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广东省惠州市惠城区南山学校2024-2025学年七年级下学期数学期中考试卷
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2025七下·惠城期中）截至2025年2月底，《哪吒之魔童闹海》成为全球动画电影票房冠军，该片还成为中国首部进入全球影史票房榜前十的动画电影．在选项的四个图中，能由左图经过平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：在选项的四个图中，能由左图经过平移得到的是：
故答案为：B．
【分析】利用平移的特征（平移是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动 ）逐项分析判断即可.
2．（2025七下·惠城期中）如图，在中，，是斜边上的高，那么表示点到直线的距离是（　　）
A．线段的长度 B．线段的长度
C．线段的长度 D．线段的长度
【答案】A
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：由题意可得：表示点到直线的距离是线段的长度，
故答案为：A．
【分析】利用点到直线的距离的定义（点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长度）分析求解即可.
3．（2025七下·惠城期中）的算术平方根是（　　）
A．8 B．4 C．2 D．
【答案】C
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：的算术平方根是2，
故答案为：C．
【分析】先化简，再利用算术平方根的计算方法求解即可.
4．（2025七下·惠城期中）若点在y轴上，则点P的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点在轴上，
，
，
∴，
∴点P的坐标为，
故答案为：A．
【分析】
本题主要考查平面直角坐标系中坐标轴上点的坐标特征，熟知坐标轴上点的坐标特征是解题关键.在平面直角坐标系中，y轴上的点横坐标为0，x轴上的点纵坐标为0；根据在y轴上的点横坐标为0，代入数据列出关于x的方程，解得x的值，代入即可求出点P的坐标．
5．（2025七下·惠城期中）下列语句：
①三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行；
②在平移过程中，对应线段一定是平行的；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④如果两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；
⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．其中是真命题有（　　）
A．1个 B．2个 C．3 D．4个
【答案】A
【知识点】垂线的概念；真命题与假命题；平行公理；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：①在同一平面内，三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行，故原命题是假命题；
②在平移过程中，对应线段平行或重合，故原命题是假命题；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题是假命题；
④如果两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，是真命题；
⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题是假命题；
∴真命题有④，共1个，
故答案为：A．
【分析】利用直线的位置关系，点和直线的位置关系、图形平移的特征和平行线的性质以及真命题的定义逐项分析判断即可.
6．（2025七下·惠城期中）如图，沿着射线平移至的位置，若，则阴影部分的面积为（　　）．
A．80 B．120 C．60 D．50
【答案】C
【知识点】梯形；平移的性质
【解析】【解答】解：∵平移，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积为；
故答案为：C．
【分析】利用平移的性质及线段的和差求出B'C的长，再利用梯形的面积公式求解即可
7．（2025七下·惠城期中）在如图所示的运算程序中，输入的值是64时，输出的值是（　　）
A． B． C．2 D．8
【答案】B
【知识点】无理数的概念；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：当时，取算术平方根得到，是有理数，取立方根得到是有理数，取算术平方根得到，是无理数，则输出，
故答案为：B．
【分析】将x=64代入流程图，再利用算术平方根和立方根的计算方法并结合无理数的定义分析求解即可.
8．（2025七下·惠城期中）一服装厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，现计划用136米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设用米布料做玩偶，用米布料做玩偶，
根据题意，得，
故答案为：D．
【分析】设用米布料做玩偶，用米布料做玩偶，根据“一个盲盒搭配1个玩偶和2个玩偶，每米布料可做1个玩偶或3个玩偶，计划用136米这种布料生产这批盲盒”可列出关于的二元一次方程组.
9．（2025七下·惠城期中）小明，小琪两人一起解方程组，由于小明看错了方程①中的，得到的方程组的解为，小琪看错了方程②中的，得到的方程组的解为，则的值是（　　）
A．3 B．5 C．-3 D．-5
【答案】B
【知识点】有理数的加法法则；二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【解答】解：将代入方程②：；
化简得：；
将代入方程①：；
化简得：；
∴，
故答案为：B.
【分析】将代入方程②，将代入方程①，求出a、b的值，再将其代入a+b计算即可.
