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七年级数学下学期期中模拟卷
范围：浙教版七下1~3章（相交线与平行线、二元一次方程组、整式的乘除）
一．选择题（共10小题）
1．（2025春 西湖区校级月考）窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，在园林设计中常常可以看到．下列窗棂图案中“四钱纹、梅花纹、拟日纹、海棠纹”的可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025春 慈溪市校级月考）下列方程组中是二元一次方程组的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025春 西湖区校级期中）如图，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段PN，理由是（　　）
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
4．（2025春 慈溪市校级期中）若是关于x、y的方程ax﹣y＝3的解，则a＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2025春 拱墅区校级期中）已知4m＝a，8n＝b，其中m，n为正整数，则22m+3n等于（　　）
A．ab B．a+b C．a2b3 D．a2+b3
6．（2025春 温州校级期中）如图，两条光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，则下列选项中∠3的同旁内角为（　　）
A．∠1 B．∠2 C．∠4 D．∠5
7．（2025春 上城区校级期中）若关于x，y的多项式x （x2﹣mx+3）+x2 （4mx2+3x+5）的结果中不含x2项，则m的值为（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．5
8．（2025春 宁波期末）小丽在用“加减消元法”解二元一次方程组时，利用①×a+②×b消去x，则a、b的值可能是（　　）
A．a＝2，b＝5 B．a＝3，b＝2 C．a＝﹣3，b＝2 D．a＝2，b＝﹣5
9．（2025春 江北区校级月考）已知实数x，y满足（x2+4x+7）（3y2+2y+1）＝2，则代数式x2+y2的值为（　　）
A．4 B． C． D．5
10．（2025春 西湖区校级月考）如图，已知MN∥PQ，点B在MN上，点C在PQ上，点A在MN上方，∠ABD：∠DBN＝3：2，点E在BD的反向延长线上，且∠ACE：∠ECP＝3：2，设∠A＝α，则∠E的度数用含α的式子一定可以表示为（　　）
A．2α B． C． D．90°﹣α
二．填空题（共6小题）
11．（2025春 杭州月考）计算：12x6÷（﹣3x2）＝ 　 　 ．
12．（2025春 浙江期中）如图，已知BE平分∠ABC，且∠CDB＝25°，当∠ABC＝ 　 　 时，AB∥CD．
13．（2025春 绍兴期中）若n满足（n﹣2023）2+（2024﹣n）2＝1，则（2024﹣n）（n﹣2023）等于 　 　 ．
14．（2025春 丽水期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，且，则（m+n）2025的值为　 　 ．
15．（2025春 滨江区校级期中）某水果店推出甲、乙、丙三种礼盒，甲礼盒樱桃1千克，枇杷0.5千克，香梨1千克，售价100元；乙礼盒樱桃1千克，枇杷0.5千克，哈密瓜1千克，售价98元；丙礼盒香梨1千克，枇杷1千克，哈密瓜1千克；已知樱桃每千克30元；李老师花了1100元，买乙丙两种礼盒，问李老师共买　 　 盒．
16．（2025春 西湖区校级期中）如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠（折线EF交AD于E，交BC于F，点C、D的落点分别是C′、D′，ED′交BC于G，再将四边形C′D′GF沿FG折叠，点C′、D′的落点分别是C″、D″，GD″交EF于H，下列四个结论：①∠GEF＝∠GFE；②2∠EFC＝∠EGC+180°；③∠EGD″＝2∠EFG；④∠EHG＝3∠EFB．其中正确的结论是 　 　 （填写序号）．
