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专题11：三角形综合问题
在中考中，涉及三角形综合题的相关题目单独出题的可能性还是比较大的，多以选择、填空题型出现，但是三角形结合其它几何图形、函数出成压轴题的几率特别大，所占分值也是比较多，属于是中考必考的中等偏上难度的考点.本专题只讨论与三角形有关的综合问题压轴．
考点1 与三角形有关的几何三大变换
三角形中的折叠问题
考向解读 1. 全等与对称：折叠前后图形全等，对应边相等、对应角相等，利用平行四边形性质求线段或角度。 2. 折痕位置：折痕过顶点或在内部，常产生等腰三角形、菱形或垂直平分线，需分类讨论。 3. 勾股定理应用：折叠后出现直角三角形，利用勾股定理列方程求折痕长或边长。
方法技能 1. 标出等量关系：折叠后标出所有相等线段和角，找出等腰三角形或全等三角形。 2. 利用对边平行：平行四边形对边平行，折叠产生的角与内错角、同位角相等，用于导角。 3. 勾股列方程：在出现的直角三角形中，设未知数用勾股定理列方程求解。
三角形中的旋转问题
考向解读 1. 全等与相似：旋转前后图形全等，对应边相等、对应角相等，利用旋转角找等角关系。 2. 旋转中心：旋转中心到对应点距离相等，出现等腰三角形，结合旋转角求角度或线段长。 3. 手拉手模型：共顶点双三角形旋转，常考手拉手全等或相似，用于导边导角求值。
方法技能 1. 标对应元素：旋转后标出对应边、对应角，找出相等线段和等角关系。 2. 等腰三角形导角：旋转中心到对应点距离相等，构造等腰三角形求旋转角。 3. 手拉手证全等：出现共顶点旋转，考虑手拉手模型，证三角形全等转移边角。
三角形中的平移问题
考向解读 1. 平移性质：平移前后三角形全等，对应点连线平行且相等，用于求线段长或证明平行关系。 2. 坐标平移：坐标系中三角形平移，顶点坐标按“左减右加x，上加下减y”规律变化。 3. 面积不变：平移不改变三角形面积，常与函数图象平移结合，求重叠面积或新图形解析式。
方法技能 1. 找对应点：平移后标出对应点，利用对应点连线平行且相等列方程求坐标或线段长。 2. 坐标规律：三角形平移时，所有顶点坐标按相同向量变化，直接套用平移公式。 3. 面积转化：平移前后面积相等，用割补法求不规则图形面积或重叠部分面积。
1．（2024·内蒙古·中考真题）如图，在中，，将沿翻折得到，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点为的中点，连接．若，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了折叠的性质，旋转的性质，线段垂直平分线的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质，三角形的面积，连接与相交于点，连接，由，可得，进而由折叠可得，，得到，即得，即可得为等腰直角三角形，即得，，又由旋转得，，，可得，，，即可得为等边三角形，得到，，进而得，，即得，可得，得到，即可得，由得四点共圆，即得，可得，由此可得，，得到，最后根据即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接与相交于点，连接，
∵，
∴，
由折叠可得，，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
又由旋转得，，，
∴，，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故选：．
2．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，等腰中，，，将沿其底边中线向下平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的面积是______．
【答案】/
【分析】本题考查平移的性质，相似三角形的判定和性质，三线合一，根据平移的性质，推出，根据对应边上的中线比等于相似比，求出的长，三线合一求出的长，利用面积公式进行求解即可．
【详解】解：∵等腰中，，，
∴，
∵为中线，
∴，，
∴，，
∴，
∵将沿其底边中线向下平移，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
3．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则______．
【答案】/
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，是综合性强的填空压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
设，，根据折叠性质得，，过E作于H，设与相交于M，证明得到，进而得到，，证明是等腰直角三角形得到，可得，证明得到，则，根据三角形的面积公式结合已知可得，然后解一元二次方程求解x值即可．
【详解】解：∵，
∴设，，
∵沿翻折，得到，
∴，，
过E作于H，设与相交于M，
则，又，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，则，
∴是等腰直角三角形，
∴，则，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
，
∵的面积是面积的2倍，
∴，则，
解得，（舍去），
即，
故答案为：．
4．（2025·北京·中考真题）在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点．
(1)如图1，，点与点重合，求证：；
(2)如图2，点，都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，平行四边形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；
（1）根据，得出，根据旋转可得，，进而证明四边形是平行四边形，得出，；即可得证；
（2）在上取一点，使得，证明得出，，进而根据三角形内角和定理得出，根据平行线的性质得出，进而得出，根据等角对等边可得，则，根据三线合一可得，进而根据，即可得证．
【详解】（1）证明：∵，
∴
∵线段绕点逆时针旋转得到线段，点与点重合
∴，，
∴，
∴
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴；
（2），
证明：如图，在上取一点，使得
∵
∴
∴，
∴
∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴
∴
∴
∴
∴，
又∵
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
5．（2025·上海·中考真题）小明正在进行探究活动：分割梯形并将其拼成等腰三角形，请你帮他一起探究．
(1)如图（1）所示，在梯形中，，．设为边中点，将绕点旋转，点旋转至点的位置，得到的是等腰三角形，其中，设，求边的长（用表示）；
(2)如图（2）所示，已知梯形中，，且，．请设计一种方案，用一条或两条直线将梯形分割，并使得分割成的几个部分可以通过图形运动拼成与剩余部分不重叠无缝隙的等腰三角形．请写出两腰的线段，以及这两条或一条直线与梯形的交点的位置．（模仿（1）中的论述语言：为边中点，是梯形的顶点）．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了变换：旋转、平移与轴对称，等腰三角形的性质等知识；
（1）过点D作于H，则由等腰三角形的性质得；证明四边形是矩形，则有；再由旋转知，则可求得的长，最后求得结果；
（2）连接，把通过平移变换，再轴对称变换得到，则为满足条件的等腰三角形．
【详解】（1）解：如图，过点D作于H，
∵，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴；
由旋转知，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图（2），连接，把沿平移使M与P对应，得到；再把沿对折，得到，H与N是对应点，则是等腰三角形，其中两腰分别为，点N、Q分别是梯形的顶点．
6．（2025·辽宁·中考真题）（1）如图1，在与中，与相交于点，，求证：；
（2）如图2，将图1中的绕点逆时针旋转得到，当点的对应点在线段的延长线上时，与相交于点：若，求的长；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长，与的延长线相交于点，连接，求的面积．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）．
【分析】（1）利用等边对等角求得，再利用证明即可；
（2）由题意得，得到，，，作于点，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，，证明，推出，利用相似三角形的性质列式计算即可求解；
（3）设，由旋转的性质得，则，利用三角形内角和定理以及平角的性质求得，，推出，求得，作于点，求得，再求得，据此求解即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，即，
∵，，
∴；
（2）∵，即，
∴，，，
作于点，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
（3）设，
由旋转的性质得，则，
∵，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，即，
∴．
考点2 全等与相似问题
一、全等三角形
利用辅助线构造全等三角形：
1）把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．
2）证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．
手拉手模型证全等
1.如图，直线AB的同一侧作 ABC和 AMN都为等边三角形（A、B、N三点共线），连接BM、CN，两者相交于点E
结论：① ABM≌ ACN；②BM=CN；③∠MEN=∠2=60°（拉手线的夹角等于顶角）；④ ANF≌ AMD ；⑤ AFC≌ ADB；⑥连接DF，DF∥BN ；⑦连接AE，AE平分∠BEN ；⑧存在3组四点共圆；⑨EN=EM+EA，EB=EC+EA,EA=ED+EF；
2.如图， ABC和 AMN都为等边三角形（A、B、N三点不共线），连接BM、CN，两者相交于点O.