10．（2025七下·惠城期中）如图，在平面直角坐标系中有一个点，点第一次向左跳动至，第二次向右跳动至，第三次向左跳动至，第四次向右跳动至，…，依照此规律跳动下去，点第2025次跳动到点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意得：
，
，
，
，
，
，
，
……
，，
∵，
∴的坐标为，
故选：D．
【分析】根据题意找出规律求出，，再求出，最后求点的坐标即可。
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2025七下·惠城期中）已知正数x的两个不同的平方根分别是和，则　 　．
【答案】400
【知识点】平方根的概念与表示；平方根的性质
【解析】【解答】解：∵正数x的两个不同的平方根分别是和，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：400．
【分析】利用平方根的定义及性质可得，求出m的值，再求出x的值即可.
12．（2025七下·惠城期中）把方程写成用含的代数式表示的形式，则　 　．
【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：∵
∴
∴．
故答案为：．
【分析】将x当作常数，再利用一元一次方程的计算方法求解即可.
13．（2025七下·惠城期中）如图所示，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象．若，，则光的传播方向改变了　 　度．
【答案】11
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：设所改变的角为x，
则所得的角与互为对顶角，即，
∴
∴，
∴光的传播方向改变了11，
故答案为：11．
【分析】设所改变的角为x，利用对顶角的定义可得，列出方程，求出x的值，从而得解.
14．（2025七下·惠城期中）已知是关于，的二元一次方程，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：由题意得，，，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据二元一次方程定义即可求出答案.
15．（2025七下·惠城期中）对于实数、，定义的含义为：当时，；当时，，例如：．已知，且和为两个连续正整数，则的值为　 　．
【答案】3
【知识点】无理数的估值；实数的混合运算（含开方）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，．
∴，．
∵a，b是两个连续的正整数．，，
∴，．
∴．
故答案为：3．
【分析】
由新定义知，，再根据a，b是两个连续的正整数可得，再代入求值．
三、解答题（每题7分，共21分）
16．（2025七下·惠城期中）（1）计算：．
（2）解方程；．
【答案】解：（1）解：原式；
（2）解：
，
∴，
∴或．
【知识点】实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；利用开平方求未知数；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先利用算术平方根、立方根和绝对值的性质化简，再计算即可；
（2）利用平方根的定义及计算方法求解即可.
17．（2025七下·惠城期中）解下列方程组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
由①式得：，
把代入②式得：，
解得：，
把代入，
解得：，
∴方程组的解为：.
（2）解：
由①②得：，
解得：，
把代入②得：，
解得：，
∴方程组的解为：．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用代入消元法的计算方法及步骤分析求解即可；
（2）利用加减消元法的计算方法及步骤分析求解即可.
（1）解：
由①式得：，
把代入②式得：，
解得：，
把代入，
解得：，
∴方程组的解为：；
（2）解：
由①②得：，
解得：，
把代入②得：，
解得：，
∴方程组的解为：．
18．（2025七下·惠城期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点．现将三角形平移，点A平移到格点的位置，点B，C平移后的对应点分别是，得到三角形．
（1）点的坐标为______；
（2）在平面直角坐标系中，画出三角形；
（3）三角形的面积为______；
（4）若点P是三角形的边上一点，平移后，点的对应点的坐标为______．
【答案】（1）
（2）解：如图，三角形即为所求；
（3）4
（4）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（1）解：由图可知：点的坐标为；
故答案为：；
（3）由图可知：；
故答案为：4；
（4）由图可知，点先向右平移6个单位，再向下平移2个单位，得到；
∴点的对应点的坐标为；
故答案为：．
【分析】（1）根据平面直角坐标系直接求出点A1的坐标即可；
（2）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（3）利用三角形的面积公式及割补法求出△ABC的面积即可；
（4）利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析求解即可.
（1）解：由图可知：点的坐标为；
故答案为：；
（2）如图，三角形即为所求；
（3）由图可知：；
（4）由图可知，点先向右平移6个单位，再向下平移2个单位，得到；
∴点的对应点的坐标为；
故答案为：．
四、解答题（每题9分，共27分）
19．（2025七下·惠城期中）观察下表，并解答下列问题．
… 0.000001 0.001 1 1000 1000000 …
… 0.01 1 100 …
（1）表格中______，______；
（2）若，，则______（用含有的代数式表示）；
（3）已知，，.