三．解答题（共8小题）
17．（2025春 浙江期中）计算：
（1）（14a2+7a）÷（7a）；
（2）（﹣1）2025+（π﹣3.14）0+2﹣2．
18．（2025春 上城区校级期中）解下列方程组：
（1）；
（2）．
19．（2025春 西湖区校级期中）先化简，再求值：
（1）（x﹣1）2+x（3﹣x），其中；
（2）4a（3a+2）﹣（1+2a）（1﹣2a），其中2a2+a﹣2＝0．
20．（2025春 龙泉驿区期中）如图，如图，在△ABC中，点D，E在AB边上，点F在AC边上，点H在BC边上，DH∥AC，且∠1+∠2＝180°．
（1）求证：EF∥DC；
（2）若CD平分∠ACB，∠BHD＝64°，求∠2的度数．
21．（2025春 秀洲区校级期中）规定；形如x+ky＝b与kx+y＝b的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，其中k≠1．由这两个方程组成的方程组叫作“共轭方程组”，k，b称为“共轭系数”．
（1）方程3x+y＝5的“共轭二元一次方程”为　 　 ，它们组成的“共轭一方程组”的解为　 　 ．
（2）若关于x，y的二元一次方程组为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的共轭系数．
22．（2025春 西湖区校级期中）某中学拟组织全校师生外出春游．下面是活动过程中几位老师的对话．
情境 信息
租车环节 李老师：客运公司有50座的大巴车和30座的中巴车可供租用，我们八年级师生租了6辆大巴车和7辆中巴车，一天的租金共计9000元，且每辆车租车的空位不超过1个． 赵老师：九年级师生租用4辆大巴车和8辆中巴车，一天的租金共计8000元，且每辆车的空位不超过2个． 王老师：七年级师生共需490座．
购票环节 旅行社面向团队游客推出的收费标准如下： 人数m300≤m＜400400≤m＜500m≥500收费标准（元/人）403015
赵老师；如果九年级师生和八年级师生分别组团购票共需花费20100元；若两个年级联合组团只需花费13800元．
根据以上信息，解决春游中的相关问题：
问题1 大巴车和中巴车每辆每天的租金分别是多少元？
问题2 请你为七年级师生求出所有恰好能提供490座的租车方案．
问题3 八、九年级各有多少人参加春游？
23．（2025春 杭州校级期中）乘法公式的探究及应用：
数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片：A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
【问题解决】
（1）请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积，并写出代数式（a+b）2，a2+b2，ab之间的数量关系；
（2）根据（1）题中的等量关系，解决以下问题：
①若m+n＝7，m2+n2＝29，求mn的值；
②已知（2027﹣a）2+（a﹣2025）2＝8，求（2027﹣a）（a﹣2025）的值；
③如图，点C在线段AB上，以AC，BC为边向两边作正方形，若AB＝8，两正方形的面积之和S1+S2＝34，求阴影部分的面积．
24．（2025春 西湖区校级月考）已知直线AB∥CD，点E，G为直线AB上不重合的两个点，EF∥GH，分别交直线CD于点F，H，EP平分∠AEF交CD于点P．
（1）如图1，试说明：∠PHG＝∠FEG；
（2）如图1，若∠EPF：∠PHG＝1：3，求∠EFD的大小．
（3）如图2，点M为线段GH延长线上一点，连结EM，FM．若∠HFM＝∠HMF，试探索∠PEM与∠EMF的数量关系，并说明理由．
第1页（共1页）七年级数学下学期期中模拟卷
范围：浙教版七下1~3章（相交线与平行线、二元一次方程组、整式的乘除）
一．选择题（共10小题）
