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广东省潮州市饶平县2024--2025学年八年级下学期数学期中测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）。
1．（2025八下·饶平期中）下列给出的式子是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·饶平期中）设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c．已知，，则b为（　　）．
A．8 B．10 C．12 D．18
3．（2025八下·饶平期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·饶平期中）已知 ABCD中，∠B=4∠A，则∠D=（　　）
A．18° B．36° C．72° D．144°
5．（2025八下·饶平期中） 的近似值在（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
6．（2025八下·饶平期中）如图，矩形的对角线，相交于点，，若，则的长为（　　）．
A． B． C．10 D．20
7．（2025八下·饶平期中）在二次根式①②③④中，最简二次根式是（　　）
A．①② B．③④ C．①③ D．①④
8．（2025八下·饶平期中）如图，四边形是菱形，，，则点C的坐标为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八下·饶平期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它由四个全等的直角三角形拼接而成．点E，F，G，H分别是AF，BG，CH，DE的中点，点M，N，P，Q分别是HE，EF，FG，GH上的中点，且四边形MNPQ是正方形，已知正方形ABCD的面积为20，则正方形MNPQ的面积是（　　）．
A．2 B．1 C． D．
10．（2025八下·饶平期中）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，且，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，下列结论：
①；②≌；
③；④．
其中正确的结论是（　　）．
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共16分）。
11．（2025八下·饶平期中）使有意义的x的取值范围是　 　．
12．（2025八下·饶平期中）如图，菱形ABCD中，AC＝6cm，BD＝8cm，则此菱形的边长等于　 　cm．
13．（2025八下·饶平期中）如图，在一个高为，斜坡长为的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度为　 　．
14．（2025八下·饶平期中）如图，四边形是正方形，以点O为圆心，的长为半径画弧交数轴的负半轴于点A，则点A表示的数是　 　．
15．（2025八下·饶平期中）如图，正方形，，，．．．．，，按如图所示放置，使点、、、．．．．．．．，在射线OA上，点、、、．．．．．．，在射线OB上．若，，图中阴影部分三角形的面积由小到大依次记作，，，．．．．．．．．．，，则　 　．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每题7分，共21分）。
16．（2025八下·饶平期中）计算：
17．（2025八下·饶平期中）如图，，，且，求证：四边形是平行四边形．
18．（2025八下·饶平期中）如图，在中，，，，于点，分别求出、的长．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每题9分，共27分）。
19．（2025八下·饶平期中）如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为．
（1）求长方形空地的周长；（结果化为最简二次根式）
（2）已知李明家种植的草莓售价为8元/千克，且每平方米产草莓15千克，若李明家将所种的草莓全部销售完，销售收入为多少元？
20．（2025八下·饶平期中）如图，四边形中，ABDC，，于点．
（1）用尺规作的角平分线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接．求证：四边形是菱形．
21．（2025八下·饶平期中）【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦-秦九铝公式”﹔如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．
【解决问题】：已知如图在中，，，．
（1）请你用“海伦-秦九韶公式”求的面积．
（2）除了利用“海伦-秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法．
五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）。
22．（2025八下·饶平期中）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，形如，如果你能找到两个数m，n，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．
例如化简且，，
．
（1）横线填上适当的数：____________．
（2）化简．
（3）当时，求的值．
23．（2025八下·饶平期中）综合与实践
问题情境：在数学活动课上，数学老师让同学们用一张矩形纸片进行探究活动．
小亮准备了矩形纸片，其中是的中点，将沿折叠，点的对应点为．
观察发现：（1）如图1，当点恰好在边上时，小亮发现与存在一定的数量关系，其数量关系是______．
探索猜想：（2）如图2，当点在矩形内部时，延长交边于点．试猜想线段与之间的数量关系，并说明理由．
拓展延伸：（3）当点在矩形内部时，若，直接写出线段与的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：A．不是二次根式，故本选项不符合题意；
B．是二次根式，故本选项符合题意；
C．∵，
∴不是二次根式，故本选项不符合题意；
D．∵，
∴不是二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
【分析】根据二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理可得：，
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理可直接得出答案.