①_____，______；
②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（参考数据：，，）
【答案】（1）0.1；10
（2）
（3）①6.694； 0.3107
②设正方体的棱长为a米，则，
∴，
∴（平方米），
答：需要大约1248平方米的铁皮．
【知识点】开立方（求立方根）；立方根的实际应用
【解析】【解答】（1）解：根据被开方数的小数点每向右移动3位，相应的立方根的小数点就向右移动1位可得：
；；
故答案为：0.1；10；
（2）解：∵，，
∴，
故答案为：；
（3）解：①；
；
故：6.694；0.3107；
【分析】（1）根据立方根定义计算即可求出答案.
（2）根据表格信息中小数点的移动情况判断即可求出答案.
（3）①结合表格信息计算即可求出答案.
②设正方体的棱长为a米，根据立方体体积可得a，再根据正方体表面积即可求出答案.
（1）解：根据被开方数的小数点每向右移动3位，相应的立方根的小数点就向右移动1位可得：
；；
故答案为：0.1；10；
（2）解：∵，，
∴，
故答案为：；
（3）解：①；
；
故：6.694；0.3107；
②设正方体的棱长为a米，则，
∴，
∴（平方米），
答：需要大约1248平方米的铁皮．
20．（2025七下·惠城期中）如图1.将线段AB平移至CD，使A与D对应，B与C对应，连AD、BC.
（1）填空：AB与CD的关系为 ，∠B与∠D的大小关系为
（2）如图2，若∠B=60°，F、E为 BC的延长线上的点，∠EFD=∠EDF，DG平分∠CDE交BE于G，求∠FDG．
（3）在（2）中，若∠B=α，其它条件不变，则∠FDG=
【答案】解：（1）AB∥CD且AB＝CD，∠B=∠D；
（2）∵AB∥CD，
∴∠DCE=∠B，
由三角形的外角性质得，∠CDF=∠DFE ∠DCE，
∴∠CDG=∠CDF+∠FDG=∠DFE ∠DCE+∠FDG，
在△DEF中，∠DEF=180 2∠DFE，
在△DFG中，∠DGF=180 ∠FDG ∠DFE，
∴∠EDG=∠DGF ∠DEF=180 ∠FDG ∠DFE (180 2∠DFE)=2∠DFE ∠FDG ∠DFE，
∵DG平分∠CDE，
∴∠CDG=∠EDG，
∴∠DFE ∠DCE+∠FDG=2∠DFE ∠FDG ∠DFE，
∴∠FDG=∠DCE，
即∠FDG=∠B，
∵∠B=60 ，
∴∠FDG=×60 =30 ；
（3）.
【知识点】角的运算；平移的性质；图形的平移；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）AB∥CD，且AB=CD，∠B与∠D相等；
故答案为：AB∥CD，且AB=CD，相等；
（3）思路同(2)，
∵∠B=α，
∴∠FDG=.
故答案为：.
【分析】（1）利用平移的性质分析求解即可；
（2）利用平行线的性质及角的运算和等量代换可得∠FDG=∠DCE，即∠FDG=∠B，再结合∠B=60 ，最后求出∠FDG=×60 =30 即可；
（3）方法同（2）可得∠FDG=∠B，从而可得∠FDG=.
21．（2025七下·惠城期中）【问题背景】对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”．
【数学理解】（1）方程组的解与是否具有“邻好关系”？请说明理由；
【逆向思考】（2）已知关于，的二元一次方程组的解与具有“邻好关系”，求的值．
【答案】解：（1）与具有“邻好关系”，
理由如下：，
将②代入①得，，
解得，，
将代入②得，，
，
，
与具有“邻好关系”；
（2）解：，
得，，
与具有“邻好关系”，
，
解得，，
k的值为2．
【知识点】解二元一次方程组；代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）先求出方程组的解，再利用“ 邻好关系 ”的定义分析求解即可；
（2）先利用加减法可得，再利用“ 邻好关系 ”的定义可得，最后求出k的值即可.