1．（2025春 西湖区校级月考）窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，在园林设计中常常可以看到．下列窗棂图案中“四钱纹、梅花纹、拟日纹、海棠纹”的可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据平移只改变位置，不改变大小，形状和方向，进行逐项分析，即可作答．
【解答】解：由平移只改变位置，不改变大小，形状和方向可知，四个选项中只有A选项中的图案可以有平移得到，
故选：A．
2．（2025春 慈溪市校级月考）下列方程组中是二元一次方程组的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据二元一次方程组的定义，逐一判断即可解答．由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．
【解答】解：A、方程组符合二元一次方程组的定义，故A符合题意；
B、原方程组为三元一次方程组，故B不符合题意；
C、原方程组为二元二次方程组，故C不符合题意；
D、原方程组为分式方程组，故不D符合题意；
故选：A．
3．（2025春 西湖区校级期中）如图，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段PN，理由是（　　）
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】C
【分析】根据垂线段最短即可得出答案．
【解答】解：要在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，线段PN最短，理由是垂线段最短．
故选：C．
4．（2025春 慈溪市校级期中）若是关于x、y的方程ax﹣y＝3的解，则a＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】把x＝2，y＝1代入后得出方程，求出方程的解即可．
【解答】解：∵是关于x、y的方程ax﹣y＝3的解，
∴代入得：2a﹣1＝3，
解得：a＝2，
故选：B．
5．（2025春 拱墅区校级期中）已知4m＝a，8n＝b，其中m，n为正整数，则22m+3n等于（　　）
A．ab B．a+b C．a2b3 D．a2+b3
【答案】A
【分析】根据幂的乘方的计算方法将原式化为4m×8n即可．
【解答】解：∵4m＝a，8n＝b，其中m，n为正整数，
∴22m+3n＝（22）m×（23）n＝4m×8n＝ab，
故选：A．
6．（2025春 温州校级期中）如图，两条光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，则下列选项中∠3的同旁内角为（　　）
A．∠1 B．∠2 C．∠4 D．∠5
【答案】B
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，据此可得答案．
【解答】解；如上图，两条光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射，∠3的同旁内角为∠2，
故选：B．
7．（2025春 上城区校级期中）若关于x，y的多项式x （x2﹣mx+3）+x2 （4mx2+3x+5）的结果中不含x2项，则m的值为（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．5
【答案】D
【分析】先根据单项式乘多项式的运算法则，合并同类项法则进行计算，然后再根据结果中不含x2项，得出x2项的系数为0，即可得出答案．
【解答】解：x （x2﹣mx+3）+x2 （4mx2+3x+5）
＝x3﹣mx2+3x+4mx4+3x3+5x2
＝4mx4+4x3+（5﹣m）x2+3x，
∵结果中不含x2项，
∴5﹣m＝0，
∴m＝5．
故选：D．
8．（2025春 宁波期末）小丽在用“加减消元法”解二元一次方程组时，利用①×a+②×b消去x，则a、b的值可能是（　　）
A．a＝2，b＝5 B．a＝3，b＝2 C．a＝﹣3，b＝2 D．a＝2，b＝﹣5
