
B、 与 不是同类二次根式，不能直接合并，因此 ，B错误；
C、根据二次根式乘法法则 （），可得：，C正确；
D、 与 不是同类二次根式，不能直接合并，因此 ，D错误；
故答案为：C。
【分析】先明确二次根式的运算规则，同类二次根式才能加减合并，而乘法则是被开方数相乘、根指数不变；再用这两个规则逐一判断选项。
6．（2025八下·湛江期中）如图，点分别是边，的中点，连接．若，，则等于（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：根据三角形内角和为180°，已知∠A = 60°，∠B = 50°，可得：
∵ D、E分别是AB、AC的中点，所以DE是△ABC的中位线，根据中位线定理，DE∥BC。
∵ DE∥BC，∠AED与∠ACB是同位角，根据“两直线平行，同位角相等”，可得：
故答案为：C。
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ACB，再利用三角形中位线定理得到 DE∥BC，最后根据平行线的同位角相等，得出∠AED 与∠ACB 相等，从而得到答案。
7．（2025八下·湛江期中）已知，在中，对角线与相交于点，添加一个条件后，为矩形，则这个条件可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、AO ⊥ BO，说明对角线互相垂直，这是菱形的判定条件，不能判定平行四边形 ABCD 为矩形，故A不符合题意 ；
B、AO = CO，这是平行四边形本身就具备的性质（平行四边形对角线互相平分），添加后无额外判定作用，故B不符合题意 ；
C、AC = BC，仅说明一条对角线与一条边相等，无法判定平行四边形为矩形，故C不符合题意 ；
D、AC = BD，符合 “对角线相等的平行四边形是矩形” 的判定定理，可判定平行四边形 ABCD 为矩形，故D符合题意 ；
故答案为：D。
【分析】先明确矩形的判定定理—— 对角线相等的平行四边形是矩形，再逐一分析选项即可。
8．（2025八下·湛江期中）已知，，则的值是（　　）
A．2 B． C．4 D．8
【答案】D
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：根据完全平方公式 ，可将原式 整理为 。
已知 ，，先计算 ：再将结果代入变形后的式子：；
故答案为：D。
【分析】本题的核心是利用完全平方公式对代数式进行变形，简化计算。先将 转化为 ，再代入 、 的值进行计算。
9．（2025八下·湛江期中）嘉淇学习了“数轴上的点与实数是一一对应的关系”后，便尝试在数轴上找一个表示无理数的点．如图，数轴的原点为O，中，，边在数轴上，，以点O为圆心，长为半径作弧，交数轴负半轴于点C，则点C所表示的数介于（　　）
A．和之间 B．和之间
C．和之间 D．和之间
【答案】C
【知识点】实数在数轴上表示；无理数的估值；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：在中，，，
∴，
∴数轴上点C所表示的数为：，
∵，，而，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】根据勾股定理可得OB，则数轴上点C所表示的数为：，再估算无理数的范围即可求出答案.
10．（2025八下·湛江期中）如图，在菱形中，、分别是边、上的动点，连接，，、分别为、的中点，连接．若，，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解： 解：如图，连接，
G、H分别是AE、EF的中点， GH是△AEF的中位线。根据中位线定理，可得AF = 2GH。因此，当AF取得最小值时，GH也取得最小值。
点F是BC上的动点，根据“垂线段最短”，当AF⊥BC时，AF的长度最小。
已知四边形ABCD是菱形，∠D = 45°，AD = 4，所以AB = AD = 4，∠B = ∠D = 45°。
当AF⊥BC时，△ABF为等腰直角三角形，此时AF = BF。
由勾股定理可得：；
由AF = 2GH，代入AF的最小值：；
故答案为：D。
【分析】本题的核心是利用三角形中位线定理，将求GH的最小值转化为求AF的最小值，再根据“垂线段最短”的性质，找到AF的最小值，最后通过中位线关系求出GH的最小值。
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（2025八下·湛江期中）若二次根式有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：.
故答案为：.