五、解答题（22题13分，23分14分，共27分）
22．（2025七下·惠城期中）【新情境】【背景】为了激励学习好的学生，班主任去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品．如图所示．
【素材1】若买3杯A款奶茶，2杯B款奶茶，共需54元；若买2杯A款奶茶，3杯B款奶茶，共需56元．
【素材2】为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料．
【任务1】求A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？
【任务2】在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？
【任务3】根据【素材2】小华恰好用了260元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的．求B款加料的奶茶买了多少杯？
【答案】解：任务1，设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，由题意得：，
解得：；
答：A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元；
任务2，设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯，由题意得：
，
整理得：，
∵m、n均为正整数，
∴或或，
∴有3种购买方案；
任务3：设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶共买了b杯，
则B款加料的奶茶买了杯，即杯，
由题意得：，
整理得：，
∵a、b、均为正整数，
∴，
∴；
答：B款加料的奶茶买了11杯．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务 1：根据两种购买组合的总价列出二元一次方程组，解得 A 款单价 10 元、B 款单价 12 元；
任务 2：列出总花费的二元一次方程，找出所有正整数解，得到 3 种购买方案；
任务 3：通过设 A 款不加料的杯数为a，表示出其他杯数，列出总花费方程并求出正整数解，得到 B 款加料的奶茶买了 11 杯。
23．（2025七下·惠城期中）如图，已知点满足．将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段，并连接．
（1）请求出点和点的坐标；
（2）点从点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于9？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线交轴于点．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值：若变化，请说明理由．
【答案】（1）解：∵，，
，解得，
∴点A和点的坐标分别为（-1 ，0）和（3 ，0）；
（2）解：存在，理由如下：
过D作DH⊥OB的延长线，垂足为H，如图所示：
由题意得点C和点D的坐标分别为（0 ，2）和（4 ，2），
∴CD=4 ，DH=2 ，OB=3 ，
设M点坐标为（0，t），连接MD、OD，
∴OM=t，
∵S四边形OMDB=S△OBD+S△OMD=9，
∴，即，解得t=3，
存在这样的，使得四边形的面积等于9；
（3）解：不变，理由如下：
当点N在线段OB上时，如图所示，设运动时间为秒，OM=t，ON=3-2t，
过D作DH⊥OB的延长线，垂足为H ，连接MD，OD，
∵=S四边形OMDN，S四边形OMDN= S△OND+S△OMD ，
∴= S△OND+S△OMD
=
=
=3-2t+2t
=3，
当点N运动到线段BO的延长线上时，如图所示，设运动时间为秒，OM=t，ON=2t-3，连接OD，
∴为定值，故其值不会变化．
【知识点】坐标与图形性质；平移的性质；坐标与图形变化﹣平移；绝对值的非负性；分类讨论
【解析】【分析】（1）利用绝对值与平方的非负性得，求出a，b的值，即可求解；
（2）由平移的性质可得点C（0，2），点D（4，2），OA＝1，OB＝2，OC＝2，CD＝4，由面积关系可求解；
（3）分点N在线段OB上，点N在BO的延长线上两种情况讨论，由面积和差关系可求解．
（1）解：∵，，
，解得，
∴点A和点的坐标分别为（-1 ，0）和（3 ，0）；
（2）解：存在．
过D作DH⊥OB的延长线，垂足为H，如图所示：
由题意得点C和点D的坐标分别为（0 ，2）和（4 ，2），
∴CD=4 ，DH=2 ，OB=3 ，
设M点坐标为（0，t），连接MD、OD，
∴OM=t，
∵S四边形OMDB=S△OBD+S△OMD=9，
∴，即，解得t=3，
存在这样的，使得四边形的面积等于9；
（3）解：不变．
理由如下：
当点N在线段OB上时，如图所示，设运动时间为秒，OM=t，ON=3-2t，
过D作DH⊥OB的延长线，垂足为H ，连接MD，OD，
∵=S四边形OMDN，S四边形OMDN= S△OND+S△OMD ，
∴= S△OND+S△OMD
=
=
=3-2t+2t
=3，
当点N运动到线段BO的延长线上时，如图所示，设运动时间为秒，OM=t，ON=2t-3，连接OD，
∴为定值，故其值不会变化．
1 / 1广东省惠州市惠城区南山学校2024-2025学年七年级下学期数学期中考试卷
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2025七下·惠城期中）截至2025年2月底，《哪吒之魔童闹海》成为全球动画电影票房冠军，该片还成为中国首部进入全球影史票房榜前十的动画电影．在选项的四个图中，能由左图经过平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025七下·惠城期中）如图，在中，，是斜边上的高，那么表示点到直线的距离是（　　）
A．线段的长度 B．线段的长度
C．线段的长度 D．线段的长度
3．（2025七下·惠城期中）的算术平方根是（　　）
A．8 B．4 C．2 D．
4．（2025七下·惠城期中）若点在y轴上，则点P的坐标为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025七下·惠城期中）下列语句：
①三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行；