3．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A.不能运算，原运算错误；
B.，原运算错误；
C.不能运算，原运算错误；
D.，运算正确；
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的性质、二次根式的乘法计算方法逐项分析判断即可.
4．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形BCDA是平行四边形，
∴AD∥CB，∠B=∠D，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠B=4∠A，
∴∠A+4∠A=180°，
解得：∠A=36°，
∴∠B=144°，
∴∠D=144°，
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形的性质得到对角相等，对边平行，得到∠A+∠B=180°，由∠B=4∠A，求出∠D=∠B的度数.
5．【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的加减法
【解析】【解答】 .
∵4＜8＜9，
∴ ，
即 .
故答案为：B.
【分析】先将 化为最简二次根式，再合并同类二次根式得出原式 ，然后利用夹值法即可求解
6．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=2AO=10，，AB=CD，
又∵，
∴在RtADC中，
∴，
∴，
∴；
故答案为：B．
【分析】先利用含30°角的直角三角形的性质可得，再利用勾股定理求出CD的长，从而可得答案.
7．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：①是最简二次根式；
②，被开方数含分母，不是最简二次根式；
③是最简二次根式；
④，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式．
①③是最简二次根式．
故选C．
【分析】根据最简二次根式定义即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】点的坐标；菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，，
∴点C的坐标为，
故答案为：C．
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用菱形的性质可得，，最后可得点C的坐标.
9．【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵E为AF的中点，DE=AF，∴AE=DE，
∵正方形ABCD面积为20，
∴AD=2，
在Rt△ADE中，
设AE=x，则DE=2x，
根据勾股定理得：AD2=AE2+DE2，
即20=x2+4x2，
解得：x=2，
∴AE=EF=2，
∴正方形EFGH的面积为4，
∵正方形MNQP为正方形EFGH的中点四边形，
∴正方形MNQP的面积为2．
故答案为：A.
【分析】设AE=x，则DE=2x，利用勾股定理可得AD2=AE2+DE2，即20=x2+4x2，求出x的值，可得AE=EF=2，最后求出正方形MNQP的面积为2即可．
10．【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∵将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，
∴，即，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，
∴，，
，
∴，
∴①正确；
∵将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，
∴，
∴．
在和中，
，
∴≌，
∴②正确；
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴③正确；
∵，，，
∴，
∴的面积为，
∵将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，
∴的面积为，
∴，
∴④正确；
故选：A．
【分析】根据折叠性质可得，即，根据矩形性质可得，，则，再根据折叠性质可得，，，再根据含30°角的直角三角形性质可判断①；根据折叠性质可得，再根据全等三角形判定定理可判断②；根据含30°角的直角三角形性质可得，，再根据边之间的关系可判断③；根据含30°角的直角三角形性质可得BF，再根据三角形面积可得的面积为，再根据折叠性质可得的面积为，再根据割补法即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：；
故答案为：．
【分析】根据二次根式有意义的条件得到，求出x的取值范围解题即可．
12．【答案】5
【知识点】菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC、BD互相垂直平分，
∴BO＝BD＝×8＝4（cm），CO＝AC＝×6＝3（cm），
在△BCO中，由勾股定理，可得
BC＝（cm），
故答案为：5．
【分析】先利用菱形的性质可得BO和CO的长，再利用勾股定理求出BC的长即可.
13．【答案】7
【知识点】勾股定理的实际应用-台阶问题
【解析】【解答】解：如图所示，
∵，
∴，
由平移可知楼梯表面的地毯长度等于线段的长度之和，即为；
故答案为：7．
【分析】结合图形先利用勾股定理求出BC的长，再利用平移的性质求出地毯的长度即可.