【分析】根据二次根式有意义的条件（被开方数必须是非负数），列出不等式 x+11≥0，解这个不等式就能直接得到x 的取值范围。
12．（2025八下·湛江期中）如图，在矩形中，，，，则矩形的面积是　 　。
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
矩形的面积是
故答案为：．
【分析】根据矩形性质可得，再根据含30°角的直角三角形性质，根据勾股定理可得AD，根据角之间的关系可得∠BEC，再根据含30°角的直角三角形性质可得CE，根据勾股定理可得BE，根据边之间的关系可得AB，再根据矩形面积即可求出答案.
13．（2025八下·湛江期中）如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为，，，且，，则　 　．
【答案】7
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∵，
在中，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】利用勾股定理，结合正方形面积等于边长平方的性质，将直角三角形三边的平方关系转化为三个正方形的面积关系，再代入已知面积计算，即可求出 S2的值。
14．（2025八下·湛江期中）如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为24，则OH的长等于　 　．
【答案】3
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵对角线，
∵O为对角线与的交点，
∴
在Rt，H为AD边中点，
∴．
故答案为：3．
【分析】根据菱形性质可得，，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.
15．（2025八下·湛江期中）母亲节前，小敏准备制作一个如图1所示的正方体礼品盒包装好礼物后送给妈妈．他在如图2所示正方形纸板上设计出正方体纸盒的平面展开图，再进行裁剪折叠即可完成．已知正方形纸板边长为10分米，则这个礼品盒的边长　 　分米．
【答案】
【知识点】正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：如图所示：
设分米，
依题意得：和均为等腰三角形，正方形的边长为分米，
分米，分米，
在中，由勾股定理得：（分米），
在中，由勾股定理得：（分米），
又（分米），
，
解得：，
（分米），
即这个礼品盒的边长为分米．
故答案为：．
【分析】设分米，由题意可得和均为等腰三角形，正方形的边长为分米，则分米，分米，根据勾股定理可得EF，EG，再根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16．（2025八下·湛江期中）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式；
（2）解：原式．
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算；有理数的乘方法则；实数的绝对值；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）根据有理数的乘方，立方根，二次根式性质化简，再计算加减即可求出答案.
（2）根据0指数幂，绝对值，二次根式性质化简，再计算加减即可求出答案.
（1）解：原式；
（2）解：原式．
17．（2025八下·湛江期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且BE=DF．请判断AE与CF的数量关系，并说明理由．
【答案】解：AE=CF，AE∥CF．理由如下：
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC．
∵BE=DF，
∴CE=AF，
∴四边形AECF是平行四边形．
∴AE=CF．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形判定定理及性质即可求出答案.
18．（2025八下·湛江期中）如图，已知在中，，求的面积．
【答案】解：∵，
∴，
∴（负值舍去），
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∴的面积．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据勾股定理可得BD，再根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，，再根据三角形面积即可求出答案.
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．（2025八下·湛江期中）行文明之举，向高空抛物说“不”．近年来，因高空坠物造成伤害的事件频繁发生，为进一步研究高空抛物的危害，小亮请教了物理老师，得知高空抛物下落的速度（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响，），已知小亮家所住楼层的高度是．
（1）假如一个物品从小亮家坠落，求该物品落地时的速度（结果保留根号）．
（2）小明说他家所住楼层的高度是小亮家的2倍，所以两个相同的物品分别从他家和小亮家坠落，从他家坠落的物品落地时的速度将是从小亮家坠落的物品速度的2倍，请问小明的说法正确吗？判断并说明理由．
【答案】（1）解：根据题意得，．
把，，代入得
，
∴该楼层落地时的速度为．
（2）解：不正确，理由如下：
∵小明住的高度是小亮家的倍，
∴．
将的值代入公式中，得：
∴，
即小明家坠落的物品落地时的速度是小亮家坠落的物品速度的倍，而不是倍．因此，小明的说法不正确．
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【分析】（1）直接将已知的高度 和重力加速度 代入公式 ，计算出落地速度。
（2）先算出小明家的高度，再代入公式求出对应的速度，通过计算两者速度的比值，发现速度是 倍而非2倍，从而判断小明的说法不正确。
（1）解：根据题意得，．
把，，代入得
，
∴该楼层落地时的速度为．
（2）解：不正确，理由如下：
∵小明住的高度是小亮家的倍，
∴．
将的值代入公式中，得：
∴，
即小明家坠落的物品落地时的速度是小亮家坠落的物品速度的倍，而不是倍．因此，小明的说法不正确．
20．（2025八下·湛江期中）如图，在四边形中，与交于点，，，平分．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）为上一点，连接，若，，，求菱形的面积．
【答案】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：由（1）可知，四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
∴，
∴菱形的面积．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，即，再根据角平分线定义可得，则，再根据等角对等边可得，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据菱形性质可得，再根据勾股定理可得AO，BO，再根据菱形面积即可求出答案.
