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广东省深圳市深大附中创新中学2025年中考数学三模试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025·深圳模拟）物资仓库某天运进物资5吨，运出物资3吨，若记运进物资为“”，运出物资为“”，则该仓库当天物资变化的结果可表示为（　　）
A．吨 B．吨 C．吨 D．吨
【答案】C
【知识点】正数、负数的实际应用；有理数的加法实际应用
【解析】【解答】解：由题意得：，
所以该仓库当天物资变化的结果可表示为吨，
故答案为：C．
【分析】由题意，根据有理数加法法则“异号两数相加，绝对值相等时，和为零；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”计算，根据计算结果并结合题意“运进物资为“”，运出物资为“””即可判断求解．
2．（2025·深圳模拟）数学课上，同学们通过下列方式从一个几何体中得到平面图形，其中得到的平面图形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】几何体的展开图；截一个几何体；简单几何体的三视图；正投影
【解析】【解答】A、 圆锥的侧面展开图是扇形，不是圆，A 不符合题意；
B、 横放圆柱的俯视图是矩形，不是圆，B 不符合题意；
C、 用平行于赤道的平面截取球体，得到的截面是圆，不是椭圆，C 不符合题意；
D、 正方体在正上方点光源下的中心投影可以得到正方形，D 符合题意；
故答案为：D。
【分析】先回忆圆锥侧面展开、圆柱俯视图、球体截面的标准形状，再结合中心投影的特点判断正方体投影的合理性判断选项。
3．（2025·深圳模拟）动车组列车的普通坐席位置通常用A，B，C，D，F五个字母表示，其中A，F代表靠窗坐席，随机购买一张普通动车组列车车票，坐席靠窗位置的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意知，共有5种等可能的结果，其中座位是靠窗的结果有2种，
∴座位是靠窗的概率为．
故选：B．
【分析】根据题意可知共有5种等可能的结果，其中座位是靠窗的结果有2种，利用概率公式可得答案．
4．（2025·深圳模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】A、 合并同类项时，系数相加、字母及指数不变，2a+3a=5a，不是 5a2，A 不符合题意；
B、 同底数幂相乘，底数不变、指数相加，a2 a3=a(2+3)=a5，不是 a6，B 不符合题意；
C、 由平方差公式 (a+2)(a 2)=a2 22=a2 4，计算正确，C 符合题意；
D、 幂的乘方，底数不变、指数相乘，(a2)5=a(2×5)=a ，不是 a7，D 不符合题意；
故答案为：C。
【分析】先明确合并同类项、同底数幂乘法、平方差公式、幂的乘方的运算法则，再逐一验证选项，排除违背法则的计算，选出正确结果。
5．（2025·深圳模拟）如图，、是两面平行放置的平面镜，一束光线在点处经平面镜反射后得到光线，在点处经平面镜反射后得到光线，已知，，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵ 两块平面镜平行放置，
∴ AB ∥ CD，
∴ ∠2 = ∠3（两直线平行，内错角相等）。
∵ ∠MPN = 70°，且∠1 = ∠2（反射角等于入射角），
∴ ∠1 = ∠2 = ，
∴ ∠3 = ∠2 = 55°。
又∵ ∠3 = ∠4（反射角等于入射角），
∴ ∠4 = 55°。
故答案为：D。
【分析】先利用“两直线平行，内错角相等”得到∠2=∠3，再结合反射角等于入射角及平角为180°的性质，通过角度和差运算求出∠2的度数，最后依据反射规律推得∠4的大小。
6．（2025·深圳模拟）“书香中国，读领未来”，4月23日是世界读书日，某班37名学生给班级捐赠图书活动中共捐92本书，其中女生平均每人捐3本，男生平均每人捐2本，设该班女生有人，男生有人．根据题意，所列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：解：设该班女生有人，男生有人。
根据“37名学生”这一总人数条件，可得男女学生人数之和为37，即 。
再根据“共捐92本书，女生平均每人捐3本，男生平均每人捐2本”的条件，可得女生捐书总数与男生捐书总数之和为92，即 。
联立上述两个方程，可得方程组：