14．【答案】
【知识点】运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵点A在原点左侧，
∴点A表示的数是．
故答案为：
【分析】根据勾股定理可得OB，再根据数轴上点的位置即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；探索数与式的规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由正方形的性质，，可知：
；
；
同理，；
；
……
∴可推导一般性规律为：；
由题意知，阴影部分均为等腰直角三角形，
∴；
；
；
；
…...
∴可推导一般性规律为：，
∴，
故答案为：．
【分析】先求出规律，再利用三角形的面积公式求出，最后求出即可.
16．【答案】解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】先利用完全平方公式和平方差公式展开，再利用二次根式的混合运算的计算方法求解即可.
17．【答案】证明：∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；平行四边形的判定
【解析】【分析】先利用“HL”证出，利用全等三角形的性质可得，再结合AD//BC，即可证出四边形是平行四边形．
18．【答案】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【分析】利用勾股定理求出AC的长，再利用三角形的面积公式列出方程，积，最后求出CD的长即可.
19．【答案】（1）解：由题意得，长方形空地的周长
；
答： 长方形空地的周长为
（2）解：由题意得：，，
∴
元，
答：李明家将所种的草莓全部销售完，销售收入为4680元．
【知识点】二次根式的实际应用；矩形的性质
【解析】【分析】
（1）先根据长方形周长计算公式列式，由于长和宽都不是最简二次根式，所以需要对其化简，最后还需对同类二次根式进行合并；
（2）先利用二次根式的乘法运算法则和平方差公式求出种植草莓的面积，再根据草莓的售价和产量进行求解即可．
（1）解：由题意得，长方形空地的周长
；
（2）解：由题意得：，
，
∴
元，
答：李明家将所种的草莓全部销售完，销售收入为4680元．
20．【答案】（1）解：如图所示．
（2）证明：是的角平分线，
，
∵ABCD，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
平行四边形为菱形．
【知识点】菱形的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）利用角平分线的作图方法和步骤作出∠B的角平分线即可；
（2）先证出四边形为平行四边形，再结合AB=BC，即可证出平行四边形为菱形．
21．【答案】（1）解：∵三角形三边长分别为4、5、7，
∴
∴
（2）解：过C作于H，设，则，
在中，，
在中，，
∴，
解得：．
在中，，
∴．
【知识点】二次根式的实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据海伦-秦九韶公式计算即可求出答案.
（2）过C作于H，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程可得x，再根据勾股定理可得CH，再根据三角形面积即可求出答案.
22．【答案】（1）
（2）解：
．
（3）解：，
．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】（1）解：，
故答案为：.
【分析】（1）参照题干中的定义及计算方法列出算式，再利用二次根式的性质求解即可；
（2）参照题干中的定义及计算方法列出算式，再利用二次根式的性质求解即可；
（3）参照题干中的定义及计算方法列出算式，再利用二次根式的性质求解即可.
（1）解：，
故答案为：；
（2）解：
．
（3）解：，
．
23．【答案】（1）；
（2）．证明如下：
如图，连接，
在矩形中，，，．
∵是的中点，
∴．
∵沿折叠后得到，
∴，，，
∴．
在和中，，，
∴，
∴，
∴．
（3）
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1）在矩形中，
∵是的中点，
∴，
∵将沿折叠
∴，，
∴，
∴四边形矩形，
∵，
∴矩形是正方形，
∴，
∴．
答案为：．
（3）．证明如下：
设，，
∴．
由（2）得，
∴，．
在中，由勾股定理，得，
∴，
∴．
∵，
∴，
即．
∵，
∴．
【分析】（1）根据矩形性质可得，再根据折叠性质可得，，再根据正方形判定定理及性质即可求出答案.
（2）连接，根据矩形性质可得，，，，再根据折叠性质可得，，，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）设，，则．根据边之间的关系可得，，再根据勾股定理建立方程，化简可得，即，再根据边之间的关系即可求出答案.
