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23.4实际问题与一次函数
第1课时 实际问题抽象为一次函数
A 基础题夯实
知识点1 文字信息类实际应用
1.(上海中考)某种商品的销售量y(万元)与广告投入x(万元)成一次函数关系，当投入10万元时，销售额为1000万元；当投入90万元时，销售额为5000万元.则投入80万元时，销售额为 万元.
知识点 2 表格信息类实际应用
2.(山西中考)生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长y(cm)是尾长x(cm)的一次函数，部分数据如下表所示，则体长为98 cm时，其尾长为 cm.
尾长(cm) 6 8 10
体长y(cm) 45.5 60.5 75.5
知识点3 图象信息类实际应用
3.某图书出租店图书的租金y(元)与出租的天数x(天)之间的函数图象如图所示，结合图象计算可知：两天后每过一天租金增加 元.
4.一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始5 min内只进水不出水，在随后的10 min内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数.容器内的水量y(单位：L)与时间x(单位：min)之间的关系如图所示，当x=9 min时，y的值为( )
A.36 L B.38 L C.40 L D.42 L
5.我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A 市前往B 市.他驾车从A 市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是80 kw·h，行驶了240 km后，从B 市一高速公路出口驶出.已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量y(kw·h)与行驶路程x(km)之间的关系如图所示.
(1)求 y与x之间的函数解析式；
(2)已知这辆车的“满电量”为100 kw·h，求王师傅驾车从B 市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少
B 中档题运用
6.助农小组乘汽车赴360 km处的农村进行调研，前一段路为高速公路，后段路为乡村公路，汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y(km)与行驶时间x(h)间的关系如图所示，则该小组到达调研地点的行驶时间为 小时.
7.甲、乙两个工程组同时挖掘某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和y(m)与甲组挖掘时间x(天)之间的关系如图所示.
(1)甲组比乙组多挖掘了 天；
(2)求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数.
综合题探究
8.(2025十堰)某市的自来水实行分段收费，每月的用水量不超过10吨时，每吨的单价为2元；如果超过10吨，那么超过10吨的部分的单价为每吨3元，某户每月的用水量为x 吨，水费为y元.
(1)当0≤x≤10时,y与x的函数解析式为 ;
(2)当x>10时,y与x的函数解析式为 ;
(3)画出该函数的图象；
(4)若该用户某月交水费26元，求这个月的用水量.
第2 课时方案选择(一)
A基础题夯实
知识点 利用图象或表格选择方案
1.某单位准备和甲、乙两个出租公司中的一家签订租车合同，设汽车每月行驶x km，每月应支付给甲公司的费用为 y 元，支付给乙公司的费用为y 元，y ，y 与x的关系如图，若该单位每 月行驶的路程为4000 km，为了使费用最少，则应选择( )
A.甲公司 B.乙公司 C.甲乙都一样 D.无法确定
2.如图，某校准备周末组织师生参观湖光岩，现有甲、乙两家旅行社的收费 与x(x为参观人数)的函数关系如图所示，根据图象信息，回答下列问题：
(1)当x 满足 时，两家旅行社收费相同；
(2)当x 满足 时，选择甲旅行社较便宜.
3.某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x 时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题：
(1)分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数解析式；
(2)请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算.
B 中档题运用
4.某学校的复印任务原来由甲复印社承接，其收费y(元)与复印页数x(页)的关系如下表：
x(页) 100 200 400 1 000 …
y(元) 40 80 160 400 …
(1)已知 y 与x 满足一次函数关系，求该函数的解析式；
(2)现在乙复印社表示：若学校先按每月付给 200元的承包费，则可按每页0.15元收费.则乙复印社每月收费y(元)与复印页数x(页)之间的函数解析式为 (不需要写出自变量的取值范围)；
(3)在如图所示的平面直角坐标系内画出(1)(2)中的函数图象，并回答每月复印页数在1 200左右时，选择哪个复印社更合算
综合题探究
5.某移动公司推出 A，B两种电话计费方式.
计费方式 月使用费/元 主叫限定时间/min 主叫超时费/(元/ min)
A 78 200 0.25
B 108 500 0.19
(1)设一个月内用移动电话主叫时间为t min，根据上表，分别写出在不同时间范围内，方式A，方式 B的计费金额y ，y 关于t 的函数解析式；
(2)若你预计每月主叫时间为350 min，你将选择A，B哪种计费方式，并说明理由；
(3)请你根据月主叫时间t 的不同范围，直接写出最省钱的计费方式.