故答案为：A。
【分析】先依据“男女生总人数”建立人数关联的方程，再根据“图书总捐赠量”构建书本数量的方程，最终组合成正确的方程组。
7．（2025·深圳模拟）现有甲、乙两款电压不同的蓄电池，蓄电池的电压都为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它们的图象如图所示．若平行于纵轴的直线交的图象于点，交的图象于点，过点分别作纵轴的垂线，垂足为，则矩形的面积表示的实际意义是（　　）
A．经过用电器的电流的差值
B．两款蓄电池的电压的差值
C．当经过用电器的电流相同时的电阻的差值
D．当用电器的电阻相同时的电流的差值
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解： 如图所示：
由物理公式可知，电流 、电压 和电阻 满足关系 ，变形可得 。
在函数图象中，某一点对应的横坐标（电阻 ）与纵坐标（电流 ）的乘积，即为该点所在曲线表示的蓄电池电压。
对于点 ，其所在曲线对应的电压 可表示为矩形 的面积，即 ；
对于点 ，其所在曲线对应的电压 可表示为矩形 的面积，即 。
观察图形，矩形 的面积等于大矩形 的面积减去小矩形 的面积，即：
。
因此，矩形 的面积实际代表了两款蓄电池的电压之差。
故答案为：B。
【分析】欧姆定律将反比例函数图象上点的横纵坐标乘积转化为电压，再通过矩形面积差得出MNPQ的面积代表两款蓄电池的电压差值。
8．（2025·深圳模拟）如图1是背肌训练器实物图，图2都是这个训练器在被使用过程中的示意图，立柱竖直固定在水平地面上，摆臂可绕点在一定范围内上下转动，的长为米．的长为米．小滨将摆臂绕点O往下拉，现小滨将摆臂下拉到图2位置，，则握手点B离水平地面的竖直高度为（　　）
（参考数据，，）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图：
过点作，垂足为，则的长度即为握手点到水平地面的竖直高度。
在中，，米，
由余弦的定义可得：
已知米，因此：
所以，握手点离水平地面的竖直高度约为米。
故答案为：B。
【分析】通过作高构造直角三角形，先利用余弦函数求出直角边 OE 的长度，再结合已知的 OA 长度，通过线段差 AE=OA OE，最终得到握手点 B 的竖直高度
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
9．（2025·深圳模拟）若，则　 　．
【答案】3
【知识点】分式的基本性质；分式的约分
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：
【分析】将 a=3b 直接代入分式 中，约去 b 后计算得到结果为 3。
10．（2025·深圳模拟）已知，，则代数式的值为　 　．
【答案】6
【知识点】因式分解﹣提公因式法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：因为，，
故答案为：
【分析】先对代数式 提取公因式 ，变形为 ，再将 、 整体代入计算，得到结果为6。
11．（2025·深圳模拟）如图某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，并在门洞外侧沿圆弧形边缘装一条灯带．如图，已知矩形的宽为，高为，圆弧所在的圆外接于矩形，则需要的灯带的长度至少是　 　．（结果保留）
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；圆周角定理；弧长的计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，连接，，交于O点，
由条件可知是直径，
，
四边形是矩形，
，
，
，
∴是等边三角形，
，
门洞的圆弧所对的圆心角为，
改建后门洞的圆弧长是，
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理求出圆的直径，再根据矩形边长证明△COD 是等边三角形，得到圆弧所对的圆心角为 300°，最后用弧长公式计算出灯带的长度。
12．（2025·深圳模拟）如图，将平行四边形绕点A旋转得到平行四边形，点落在边上，若，当B、、三点共线时，等于　 　．
【答案】28
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】平行四边形绕点A旋转得到平行四边形，
，，，
，
，
，
，
等于28，
故答案为：.