1 / 1广东省潮州市饶平县2024--2025学年八年级下学期数学期中测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）。
1．（2025八下·饶平期中）下列给出的式子是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：A．不是二次根式，故本选项不符合题意；
B．是二次根式，故本选项符合题意；
C．∵，
∴不是二次根式，故本选项不符合题意；
D．∵，
∴不是二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B．
【分析】根据二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案.
2．（2025八下·饶平期中）设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c．已知，，则b为（　　）．
A．8 B．10 C．12 D．18
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理可得：，
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理可直接得出答案.
3．（2025八下·饶平期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A.不能运算，原运算错误；
B.，原运算错误；
C.不能运算，原运算错误；
D.，运算正确；
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的性质、二次根式的乘法计算方法逐项分析判断即可.
4．（2025八下·饶平期中）已知 ABCD中，∠B=4∠A，则∠D=（　　）
A．18° B．36° C．72° D．144°
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形BCDA是平行四边形，
∴AD∥CB，∠B=∠D，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠B=4∠A，
∴∠A+4∠A=180°，
解得：∠A=36°，
∴∠B=144°，
∴∠D=144°，
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形的性质得到对角相等，对边平行，得到∠A+∠B=180°，由∠B=4∠A，求出∠D=∠B的度数.
5．（2025八下·饶平期中） 的近似值在（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的加减法
【解析】【解答】 .
∵4＜8＜9，
∴ ，
即 .
故答案为：B.
【分析】先将 化为最简二次根式，再合并同类二次根式得出原式 ，然后利用夹值法即可求解
6．（2025八下·饶平期中）如图，矩形的对角线，相交于点，，若，则的长为（　　）．
A． B． C．10 D．20
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=2AO=10，，AB=CD，
又∵，
∴在RtADC中，
∴，
∴，
∴；
故答案为：B．
【分析】先利用含30°角的直角三角形的性质可得，再利用勾股定理求出CD的长，从而可得答案.
7．（2025八下·饶平期中）在二次根式①②③④中，最简二次根式是（　　）
A．①② B．③④ C．①③ D．①④
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：①是最简二次根式；
②，被开方数含分母，不是最简二次根式；
③是最简二次根式；
④，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式．
①③是最简二次根式．
故选C．
【分析】根据最简二次根式定义即可求出答案.
8．（2025八下·饶平期中）如图，四边形是菱形，，，则点C的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标；菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，，
∴点C的坐标为，
故答案为：C．
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用菱形的性质可得，，最后可得点C的坐标.
9．（2025八下·饶平期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它由四个全等的直角三角形拼接而成．点E，F，G，H分别是AF，BG，CH，DE的中点，点M，N，P，Q分别是HE，EF，FG，GH上的中点，且四边形MNPQ是正方形，已知正方形ABCD的面积为20，则正方形MNPQ的面积是（　　）．
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵E为AF的中点，DE=AF，∴AE=DE，
∵正方形ABCD面积为20，
∴AD=2，
在Rt△ADE中，
设AE=x，则DE=2x，
根据勾股定理得：AD2=AE2+DE2，
即20=x2+4x2，
解得：x=2，
∴AE=EF=2，
∴正方形EFGH的面积为4，
∵正方形MNQP为正方形EFGH的中点四边形，
∴正方形MNQP的面积为2．
故答案为：A.
【分析】设AE=x，则DE=2x，利用勾股定理可得AD2=AE2+DE2，即20=x2+4x2，求出x的值，可得AE=EF=2，最后求出正方形MNQP的面积为2即可．
10．（2025八下·饶平期中）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，且，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，下列结论：
①；②≌；
③；④．
其中正确的结论是（　　）．
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∵将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，
∴，即，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，
∴，，
，
∴，
∴①正确；
∵将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，
∴，
∴．
在和中，
，
∴≌，
∴②正确；
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴③正确；
∵，，，
∴，
∴的面积为，
∵将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，
∴的面积为，
∴，
∴④正确；
故选：A．
【分析】根据折叠性质可得，即，根据矩形性质可得，，则，再根据折叠性质可得，，，再根据含30°角的直角三角形性质可判断①；根据折叠性质可得，再根据全等三角形判定定理可判断②；根据含30°角的直角三角形性质可得，，再根据边之间的关系可判断③；根据含30°角的直角三角形性质可得BF，再根据三角形面积可得的面积为，再根据折叠性质可得的面积为，再根据割补法即可求出答案.