【答案】D
【分析】利用加减消元法判断即可．
【解答】解：小丽在用“加减消元法”解二元一次方程组时，
利用①×2+②×（﹣5）消去x，得：10x﹣4y﹣10x﹣15y＝8+9，即﹣19y＝17，
则a、b的值可能是a＝2，b＝﹣5，
故选：D．
9．（2025春 江北区校级月考）已知实数x，y满足（x2+4x+7）（3y2+2y+1）＝2，则代数式x2+y2的值为（　　）
A．4 B． C． D．5
【答案】B
【分析】把第1个多项式中的7写成4+3，第2个多项式中的1写成，然后每个多项式都写成一个完全平方公式与一个常数的和，再根据完全平方数的非负性，列出关于x和y的方程，解方程求出x，y，再代入所求式子进行计算即可．
【解答】解：（x2+4x+7）（3y2+2y+1）＝2，
，
，
∵，
∴（x+2）2+3的最小值为3，最小值为，
∴，
解得：x＝﹣2，，
∴x2+y2
，
故选：B．
10．（2025春 西湖区校级月考）如图，已知MN∥PQ，点B在MN上，点C在PQ上，点A在MN上方，∠ABD：∠DBN＝3：2，点E在BD的反向延长线上，且∠ACE：∠ECP＝3：2，设∠A＝α，则∠E的度数用含α的式子一定可以表示为（　　）
A．2α B． C． D．90°﹣α
【答案】B
【分析】过点A作AG∥MN，过点E作EH∥MN，则MN∥PQ∥AG∥EH；设设∠ABD＝3x，∠ACE＝3y，则，∠DBN＝2x，∠ECP＝2y，所以∠DEH＝∠DBN＝2x，∠HEC＝∠ECP＝2y，∠GAB＝180°﹣∠ABD﹣∠DBN＝180°﹣5x，∠GAC＝∠ACP＝5y，由平行的性质可知，∠DEC＝2（x+y），∠CAB＝∠GAC﹣∠GAB＝5y﹣（180°﹣5x）＝5（x+y）﹣150°＝α，可得x+y36°α，所以∠DEC＝2（x+y）＝72°α．
【解答】解：如图，过点A作AG∥MN，过点E作EH∥MN，
∵MN∥PQ，
∴MN∥PQ∥AG∥EH，
∵∠ABD：∠DBN＝3：2，∠ACE：∠ECP＝3：2，
∴设∠ABD＝3x，∠DBN＝2x，∠ACE＝3y，∠ECP＝2y，
∵MN∥PQ∥AG∥EH，
∴∠DEH＝∠DBN＝2x，∠HEC＝∠ECP＝2y，
∠GAB＝180°﹣∠ABD﹣∠DBN＝180°﹣5x，∠GAC＝∠ACP＝5y，
∴∠DEC＝2（x+y），
∠CAB＝∠GAC﹣∠GAB＝5y﹣（180°﹣5x）＝5（x+y）﹣180°＝α，
∴x+y36°α，
∴∠DEC＝2（x+y）＝72°α．
故选：B．
二．填空题（共6小题）
11．（2025春 杭州月考）计算：12x6÷（﹣3x2）＝ 　﹣4x4 ．
【答案】﹣4x4．
【分析】利用单项式除以单项式法则计算即可．
【解答】解：原式＝﹣4x4，
故答案为：﹣4x4．
12．（2025春 浙江期中）如图，已知BE平分∠ABC，且∠CDB＝25°，当∠ABC＝ 　50°　 时，AB∥CD．
【答案】50°．
【分析】根据平行线的判定定理求解即可．
【解答】解：∵BE平分∠ABC，
∴，
∵∠CDB＝25°，
∴当∠ABD＝∠CDB时AB∥CD，
∴∠ABC＝2∠ABD＝2∠CDB＝50°，
故答案为：50°．
13．（2025春 绍兴期中）若n满足（n﹣2023）2+（2024﹣n）2＝1，则（2024﹣n）（n﹣2023）等于 　0　 ．
【答案】0．
【分析】利用完全平方公式即可求得答案．
【解答】解：∵n满足（n﹣2023）2+（2024﹣n）2＝1，
∴（2024﹣n）（n﹣2023）
＝0，
故答案为：0．
14．（2025春 丽水期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解为，且，则（m+n）2025的值为　﹣1　 ．
【答案】﹣1．
【分析】由题意得出，据此知m+n＝﹣1，再代入计算即可．
【解答】解：由题意知，，
则4m+4n＝﹣4，
∴m+n＝﹣1，
∴原式＝（﹣1）2025＝﹣1，
故答案为：﹣1．
15．（2025春 滨江区校级期中）某水果店推出甲、乙、丙三种礼盒，甲礼盒樱桃1千克，枇杷0.5千克，香梨1千克，售价100元；乙礼盒樱桃1千克，枇杷0.5千克，哈密瓜1千克，售价98元；丙礼盒香梨1千克，枇杷1千克，哈密瓜1千克；已知樱桃每千克30元；李老师花了1100元，买乙丙两种礼盒，问李老师共买　10　 盒．