（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：由（1）可知，四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
∴，
∴菱形的面积．
21．（2025八下·湛江期中）阅读材料，回答问题：
（1）中国古代数学著作《周髀算经》（如图有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长分别为3和4，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在中，如果，，，，那么、、，三者之间的数量关系是　 　．
（2）对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整：
证明：，，　 　，且　 　　 　，
，
整理得，　 　．
（3）如图3，把矩形折叠，使点与点重合，折痕为，如果，，求的长．
【答案】（1）
（2）；；；
（3）解：如图，过点作于点，
由折叠的性质可知，，，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
设，则，
，
，
在中，，
，
解得：，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，
在中，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】（1）解：如果直角三角形两直角边长分别为3和4，那么斜边的长为5．
，，
直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方，
在中，如果，，，，那么、、，三者之间的数量关系是，
故答案为：；
（2）证明：，，，且，
，
整理得，
．
故答案为：；；；
【分析】 (1) 根据 “勾三股四弦五” 的实例，直接归纳出直角三角形三边的数量关系：a2+b2=c2。
(2) 利用 “赵爽弦图” 的面积法，通过大正方形的面积等于四个直角三角形与小正方形的面积之和，列出等式并化简，从而证明勾股定理。
(3) 先利用矩形折叠的性质和勾股定理求出线段 AE 的长度，再通过构造直角三角形，再次运用勾股定理计算出折痕 EF 的长度。
（1）解：如果直角三角形两直角边长分别为3和4，那么斜边的长为5．
，，
直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方，
在中，如果，，，，那么、、，三者之间的数量关系是，
故答案为：；
（2）证明：，，，且，
，
整理得，
．
（3）解：如图，过点作于点，
由折叠的性质可知，，，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
设，则，
，
，
在中，，
，
解得：，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，
在中，
五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22．（2025八下·湛江期中）如图，四边形中，，，，，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作于点P，连接交于点Q，连接．设运动时间为t秒．
（1）________，________．（用含t的代数式表示）
（2）当四边形为平行四边形时，求t的值．
（3）如图，当M和N在运动的过程中，是否存在某时刻t，使为直角三角形，若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）解：∵当四边形为平行四边形时，，
根据（1）可算出，
∴，
解得．

（3）或2
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定与性质；等腰直角三角形；四边形-动点问题
【解析】【解答】（1）解：由题意得，
，
，
，
，
∴四边形为矩形，
，
故答案为：；
（3）由其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动可知，，
∵，
∴为等腰直角三角形，即：，
则也是等腰直角三角形，
，
∵此种情况不存在；
①当时，∵，
∴，为等腰直角三角形，
则，
∴，
解得；
②当时，∵，
∴，为等腰直角三角形，
则，
∴，
解得：；
综上，当或2时，为直角三角形．
【分析】（1）由题意得，根据两点间距离可得AB，再根据矩形判定定理及性质即可求出答案.
（2）根据平行四边形性质建立方程，解方程即可求出答案.
（3）由其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动可知，，根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，即：，则也是等腰直角三角形，即，分情况讨论：①当时，②当时，根据等腰直角三角形性质建立方程，解方程即可求出答案.