结论：① ABM≌ ACN；②BM=CN；③∠MON=60°（拉手线的夹角等于顶角）；④连接AO，AO平分∠BON；⑤存在2组四点共圆；⑥ON=OM+OA，OB=OC+OA
3.如图，四边形ABCD和四边形AEFG为正方形，连接EB和GD，两者交于点O.
结论：① AGD≌ AEB；②GD=EB；③GD⊥EB ；④AO平分∠EOD
倍长中线模型
1.已知点D为 ABC中BC边中点，延长线段AD到点E使AD=DE.
结论：①连接EC,则 ABD≌ ECD，AB∥CE；②连接BE,则 ADC≌ EDB，AC∥BE
2.已知点D为 ABC中BC边中点，延长线段DF到点E使DF=DE,连接EC.
结论： BDF≌ CDE
截长补短
模型的概述：该模型适用于求证线段的和差倍分关系，该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明。其中截长指在长线段中截取一段等于已知线段，补短指将短线段延长，使短线段加上延长线段长度等于长线段。
截长法：在线段AB上，截取AG=CD，判断线段GB和线段EF长度是否相等
补短法：延长线段CD至点H，使DH=EF，判断线段AB和线段GH长度是否相等
半角模型：当一个角包含着该角的半角，如90°角包含着45°角，120°角包含着60°角，270°角包含着135°角，即出现倍角关系，且这两个角共顶点，共顶点的两条边相等，则该模型为半角模型。
解题方法为：①过公共点作旋转，②截长补短的方法构造全等解题。
二、相似三角形
判定两个三角形相似需要根据条件选择方法．有时条件不具备，需从以下几个方面探求：
①条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形；
②两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例；
④两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例；
④条件中若有一组直角，可再找一组等角或两边成比例．
相似三角形的常见模型
1.A字模型
结论：① ADE~ ABC；②
结论：① ABC~ ACD ;②;③AC2=AB AD
剪刀反A字模型:① ABC~ ADE; ②.
2.8字模型
结论：正8字模型：① AOB~ COD ②；反8字模型：① AOB~ DOC ②；
3.三角形内接矩形
结论：① ABC~ ADG ；②；③若四边形DEFG为正方形，即= ，若假设DG=x，
则= 若已知BC、AN长，即可求出x的值.
4.旋转相似模型
结论： ABD~ ACE
1．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在中，，点、分别在边和上，且，，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长度为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质，利用平行线+中点模型构造全等三角形，正确作出辅助线是解题的关键．
过点作，连接并延长交于点，连接，可证，可得，，再根据平行线的性质得，即得，最后根据三角形中位线的性质解答即可求解，
【详解】解：如图，过点作，连接并延长交于点，连接，
∴，
∵点是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，点是的中点，
∴是中位线，
∴，
故选：A．
2．（2025·黑龙江·中考真题）已知：如图，中，，设，点D是直线上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转α至，连接、，过点E作，交直线于点F．探究如下：
(1)若时，
如图①，点D在延长线上时，易证：；
如图②，点D在延长线上时，试探究线段、、之间存在怎样的数量关系，请写出结论，并说明理由．
若，点D在延长线上时，如图③，猜想线段、、之间又有怎样的数量关系？请直接写出结论，不需要证明．
【答案】(1)①证明见解析；②，理由见解析
(2)
【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，解直角三角形，综合运用相关知识是解题的关键．
（1）①由，，得到是等边三角形，从而∴，进而推出，因此可证明，得到，，求得，因此，由即可得到结论；②由，，得到是等边三角形，从而，进而推出，因此可证明，得到，，求得，因此，由即可得到结论；
（2）同（1）思路即可求解．
【详解】（1）①证明：∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
即，
∴在和中
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴在中，，
∵，
，
∴，
∴．
②解：，理由如下：
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
∵，
∴，
即，
∴在和中
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴在中，，
∵，
，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴在和中
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴在中，，
∵，
，
∴，
∴．
3．（2025·四川巴中·中考真题）如图，在中，，，点P是边AB中点，，．
(1)点N在线段AC上，点M在线段CB上．
①当时，CM的值是______；
②当时，求的值；
点N在射线上，点M在射线CB上．当时，直线MN与射线PC相交于点F，若，求的值．
【答案】(1)①2；②4
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，准确理解题目中给的条件，作出辅助线求解是解题的关键．
（1）①根据题意可得此时为等腰直角三角形，作图求解即可；
②连结，根据直角三角行斜边上的中线等于斜边的一半求出，进而证明，即可得解．
（2）分两种情况讨论，第一种情况，，设．则，求出的长，过点作于交于点，分别证明和即可得解；第二种情况，，连接，分别证明和即可得解．
【详解】（1）①如图所示，
为等腰直角三角形，
，
又，
，
为等腰直角三角形，
，
，，
，，
为中点，
、为、的中点，
，
；
故答案为：2．
②连结，
，，
，
又点为的中点，
，，，
，
又，
，
，
．
（2）第一种情况如图所示，，设．则，
，
，
，
过点作于交于点，
，，
，
又，
，
，
，
，
，
，
又
，
；
第二种情况：如右图所示，，连接，
易知，当时，点、分别与、重合，与题意不符，不成立；
由（1）可知：，
，
，
又，
．，
可得，，，
，
，
，
，
，
又，，
，
，
．
4．（2024·宁夏·中考真题）综合与实践
如图1，在中，是的平分线，的延长线交外角的平分线于点．
【发现结论】
结论1：___________；
结论2：当图1中时，如图2所示，延长交于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点．则与的数量关系是___________．
【应用结论】
（1）求证：；
（2）在图2中连接，，延长交于点，补全图形，求证：．
【答案】【发现结论】结论1：；结论2：相等（或）；【应用结论】（1）见解析；（2）见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形外角的性质、等边对等角、等角对等边、勾股定理等知识，熟练掌握知识点推理证明是解题的关键．
[发现结论]结论1：根据角平分线的定义、三角形外角的性质，推出， ，即可得出；
结论2：根据已知，和结论1 ，得出，根据角平分线的定义得出，进一步推出，利用证明，即可得出；
[应用结论]（1）根据过点作的垂线交于点，得出，推出，结合结论2： ，利用证明，即可证明；
（2）连接，，延长交于点，根据垂线的定义得出，由结论2得：，由（1）过程得：，根据等边对等角、勾股定理、全等三角形的性质，推出，，，根据对顶角相等得出 ，推出，进一步得出，，根据等角对等边得出，，即可证明．
【详解】解：[发现结论]结论1：
∵是的平分线，的延长线交外角的平分线于点，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：；
结论2：
∵，由结论1得，
∴，
∵是的平分线，过点作的垂线交于点，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：相等（或）；
[应用结论]（1）证明：∵过点作的垂线交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵由结论2得：，
∴在和中，
∴，
∴；
（2）证明：如图，连接，，延长交于点，
∵过点作的垂线交于点，
∴，
∵由结论2得：，由（1）过程得：，
∴，，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
（2025·山东东营·中考真题）

（1）探索发现
东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在中，，，折叠，使边落在边上，折痕为，则、与的两边、存在着某种关系．如图1，请你帮助项目组判断与的数量关系为____________．
（2）猜想验证
项目组猜想：当为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明．
（3）拓展应用
如图5，在中，平分交于点，为延长线上一点，．求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析
【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是做题的关键．
（1）根据折叠的性质可得，，进一步得，再根据，，证明，最后通过线段的比例式即可得出结论；
（2）根据每组方案已知条件，证出相似三角形，再通过线段的比例式即可得出结论；
（3）先通过倒角证出，再通过线段的比例式即可得出结论．