【答案】10．
【分析】设枇杷每千克x元，香梨每千克y元，哈密瓜每千克a元，由题意列出方程组，得x+y+a＝138，即丙礼盒每盒138元，设乙礼盒m个，丙礼盒n个，由题意得：98m+138n＝1100，求出方程的非负整数解，即可解决问题．
【解答】解：设设枇杷每千克x元，香梨每千克y元，哈密瓜每千克a元，
由题意列二元一次方程组得：
，
①+②得：x+y+a＝138，
即丙礼盒每盒138元，
设乙礼盒m个，丙礼盒n个，
由题意得：98m+138n＝1100，
∵m、n为非负整数，
当且仅当m＝7，n＝3时，方程成立，
∴7+3＝10（盒），即李老师一共买礼盒10盒，
故答案为：10．
16．（2025春 西湖区校级期中）如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠（折线EF交AD于E，交BC于F，点C、D的落点分别是C′、D′，ED′交BC于G，再将四边形C′D′GF沿FG折叠，点C′、D′的落点分别是C″、D″，GD″交EF于H，下列四个结论：①∠GEF＝∠GFE；②2∠EFC＝∠EGC+180°；③∠EGD″＝2∠EFG；④∠EHG＝3∠EFB．其中正确的结论是 　①②④　 （填写序号）．
【答案】①②④
【分析】根据平行线的性质得到∠DEF＝∠GFE，根据折叠性质得到∠GEF＝∠DEF，即可得到∠GEF＝∠GFE，故①正确；
根据平行线的性质得到∠EGC+∠GED＝180°，根据折叠的性质得到∠GED＝2∠DEF＝2∠GEF，结合∠EFC＝∠EGC+∠GEF，即可求出2∠EFC＝∠EGC+180°，故②正确；
先证明∠D′GF＝2∠EFG，根据折叠性质得∠D′′GF＝∠D′GF，结合∠EGD′′+∠D′′GF+∠D′GF＝180°，得到当∠EGD′′＝∠D′′GF＝∠D′GF＝60°时，∠EGD′′＝2∠EFG，故③错误；
根据∠D′′GF＝∠GED＝∠GEF+∠FED＝2∠EFB，即可得到∠EHG＝∠EFB+∠D′′GF＝3∠EFB，故④正确，符合题意；
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠GFE．
根据折叠的性质得，∠GEF＝∠DEF，
∴∠GEF＝∠GFE．
故①正确，符合题意；
∵AD∥BC，
∴∠EGC+∠GED＝180°，
根据折叠的性质得，∠GED＝2∠DEF＝2∠GEF，
∵∠EFC＝∠EGC+∠GEF，
∴2∠EFC＝2∠EGC+2∠GEF＝∠EGC+∠GED+∠EGC＝∠EGC+180°，
故②正确，符合题意；
∵∠GEF＝∠GFE，∠D′GF＝∠GEF+∠GFE，
∴∠D′GF＝2∠EFG，
根据折叠的性质得，∠D′′GF＝∠D′GF，
∵∠EGD′′+∠D′′GF+∠D′GF＝180°，
∴当∠EGD′′＝∠D′′GF＝∠D′GF＝60°时，∠EGD′′＝2∠EFG，
故③错误，不符合题意；
∵∠D′′GF＝∠D′GF＝∠EGB＝∠GED＝∠GEF+∠FED＝2∠EFB，
∴∠EHG＝∠EFB+∠D′′GF＝∠EFB+2∠EFB＝3∠EFB．
故④正确，符合题意；
故答案为：①②④．
三．解答题（共8小题）
171．（2025春 浙江期中）计算：
（1）（14a2+7a）÷（7a）；
（2）（﹣1）2025+（π﹣3.14）0+2﹣2．
【答案】（1）2a+1；
（2）．
【分析】（1）利用多项式除以单项式运算法则计算即可；
（2）利用零指数幂和负整数指数幂进行计算即可．
【解答】解：（1）（14a2+7a）÷（7a）
＝14a2÷7a+7a÷7a
＝2a+1．
（2）原式．
18．（2025春 上城区校级期中）解下列方程组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用代入法解答即可；
（2）利用加减法解答即可．
【解答】解：（1），
把②代入①，得x+2×2x＝10，
x+4x＝10，
∴x＝2，
把x＝2代入②，得y＝2×2＝4，