【分析】先根据平行四边形和旋转的性质得到∠C'=∠C=76°、AB'=AB，再由平行线性质推出∠AB'B=76°，最后利用等腰三角形等边对等角和三角形内角和定理求出旋转角∠B'AB=28°，即 α=28°。
13．（2025·深圳模拟）如图，在中，是上一点，连接，，过作于点，交于点，且，若，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
∴设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图所示，在上取一点T，连接使得，过点T作于H，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】 先通过设角和等腰三角形性质证明 BA=BC，再构造辅助线证明三角形全等得到线段等量关系，接着用勾股定理和面积法求出相关线段长度，最后通过相似三角形的比例关系算出 DF 的长度。
三、计算题：本大题共1小题，共5分．
14．（2025·深圳模拟）计算：
【答案】解：原式=-+（-1）-1
=4-+-1-1
=2.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】分别计算出负整数指数幂、特殊角的三角函数、化简绝对值和零指数幂，再进行加减计算即可．
四、解答题：本题共6小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（2025·深圳模拟）观察下面习题的解答过程．
题目：化简：， 解：原式①， …②， ③
解答过程中开始出现错误的步骤是______（填序号），请写出正确的化简过程．
【答案】①；由解题步骤可得开始出现错误的步骤是①，
正确的化简过程如下：
原式
，
【知识点】解分式方程；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】由解题步骤可得开始出现错误的步骤是①，
故答案为：①．
【分析】先将整式部分 x+1 提取负号变为 (x 1)，再与分式通分，最后通过完全平方公式展开并合并同类项，得到最简分式。
16．（2025·深圳模拟）我国机器人产业正处于高速发展的关键时期．年春晚名为《秧BOT》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到秧歌的独特韵味．某科研团队研发了三款智能机器人，分别命名为A、B、．为测试这三款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图象识别能力测试中，A、B、C三款机器人的得分（满分为100分）分别为87分、85分、90分．运动能力测试由10位专业测试员打分，每位测试员最高打10分，各位测试员打分之和为运动能力测试成绩．现需对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析．
【数据收集与整理】
A、B、C三款机器人运动能力测试情况统计表
机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差
A m 9和10 85
B 8 87
C 8 n 83
任务1：______，______；
【数据分析与运用】
任务2：按图象识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你判断A、B、C三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？
任务3：如果要选择A、B、C三款机器人中的一款上台表演，你会选择哪一款？请给出你的理由．
【答案】解：任务1 ：9；8；
任务2：款机器人的综合成绩为分，
B款机器人的综合成绩为（分），
C款机器人的综合成绩为（分），
，
综合成绩最高的是B款机器人．
任务3：选择B款机器人，理由如下：
由折线统计图可判断B款机器人的得分波动比A款机器人的得分波动小，
，
由表知，
，
测试员对B款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高；
选择B款机器人．
【知识点】扇形统计图；折线统计图；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：任务1：由折线统计图可知，A款机器人测试员打分从低到高排列为：6，7，7，8，9，9，9，10，10，10，
款机器人测试员打分的中位数，
由扇形统计图可知，C款机器人运动能力得分出现次数最多的是8分，
，
故答案为：9；8；
【分析】任务 1 先将 A 款机器人测试员打分排序，取中间两个数的平均数得到中位数m=9；再根据扇形统计图中占比最高的得分确定 C 款的众数n=8。
任务 2 分别按 “图象识别成绩 ×40% + 运动能力成绩 ×60%” 计算三款机器人的综合成绩，比较后得出 B 款综合成绩最高。
任务 3 结合运动能力测试的方差（得分稳定性）、综合成绩等因素，选择 B 款机器人，理由是其综合成绩最高且得分波动更小、表现更稳定。
17．（2025·深圳模拟）2025年蛇年春晚吉祥物形象“巳升升”已正式发布亮相，因其憨态可掬的眉眼与满满的中式美好寓意，“巳升升”受到广大群众的喜爱．某厂家生产A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的批发单价比B款吉祥物的批发单价高20元．若花800元批发购买A款吉祥物的数量与花600元批发购买B款吉祥物的数量相同．
（1）求A，B两款“巳升升”吉祥物的批发单价分别是多少元？
（2）某网店从该厂家处批发购进了A，B两款型号的“巳升升”吉祥物共60个，A款吉祥物的数量不超过B款吉祥物数量的一半，B款吉祥物售价为80元/个，A款吉祥物的售价比B款吉祥物的售价高．若购进的这两种型号吉祥物全部售出，且要使得该网店所获利润最多，则该网店购进A款吉祥物多少个？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设A款“巳升升”吉祥物的批发单价为元，则B款“巳升升”吉祥物的批发单价为元，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：A款“巳升升”吉祥物的批发单价为元，B款“巳升升”吉祥物的批发单价为元
（2）解：由题意得，A款售价为元/个，
设购进A款“巳升升”个，则购进B款“巳升升”个，
∵A款吉祥物的数量不超过B款吉祥物数量的一半，
∴，
，
设利润为W元，
∴
，
∵，
W随着m增大而增大，
当时，W有最大值，最大值为为．
答：购进A款“巳升升”吉祥物20个时，获得最大利润，最大利润为1280元
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A款“巳升升”吉祥物的批发单价为元，则B款“巳升升”吉祥物的批发单价为元，根据花800元批发购买A款吉祥物的数量与花600元批发购买B款吉祥物的数量相同建立方程，解方程即可求出答案.