【详解】解：（1），，
．
由折叠可得，，
，，
．
，，
，
，即，
．
故答案为：．
（2）方案①：
证明：∵，
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
方案②：
证明：∵，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
即．
方案③
证明：∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）证明：∵平分，
∴，．
∵，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴．
6．（2025·四川·中考真题）和中，，．
【初步感知】
（1）如图1，若，连接，则与之间的数量关系是____，位置关系是_____；（直接写出结论，不写推理过程）
【深入探究】
（2）如图2，若，将绕点C旋转，设直线与交于点M，与交于点N，试确定与之间的数量关系和位置关系，并说明理由；
【迁移应用】
（3）如图3，当点D在内部，且时，若，，连接，作于点F，交于点G，求的长．
【答案】（1），；（2）数量关系：，位置关系：，理由见解析；（3）
【分析】（1）证明，则，，再由对顶角结合互余的性质证明；
（2）证明，则，，，再由对顶角结合互余的性质证明；
（3）先求出，，过点作平行线交延长线于点，则，过点作延长线的垂线，垂足为点，证明，则，求出，即可证明，则，证明，则，求出，，则，那么由勾股定理得，再对运用面积法求解，最后由求解即可．
【详解】（1）解：如图，
，
，，
又，
，
即，
在△和△中，
，
，
，，
设与交于点，
，，
，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）解：数量关系：，位置关系：．
理由如下：，
，即，
又，
，
，，
，，
，
则，
即；
（3）解：∵，，
∴，，
过点作平行线交延长线于点，则，过点作延长线的垂线，垂足为点，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
则在中，由勾股定理得，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
考点3 最值问题
【解题思路】先认真审题，分清题目中的定点、定边、定角与动点、动线段、动角，明确要求的是线段长度、周长还是面积的最值。再根据动点的运动轨迹判断模型：若动点在直线上运动，常用垂线段最短或通过对称、平移转化为两点之间线段最短。遇到线段和或差的最值，多用三角形三边关系进行放缩；面积最值一般固定底边，转化为求高的最值，或固定夹角，利用两边乘积与正弦值求解。整个过程要抓住垂直、共线、直角、直径等特殊临界位置，再结合勾股定理、相似三角形、三角函数等知识计算，最后验证结果能否构成三角形。
1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在中，，以为边作，，点D与点A在的两侧，则的最大值为（ ）
A． B． C．5 D．8
【答案】D
【分析】如图，把绕顺时针旋转得到，求解，结合，（三点共线时取等号），从而可得答案．
【详解】解：如图，把绕顺时针旋转得到，
∴，，，
∴，
∵，（三点共线时取等号），
∴的最大值为，
故选D
2．（2025·四川巴中·中考真题）在中，，，D为中点，点E在线段上，满足，连接并延长交于点F，当面积最大时，线段等于（ ）
A． B．2 C．2 D．4
【答案】B
【分析】延长至点，使，证明，进而推出，即可得到点是的中点，再根据直角三角形的性质可知点在以点为圆心，为半径的圆上，当时，取的最大值，即此时面积最大，然后根据弧、弦、圆心角的关系可知，最后利用勾股定理即可解答．
【详解】解：如图，延长至点，使，
D为中点，
，
，
，
，
，
，
，
，，
∴，即，
，
点是的中点，
，D为中点，
，
点在以点为圆心，为半径的圆上，如图，
当时，边上的高取的最大值，即此时面积最大，
，
，即为等腰直角三角形，
∵，，
，
．
故选：B．
3．（2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，，，点、、分别是边、、上的动点，则周长的最小值是______．
【答案】
【分析】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，垂线段最短，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键，作点关于的对称点，连接，得出是等腰直角三角形，当时，取得最小值，即周长最小，进而求得，即可求解．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，
∴周长为，
当四点共线时取得最小值，
∵是关于的对称点，
∴，
又∵
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
∴当时，取得最小值，即周长最小
又∵，，
∴
∴周长最小为
故答案为：．
4．（2025·四川·中考真题）一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为_____．
【答案】16
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、矩形的性质及二次函数的最值求解，解题的关键是通过设未知数，利用几何关系建立矩形面积的二次函数表达式，再根据二次函数“开口向下时顶点处取最大值”的性质计算最大面积．
设矩形一边长为未知数（如），利用等腰直角三角形的性质及矩形对边相等的特点，得出也为等腰直角三角形，进而用未知数表示出矩形另一边长（如）；根据矩形面积公式列出面积与未知数的二次函数关系式，通过二次函数顶点坐标公式或配方法求出最大值．
【详解】解：设矩形中，（）．
∵ ，，
∴ 是等腰直角三角形．
∵ 四边形是矩形，
∴ ，，
∵ ，
∴ ，又是等腰直角三角形，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ .
则.
矩形面积
∵ 二次函数中，，图象开口向下，
当时，取最大值．
最大值.
故答案为：．
5．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在中， ，．将射线绕点C顺时针旋转到，在射线1上取一点D，连结，使得面积为24，连结，则的最大值是________．
【答案】
【分析】先整理得，过点C向上作线段，使得，则，结合整理得，证明，即，运用即定角定弦，故点D在以为直径的圆上，连接，并延长与交于一点，即为，运用勾股定理得，即可作答．
【详解】解：∵射线绕点C顺时针旋转到，在射线1上取一点D，连结，
∴
∵面积为24，
∴
∴，
过点C向上作线段，使得，
∵
∴
即
∴，
连接，
∵，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故点D在以为直径的圆上，
∵，
记圆心为直径的中点，
即的半径
连接，并延长与交于一点，即为，
此时为的最大值，
故
∴
故答案为：．
6．（2024·广西·中考真题）如图1，中，，．的垂直平分线分别交，于点M，O，平分．
(1)求证：；
(2)如图2，将绕点O逆时针旋转得到，旋转角为．连接，
①求面积的最大值及此时旋转角的度数，并说明理由；
②当是直角三角形时，请直接写出旋转角的度数．
【答案】(1)见解析
(2)①，；②或
【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质得出，利用等边对等角得出，结合角平分线定义可得出，最后根据相似三角形的判定即可得证；
（2）先求出，然后利用含的直角三角形性质求出，，，利用勾股定理求出，，取中点，连接，，作于N，由旋转的性质知，为旋转所得线段，则，，，根据点到直线的距离，垂线段最短知，三角形三边关系得出，故当M、O、三点共线，且点O在线段时，取最大值，最大值为，此时，最后根据三角形面积公式求解即可；
②先利用三角形三边关系判断出，，则当为直角三角形时，只有，然后分A和重合，和C重合，两种情况讨论即可．
【详解】（1）证明：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵平分
∴，
∴，
又；
∴；
（2）解：①∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，，
∵垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
取中点，连接，，作于N，
由旋转的性质知，为旋转所得线段，
∴，，，
根据垂线段最短知，
又，
∴当M、O、三点共线，且点O在线段时，取最大值，最大值为，
此时，
∴面积的最大值为；
②∵，，
∴，
同理
∴为直角三角形时，只有，
当A和重合时，如图，
∵
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴、O、M三点共线，
∴为直角三角形，
此时旋转角；
当和C重合时，如图，
同理，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴、O、M三点共线，
又
∴为直角三角形，
此时旋转角；
综上，旋转角的度数为或时，为直角三角形．
考点4 动点问题
【解题思路】解决三角形动点问题，首先要分清变量与不变量，先锁定题目中固定的点、边、角、长度和角度，再分析动点的运动路径是直线、线段还是圆弧，把复杂的动态问题转化为熟悉的静态几何模型。若动点在直线或线段上运动，优先考虑垂线段最短、两点之间线段最短，或通过对称、平移转化为将军饮马类模型，求线段和、差与周长的最值。涉及边长范围问题，多用三角形三边关系进行不等式放缩；求面积最值时，一般固定一条边，将问题转化为求这条边上高的最值，再结合面积公式计算。整个解题过程要抓住垂直、共线、直角、直径等特殊临界位置，再通过勾股定理、相似三角形、三角函数等工具算出具体结果，最后检验所得结果能否构成合法的三角形。
1．（2024·宁夏·中考真题）如图，在中，，，，点在直线上，点，在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为．下列结论：