23．（2025八下·湛江期中）我们知道，平行四边形的对边平行且相等，利用这一性质，可以为证明线段之间的位置关系和数量关系提供帮助．
重温定理，识别图形
（1）如图1，我们在探究三角形中位线和第三边的关系时，所作的辅助线为“延长到点，使，连接”，此时与在同一直线上且，又可证图中的四边形______为平行四边形，可得与的关系是______，于是推导出了“，”．
寻找图形，完成证明
（2）如图2，四边形和四边形都是菱形，是等边三角形，，连接、．求证：．
构造图形，解决问题．
（3）如图3，四边形和四边形都是正方形，连接、．直接写出与的数量关系．
【答案】解：（1）BCFD，平行且相等；
（2）连接BH，
∵是等边三角形，
∴∠EBH=∠ABC=60°，BE=BH=EH，
∴∠ABE＝∠CBH，
又∵AB＝BC，
∴△AEB≌△CHB（SAS），
∴CH＝AE＝EF，∠CHB＝∠AEB，
∵∠CHE＝∠CHB ∠BHE＝∠AEB 60°，°
∠FEH＝360° ∠AEF ∠AEB ∠BEH＝240° ∠AEB，
∴∠CHE＋∠FEH＝180°，°
∴CH∥EF且CH＝EF，
∴四边形EFCH是平行四边形，
∴CF＝EH=BE；
（3）证明：BE绕点B逆时针旋转90°，得到BH，连接EH，CH，则△BEH是等腰直角三角形，
∵四边形ABCD是正方形
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，即∠ABE＋∠CBE＝90°，
∵△BEH是等腰直角三角形，
∴EH＝BE＝BH，∠BEH＝∠BHE＝45°，∠EBH＝90°，即∠CBH＋∠CBE＝90°
∴∠ABE＝∠CBH，
在△ABE 和△CBH 中，
，
∴△ABE≌△CBH（SAS），
∴AE＝CH，∠AEB＝∠CHB，
∴∠CHE＝∠CHB ∠BHE＝∠CHB 45°＝∠AEB 45°，°
∵四边形AEFG是正方形，
∴AE＝EF，∠AEF＝90°，
∴EF＝HC，∠FEH＝360° ∠AEF ∠AEB ∠BEH＝225° ∠AEB，
∴∠CHE＋∠FEH＝∠AEB 45°＋225° ∠AEB＝180°，
∴EF∥HC 且 EF＝HC，
∴四边形EFCH是平行四边形，
∴CF＝EH＝BE；
【知识点】平行四边形的判定；正方形的性质；三角形的中位线定理；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）∵AE＝CE，DE＝EF，∠AED＝∠CEF，
∴△AED≌△CEF（SAS），
∴AD＝CF，∠ADE＝∠F，
∴BD∥CF，
∵AD＝BD，
∴BD＝CF，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴DF＝BC，DF∥BC，
故答案为：BCFD，平行且相等；
【分析】(1) 通过构造辅助线，证明四边形 BCFD 为平行四边形，利用平行四边形对边平行且相等的性质，推导出三角形中位线定理。
(2) 先连接 BH，利用等边三角形和菱形的性质证明△ABE △CBH，再通过角的关系证明四边形 EFCH 是平行四边形，从而得到 CF = BE。
(3) 采用与第 (2) 问类似的构造方法，通过证明△ABE △CBH，得出四边形 EFCH 是平行四边形，进而得到 CF =BE。
1 / 1广东省/湛江市六校联考2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
1．（2025八下·湛江期中）下列式子中，是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·湛江期中）下列各组数中，是勾股数的是（　　）
A．6、7、10 B．12、16、20 C．1、2、3 D．4、5、8
3．（2025八下·湛江期中）计算的结果为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·湛江期中）如图，四边形是平行四边形，点在线段的延长线上，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·湛江期中）下列计算中正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·湛江期中）如图，点分别是边，的中点，连接．若，，则等于（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
7．（2025八下·湛江期中）已知，在中，对角线与相交于点，添加一个条件后，为矩形，则这个条件可以是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025八下·湛江期中）已知，，则的值是（　　）
A．2 B． C．4 D．8
9．（2025八下·湛江期中）嘉淇学习了“数轴上的点与实数是一一对应的关系”后，便尝试在数轴上找一个表示无理数的点．如图，数轴的原点为O，中，，边在数轴上，，以点O为圆心，长为半径作弧，交数轴负半轴于点C，则点C所表示的数介于（　　）
A．和之间 B．和之间
C．和之间 D．和之间
10．（2025八下·湛江期中）如图，在菱形中，、分别是边、上的动点，连接，，、分别为、的中点，连接．若，，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（2025八下·湛江期中）若二次根式有意义，则x的取值范围是　 　．