∴方程组的解为；
（2），
①﹣②×2，得3x﹣2y﹣2x+2y＝9﹣14，
x＝﹣5，
把x＝﹣5代入②，得﹣5﹣y＝7，
∴y＝﹣12，
∴方程组的解为．
19．（2025春 西湖区校级期中）先化简，再求值：
（1）（x﹣1）2+x（3﹣x），其中；
（2）4a（3a+2）﹣（1+2a）（1﹣2a），其中2a2+a﹣2＝0．
【答案】（1）x+1，；
（2）16a2+8a﹣1，15．
【分析】（1）先利用完全平方公式，单项式与多项式的乘法，整式的加减化简，再代入求值；
（2）先利用单项式与多项式的乘法，平方差公式，整式的加减化简，再整体代入求值．
【解答】解：（1）原式＝x2﹣2x+1+3x﹣x2
＝x+1，
将代入，得原式；
（2）原式＝12a2+8a﹣（1﹣4a2）
＝12a2+8a﹣1+4a2
＝16a2+8a﹣1，
∵2a2+a﹣2＝0，
∴2a2+a＝2，
∴8（2a2+a）＝16a2+8a＝16，
∴原式＝16a2+8a﹣1＝16﹣1＝15．
20．（2025春 龙泉驿区期中）如图，如图，在△ABC中，点D，E在AB边上，点F在AC边上，点H在BC边上，DH∥AC，且∠1+∠2＝180°．
（1）求证：EF∥DC；
（2）若CD平分∠ACB，∠BHD＝64°，求∠2的度数．
【答案】（1）证明见解析；
（2）148°．
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等得出∠DCF＝∠1，结合已知证得∠DCF+∠2＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行即可证得EF∥DC；
（2）先根据平行线的性质求出∠ACB的度数，再根据角平分线的定义即可求出∠ACD的度数，最后根据平行线的性质即可求出∠2的度数．
【解答】（1）证明：∵DH∥AC，
∴∠DCF＝∠1，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠DCF+∠2＝180°，
∴EF∥DC；
（2）解：∵DH∥AC，
∴∠BHD＝∠ACB，
∵∠BHD＝64°，
∴∠ACB＝64°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝32°，
∵EF∥DC，
∴∠ACD+∠2＝180°，
∴∠2＝148°．
21．（2025春 秀洲区校级期中）规定；形如x+ky＝b与kx+y＝b的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，其中k≠1．由这两个方程组成的方程组叫作“共轭方程组”，k，b称为“共轭系数”．
（1）方程3x+y＝5的“共轭二元一次方程”为x+3y＝5　 ，它们组成的“共轭一方程组”的解为　　 ．
（2）若关于x，y的二元一次方程组为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的共轭系数．
【答案】（1）x+3y＝5；；（2）﹣3，﹣6．
【分析】（1）根据题中共轭二元一次方程的定义判断即可，解方程组即可；
（2）根据题中共轭二元一次方程的定义判断即可求出“共轭系数”．
【解答】解：（1）∵形如x+ky＝b与kx+y＝b的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，
∴方程3x+y＝5的“共轭二元一次方程”为x+3y＝5，
由题意，得，
解得：，
故答案为：x+3y＝5；；
（2）由二元一次方程组为“共轭方程组”，
得，
解得，
故，
故此“共轭方程组”的共轭系数为﹣3，﹣6．
22．（2025春 西湖区校级期中）某中学拟组织全校师生外出春游．下面是活动过程中几位老师的对话．
情境 信息
租车环节 李老师：客运公司有50座的大巴车和30座的中巴车可供租用，我们八年级师生租了6辆大巴车和7辆中巴车，一天的租金共计9000元，且每辆车租车的空位不超过1个． 赵老师：九年级师生租用4辆大巴车和8辆中巴车，一天的租金共计8000元，且每辆车的空位不超过2个． 王老师：七年级师生共需490座．