①当时，四边形的周长是；
②当时，点到直线的距离等于；
③在点运动过程中，的面积随着的增大而增大；
④若点，分别是线段，的中点，在点运动过程中，线段的长度不变．其中正确的是（　　）
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中位线定理，矩形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．①当时，得到四边形是矩形，即可求解；②根据“平行线间的距离处处相等”，即可判断；③根据②中的发现即可判断；④利用三角形的中位线定理即可判断．
【详解】解：①当时，，
，
，，
四边形是矩形，
，
，四边形的周长是，故①正确；
②，，，
直线与直线之间的距离是，
当时，点到直线的距离等于，故②错误；
③由②可知点到的距离为定值，即的边上的高为，
又，
的面积为定值，故③错误；
④点，分别是线段，的中点，
是的中位线，
，
即线段的长度不变，故④正确；
故选：A．
2．（2025·四川广元·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B是x轴负半轴上的动点，点C是y轴负半轴上的动点，，则________．
【答案】6
【分析】本题考查了平面直角坐标系中坐标与线段长度的关系、正方形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
作轴于点，轴于点，连接，证明，得到，拆分线段即可求解．
【详解】解：作轴于点，轴于点，连接，如图，
∵，
∴，，
∴四边形为正方形，
∴，
又∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：6．
3．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是_____．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的性质，含角的直角三角形，垂线段最短，解题的关键是正确作出辅助线．
作于点，根据垂线段最短可知，的最小值是线段的长度，根据解含角的直角三角形即可．
【详解】解：如图，作于点，
∵平分，
作点关于的对称点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的最小值是，
故答案为：．
4．（2024·四川内江·中考真题）如图，在中，，，是边上一点，且，点是的内心，的延长线交于点，是上一动点，连接、，则的最小值为________．

【答案】
【分析】在取点F，使，连接，，过点F作于H，利用三角形内心的定义可得出，利用证明，得出，则，当C、P、F三点共线时，最小，最小值为，利用含的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，即可．
【详解】解：在取点F，使，连接，，过点F作于H，

∵I是的内心，
∴平分，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
当C、P、F三点共线时，最小，最小值为，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
5．（2024·山东德州·中考真题）在中，，，点D是上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段顺时针旋转得到线．
(1)如图1，当时，求的度数；
(2)如图2，连接，当时，的大小是否发生变化？如果不变求，的度数；如果变化，请说明理由；
(3)如图3，点M在CD上，且，以点C为中心，将线CM逆时针转得到线段CN，连接EN，若，求线段EN的取值范围．
【答案】(1)
(2)的大小不发生变化，，理由见解析
(3)
【分析】（1）由旋转的性质得，由等边对等角和三角形内角和定理得到，由三角形外角的性质得，进而可求出的度数；
（2）连接交于点O，证明得，再证明即可求出的度数；
（3）过点C作于H，求出，则；由旋转的性质得，，，设，则；如图所示，过点D作于G，则可得到，，由勾股定理得；证明，在中，由勾股定理得 ；再求出，即可得到．
【详解】（1）解：由旋转的性质得．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）解：的大小不发生变化，，理由如下：
连接交于点O，
由旋转的性质得，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，过点C作于H，
∵，，
∴，
∵，
∴；
由旋转的性质得，，，
设，
∵，
∴，
如图所示，过点D作于G，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
在中，由勾股定理得，
∴,
∵，
∴，
在中，由勾股定理得
，
∴或（舍去）；
∵点D是上一个动点（点D不与A，B重合），
∴，即，
∴，
∴．
6．（2024·新疆·中考真题）【探究】
（）已知和都是等边三角形．
①如图，当点在上时，连接．请探究和之间的数量关系，并说明理由；
②如图，当点在线段的延长线上时，连接．请再次探究和之间的数量关系，并说明理由．
【运用】
（）如图，等边三角形中，，点在上，．点是直线上的动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，请直接写出的长．
【答案】（），理由见解析；，理由见解析；（）或．
【分析】（）．证明可得，即得，进而可得；．同理即可求解；
（）分点在上，和点在的延长线上，两种情况，画出图形，结合四点共圆及圆周角定理解答即可求解；
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，解直角三角形，等角对等边，应用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】解：（），理由如下：
∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
，理由如下：
∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
即；
（）解：分两种情况：如图，当点在上，时，
∵和都是等边三角形，
∴，
∴四点共圆，
∵，
∴为该圆的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴；
如图，当点在的延长线上，时，
∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴四点共圆，
∵，
∴为该圆的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上，的长为或．
考点5 新定义问题与阅读理解问题
【解题思路】解决三角形的新定义与阅读理解类问题，首先要做到耐心读题、逐句翻译，把题目中陌生的新概念、新规则、新性质，转化为我们已经学过的边、角、线段、面积、全等、相似等几何语言，先抓住定义的核心条件，明确满足这个新定义需要具备哪些数量关系或位置关系，再在图形里精准标出对应的点、线、角，区分哪些是固定不变的量，哪些是随条件变化的量。解题时要严格以题目给出的新定义为第一依据，不凭经验主观猜测，先判断是否符合定义要求，再进行分类讨论，通常按边的大小、角的类型、动点的位置、图形的形状来分情况，做到不重复、不遗漏；然后将新定义与三角形内角和定理、三边关系、勾股定理、面积公式、相似与全等判定结合起来，把复杂问题拆成几步简单问题，先列式再计算，先判断再证明；遇到动点与新定义结合的题型，要先确定满足新定义的临界位置，再求边长、角度、周长或面积的最值，计算过程要规范严谨，最后一定要把结果代回原题的新定义中检验，确保答案完全符合题意，这类题目看似新颖复杂，本质都是“新瓶装旧酒”，只要读懂规则、准确转化、有序思考，就能稳步得分。
1．（2025·河南·中考真题）定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在中，，，点为边上一点，若为“反直角三角形”，则的长为___________．
【答案】或
【分析】题考查了等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质等知识，理解“反直角三角形”的定义，利用分类讨论的思想解决问题是关键．分情况讨论：①当时，过点作于点，由等腰三角形的性质得到，证明，得到，即可求出的长；②当时，过点作交于点，由等角对等边得到，再证明，设，进而得出，，根据求出的值，即可求出的长；③当时，利用锐角三角函数，得出，，即此种情况不存在；④当时，同③理可证，此种情况不存在；即可得解．
【详解】解：，
，
，
，
，
若为“反直角三角形”，
①当时，过点作于点，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
；
②当时，过点作交于点，
，
，
，
，，
，
，
，
设，则，
，
，，
，
，
；
③当时，
，，且，
，
，
若，则，即，
此种情况不存在；
④当时，
当点与点重合时，最小，此时，
同③理可证，此种情况不存在；
综上可知，的长为或，
故答案为：或．
2．（2024·青海西宁·中考真题）【感知特例】
（1）如图1，点A，在直线上，，，垂足分别为A，，点在线段上，且，垂足为．
结论：
（请将下列证明过程补充完整）
证明：，，，
，
，
，
，（同角的余角相等）
，（两角分别相等的两个三角形相似）
．（相似三角形的对应边成比例）
即
【建构模型】
（2）如图2，点A，在直线上，点在线段上，且．结论仍成立吗？请说明理由．
【解决问题】
如图3，在中，，，点和点分别是线段，上的动点，始终满足．设长为，当 时，有最大值是 ．
【答案】（1）；；；；；；（2）成立，见解析；（3）4，
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、二次函数最值等知识点，熟练掌握三角形相似的判定方法是解题的关键．
（1）先根据余角性质证明，再根据两角分别相等的两个三角形相似证明得出，进而即可证明结论；