12．（2025八下·湛江期中）如图，在矩形中，，，，则矩形的面积是　 　。
13．（2025八下·湛江期中）如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为，，，且，，则　 　．
14．（2025八下·湛江期中）如图所示，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为24，则OH的长等于　 　．
15．（2025八下·湛江期中）母亲节前，小敏准备制作一个如图1所示的正方体礼品盒包装好礼物后送给妈妈．他在如图2所示正方形纸板上设计出正方体纸盒的平面展开图，再进行裁剪折叠即可完成．已知正方形纸板边长为10分米，则这个礼品盒的边长　 　分米．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16．（2025八下·湛江期中）计算：
（1）；
（2）．
17．（2025八下·湛江期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且BE=DF．请判断AE与CF的数量关系，并说明理由．
18．（2025八下·湛江期中）如图，已知在中，，求的面积．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．（2025八下·湛江期中）行文明之举，向高空抛物说“不”．近年来，因高空坠物造成伤害的事件频繁发生，为进一步研究高空抛物的危害，小亮请教了物理老师，得知高空抛物下落的速度（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响，），已知小亮家所住楼层的高度是．
（1）假如一个物品从小亮家坠落，求该物品落地时的速度（结果保留根号）．
（2）小明说他家所住楼层的高度是小亮家的2倍，所以两个相同的物品分别从他家和小亮家坠落，从他家坠落的物品落地时的速度将是从小亮家坠落的物品速度的2倍，请问小明的说法正确吗？判断并说明理由．
20．（2025八下·湛江期中）如图，在四边形中，与交于点，，，平分．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）为上一点，连接，若，，，求菱形的面积．
21．（2025八下·湛江期中）阅读材料，回答问题：
（1）中国古代数学著作《周髀算经》（如图有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长分别为3和4，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在中，如果，，，，那么、、，三者之间的数量关系是　 　．
（2）对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整：
证明：，，　 　，且　 　　 　，
，
整理得，　 　．
（3）如图3，把矩形折叠，使点与点重合，折痕为，如果，，求的长．
五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22．（2025八下·湛江期中）如图，四边形中，，，，，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作于点P，连接交于点Q，连接．设运动时间为t秒．
（1）________，________．（用含t的代数式表示）
（2）当四边形为平行四边形时，求t的值．
（3）如图，当M和N在运动的过程中，是否存在某时刻t，使为直角三角形，若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
23．（2025八下·湛江期中）我们知道，平行四边形的对边平行且相等，利用这一性质，可以为证明线段之间的位置关系和数量关系提供帮助．
重温定理，识别图形
（1）如图1，我们在探究三角形中位线和第三边的关系时，所作的辅助线为“延长到点，使，连接”，此时与在同一直线上且，又可证图中的四边形______为平行四边形，可得与的关系是______，于是推导出了“，”．
寻找图形，完成证明
（2）如图2，四边形和四边形都是菱形，是等边三角形，，连接、．求证：．
构造图形，解决问题．
（3）如图3，四边形和四边形都是正方形，连接、．直接写出与的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：，不符合二次根式的形式，不是二次根式；
中根指数是3，不是二次根式；
是二次根式．
故选：D．
【分析】根据二次根式定义即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】勾股数
【解析】【解答】解：A.62+72=85，102=100，所以62+72≠102，不是勾股数，故不符合；
B.122+162=400=202，是勾股数，故符合；
C.12+22=5，32=9，12+22≠32，不是勾股数，故不符合；
D.42+52=41，82=64，42+52≠82，不是勾股数，故不符合.
故答案为：B.
【分析】分别求两个较小的数的平方和，与最大的数的平方比较，相等的是勾股数，否则不是勾股数.