第3课时 方案选择(二)
A 基础题夯实
1.某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用A，B两型客车(每种型号的客车至少租用一辆).A型车每辆租金500元，B型车每辆租金 600元.若5辆 A 型和2 辆 B型车坐满后共载客310人；3辆A 型和4 辆B型车坐满后共载客340人.
(1)每辆 A 型车、B型车坐满后各载客多少人
(2)若该校计划租用A 型和B型两种客车共10辆，总租金不高于5 500元，并将全校420人载至目的地.该校有几种租车方案 哪种租车方案最省钱
2.(2025 深圳中考)某学校采购体育用品，需要购买三种球类.已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如表：
①篮球、足球、排球各买一个的价格为140 元
②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元
③购买5个篮球与购买 6个足球花费相同
(1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价；
(2)若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时花费最少，最少费用是多少
中档题运用
3.(2025黑龙江中考)2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相.第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生.已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买 2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元.
(1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元
(2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2 160元又不多于2 200元，有哪几种购买方案
(3)设学校投入资金W元，在(2)的条件下，哪种购买方案需要的资金最少 最少资金是多少元
C 综合题探究
4.A城有肥料200t，B城有肥料300t.现要把这些肥料全部运往C，D两乡.从A城往C，D两乡运肥料的费用分别为20元/t和25元/t；从B城往C，D两乡运肥料的费用分别为15元/t和24元/t.现C乡需要肥料240t,D乡需要肥料260t.
(1)设从A城往C乡运肥料x吨，则从A城往D乡运肥料 吨，从 B城往C乡运肥料 吨，从B城往D乡运肥料 吨(用含x的式子表示)；
(2)设调运的总运费y元，求y关于x的函数解析式以及x的取值范围；
(3)怎样调运可使总运费最少，并求出最少运费.
23.4实际问题与一次函数
第1 课时 实际问题抽象为一次函数
A基础题夯实
知识点1 文字信息类实际应用
1.某种商品的销售量y(万元)与广告投入x(万元)成一次函数关系，当投入10万元时，销售额为1 000万元；当投入90万元时，销售额为5 000万元.则投入80万元时，销售额为 4500 万元.
知识点2 表格信息类实际应用
2.生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长y(cm)是尾长x(cm)的一次函数，部分数据如下表所示，则体长为98 cm时，其尾长为 13 cm.
尾长(cm) 6 8 10
体长y(cm) 45.5 60.5 75.5
知识点3 图象信息类实际应用
3.某图书出租店图书的租金y(元)与出租的天数x(天)之间的函数图象如图所示，结合图象计算可知：两天后每过一天租金增加 0.5 元.
4.一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始5m in内只进水不出水，在随后的10 min内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数.容器内的水量y(单位：L)与时间x(单位：min)之间的关系如图所示,当x=9 min时,y 的值为(B)
A.36 L B.38 L C.40 L D.42 L
5.我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从A 市前往B 市.他驾车从A 市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是80 kw·h，行驶了240km后，从B 市一高速公路出口驶出.已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量y(kw·h)与行驶路程x(km)之间的关系如图所示.
(1)求y 与x 之间的函数解析式；
(2)已知这辆车的“满电量”为100 kw·h，求王师傅驾车从 B 市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少
解:(1)设 代入(0,80),(150,50),得 解得
(2)令x=240,
则y=32,
答：该车的剩余电量占“满电量”的32%.
中档题运用
6.助农小组乘汽车赴360 km处的农村进行调研，前一段路为高速公路，后段路为乡村公路，汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y(km)与行驶时间x(h)间的关系如图所示，则该小组到达调研地点的行驶时间为 5 小时.
7.甲、乙两个工程组同时挖掘某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和y(m)与甲组挖掘时间x(天)之间的关系如图所示.
(1)甲组比乙组多挖掘了 30 天；
(2)求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数.
解：(1)由图象可知，甲乙合作共挖掘了30天，甲单独挖掘了30天，即甲组比乙组多挖掘了30天.故答案为30；
(2)由图象可知，甲组单独挖掘了30天的长度为90m，所以甲组每天挖掘3m，所以y=3(x-30)+210=3x+120,30≤x≤60;
(3)由(1)可知，甲单独挖掘了30天，挖掘的长度是=300-210=90，甲的工作效率是3m/天.前30天是甲乙合作共挖掘了210 m，则乙单独挖掘的长度是210-90=120.当甲挖掘的长度是120m时,工作天数是120÷3=40(天),乙组已停工的天数是40-30=10(天)。
综合题探究
8.(2025十堰)某市的自来水实行分段收费，每月的用水量不超过10吨时，每吨的单价为2元；如果超过10吨，那么超过10吨的部分的单价为每吨3元，某户每月的用水量为x 吨，水费为y元.