②在平移过程中，对应线段一定是平行的；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④如果两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；
⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．其中是真命题有（　　）
A．1个 B．2个 C．3 D．4个
6．（2025七下·惠城期中）如图，沿着射线平移至的位置，若，则阴影部分的面积为（　　）．
A．80 B．120 C．60 D．50
7．（2025七下·惠城期中）在如图所示的运算程序中，输入的值是64时，输出的值是（　　）
A． B． C．2 D．8
8．（2025七下·惠城期中）一服装厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配1个玩偶A和2个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，现计划用136米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025七下·惠城期中）小明，小琪两人一起解方程组，由于小明看错了方程①中的，得到的方程组的解为，小琪看错了方程②中的，得到的方程组的解为，则的值是（　　）
A．3 B．5 C．-3 D．-5
10．（2025七下·惠城期中）如图，在平面直角坐标系中有一个点，点第一次向左跳动至，第二次向右跳动至，第三次向左跳动至，第四次向右跳动至，…，依照此规律跳动下去，点第2025次跳动到点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2025七下·惠城期中）已知正数x的两个不同的平方根分别是和，则　 　．
12．（2025七下·惠城期中）把方程写成用含的代数式表示的形式，则　 　．
13．（2025七下·惠城期中）如图所示，当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象．若，，则光的传播方向改变了　 　度．
14．（2025七下·惠城期中）已知是关于，的二元一次方程，则的值是　 　．
15．（2025七下·惠城期中）对于实数、，定义的含义为：当时，；当时，，例如：．已知，且和为两个连续正整数，则的值为　 　．
三、解答题（每题7分，共21分）
16．（2025七下·惠城期中）（1）计算：．
（2）解方程；．
17．（2025七下·惠城期中）解下列方程组：
（1）；
（2）．
18．（2025七下·惠城期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点．现将三角形平移，点A平移到格点的位置，点B，C平移后的对应点分别是，得到三角形．
（1）点的坐标为______；
（2）在平面直角坐标系中，画出三角形；
（3）三角形的面积为______；
（4）若点P是三角形的边上一点，平移后，点的对应点的坐标为______．
四、解答题（每题9分，共27分）
19．（2025七下·惠城期中）观察下表，并解答下列问题．
… 0.000001 0.001 1 1000 1000000 …
… 0.01 1 100 …
（1）表格中______，______；
（2）若，，则______（用含有的代数式表示）；
（3）已知，，.
①_____，______；
②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（参考数据：，，）
20．（2025七下·惠城期中）如图1.将线段AB平移至CD，使A与D对应，B与C对应，连AD、BC.
（1）填空：AB与CD的关系为 ，∠B与∠D的大小关系为
（2）如图2，若∠B=60°，F、E为 BC的延长线上的点，∠EFD=∠EDF，DG平分∠CDE交BE于G，求∠FDG．
（3）在（2）中，若∠B=α，其它条件不变，则∠FDG=
21．（2025七下·惠城期中）【问题背景】对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”．
【数学理解】（1）方程组的解与是否具有“邻好关系”？请说明理由；
【逆向思考】（2）已知关于，的二元一次方程组的解与具有“邻好关系”，求的值．
五、解答题（22题13分，23分14分，共27分）
22．（2025七下·惠城期中）【新情境】【背景】为了激励学习好的学生，班主任去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品．如图所示．
【素材1】若买3杯A款奶茶，2杯B款奶茶，共需54元；若买2杯A款奶茶，3杯B款奶茶，共需56元．
【素材2】为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料．
【任务1】求A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？
【任务2】在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？
【任务3】根据【素材2】小华恰好用了260元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的．求B款加料的奶茶买了多少杯？
23．（2025七下·惠城期中）如图，已知点满足．将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段，并连接．
（1）请求出点和点的坐标；
（2）点从点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于9？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线交轴于点．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值：若变化，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：在选项的四个图中，能由左图经过平移得到的是：
故答案为：B．
【分析】利用平移的特征（平移是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动 ）逐项分析判断即可.