购票环节 旅行社面向团队游客推出的收费标准如下： 人数m300≤m＜400400≤m＜500m≥500收费标准（元/人）403015
赵老师；如果九年级师生和八年级师生分别组团购票共需花费20100元；若两个年级联合组团只需花费13800元．
根据以上信息，解决春游中的相关问题：
问题1 大巴车和中巴车每辆每天的租金分别是多少元？
问题2 请你为七年级师生求出所有恰好能提供490座的租车方案．
问题3 八、九年级各有多少人参加春游？
【答案】问题1：大巴车每辆每天的租金为800元，中巴车每辆每天的租金为600元；
问题2：租用大巴车8辆，租中巴车3辆，或租用大巴车5辆，租中巴车8辆，或租用大巴车2辆，租中巴车13辆；
问题3：八年级有500人参加春游，九年级有420人参加春游．
【分析】问题1：设大巴车每辆每天的租金为x元，中巴车每辆每天的租金为y元，利用八年级师生租了6辆大巴车和7辆中巴车，一天的租金共计9000元，九年级师生租用4辆大巴车和8辆中巴车，一天的租金共计8000元，列方程组求解即可；
问题2：设七年级师生租用大巴车a辆，租中巴车b辆，a、b为非负整数，由恰好能提供490座，即大巴车和中巴车都坐满，得50a+30b＝490，求解即可；
问题3：现根据题意得出497≤八年级人数≤510，416≤九年级人数≤440，设八年级有m人参加春游，九年级有n人参加春游，情况一：当八年级人数小于500时，即497≤八年级人数＜500，此时416≤九年级人数≤440，两年级总人数大于500，根据题意列方程求解；情况二：当八年级人数大于等于500时，即500≤八年级人数≤510，此时416≤九年级人数≤440，两年级总人数大于500，根据题意列方程求解即可．
【解答】解：问题1：设大巴车每辆每天的租金为x，中巴车每辆每天的租金为y，
根据题意，得：，
解得：，
即大巴车每辆每天的租金为800元，中巴车每辆每天的租金为600元，
答：大巴车每辆每天的租金为800元，中巴车每辆每天的租金为600元；
问题2：设七年级师生租用大巴车a辆，租中巴车b辆，a、b为非负整数，
由恰好能提供490座，即大巴车和中巴车都坐满，
得二元一次方程：50a+30b＝490，
解得：或或，
经检验都满足题意；
则租用大巴车8辆，租中巴车3辆，或租用大巴车5辆，租中巴车8辆，或租用大巴车2辆，租中巴车13辆；
问题3：∵八年级师生租了6辆大巴车和7辆中巴车，且每辆车的空位不超过1个，
∴八年级师生人数范围为6×49+7×29≤八年级人数≤6×50+7×30，
即497≤八年级人数≤510，
∵九年级师生租用4辆大巴车和8辆中巴车，且每辆车的空位不超过2个，
∴九年级师生人数范围为4×48+8×28≤九年级人数≤4×50+8×30，
即416≤九年级人数≤440，
设八年级有m人参加春游，九年级有n人参加春游，
情况一：当八年级人数小于500时，即497≤八年级人数＜500，
此时416≤九年级人数≤440，两年级总人数大于500，
由题意列二元一次方程组得：，
方程化简得：，
方程无解；
情况二：当八年级人数大于等于500时，即500≤八年级人数≤510，
此时416≤九年级人数≤440，两年级总人数大于500，
由题意列二元一次方程组得：，
解得：，
经检验符合题意，
综上所述，八年级有500人参加春游，九年级有420人参加春游．
23．（2025春 杭州校级期中）乘法公式的探究及应用：
数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片：A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
【问题解决】
（1）请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积，并写出代数式（a+b）2，a2+b2，ab之间的数量关系；
（2）根据（1）题中的等量关系，解决以下问题：
①若m+n＝7，m2+n2＝29，求mn的值；
②已知（2027﹣a）2+（a﹣2025）2＝8，求（2027﹣a）（a﹣2025）的值；
③如图，点C在线段AB上，以AC，BC为边向两边作正方形，若AB＝8，两正方形的面积之和S1+S2＝34，求阴影部分的面积．