(1)当0≤x≤10时,y与x的函数解析式为 y=2x ;
(2)当x>10时,y与x的函数解析式为 y=3x-10 ;
(3)画出该函数的图象；
(4)若该用户某月交水费26元，求这个月的用水量.
解:(1)当0≤x≤10时,y=2x;
(2)当x>10时,y=10×2+3(x-10)=3x-10;
(3)如图;
(4)令y=26,则3x-10=26,解得x=12.
答：该用户交水费26元时，这个月的用水量为12吨.
第2课时 方案选择(一)
A基础题夯实
知识点 利用图象或表格选择方案
1.某单位准备和甲、乙两个出租公司中的一家签订租车合同，设汽车每月行驶x km，每月应支付给甲公司的费用为 y 元，支付给乙公司的费用为 y 元，y ，y 与x的关系如图，若该单位每月行驶的路程为4 000 km，为了使费用最少，则应选择(B)
A.甲公司 B.乙公司 C.甲乙都一样 D.无法确定
2.如图，某校准备周末组织师生参观湖光岩，现有甲、乙两家旅行社的收费y甲，yz与x(x为参观人数)的函数关系如图所示，根据图象信息，回答下列问题：
(1)当x满足 x=30 时，两家旅行社收费相同；
(2)当x满足 03.某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题：
(1)分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数解析式；
(2)请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算.
解:(1)设
把(5,100)代入得100=5k,
设
把(0,100)和(20,300)分别代入得 解得
与 联立解得B(10,200),∴当0即选择甲种消费卡合算；
当x=10时,
即选择两种消费卡同样合算；
当x>10时,
即选择乙种消费卡合算.
B 中档题运用
4.某学校的复印任务原来由甲复印社承接，其收费y(元)与复印页数x(页)的关系如下表：
(1)已知 y与x满足一次函数关系，求该函数的解析式；
(2)现在乙复印社表示：若学校先按每月付给200元的承包费，则可按每页 0.15元收费.则乙复印社每月收费y(元)与复印页数x(页)之间的函数解析式为 y=0.15x+200 (不需要写出自变量的取值范围)；
(3)在如图所示的平面直角坐标系内画出(1)(2)中的函数图象，并回答每月复印页数在 1 200左右时，选择哪个复印社更合算
解：(1)根据表中的数据可知y是x的正比例函数，设y= kx,将x=100,y=40代入y= kx,得k=0.4,所以该函数的解析式为y=0.4x；
(2)y=0.15x+200;
(3)画函数图象如图所示.由图象可知，当每月复印页数在1 200 左右时，选择乙复印社更合算.
C 综合题探究
5.某移动公司推出 A，B两种电话计费方式.
(1)设一个月内用移动电话主叫时间为t min，根据上表，分别写出在不同时间范围内，方式A，方式 B的计费金额 y ，y 关于t 的函数解析式；
(2)若你预计每月主叫时间为350 min，你将选择 A，B哪种计费方式，并说明理由；
(3)请你根据月主叫时间t的不同范围，直接写出最省钱的计费方式.
解：(1)根据表格数据可知，
当0≤t≤200时,y =78;
当t>200时,
y =78+0.25(t-200)=0.25t+28;
当0≤t≤500时,y =108;
当 t>500时,
综上，
(2)选择方式 B计费，理由如下：当每月主叫时间为350 min时,
y =0.25×350+28=115.5,
y =108,
∵115.5>108,
∴选择方式 B计费；
(3)令y =108,得0.25t+28=108,解得t=320,
∴当0≤t<320时,y <108,y =108,y ∴当0≤t<320时,方式A更省钱;
当t=320时,方式 A和 B的付费金额相同;
当t>320时,y >y ,方式B更省钱.
第3课时 方案选择(二)
A 基础题夯实
1.某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用A，B两型客车(每种型号的客车至少租用一辆).A型车每辆租金500元，B型车每辆租金600元.若5 辆A 型和2 辆B型车坐满后共载客 310人；3辆A型和4辆B型车坐满后共载客340人.