（2）先证明，再根据两角分别相等的两个三角形相似证明，得出，进而完成解答；
（3）先根据等腰三角形性质得出，证明，得出，即，求出，然后根据二次函数性质求最大值即可．
【详解】证明：，，，
，
，
，
，（同角的余角相等）
∴，（两角分别相等的两个三角形相似）
．（相似三角形的对应边成比例）
即
故答案为：；；；；；；
（2）成立，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
．即．
（3）∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵设长为，则，
∴，解得：
，
∵，
∴当时，有最大值．
故答案为：4，．
3．（2025·广东深圳·中考真题）综合与探究
【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形．
【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”．
【问题解决】如图3，在四边形中，，，．求：
①与的位置关系为：__________：
②_____．（填“>”，“”或“”）
【方法应用】①如图4，若，将绕点逆时针旋转至，点恰好落在边上，求证：四边形是双等四边形．
②如图5，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由．
【答案】问题解决：①互相平行；②=；【方法应用】①见解析；②或或
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
问题解决：①根据等腰三角形的性质得出，从而可得；
②证明得出，即，由可得结论；
方法应用：①根据双等四边形的定义进行证明；②分，或，或，三种情况讨论求解即可．
【详解】解：[问题解决]①∵，
∴，
∴，
∴；
②∵，，
∴，
，
，
，
；
故答案为：①平行；②＝；
方法应用：①为旋转得到，
，
令，则，，
，
由旋转得，，
又，
∴，
，
，
，
四边形为双等四边形；
②作于点，
，，
，，
设，则： ，
在中，，即，
解得：，
，，
若，时，，
若，时，
，
作于点，
∴，
，
，
若，时，如图，
，
，
，
，
．
综上所述：满足条件时，或或．
4．（2025·江苏苏州·中考真题）综合与实践
小明同学用一副三角板进行自主探究．如图，中，，中，．
【观察感知】
（1）如图①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，交于点F，求的度数和线段的长．（结果保留根号）
【探索发现】
（2）在图①的基础上，保持不动，把绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边上（如图②）．
①求线段的长；（结果保留根号）
②判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1），；（2）①；②，理由见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．
（1）先根据等腰三角形的性质可得，再求出，然后根据三角形的外角性质即可得；最后根据解直角三角形可得的长，根据线段的和差即可得；
（2）①过点作，垂足为，先解直角三角形可得的长，再利用勾股定理可得的长，然后根据线段的和差即可得；
②根据等腰三角形的性质可得，则可得，由此即可得．
【详解】解：（1）∵中，，
∴，
∵中，，
∴，
∴；
在中，，
在中，，
∴．
（2）①如图，过点作，垂足为，
中，，
．
中，．
∴，
．
②，理由如下：
∵在中，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
5．（2025·四川眉山·中考真题）综合与实践
【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程．
【操作实践】如图1，将矩形纸片沿过点C的直线折叠，使点B落在边上的点处，折痕交于点E，再沿着过点，的直线折叠，使点D落在边上的点处，折痕交于点F．将纸片展平，画出对应点、及折痕、，连接、、．
【初步猜想】（1）确定和的位置关系及线段和的数量关系．创新小组经过探究，发现，证明过程如下：由折叠可知，．由矩形的性质，可知，．①________．．智慧小组先测量和的长度，猜想其关系为②________．经过探究，发现验证和数量关系的方法不唯一：
方法一：证明，得到，再由可得结论．
方法二：过点作的平行线交于点G，构造平行四边形，然后证可得结论．
请补充上述过程中横线上的内容．
【推理证明】（2）请你结合智慧小组的探究思路，选择一种方法验证和的数量关系，写出证明过程．
【尝试运用】（3）如图2，在矩形中，，按上述操作折叠并展开后，过点作交于点G，连接．当为直角三角形时，求出的长．
【答案】（1），（2）见解析（3）或4
【分析】（1）根据折叠的性质，折痕为角平分线，结合平行线的性质，得到，猜想；
（2）根据题干给定的2种方法进行证明即可；
（3）设，则，，勾股定理求出，①当 ，根据平行线的判定和性质，以及三角形的外角的性质，推出，进而得到，证明，得到，列出比例式，进行求解即可．②当时，可得，利用三角函数列方程求解即可
【详解】解：（1）由折叠可知，．
由矩形的性质，可知，
．
．
．
智慧小组先测量和的长度，猜想其关系为；
（2）法一：∵矩形，
∴，
∵折叠，
∴，，，
∴，即：，，
由（1）知：
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
法二：作交于点G，则：，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵矩形，
∴，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：作交于点G，则：，
由（2）可知：，，，
∴，
设，则：，，
∴，
如图，当，
∴，
∴，
∴，
又∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在和中，，
∴，即：，
∴，
解得：或（舍去）；
故．
当时，
∵，
∴，
∴三点共线，
∴，
∵四边形是平行四边形
∴四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，即，解得：，
∴
考点6 存在性问题
【解题思路】解决三角形存在性问题，核心是遵循先定类型、再列条件、分类讨论、严谨验证的完整思路，步步推进不遗漏。首先要精准审题，明确题目要求的是哪种特定三角形的存在性，是等腰三角形、直角三角形、等边三角形，还是全等三角形、相似三角形，亦或是满足特定边长、角度、面积条件的普通三角形，同时找准题目中的定点、动点、定边、定角，区分固定量与变量，确定动点的运动范围和限制条件，避免脱离几何场景盲目计算。接着紧扣对应三角形的判定定理，将几何存在性问题转化为代数方程或不等式问题，比如等腰三角形存在性，需按“两两边相等”分三类讨论，明确顶角顶点，避免漏解；直角三角形存在性，要按“哪个角为直角”分类，结合勾股定理、斜率垂直、射影定理等知识列等式；相似三角形存在性，需分不同对应顶点、对应边的情况，利用相似比列方程求解；普通三角形存在性，则必须优先满足三边关系定理，即两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，同时结合内角和为180°排除角度不合理的情况。讨论过程中要做到分类有序、标准统一，按照固定的逻辑顺序梳理情况，杜绝重复或遗漏，尤其涉及动点、坐标类问题，要结合图形位置考虑多解情形，算出代数解后，务必回归几何图形验证，排除点重合、三点共线、边长为负、角度超限、不符合动点范围等无效解，最终筛选出符合所有题干条件的答案，全程做到几何条件与代数计算精准转化，分类不混乱、验证不马虎，确保每一个结果都符合三角形的基本定义和题目全部要求。
1．（2025·广东广州·中考真题）如图1，，为中点，点在上方，连接，．
(1)尺规作图：作点关于点的对称点（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明：四边形为平行四边形；
(2)如图2，延长至点，使得，当点在直线的上方运动，直线的上方有异于点的动点，连接，，，，若，且．
①求证：；
②的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）连接并延长，在的延长线上截取，连接，进而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证；
（2）①根据得出，，根据已知可得；
②根据，，得出在的外接圆上运动，设的外接圆为，设与交于点，连接，证明得出，当为的直径时，取得最大值为，进而即可求解．
【详解】（1）解：如图，
∵为中点，
∴，
根据作图可得，
∴四边形为平行四边形，
（2）①∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴且，
∴，
∴，
②∵，，
∴在的外接圆上运动，设的外接圆为
如图，设与交于点，连接，
∴
∴
∵
∴，
∵
∴
又∵
∴
又，则，
∴
∴
∴当为的直径时，取得最大值为
∴的最大值为
2．（2025·山东青岛·中考真题）如图①，在中，，，，将沿方向平移，得到，过点作，交的延长线于点，为的中点．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接，，．设运动时间为（）．
解答下列问题：
(1)当时，求的值；
(2)如图②，当时，设的面积为（），求与之间的函数关系式；
(3)当时，是否存在某一时刻，使是直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)的值为或．
【分析】（1）由题意得，当时，，求得，再利用三角函数的定义求解即可；
（2）作于点，作于点，同（1）利用三角函数的定义求得，，再根据，利用三角形的面积公式代入数据求解即可；
（3）分两种情况讨论，当时，作于点，交延长线于点，证明，构造一元二次方程，利用公式法求解即可；当时， 作于点，证明，构造一元二次方程，利用公式法求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