3．【答案】A
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：二次根式乘法的核心是“被开方数相乘，根指数不变”。将 ， 代入法则，可得 。计算被开方数的乘积，，因此结果为 。
故答案为：A。
【分析】二次根式相乘时，被开方数相乘，根指数保持不变，即 （其中 ，）。
4．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：已知∠BCE = 62°，且点 E 在 DC 的延长线上，因此∠BCE 与∠BCD 互为邻补角，它们的和为 180°。由此可得：∠BCD = 180° - 62° = 118°。
平行四边形对角相等：在平行四边形 ABCD 中，对角∠A 与∠BCD 是相等的。
所以，∠A = ∠BCD = 118°。
故答案为：D。
【分析】这道题的核心是利用平行四边形的性质和邻补角的定义来求解角度，先求出与已知角相关的平行四边形内角，再利用平行四边形对角相等的性质得到最终结果。
5．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、 与 不是同类二次根式，不能直接合并，因此 ，A错误；
B、 与 不是同类二次根式，不能直接合并，因此 ，B错误；
C、根据二次根式乘法法则 （），可得：，C正确；
D、 与 不是同类二次根式，不能直接合并，因此 ，D错误；
故答案为：C。
【分析】先明确二次根式的运算规则，同类二次根式才能加减合并，而乘法则是被开方数相乘、根指数不变；再用这两个规则逐一判断选项。
6．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：根据三角形内角和为180°，已知∠A = 60°，∠B = 50°，可得：
∵ D、E分别是AB、AC的中点，所以DE是△ABC的中位线，根据中位线定理，DE∥BC。
∵ DE∥BC，∠AED与∠ACB是同位角，根据“两直线平行，同位角相等”，可得：
故答案为：C。
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ACB，再利用三角形中位线定理得到 DE∥BC，最后根据平行线的同位角相等，得出∠AED 与∠ACB 相等，从而得到答案。
7．【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、AO ⊥ BO，说明对角线互相垂直，这是菱形的判定条件，不能判定平行四边形 ABCD 为矩形，故A不符合题意 ；
B、AO = CO，这是平行四边形本身就具备的性质（平行四边形对角线互相平分），添加后无额外判定作用，故B不符合题意 ；
C、AC = BC，仅说明一条对角线与一条边相等，无法判定平行四边形为矩形，故C不符合题意 ；
D、AC = BD，符合 “对角线相等的平行四边形是矩形” 的判定定理，可判定平行四边形 ABCD 为矩形，故D符合题意 ；
故答案为：D。
【分析】先明确矩形的判定定理—— 对角线相等的平行四边形是矩形，再逐一分析选项即可。
8．【答案】D
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：根据完全平方公式 ，可将原式 整理为 。
已知 ，，先计算 ：再将结果代入变形后的式子：；
故答案为：D。
【分析】本题的核心是利用完全平方公式对代数式进行变形，简化计算。先将 转化为 ，再代入 、 的值进行计算。
9．【答案】C
【知识点】实数在数轴上表示；无理数的估值；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：在中，，，
∴，
∴数轴上点C所表示的数为：，
∵，，而，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】根据勾股定理可得OB，则数轴上点C所表示的数为：，再估算无理数的范围即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解： 解：如图，连接，
G、H分别是AE、EF的中点， GH是△AEF的中位线。根据中位线定理，可得AF = 2GH。因此，当AF取得最小值时，GH也取得最小值。
点F是BC上的动点，根据“垂线段最短”，当AF⊥BC时，AF的长度最小。
已知四边形ABCD是菱形，∠D = 45°，AD = 4，所以AB = AD = 4，∠B = ∠D = 45°。
当AF⊥BC时，△ABF为等腰直角三角形，此时AF = BF。
由勾股定理可得：；
由AF = 2GH，代入AF的最小值：；
故答案为：D。
【分析】本题的核心是利用三角形中位线定理，将求GH的最小值转化为求AF的最小值，再根据“垂线段最短”的性质，找到AF的最小值，最后通过中位线关系求出GH的最小值。
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：.
故答案为：.
【分析】根据二次根式有意义的条件（被开方数必须是非负数），列出不等式 x+11≥0，解这个不等式就能直接得到x 的取值范围。
12．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
矩形的面积是
故答案为：．
【分析】根据矩形性质可得，再根据含30°角的直角三角形性质，根据勾股定理可得AD，根据角之间的关系可得∠BEC，再根据含30°角的直角三角形性质可得CE，根据勾股定理可得BE，根据边之间的关系可得AB，再根据矩形面积即可求出答案.