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共16分）。
11．（2025八下·饶平期中）使有意义的x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：；
故答案为：．
【分析】根据二次根式有意义的条件得到，求出x的取值范围解题即可．
12．（2025八下·饶平期中）如图，菱形ABCD中，AC＝6cm，BD＝8cm，则此菱形的边长等于　 　cm．
【答案】5
【知识点】菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC、BD互相垂直平分，
∴BO＝BD＝×8＝4（cm），CO＝AC＝×6＝3（cm），
在△BCO中，由勾股定理，可得
BC＝（cm），
故答案为：5．
【分析】先利用菱形的性质可得BO和CO的长，再利用勾股定理求出BC的长即可.
13．（2025八下·饶平期中）如图，在一个高为，斜坡长为的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度为　 　．
【答案】7
【知识点】勾股定理的实际应用-台阶问题
【解析】【解答】解：如图所示，
∵，
∴，
由平移可知楼梯表面的地毯长度等于线段的长度之和，即为；
故答案为：7．
【分析】结合图形先利用勾股定理求出BC的长，再利用平移的性质求出地毯的长度即可.
14．（2025八下·饶平期中）如图，四边形是正方形，以点O为圆心，的长为半径画弧交数轴的负半轴于点A，则点A表示的数是　 　．
【答案】
【知识点】运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵点A在原点左侧，
∴点A表示的数是．
故答案为：
【分析】根据勾股定理可得OB，再根据数轴上点的位置即可求出答案.
15．（2025八下·饶平期中）如图，正方形，，，．．．．，，按如图所示放置，使点、、、．．．．．．．，在射线OA上，点、、、．．．．．．，在射线OB上．若，，图中阴影部分三角形的面积由小到大依次记作，，，．．．．．．．．．，，则　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；探索数与式的规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由正方形的性质，，可知：
；
；
同理，；
；
……
∴可推导一般性规律为：；
由题意知，阴影部分均为等腰直角三角形，
∴；
；
；
；
…...
∴可推导一般性规律为：，
∴，
故答案为：．
【分析】先求出规律，再利用三角形的面积公式求出，最后求出即可.
三、解答题（一）（本大题共3小题，每题7分，共21分）。
16．（2025八下·饶平期中）计算：
【答案】解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】先利用完全平方公式和平方差公式展开，再利用二次根式的混合运算的计算方法求解即可.
17．（2025八下·饶平期中）如图，，，且，求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明：∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；平行四边形的判定
【解析】【分析】先利用“HL”证出，利用全等三角形的性质可得，再结合AD//BC，即可证出四边形是平行四边形．
18．（2025八下·饶平期中）如图，在中，，，，于点，分别求出、的长．
【答案】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【分析】利用勾股定理求出AC的长，再利用三角形的面积公式列出方程，积，最后求出CD的长即可.