∵在中，，，，
∴，
由平移的性质得，，，，，
∵为的中点，
∴，
∵，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得；
（2）解：当时，∴点在线段上，作于点，作于点，
∵，，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
同理，即，
∴，
∵，
∴，
∵
；
∴；
（3）解：存在，理由如下，
由题意，
当时，作于点，交延长线于点，
同理，，，
∴，，
在中，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
整理得，
解得，
∵，
∴；
当时， 作于点，
∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
整理得，
解得，
∵，
∴；
综上，的值为或．
3．（2024·山东青岛·中考真题）如图①，中，中，，边与重合，且顶点E与边上的定点N重合，如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为；同时，动点O从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，与交于点P，连接，设运动时间为．解答下列问题：
(1)当t为何值时，点A在线段的垂直平分线上？
(2)设四边形的面积为S，求S与t的函数关系式；
(3)如图③，过点O作，交于点Q，与关于直线对称，连接．是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)当时，点A在线段的垂直平分线上
(2)
(3)存在使
【分析】（1）先表示出，，再根据线段垂直平分线上的点到相等两端的距离相等得到，据此建立方程求解即可；
（2）如图所示，过点O分别作的垂线，垂足分别为H、G，先由勾股定理得到，再解直角三角形得到，再证明，然后解直角三角形求出的长，最后根据进行求解即可；
（3）过点P作于G，解，得到，，则，进而得到；再解得到，由对称性可得，解得到，由平行线的性质得到，则，即可得到，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：如图①所示，∵ ，
∴，
如图②所示，由题意得，，
∴，
∵点A在线段的垂直平分线上，
∴，
∴，
解得，
∴当时，点A在线段的垂直平分线上；
（2）解：如图所示，过点O分别作的垂线，垂足分别为H、G，
在中，由勾股定理得，
∴，
∵，
∴；
由（1）可知，，
∴，，
在中，，
在中，，
在中，，
∴，
∴
；
（3）解：如图所示，过点P作于G，
由（2）可知，
在中，，，
∴，
∴，
∴；
在中，，
∴，
∵与关于直线对称，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去），
经检验是原方程的解，
∵，
∴符合题意；
综上所述，存在使．
4．（2024·广东·中考真题）【知识技能】
（1）如图1，在中，是的中位线．连接，将绕点D按逆时针方向旋转，得到．当点E的对应点与点A重合时，求证：．
【数学理解】
（2）如图2，在中，是的中位线．连接，将绕点D按逆时针方向旋转，得到，连接，，作的中线．求证：．
【拓展探索】
（3）如图3，在中，，点D在上，．过点D作，垂足为E，，．在四边形内是否存在点G，使得？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，证明见解析
【分析】（1）根据中位线的性质、旋转的性质即可证明；
（2）利用旋转的性质、外角定理、中位线的性质证明后即可证明；
（3）通过解直角三角形得到，，过点C作于点M，易证，得到，即可求得，进而，从而点M是的中点，过点D作，交于点P，连接，，，根据三线合一得，证明，即可求的，过点P作于点N，则四边形是矩形，得到，因此点N是的中点，进而，再证，得到，根据，即可推出，因此当点G与点P重合时，满足．
【详解】证明：（1）是的中位线，
且．
又绕点D按逆时针方向旋转得到
．
（2）由题意可知：，，．
作，则且，
又，
．
根据外角定理
，
，
．
又，是的中位线，
，
，
，
，
，
．
（3）存在点使得．
∵，
∴，
∴在中，，
过点C作于点M，
∴，
∵，
∴
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点M是的中点，
∴是的垂直平分线，
过点D作，交于点P，连接，，
∴，
∴根据三线合一得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
过点P作于点N，则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴点N是的中点，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴
即，
∴，
∴当点G与点P重合时，满足．
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专题11：三角形综合问题
在中考中，涉及三角形综合题的相关题目单独出题的可能性还是比较大的，多以选择、填空题型出现，但是三角形结合其它几何图形、函数出成压轴题的几率特别大，所占分值也是比较多，属于是中考必考的中等偏上难度的考点.本专题只讨论与三角形有关的综合问题压轴．
考点1 与三角形有关的几何三大变换
三角形中的折叠问题
考向解读 1. 全等与对称：折叠前后图形全等，对应边相等、对应角相等，利用平行四边形性质求线段或角度。 2. 折痕位置：折痕过顶点或在内部，常产生等腰三角形、菱形或垂直平分线，需分类讨论。 3. 勾股定理应用：折叠后出现直角三角形，利用勾股定理列方程求折痕长或边长。
方法技能 1. 标出等量关系：折叠后标出所有相等线段和角，找出等腰三角形或全等三角形。 2. 利用对边平行：平行四边形对边平行，折叠产生的角与内错角、同位角相等，用于导角。 3. 勾股列方程：在出现的直角三角形中，设未知数用勾股定理列方程求解。
三角形中的旋转问题
考向解读 1. 全等与相似：旋转前后图形全等，对应边相等、对应角相等，利用旋转角找等角关系。 2. 旋转中心：旋转中心到对应点距离相等，出现等腰三角形，结合旋转角求角度或线段长。 3. 手拉手模型：共顶点双三角形旋转，常考手拉手全等或相似，用于导边导角求值。
方法技能 1. 标对应元素：旋转后标出对应边、对应角，找出相等线段和等角关系。 2. 等腰三角形导角：旋转中心到对应点距离相等，构造等腰三角形求旋转角。 3. 手拉手证全等：出现共顶点旋转，考虑手拉手模型，证三角形全等转移边角。
三角形中的平移问题
考向解读 1. 平移性质：平移前后三角形全等，对应点连线平行且相等，用于求线段长或证明平行关系。 2. 坐标平移：坐标系中三角形平移，顶点坐标按“左减右加x，上加下减y”规律变化。 3. 面积不变：平移不改变三角形面积，常与函数图象平移结合，求重叠面积或新图形解析式。
方法技能 1. 找对应点：平移后标出对应点，利用对应点连线平行且相等列方程求坐标或线段长。 2. 坐标规律：三角形平移时，所有顶点坐标按相同向量变化，直接套用平移公式。 3. 面积转化：平移前后面积相等，用割补法求不规则图形面积或重叠部分面积。
1．（2024·内蒙古·中考真题）如图，在中，，将沿翻折得到，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点为的中点，连接．若，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，等腰中，，，将沿其底边中线向下平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的面积是______．
3．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则______．
4．（2025·北京·中考真题）在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点．
(1)如图1，，点与点重合，求证：；
(2)如图2，点，都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明．
5．（2025·上海·中考真题）小明正在进行探究活动：分割梯形并将其拼成等腰三角形，请你帮他一起探究．
(1)如图（1）所示，在梯形中，，．设为边中点，将绕点旋转，点旋转至点的位置，得到的是等腰三角形，其中，设，求边的长（用表示）；
(2)如图（2）所示，已知梯形中，，且，．请设计一种方案，用一条或两条直线将梯形分割，并使得分割成的几个部分可以通过图形运动拼成与剩余部分不重叠无缝隙的等腰三角形．请写出两腰的线段，以及这两条或一条直线与梯形的交点的位置．（模仿（1）中的论述语言：为边中点，是梯形的顶点）．
6．（2025·辽宁·中考真题）（1）如图1，在与中，与相交于点，，求证：；
（2）如图2，将图1中的绕点逆时针旋转得到，当点的对应点在线段的延长线上时，与相交于点：若，求的长；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长，与的延长线相交于点，连接，求的面积．
考点2 全等与相似问题
一、全等三角形
利用辅助线构造全等三角形：
1）把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．
2）证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．
手拉手模型证全等
1.如图，直线AB的同一侧作 ABC和 AMN都为等边三角形（A、B、N三点共线），连接BM、CN，两者相交于点E
结论：① ABM≌ ACN；②BM=CN；③∠MEN=∠2=60°（拉手线的夹角等于顶角）；④ ANF≌ AMD ；⑤ AFC≌ ADB；⑥连接DF，DF∥BN ；⑦连接AE，AE平分∠BEN ；⑧存在3组四点共圆；⑨EN=EM+EA，EB=EC+EA,EA=ED+EF；
2.如图， ABC和 AMN都为等边三角形（A、B、N三点不共线），连接BM、CN，两者相交于点O.