13．【答案】7
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∵，
在中，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】利用勾股定理，结合正方形面积等于边长平方的性质，将直角三角形三边的平方关系转化为三个正方形的面积关系，再代入已知面积计算，即可求出 S2的值。
14．【答案】3
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵对角线，
∵O为对角线与的交点，
∴
在Rt，H为AD边中点，
∴．
故答案为：3．
【分析】根据菱形性质可得，，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：如图所示：
设分米，
依题意得：和均为等腰三角形，正方形的边长为分米，
分米，分米，
在中，由勾股定理得：（分米），
在中，由勾股定理得：（分米），
又（分米），
，
解得：，
（分米），
即这个礼品盒的边长为分米．
故答案为：．
【分析】设分米，由题意可得和均为等腰三角形，正方形的边长为分米，则分米，分米，根据勾股定理可得EF，EG，再根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
16．【答案】（1）解：原式；
（2）解：原式．
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算；有理数的乘方法则；实数的绝对值；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）根据有理数的乘方，立方根，二次根式性质化简，再计算加减即可求出答案.
（2）根据0指数幂，绝对值，二次根式性质化简，再计算加减即可求出答案.
（1）解：原式；
（2）解：原式．
17．【答案】解：AE=CF，AE∥CF．理由如下：
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC．
∵BE=DF，
∴CE=AF，
∴四边形AECF是平行四边形．
∴AE=CF．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形判定定理及性质即可求出答案.
18．【答案】解：∵，
∴，
∴（负值舍去），
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
∴的面积．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据勾股定理可得BD，再根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，，再根据三角形面积即可求出答案.
19．【答案】（1）解：根据题意得，．
把，，代入得
，
∴该楼层落地时的速度为．
（2）解：不正确，理由如下：
∵小明住的高度是小亮家的倍，
∴．
将的值代入公式中，得：
∴，
即小明家坠落的物品落地时的速度是小亮家坠落的物品速度的倍，而不是倍．因此，小明的说法不正确．
【知识点】二次根式的实际应用
【解析】【分析】（1）直接将已知的高度 和重力加速度 代入公式 ，计算出落地速度。
（2）先算出小明家的高度，再代入公式求出对应的速度，通过计算两者速度的比值，发现速度是 倍而非2倍，从而判断小明的说法不正确。
（1）解：根据题意得，．
把，，代入得
，
∴该楼层落地时的速度为．
（2）解：不正确，理由如下：
∵小明住的高度是小亮家的倍，
∴．
将的值代入公式中，得：
∴，
即小明家坠落的物品落地时的速度是小亮家坠落的物品速度的倍，而不是倍．因此，小明的说法不正确．
20．【答案】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：由（1）可知，四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
∴，
∴菱形的面积．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，即，再根据角平分线定义可得，则，再根据等角对等边可得，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）根据菱形性质可得，再根据勾股定理可得AO，BO，再根据菱形面积即可求出答案.