四、解答题（二）（本大题共3小题，每题9分，共27分）。
19．（2025八下·饶平期中）如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为．
（1）求长方形空地的周长；（结果化为最简二次根式）
（2）已知李明家种植的草莓售价为8元/千克，且每平方米产草莓15千克，若李明家将所种的草莓全部销售完，销售收入为多少元？
【答案】（1）解：由题意得，长方形空地的周长
；
答： 长方形空地的周长为
（2）解：由题意得：，，
∴
元，
答：李明家将所种的草莓全部销售完，销售收入为4680元．
【知识点】二次根式的实际应用；矩形的性质
【解析】【分析】
（1）先根据长方形周长计算公式列式，由于长和宽都不是最简二次根式，所以需要对其化简，最后还需对同类二次根式进行合并；
（2）先利用二次根式的乘法运算法则和平方差公式求出种植草莓的面积，再根据草莓的售价和产量进行求解即可．
（1）解：由题意得，长方形空地的周长
；
（2）解：由题意得：，
，
∴
元，
答：李明家将所种的草莓全部销售完，销售收入为4680元．
20．（2025八下·饶平期中）如图，四边形中，ABDC，，于点．
（1）用尺规作的角平分线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接．求证：四边形是菱形．
【答案】（1）解：如图所示．
（2）证明：是的角平分线，
，
∵ABCD，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
平行四边形为菱形．
【知识点】菱形的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）利用角平分线的作图方法和步骤作出∠B的角平分线即可；
（2）先证出四边形为平行四边形，再结合AB=BC，即可证出平行四边形为菱形．
21．（2025八下·饶平期中）【再读教材】：我们八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦-秦九铝公式”﹔如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．
【解决问题】：已知如图在中，，，．
（1）请你用“海伦-秦九韶公式”求的面积．
（2）除了利用“海伦-秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法．
【答案】（1）解：∵三角形三边长分别为4、5、7，
∴
∴
（2）解：过C作于H，设，则，
在中，，
在中，，
∴，
解得：．
在中，，
∴．
【知识点】二次根式的实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据海伦-秦九韶公式计算即可求出答案.
（2）过C作于H，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程可得x，再根据勾股定理可得CH，再根据三角形面积即可求出答案.
五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）。
22．（2025八下·饶平期中）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，形如，如果你能找到两个数m，n，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．
例如化简且，，
．
（1）横线填上适当的数：____________．
（2）化简．
（3）当时，求的值．
【答案】（1）
（2）解：
．
（3）解：，
．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】（1）解：，
故答案为：.
【分析】（1）参照题干中的定义及计算方法列出算式，再利用二次根式的性质求解即可；
（2）参照题干中的定义及计算方法列出算式，再利用二次根式的性质求解即可；
（3）参照题干中的定义及计算方法列出算式，再利用二次根式的性质求解即可.
（1）解：，
故答案为：；
（2）解：
．
（3）解：，
．
23．（2025八下·饶平期中）综合与实践
问题情境：在数学活动课上，数学老师让同学们用一张矩形纸片进行探究活动．
小亮准备了矩形纸片，其中是的中点，将沿折叠，点的对应点为．
观察发现：（1）如图1，当点恰好在边上时，小亮发现与存在一定的数量关系，其数量关系是______．
探索猜想：（2）如图2，当点在矩形内部时，延长交边于点．试猜想线段与之间的数量关系，并说明理由．
拓展延伸：（3）当点在矩形内部时，若，直接写出线段与的数量关系．
【答案】（1）；
（2）．证明如下：
如图，连接，
在矩形中，，，．
∵是的中点，
∴．
∵沿折叠后得到，
∴，，，
∴．
在和中，，，
∴，
∴，
∴．
（3）
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1）在矩形中，
∵是的中点，
∴，
∵将沿折叠
∴，，
∴，
∴四边形矩形，
∵，
∴矩形是正方形，
∴，
∴．
答案为：．
（3）．证明如下：
设，，
∴．
由（2）得，
∴，．
在中，由勾股定理，得，
∴，
∴．
∵，
∴，
即．
∵，
∴．
【分析】（1）根据矩形性质可得，再根据折叠性质可得，，再根据正方形判定定理及性质即可求出答案.
（2）连接，根据矩形性质可得，，，，再根据折叠性质可得，，，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）设，，则．根据边之间的关系可得，，再根据勾股定理建立方程，化简可得，即，再根据边之间的关系即可求出答案.
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