结论：① ABM≌ ACN；②BM=CN；③∠MON=60°（拉手线的夹角等于顶角）；④连接AO，AO平分∠BON；⑤存在2组四点共圆；⑥ON=OM+OA，OB=OC+OA
3.如图，四边形ABCD和四边形AEFG为正方形，连接EB和GD，两者交于点O.
结论：① AGD≌ AEB；②GD=EB；③GD⊥EB ；④AO平分∠EOD
倍长中线模型
1.已知点D为 ABC中BC边中点，延长线段AD到点E使AD=DE.
结论：①连接EC,则 ABD≌ ECD，AB∥CE；②连接BE,则 ADC≌ EDB，AC∥BE
2.已知点D为 ABC中BC边中点，延长线段DF到点E使DF=DE,连接EC.
结论： BDF≌ CDE
截长补短
模型的概述：该模型适用于求证线段的和差倍分关系，该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明。其中截长指在长线段中截取一段等于已知线段，补短指将短线段延长，使短线段加上延长线段长度等于长线段。
截长法：在线段AB上，截取AG=CD，判断线段GB和线段EF长度是否相等
补短法：延长线段CD至点H，使DH=EF，判断线段AB和线段GH长度是否相等
半角模型：当一个角包含着该角的半角，如90°角包含着45°角，120°角包含着60°角，270°角包含着135°角，即出现倍角关系，且这两个角共顶点，共顶点的两条边相等，则该模型为半角模型。
解题方法为：①过公共点作旋转，②截长补短的方法构造全等解题。
二、相似三角形
判定两个三角形相似需要根据条件选择方法．有时条件不具备，需从以下几个方面探求：
①条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形；
②两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例；
④两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例；
④条件中若有一组直角，可再找一组等角或两边成比例．
相似三角形的常见模型
1.A字模型
结论：① ADE~ ABC；②
结论：① ABC~ ACD ;②;③AC2=AB AD
剪刀反A字模型:① ABC~ ADE; ②.
2.8字模型
结论：正8字模型：① AOB~ COD ②；反8字模型：① AOB~ DOC ②；
3.三角形内接矩形
结论：① ABC~ ADG ；②；③若四边形DEFG为正方形，即= ，若假设DG=x，
则= 若已知BC、AN长，即可求出x的值.
4.旋转相似模型
结论： ABD~ ACE
1．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在中，，点、分别在边和上，且，，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长度为（ ）
A． B． C．2 D．
2．（2025·黑龙江·中考真题）已知：如图，中，，设，点D是直线上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转α至，连接、，过点E作，交直线于点F．探究如下：
(1)若时，
如图①，点D在延长线上时，易证：；
如图②，点D在延长线上时，试探究线段、、之间存在怎样的数量关系，请写出结论，并说明理由．
若，点D在延长线上时，如图③，猜想线段、、之间又有怎样的数量关系？请直接写出结论，不需要证明．
3．（2025·四川巴中·中考真题）如图，在中，，，点P是边AB中点，，．
(1)点N在线段AC上，点M在线段CB上．
①当时，CM的值是______；
②当时，求的值；
点N在射线上，点M在射线CB上．当时，直线MN与射线PC相交于点F，若，求的值．
4．（2024·宁夏·中考真题）综合与实践
如图1，在中，是的平分线，的延长线交外角的平分线于点．
【发现结论】
结论1：___________；
结论2：当图1中时，如图2所示，延长交于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点．则与的数量关系是___________．
【应用结论】
（1）求证：；
（2）在图2中连接，，延长交于点，补全图形，求证：．
5．（2025·山东东营·中考真题）
（1）探索发现
东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在中，，，折叠，使边落在边上，折痕为，则、与的两边、存在着某种关系．如图1，请你帮助项目组判断与的数量关系为____________．
（2）猜想验证
项目组猜想：当为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明．
（3）拓展应用
如图5，在中，平分交于点，为延长线上一点，．求证：．
6．（2025·四川·中考真题）和中，，．
【初步感知】
（1）如图1，若，连接，则与之间的数量关系是____，位置关系是_____；（直接写出结论，不写推理过程）
【深入探究】
（2）如图2，若，将绕点C旋转，设直线与交于点M，与交于点N，试确定与之间的数量关系和位置关系，并说明理由；
【迁移应用】
（3）如图3，当点D在内部，且时，若，，连接，作于点F，交于点G，求的长．
考点3 最值问题
【解题思路】先认真审题，分清题目中的定点、定边、定角与动点、动线段、动角，明确要求的是线段长度、周长还是面积的最值。再根据动点的运动轨迹判断模型：若动点在直线上运动，常用垂线段最短或通过对称、平移转化为两点之间线段最短。遇到线段和或差的最值，多用三角形三边关系进行放缩；面积最值一般固定底边，转化为求高的最值，或固定夹角，利用两边乘积与正弦值求解。整个过程要抓住垂直、共线、直角、直径等特殊临界位置，再结合勾股定理、相似三角形、三角函数等知识计算，最后验证结果能否构成三角形。
1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在中，，以为边作，，点D与点A在的两侧，则的最大值为（ ）
A． B． C．5 D．8
2．（2025·四川巴中·中考真题）在中，，，D为中点，点E在线段上，满足，连接并延长交于点F，当面积最大时，线段等于（ ）
A． B．2 C．2 D．4
3．（2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，，，点、、分别是边、、上的动点，则周长的最小值是______．
4．（2025·四川·中考真题）一块三角形材料的形状如图所示，，．用这块材料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上．则可剪出矩形的最大面积为_____．
5．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在中， ，．将射线绕点C顺时针旋转到，在射线1上取一点D，连结，使得面积为24，连结，则的最大值是________．
6．（2024·广西·中考真题）如图1，中，，．的垂直平分线分别交，于点M，O，平分．
(1)求证：；
(2)如图2，将绕点O逆时针旋转得到，旋转角为．连接，
①求面积的最大值及此时旋转角的度数，并说明理由；
②当是直角三角形时，请直接写出旋转角的度数．
考点4 动点问题
【解题思路】解决三角形动点问题，首先要分清变量与不变量，先锁定题目中固定的点、边、角、长度和角度，再分析动点的运动路径是直线、线段还是圆弧，把复杂的动态问题转化为熟悉的静态几何模型。若动点在直线或线段上运动，优先考虑垂线段最短、两点之间线段最短，或通过对称、平移转化为将军饮马类模型，求线段和、差与周长的最值。涉及边长范围问题，多用三角形三边关系进行不等式放缩；求面积最值时，一般固定一条边，将问题转化为求这条边上高的最值，再结合面积公式计算。整个解题过程要抓住垂直、共线、直角、直径等特殊临界位置，再通过勾股定理、相似三角形、三角函数等工具算出具体结果，最后检验所得结果能否构成合法的三角形。
1．（2024·宁夏·中考真题）如图，在中，，，，点在直线上，点，在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为．下列结论：
①当时，四边形的周长是；
②当时，点到直线的距离等于；
③在点运动过程中，的面积随着的增大而增大；
④若点，分别是线段，的中点，在点运动过程中，线段的长度不变．其中正确的是（　　）
A．①④ B．②③ C．①③ D．②④
2．（2025·四川广元·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B是x轴负半轴上的动点，点C是y轴负半轴上的动点，，则________．
3．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是_____．
4．（2024·四川内江·中考真题）如图，在中，，，是边上一点，且，点是的内心，的延长线交于点，是上一动点，连接、，则的最小值为________．