2．【答案】A
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：由题意可得：表示点到直线的距离是线段的长度，
故答案为：A．
【分析】利用点到直线的距离的定义（点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长度）分析求解即可.
3．【答案】C
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：的算术平方根是2，
故答案为：C．
【分析】先化简，再利用算术平方根的计算方法求解即可.
4．【答案】A
【知识点】点的坐标；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点在轴上，
，
，
∴，
∴点P的坐标为，
故答案为：A．
【分析】
本题主要考查平面直角坐标系中坐标轴上点的坐标特征，熟知坐标轴上点的坐标特征是解题关键.在平面直角坐标系中，y轴上的点横坐标为0，x轴上的点纵坐标为0；根据在y轴上的点横坐标为0，代入数据列出关于x的方程，解得x的值，代入即可求出点P的坐标．
5．【答案】A
【知识点】垂线的概念；真命题与假命题；平行公理；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：①在同一平面内，三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行，故原命题是假命题；
②在平移过程中，对应线段平行或重合，故原命题是假命题；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题是假命题；
④如果两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，是真命题；
⑤在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题是假命题；
∴真命题有④，共1个，
故答案为：A．
【分析】利用直线的位置关系，点和直线的位置关系、图形平移的特征和平行线的性质以及真命题的定义逐项分析判断即可.
6．【答案】C
【知识点】梯形；平移的性质
【解析】【解答】解：∵平移，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴阴影部分的面积为；
故答案为：C．
【分析】利用平移的性质及线段的和差求出B'C的长，再利用梯形的面积公式求解即可
7．【答案】B
【知识点】无理数的概念；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：当时，取算术平方根得到，是有理数，取立方根得到是有理数，取算术平方根得到，是无理数，则输出，
故答案为：B．
【分析】将x=64代入流程图，再利用算术平方根和立方根的计算方法并结合无理数的定义分析求解即可.
8．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设用米布料做玩偶，用米布料做玩偶，
根据题意，得，
故答案为：D．
【分析】设用米布料做玩偶，用米布料做玩偶，根据“一个盲盒搭配1个玩偶和2个玩偶，每米布料可做1个玩偶或3个玩偶，计划用136米这种布料生产这批盲盒”可列出关于的二元一次方程组.
9．【答案】B
【知识点】有理数的加法法则；二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【解答】解：将代入方程②：；
化简得：；
将代入方程①：；
化简得：；
∴，
故答案为：B.
【分析】将代入方程②，将代入方程①，求出a、b的值，再将其代入a+b计算即可.
10．【答案】D
【知识点】点的坐标；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：由题意得：
，
，
，
，
，
，
，
……
，，
∵，
∴的坐标为，
故选：D．
【分析】根据题意找出规律求出，，再求出，最后求点的坐标即可。
11．【答案】400
【知识点】平方根的概念与表示；平方根的性质
【解析】【解答】解：∵正数x的两个不同的平方根分别是和，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：400．
【分析】利用平方根的定义及性质可得，求出m的值，再求出x的值即可.
12．【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：∵
∴
∴．
故答案为：．
【分析】将x当作常数，再利用一元一次方程的计算方法求解即可.
13．【答案】11
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：设所改变的角为x，
则所得的角与互为对顶角，即，
∴
∴，
∴光的传播方向改变了11，
故答案为：11．
【分析】设所改变的角为x，利用对顶角的定义可得，列出方程，求出x的值，从而得解.
14．【答案】
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：由题意得，，，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据二元一次方程定义即可求出答案.
15．【答案】3
【知识点】无理数的估值；实数的混合运算（含开方）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，．
∴，．
∵a，b是两个连续的正整数．，，
∴，．
∴．
故答案为：3．
【分析】
由新定义知，，再根据a，b是两个连续的正整数可得，再代入求值．
16．【答案】解：（1）解：原式；
（2）解：
，
∴，
∴或．
【知识点】实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；利用开平方求未知数；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先利用算术平方根、立方根和绝对值的性质化简，再计算即可；
（2）利用平方根的定义及计算方法求解即可.