(1)每辆A 型车、B型车坐满后各载客多少人
(2)若该校计划租用A型和B型两种客车共10辆，总租金不高于5 500元，并将全校420人载至目的地.该校有几种租车方案 哪种租车方案最省钱
解：(1)设每辆A 型车坐满后载客 x人，每辆B型车坐满后载客y人，根据题意，得
解得
∴每辆A 型车坐满后载客40人，每辆 B型车坐满后载客55人；
(2)设租用 A 型车 m 辆,则租用 B 型车(10-m)辆,由题意,得
解得
∵m 是正整数，
∴m 可取5,6,7,8,
∴共有4种方案，设总租金为 w元，根据题意得w=500m+600(10-m)=-100m+6000.
∵-100<0,
∴w 随m 的增大而减小，
∴m=8时,w最小为-100×8+6 000=5 200(元),
∴租用 A 型车8辆，B型车2 辆最省钱.
2.(2025深圳中考)某学校采购体育用品，需要购买三种球类.已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如表：
(1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价；
(2)若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时花费最少，最少费用是多少
解：(1)设篮球的单价为x 元，足球的单价为 y元，选择条件①②，根据题意，得 解得
答：篮球的单价为 60元，足球的单价为50元;
(2)设该学校购买篮球 m 个，则购买足球(10-m)个,根据题意,得10-m≤2m,解得
又∵m≤10,
且m为整数，
设学校要购买篮球、足球的总费用为 w元，根据题意,得w=60m+50(10-m)=10m+500,
∵10>0,
∴w 随m 的增大而增大，
且m为正整数，
∴当m=4时,
答：购买4个篮球时花费最少，最少费用是540元.
中档题运用
3.(2025黑龙江中考)2024年8月 6 日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相.第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生.已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3 个“锦仔”共需 380元.
(1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元
(2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2 160元又不多于2 200元，有哪几种购买方案
(3)设学校投入资金W元，在(2)的条件下，哪种购买方案需要的资金最少 最少资金是多少元
解：(1)设购买一个“蜀宝”需要a 元，购买一个“锦仔”需要b 元.
根据题意，得 解得
答：购买一个“蜀宝”需要88元，购买一个“锦仔”需要68元；
(2)设购买“蜀宝” x个,则购买“锦仔”(30-x)个.
根据题意，得
解得6≤x≤8,
∵x 为非负整数，
∴x=6,7,8,
∴共有三种购买方案，分别为
方案1:购买“蜀宝” 6个、“锦仔” 24个;
方案2:购买“蜀宝” 7个、“锦仔” 23个;
方案3:购买“蜀宝” 8个、“锦仔” 22个;
(3)W=88x+68(30-x)=20x+2040,
∵20>0,
∴W随x 的增大而增大，
∵x=6,7,8,
∴当x=6时,W最小=20×6+2040=2 160.
答：购买方案1需要的资金最少，最少资金是2 160元.
综合题探究
4.A城有肥料200t,B城有肥料300 t.现要把这些肥料全部运往C,D两乡.从A城往C，D两乡运肥料的费用分别为20元/t和25元/t；从B城往C，D两乡运肥料的费用分别为15元/t和24元/t.现C乡需要肥料240t,D乡需要肥料260t.
(1)设从A城往C乡运肥料x吨，则从A城往D乡运肥料 (200-x) 吨，从B城往C乡运肥料 (240-x) 吨,从B城往D乡运肥料 (60+x) 吨(用含x的式子表示);
(2)设调运的总运费y元，求y关于x的函数解析式以及x的取值范围；
(3)怎样调运可使总运费最少，并求出最少运费.
解:(1)从A 城往C乡运 x t肥料,则从A城往D乡运(200-x)t肥料,从 B 城往 C乡运(240-x) t 肥料,∴从 B 城往 D 乡运300-(240-x)=(60+x)t肥料;
(2)由题意,得 y=20x+15(240-x)+25(200-x)+24(x+60)=5x+3600-x+6440=4x+10040,
∴0≤x≤200;
(3)∵y=4x+10040,k=4>0,
∴y 随x的增大而增大，
∵0≤x≤200,
∴当x=0时,
∴从 A 城运往C乡0 t,运往 D 乡200 t;从 B 城运往C乡240 t,运往D 乡60 t,此时总运费最少，最少的运输费用是10 040元.

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