【答案】（1）（a+b）2＝a2+b2+2ab；
（2）①10；②﹣2；③．
【分析】（1）用面积公式和分割法两种方法表示出大正方形的面积即可得出结果；
（2）①利用完全平方公式进行计算即可；②将（2027﹣a），（a﹣2025）2作为整体，利用完全平方公式进行计算即可；③设AC＝a，BC＝b，得到a+b＝8，a2+b2＝34，利用完全平方公式进行计算即可．
【解答】解：（1）大正方形的面积＝（a+b）2，
大正方形的面积＝a2+b2+2ab；
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab；
（2）①∵m+n＝7，m2+n2＝29，
2mn＝（m+n）2﹣（m2+n2）
＝72﹣29
＝20，
∴mn＝10；
②∵[（2027﹣a）+（a﹣2025）]＝2027﹣a+a﹣2025＝2，（2027﹣a）2+（a﹣2025）2＝8，
∴[（2027﹣a）+（a﹣2025）]2＝（2027﹣a）2+（a﹣2025）2+2（2027﹣a）（a﹣2025）＝22＝4，
即8+2（2027﹣a）（a﹣2025）＝4，
∴（2027﹣a）（a﹣2025）＝﹣2；
③设AC＝a，BC＝b，
∵AB＝8，S1+S2＝34，
∴a+b＝8，a2+b2＝34，
∴2ab
＝（a+b）2﹣（a2+b2）
＝（a+b）2﹣a2﹣b2
＝82﹣34
＝30，
∴ab＝15，
∴．
24．（2025春 西湖区校级月考）已知直线AB∥CD，点E，G为直线AB上不重合的两个点，EF∥GH，分别交直线CD于点F，H，EP平分∠AEF交CD于点P．
（1）如图1，试说明：∠PHG＝∠FEG；
（2）如图1，若∠EPF：∠PHG＝1：3，求∠EFD的大小．
（3）如图2，点M为线段GH延长线上一点，连结EM，FM．若∠HFM＝∠HMF，试探索∠PEM与∠EMF的数量关系，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据平行线的性质和等量代换很容易得解；
（2）由∠EPF：∠PHG＝1：3，设参数，再根据平行线的性质得到∠EPF（180°﹣∠FEG），从而建立方程求解即可；
（3）设∠EMF＝α，∠EMG＝β，则∠HFM＝∠HMF＝α+β，再利用平行线的性质和角平分线得到∠PEM＝∠PEF+FEM＝90°﹣α﹣β+β＝90°﹣α，进而即可得解．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠FEG＝∠EFP，
∵EF∥GH，
∴∠EFP＝∠PHG，
∴∠PHG＝∠FEG；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠EPF＝∠PEA，
∵EP平分∠AEF，
∴∠AEP∠AEF，
∴∠EPF∠AEF，
∵∠AEF+∠FEG＝180°，
∴∠EPF（180°﹣∠FEG），
由（1）知∠PHG＝∠FEG；
∴∠EPF（180°﹣∠PHG），
∵∠EPF：∠PHG＝1：3，
可设∠EPF＝x，则∠PHG＝3x，
则x（180°﹣3x），
解得x＝36°，
∴∠PHG＝108°，
∵EF∥GH，
∴∠EFD+∠PHG＝180°，
∴∠EFD＝72°；
（3）解：∠PEM+∠EMF＝90°；理由如下：
设∠EMF＝α，∠EMG＝β，则∠HFM＝∠HMF＝α+β，
∵EF∥GH，
∴∠EFM+∠HMF＝180°，∠FEM＝β，
∴∠EFM＝180°﹣（α+β），
∴∠EFH＝∠EFM﹣∠HFM＝180°﹣2（α+β），
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠EFH＝180°﹣2（α+β），
∵EP平分∠AEF，
∴∠PEF∠AEF＝90°﹣α﹣β，
∴∠PEM＝∠PEF+FEM＝90°﹣α﹣β+β＝90°﹣α，
∵∠EMF＝α，
∴∠PEM＝90°﹣∠EMF，
∴∠PEM+∠EMF＝90°．
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