17．【答案】（1）解：
由①式得：，
把代入②式得：，
解得：，
把代入，
解得：，
∴方程组的解为：.
（2）解：
由①②得：，
解得：，
把代入②得：，
解得：，
∴方程组的解为：．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用代入消元法的计算方法及步骤分析求解即可；
（2）利用加减消元法的计算方法及步骤分析求解即可.
（1）解：
由①式得：，
把代入②式得：，
解得：，
把代入，
解得：，
∴方程组的解为：；
（2）解：
由①②得：，
解得：，
把代入②得：，
解得：，
∴方程组的解为：．
18．【答案】（1）
（2）解：如图，三角形即为所求；
（3）4
（4）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（1）解：由图可知：点的坐标为；
故答案为：；
（3）由图可知：；
故答案为：4；
（4）由图可知，点先向右平移6个单位，再向下平移2个单位，得到；
∴点的对应点的坐标为；
故答案为：．
【分析】（1）根据平面直角坐标系直接求出点A1的坐标即可；
（2）先利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（3）利用三角形的面积公式及割补法求出△ABC的面积即可；
（4）利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析求解即可.
（1）解：由图可知：点的坐标为；
故答案为：；
（2）如图，三角形即为所求；
（3）由图可知：；
（4）由图可知，点先向右平移6个单位，再向下平移2个单位，得到；
∴点的对应点的坐标为；
故答案为：．
19．【答案】（1）0.1；10
（2）
（3）①6.694； 0.3107
②设正方体的棱长为a米，则，
∴，
∴（平方米），
答：需要大约1248平方米的铁皮．
【知识点】开立方（求立方根）；立方根的实际应用
【解析】【解答】（1）解：根据被开方数的小数点每向右移动3位，相应的立方根的小数点就向右移动1位可得：
；；
故答案为：0.1；10；
（2）解：∵，，
∴，
故答案为：；
（3）解：①；
；
故：6.694；0.3107；
【分析】（1）根据立方根定义计算即可求出答案.
（2）根据表格信息中小数点的移动情况判断即可求出答案.
（3）①结合表格信息计算即可求出答案.
②设正方体的棱长为a米，根据立方体体积可得a，再根据正方体表面积即可求出答案.
（1）解：根据被开方数的小数点每向右移动3位，相应的立方根的小数点就向右移动1位可得：
；；
故答案为：0.1；10；
（2）解：∵，，
∴，
故答案为：；
（3）解：①；
；
故：6.694；0.3107；
②设正方体的棱长为a米，则，
∴，
∴（平方米），
答：需要大约1248平方米的铁皮．
20．【答案】解：（1）AB∥CD且AB＝CD，∠B=∠D；
（2）∵AB∥CD，
∴∠DCE=∠B，
由三角形的外角性质得，∠CDF=∠DFE ∠DCE，
∴∠CDG=∠CDF+∠FDG=∠DFE ∠DCE+∠FDG，
在△DEF中，∠DEF=180 2∠DFE，
在△DFG中，∠DGF=180 ∠FDG ∠DFE，
∴∠EDG=∠DGF ∠DEF=180 ∠FDG ∠DFE (180 2∠DFE)=2∠DFE ∠FDG ∠DFE，
∵DG平分∠CDE，
∴∠CDG=∠EDG，
∴∠DFE ∠DCE+∠FDG=2∠DFE ∠FDG ∠DFE，
∴∠FDG=∠DCE，
即∠FDG=∠B，
∵∠B=60 ，
∴∠FDG=×60 =30 ；
（3）.
【知识点】角的运算；平移的性质；图形的平移；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）AB∥CD，且AB=CD，∠B与∠D相等；
故答案为：AB∥CD，且AB=CD，相等；
（3）思路同(2)，
∵∠B=α，
∴∠FDG=.
故答案为：.
【分析】（1）利用平移的性质分析求解即可；
（2）利用平行线的性质及角的运算和等量代换可得∠FDG=∠DCE，即∠FDG=∠B，再结合∠B=60 ，最后求出∠FDG=×60 =30 即可；
（3）方法同（2）可得∠FDG=∠B，从而可得∠FDG=.