（2）先求出A的售价，再设购进A款“巳升升”个，则购进B款“巳升升”个，根据A款吉祥物的数量不超过B款吉祥物数量的一半建立不等式求出m的取值范围，再分别求出A，B两款吉祥物的利润，进而得到总利润与m之间的一次函数关系式，结合一次函数性质即可求出答案.
（1）解：设A款“巳升升”吉祥物的批发单价为元，则B款“巳升升”吉祥物的批发单价为元，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：A款“巳升升”吉祥物的批发单价为元，B款“巳升升”吉祥物的批发单价为元；
（2）解：由题意得，A款售价为元/个，
设购进A款“巳升升”个，则购进B款“巳升升”个，
∵A款吉祥物的数量不超过B款吉祥物数量的一半，
∴，
，
设利润为W元，
∴
，
∵，
W随着增大而增大，
当时，W有最大值，最大值为为．
答：购进A款“巳升升”吉祥物20个时，获得最大利润，最大利润为1280元．
18．（2025·深圳模拟）如图，点P是外一点，是的切线，切点为B，连接．
（1）尺规作图：在上方作射线，满足（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，
①求证：是的切线；
②连接并延长，交射线于点D，若，，求的半径．
【答案】（1）
（2）①证明：如图，过点O作于点∵是的切线，
∴，
，
，
是的切线；
②解：，
，，
∵，是的切线，
∴，
，
在和中，
，，
，
，
，
的半径为
【知识点】切线的判定与性质；解直角三角形；角平分线的概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：图形如图所示：
【分析】(1) 以 P 为圆心、适当长为半径画弧分别交 PB、PO 于两点，再分别以这两点为圆心、相同长度为半径画弧交于一点，连接 P 与该点得到射线 PQ，即可使∠OPQ=∠OPB。
(2) ① 过 O 作 OA⊥PQ 于 A，利用角平分线的性质得 OA=OB（OB 为半径），根据 “到圆心距离等于半径的直线是圆的切线” 可证 PQ 是⊙O 的切线。
② 先由 sin∠BDP= 和 PB=6 求出 PD、BD 的长度，再由切线长定理得 PA=PB=6，进而得到 AD 的长度，最后通过证明△DAO∽△DPB，利用相似三角形的比例关系求出 OA（即⊙O 的半径）为 3。
（1）解：图形如图所示：
（2）①证明：如图，过点O作于点
∵是的切线，
∴，
，
，
是的切线；
②解：，
，，
∵，是的切线，
∴，
，
在和中，
，，
，
，
，
的半径为
19．（2025·深圳模拟）【定义与性质】
如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和．
定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线．
性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；
②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上．
【理解与运用】
（1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______．
【思考与探究】
（2）设函数的图象为抛物线．
①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值；
②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围．
【答案】解：（1）2；；
（2）①，
∴顶点坐标为：，
∵函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，
∴，
整理得：，
∴；
②或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：（1）二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，
∴点在的图象上
代入得：，，
解得：，，
故答案为：2；；
（2）②∵与x轴有两个不同的交点，，
由①得：函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，
∴顶点坐标在图象上滑动，顶点为，
当时，
解得：或，
抛物线与x轴交两个点，
当顶点在下方时，抛物线有两个交点，，
∵若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即C的顶点在上．
∴在上，
当顶点在下方时，；
综上可得：或．
【分析】（1）由伴随抛物线的定义可得点都在图象上，从而分别代入求解即可；
（2）①利用配方法确定出抛物线C2的顶点坐标为，然后代入抛物线C0的解析式得出，即可求解；
②抛物线C2的顶点坐标为在图象上滑动，抛物线C0的顶点坐标为（2，9），令抛物线C0中的y=0算出对应的自变量的值，可得其与x轴两交点的坐标为（-1，0）与（5，0）；然后分当顶点在（-1，0）下方时，抛物线有两个交点，当顶点在（5，0）下方时，两种情况分析即可得出结果．