5．（2024·山东德州·中考真题）在中，，，点D是上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段顺时针旋转得到线．
(1)如图1，当时，求的度数；
(2)如图2，连接，当时，的大小是否发生变化？如果不变求，的度数；如果变化，请说明理由；
(3)如图3，点M在CD上，且，以点C为中心，将线CM逆时针转得到线段CN，连接EN，若，求线段EN的取值范围．
6．（2024·新疆·中考真题）【探究】
（）已知和都是等边三角形．
①如图，当点在上时，连接．请探究和之间的数量关系，并说明理由；
②如图，当点在线段的延长线上时，连接．请再次探究和之间的数量关系，并说明理由．
【运用】
（）如图，等边三角形中，，点在上，．点是直线上的动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，请直接写出的长．
考点5 新定义问题与阅读理解问题
【解题思路】解决三角形的新定义与阅读理解类问题，首先要做到耐心读题、逐句翻译，把题目中陌生的新概念、新规则、新性质，转化为我们已经学过的边、角、线段、面积、全等、相似等几何语言，先抓住定义的核心条件，明确满足这个新定义需要具备哪些数量关系或位置关系，再在图形里精准标出对应的点、线、角，区分哪些是固定不变的量，哪些是随条件变化的量。解题时要严格以题目给出的新定义为第一依据，不凭经验主观猜测，先判断是否符合定义要求，再进行分类讨论，通常按边的大小、角的类型、动点的位置、图形的形状来分情况，做到不重复、不遗漏；然后将新定义与三角形内角和定理、三边关系、勾股定理、面积公式、相似与全等判定结合起来，把复杂问题拆成几步简单问题，先列式再计算，先判断再证明；遇到动点与新定义结合的题型，要先确定满足新定义的临界位置，再求边长、角度、周长或面积的最值，计算过程要规范严谨，最后一定要把结果代回原题的新定义中检验，确保答案完全符合题意，这类题目看似新颖复杂，本质都是“新瓶装旧酒”，只要读懂规则、准确转化、有序思考，就能稳步得分。
1．（2025·河南·中考真题）定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在中，，，点为边上一点，若为“反直角三角形”，则的长为___________．
2．（2024·青海西宁·中考真题）【感知特例】
（1）如图1，点A，在直线上，，，垂足分别为A，，点在线段上，且，垂足为．
结论：
（请将下列证明过程补充完整）
证明：，，，
，
，
，
，（同角的余角相等）
，（两角分别相等的两个三角形相似）
．（相似三角形的对应边成比例）
即
【建构模型】
（2）如图2，点A，在直线上，点在线段上，且．结论仍成立吗？请说明理由．
【解决问题】
如图3，在中，，，点和点分别是线段，上的动点，始终满足．设长为，当 时，有最大值是 ．
3．（2025·广东深圳·中考真题）综合与探究
【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形．
【抽象定义】以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”．
【问题解决】如图3，在四边形中，，，．求：
①与的位置关系为：__________：
②_____．（填“>”，“”或“”）
【方法应用】①如图4，若，将绕点逆时针旋转至，点恰好落在边上，求证：四边形是双等四边形．
②如图5，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由．
4．（2025·江苏苏州·中考真题）综合与实践
小明同学用一副三角板进行自主探究．如图，中，，中，．
【观察感知】
（1）如图①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，交于点F，求的度数和线段的长．（结果保留根号）
【探索发现】
（2）在图①的基础上，保持不动，把绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边上（如图②）．
①求线段的长；（结果保留根号）
②判断与的位置关系，并说明理由．
5．（2025·四川眉山·中考真题）综合与实践
【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程．
【操作实践】如图1，将矩形纸片沿过点C的直线折叠，使点B落在边上的点处，折痕交于点E，再沿着过点，的直线折叠，使点D落在边上的点处，折痕交于点F．将纸片展平，画出对应点、及折痕、，连接、、．
【初步猜想】（1）确定和的位置关系及线段和的数量关系．创新小组经过探究，发现，证明过程如下：由折叠可知，．由矩形的性质，可知，．①________．．智慧小组先测量和的长度，猜想其关系为②________．经过探究，发现验证和数量关系的方法不唯一：
方法一：证明，得到，再由可得结论．
方法二：过点作的平行线交于点G，构造平行四边形，然后证可得结论．
请补充上述过程中横线上的内容．
【推理证明】（2）请你结合智慧小组的探究思路，选择一种方法验证和的数量关系，写出证明过程．
【尝试运用】（3）如图2，在矩形中，，按上述操作折叠并展开后，过点作交于点G，连接．当为直角三角形时，求出的长．
考点6 存在性问题
【解题思路】解决三角形存在性问题，核心是遵循先定类型、再列条件、分类讨论、严谨验证的完整思路，步步推进不遗漏。首先要精准审题，明确题目要求的是哪种特定三角形的存在性，是等腰三角形、直角三角形、等边三角形，还是全等三角形、相似三角形，亦或是满足特定边长、角度、面积条件的普通三角形，同时找准题目中的定点、动点、定边、定角，区分固定量与变量，确定动点的运动范围和限制条件，避免脱离几何场景盲目计算。接着紧扣对应三角形的判定定理，将几何存在性问题转化为代数方程或不等式问题，比如等腰三角形存在性，需按“两两边相等”分三类讨论，明确顶角顶点，避免漏解；直角三角形存在性，要按“哪个角为直角”分类，结合勾股定理、斜率垂直、射影定理等知识列等式；相似三角形存在性，需分不同对应顶点、对应边的情况，利用相似比列方程求解；普通三角形存在性，则必须优先满足三边关系定理，即两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，同时结合内角和为180°排除角度不合理的情况。讨论过程中要做到分类有序、标准统一，按照固定的逻辑顺序梳理情况，杜绝重复或遗漏，尤其涉及动点、坐标类问题，要结合图形位置考虑多解情形，算出代数解后，务必回归几何图形验证，排除点重合、三点共线、边长为负、角度超限、不符合动点范围等无效解，最终筛选出符合所有题干条件的答案，全程做到几何条件与代数计算精准转化，分类不混乱、验证不马虎，确保每一个结果都符合三角形的基本定义和题目全部要求。
1．（2025·广东广州·中考真题）如图1，，为中点，点在上方，连接，．
(1)尺规作图：作点关于点的对称点（保留作图痕迹，不写作法），连接，，并证明：四边形为平行四边形；
(2)如图2，延长至点，使得，当点在直线的上方运动，直线的上方有异于点的动点，连接，，，，若，且．
①求证：；
②的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．
2．（2025·山东青岛·中考真题）如图①，在中，，，，将沿方向平移，得到，过点作，交的延长线于点，为的中点．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接，，．设运动时间为（）．
解答下列问题：
(1)当时，求的值；
(2)如图②，当时，设的面积为（），求与之间的函数关系式；
(3)当时，是否存在某一时刻，使是直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
3．（2024·山东青岛·中考真题）如图①，中，中，，边与重合，且顶点E与边上的定点N重合，如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为；同时，动点O从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，与交于点P，连接，设运动时间为．解答下列问题：
(1)当t为何值时，点A在线段的垂直平分线上？
(2)设四边形的面积为S，求S与t的函数关系式；
(3)如图③，过点O作，交于点Q，与关于直线对称，连接．是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
4．（2024·广东·中考真题）【知识技能】
（1）如图1，在中，是的中位线．连接，将绕点D按逆时针方向旋转，得到．当点E的对应点与点A重合时，求证：．
【数学理解】
（2）如图2，在中，是的中位线．连接，将绕点D按逆时针方向旋转，得到，连接，，作的中线．求证：．
【拓展探索】
（3）如图3，在中，，点D在上，．过点D作，垂足为E，，．在四边形内是否存在点G，使得？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．
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