（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：由（1）可知，四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：
，
∴，
∴菱形的面积．
21．【答案】（1）
（2）；；；
（3）解：如图，过点作于点，
由折叠的性质可知，，，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
设，则，
，
，
在中，，
，
解得：，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，
在中，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】（1）解：如果直角三角形两直角边长分别为3和4，那么斜边的长为5．
，，
直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方，
在中，如果，，，，那么、、，三者之间的数量关系是，
故答案为：；
（2）证明：，，，且，
，
整理得，
．
故答案为：；；；
【分析】 (1) 根据 “勾三股四弦五” 的实例，直接归纳出直角三角形三边的数量关系：a2+b2=c2。
(2) 利用 “赵爽弦图” 的面积法，通过大正方形的面积等于四个直角三角形与小正方形的面积之和，列出等式并化简，从而证明勾股定理。
(3) 先利用矩形折叠的性质和勾股定理求出线段 AE 的长度，再通过构造直角三角形，再次运用勾股定理计算出折痕 EF 的长度。
（1）解：如果直角三角形两直角边长分别为3和4，那么斜边的长为5．
，，
直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方，
在中，如果，，，，那么、、，三者之间的数量关系是，
故答案为：；
（2）证明：，，，且，
，
整理得，
．
（3）解：如图，过点作于点，
由折叠的性质可知，，，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
设，则，
，
，
在中，，
，
解得：，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，
在中，
22．【答案】（1）
（2）解：∵当四边形为平行四边形时，，
根据（1）可算出，
∴，
解得．

（3）或2
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定与性质；等腰直角三角形；四边形-动点问题
【解析】【解答】（1）解：由题意得，
，
，
，
，
∴四边形为矩形，
，
故答案为：；
（3）由其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动可知，，
∵，
∴为等腰直角三角形，即：，
则也是等腰直角三角形，
，
∵此种情况不存在；
①当时，∵，
∴，为等腰直角三角形，
则，
∴，
解得；
②当时，∵，
∴，为等腰直角三角形，
则，
∴，
解得：；
综上，当或2时，为直角三角形．
【分析】（1）由题意得，根据两点间距离可得AB，再根据矩形判定定理及性质即可求出答案.
（2）根据平行四边形性质建立方程，解方程即可求出答案.
（3）由其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动可知，，根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，即：，则也是等腰直角三角形，即，分情况讨论：①当时，②当时，根据等腰直角三角形性质建立方程，解方程即可求出答案.
23．【答案】解：（1）BCFD，平行且相等；
（2）连接BH，
∵是等边三角形，
∴∠EBH=∠ABC=60°，BE=BH=EH，
∴∠ABE＝∠CBH，
又∵AB＝BC，
∴△AEB≌△CHB（SAS），
∴CH＝AE＝EF，∠CHB＝∠AEB，
∵∠CHE＝∠CHB ∠BHE＝∠AEB 60°，°
∠FEH＝360° ∠AEF ∠AEB ∠BEH＝240° ∠AEB，
∴∠CHE＋∠FEH＝180°，°
∴CH∥EF且CH＝EF，
∴四边形EFCH是平行四边形，
∴CF＝EH=BE；
（3）证明：BE绕点B逆时针旋转90°，得到BH，连接EH，CH，则△BEH是等腰直角三角形，
∵四边形ABCD是正方形
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，即∠ABE＋∠CBE＝90°，
∵△BEH是等腰直角三角形，
∴EH＝BE＝BH，∠BEH＝∠BHE＝45°，∠EBH＝90°，即∠CBH＋∠CBE＝90°
∴∠ABE＝∠CBH，
在△ABE 和△CBH 中，
，
∴△ABE≌△CBH（SAS），
∴AE＝CH，∠AEB＝∠CHB，
∴∠CHE＝∠CHB ∠BHE＝∠CHB 45°＝∠AEB 45°，°
∵四边形AEFG是正方形，
∴AE＝EF，∠AEF＝90°，
∴EF＝HC，∠FEH＝360° ∠AEF ∠AEB ∠BEH＝225° ∠AEB，
∴∠CHE＋∠FEH＝∠AEB 45°＋225° ∠AEB＝180°，
∴EF∥HC 且 EF＝HC，
∴四边形EFCH是平行四边形，
∴CF＝EH＝BE；
【知识点】平行四边形的判定；正方形的性质；三角形的中位线定理；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）∵AE＝CE，DE＝EF，∠AED＝∠CEF，
∴△AED≌△CEF（SAS），
∴AD＝CF，∠ADE＝∠F，
∴BD∥CF，
∵AD＝BD，
∴BD＝CF，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴DF＝BC，DF∥BC，
故答案为：BCFD，平行且相等；
【分析】(1) 通过构造辅助线，证明四边形 BCFD 为平行四边形，利用平行四边形对边平行且相等的性质，推导出三角形中位线定理。
(2) 先连接 BH，利用等边三角形和菱形的性质证明△ABE △CBH，再通过角的关系证明四边形 EFCH 是平行四边形，从而得到 CF = BE。
(3) 采用与第 (2) 问类似的构造方法，通过证明△ABE △CBH，得出四边形 EFCH 是平行四边形，进而得到 CF =BE。
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