21．【答案】解：（1）与具有“邻好关系”，
理由如下：，
将②代入①得，，
解得，，
将代入②得，，
，
，
与具有“邻好关系”；
（2）解：，
得，，
与具有“邻好关系”，
，
解得，，
k的值为2．
【知识点】解二元一次方程组；代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）先求出方程组的解，再利用“ 邻好关系 ”的定义分析求解即可；
（2）先利用加减法可得，再利用“ 邻好关系 ”的定义可得，最后求出k的值即可.
22．【答案】解：任务1，设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，由题意得：，
解得：；
答：A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元；
任务2，设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯，由题意得：
，
整理得：，
∵m、n均为正整数，
∴或或，
∴有3种购买方案；
任务3：设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶共买了b杯，
则B款加料的奶茶买了杯，即杯，
由题意得：，
整理得：，
∵a、b、均为正整数，
∴，
∴；
答：B款加料的奶茶买了11杯．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务 1：根据两种购买组合的总价列出二元一次方程组，解得 A 款单价 10 元、B 款单价 12 元；
任务 2：列出总花费的二元一次方程，找出所有正整数解，得到 3 种购买方案；
任务 3：通过设 A 款不加料的杯数为a，表示出其他杯数，列出总花费方程并求出正整数解，得到 B 款加料的奶茶买了 11 杯。
23．【答案】（1）解：∵，，
，解得，
∴点A和点的坐标分别为（-1 ，0）和（3 ，0）；
（2）解：存在，理由如下：
过D作DH⊥OB的延长线，垂足为H，如图所示：
由题意得点C和点D的坐标分别为（0 ，2）和（4 ，2），
∴CD=4 ，DH=2 ，OB=3 ，
设M点坐标为（0，t），连接MD、OD，
∴OM=t，
∵S四边形OMDB=S△OBD+S△OMD=9，
∴，即，解得t=3，
存在这样的，使得四边形的面积等于9；
（3）解：不变，理由如下：
当点N在线段OB上时，如图所示，设运动时间为秒，OM=t，ON=3-2t，
过D作DH⊥OB的延长线，垂足为H ，连接MD，OD，
∵=S四边形OMDN，S四边形OMDN= S△OND+S△OMD ，
∴= S△OND+S△OMD
=
=
=3-2t+2t
=3，
当点N运动到线段BO的延长线上时，如图所示，设运动时间为秒，OM=t，ON=2t-3，连接OD，
∴为定值，故其值不会变化．
【知识点】坐标与图形性质；平移的性质；坐标与图形变化﹣平移；绝对值的非负性；分类讨论
【解析】【分析】（1）利用绝对值与平方的非负性得，求出a，b的值，即可求解；
（2）由平移的性质可得点C（0，2），点D（4，2），OA＝1，OB＝2，OC＝2，CD＝4，由面积关系可求解；
（3）分点N在线段OB上，点N在BO的延长线上两种情况讨论，由面积和差关系可求解．
（1）解：∵，，
，解得，
∴点A和点的坐标分别为（-1 ，0）和（3 ，0）；
（2）解：存在．
过D作DH⊥OB的延长线，垂足为H，如图所示：
由题意得点C和点D的坐标分别为（0 ，2）和（4 ，2），
∴CD=4 ，DH=2 ，OB=3 ，
设M点坐标为（0，t），连接MD、OD，
∴OM=t，
∵S四边形OMDB=S△OBD+S△OMD=9，
∴，即，解得t=3，
存在这样的，使得四边形的面积等于9；
（3）解：不变．
理由如下：
当点N在线段OB上时，如图所示，设运动时间为秒，OM=t，ON=3-2t，
过D作DH⊥OB的延长线，垂足为H ，连接MD，OD，
∵=S四边形OMDN，S四边形OMDN= S△OND+S△OMD ，
∴= S△OND+S△OMD
=
=
=3-2t+2t
=3，
当点N运动到线段BO的延长线上时，如图所示，设运动时间为秒，OM=t，ON=2t-3，连接OD，
∴为定值，故其值不会变化．
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