20．（2025·深圳模拟）【问题探究】
（1）如图1，已知点A与点C关于．对称，则_____ ；（填“”“ ”或“”）
（2）如图2，在菱形中，点E是上的点，连接；将沿翻折得到，点C的对应点F恰好落在边上，延长交的延长线于点．若菱形的边长为5，，求的长；
【问题解决】
（3）如图3，某地有一块形如平行四边形的空地，已知，，，园林规划局计划在这片空地上开垦出一片区域，用于种植珍稀树苗，且用栅栏保护．根据规划要求，点E在线段上，点F在线段上，且点F与点D关于对称，点H在线段上，，求栅栏的长（即四边形的周长）．
【答案】解：（1）；
（2）延长，相交于点H，
将沿翻折得到，
，，
又，
，
，
四边形为菱形，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
；
（3）如图3，连接与相交于点O，过点F作的延长线于点G，延长交的延长线于点M，则，
点F与点D关于对称，
，，，，，，
，
，
，
，
四边形是菱形，
四边形为平行四边形，
，，
，，
又，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
设，则，
，
，
解得（不合，舍去），，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
栅栏的长．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：（1）∵点A与点C关于对称，
，
故答案为：；
【分析】(1)根据轴对称的性质，关于直线对称的点到对称轴的距离相等，因此 。
(2)先由折叠性质和菱形边长证明 得 ，再通过 证明 ，利用相似比求出 ，最后结合 算出 。
(3)先由轴对称和平行线性质证明四边形 是菱形，再构造等腰直角三角形和全等三角形求出相关线段长度，接着通过相似三角形求出菱形边长 ，最后计算出菱形周长即为栅栏的长。
1 / 1广东省深圳市深大附中创新中学2025年中考数学三模试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025·深圳模拟）物资仓库某天运进物资5吨，运出物资3吨，若记运进物资为“”，运出物资为“”，则该仓库当天物资变化的结果可表示为（　　）
A．吨 B．吨 C．吨 D．吨
2．（2025·深圳模拟）数学课上，同学们通过下列方式从一个几何体中得到平面图形，其中得到的平面图形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·深圳模拟）动车组列车的普通坐席位置通常用A，B，C，D，F五个字母表示，其中A，F代表靠窗坐席，随机购买一张普通动车组列车车票，坐席靠窗位置的概率为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·深圳模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·深圳模拟）如图，、是两面平行放置的平面镜，一束光线在点处经平面镜反射后得到光线，在点处经平面镜反射后得到光线，已知，，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·深圳模拟）“书香中国，读领未来”，4月23日是世界读书日，某班37名学生给班级捐赠图书活动中共捐92本书，其中女生平均每人捐3本，男生平均每人捐2本，设该班女生有人，男生有人．根据题意，所列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025·深圳模拟）现有甲、乙两款电压不同的蓄电池，蓄电池的电压都为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它们的图象如图所示．若平行于纵轴的直线交的图象于点，交的图象于点，过点分别作纵轴的垂线，垂足为，则矩形的面积表示的实际意义是（　　）
A．经过用电器的电流的差值
B．两款蓄电池的电压的差值
C．当经过用电器的电流相同时的电阻的差值
D．当用电器的电阻相同时的电流的差值
8．（2025·深圳模拟）如图1是背肌训练器实物图，图2都是这个训练器在被使用过程中的示意图，立柱竖直固定在水平地面上，摆臂可绕点在一定范围内上下转动，的长为米．的长为米．小滨将摆臂绕点O往下拉，现小滨将摆臂下拉到图2位置，，则握手点B离水平地面的竖直高度为（　　）
（参考数据，，）
A．米 B．米 C．米 D．米
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
9．（2025·深圳模拟）若，则　 　．
10．（2025·深圳模拟）已知，，则代数式的值为　 　．
11．（2025·深圳模拟）如图某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，并在门洞外侧沿圆弧形边缘装一条灯带．如图，已知矩形的宽为，高为，圆弧所在的圆外接于矩形，则需要的灯带的长度至少是　 　．（结果保留）
12．（2025·深圳模拟）如图，将平行四边形绕点A旋转得到平行四边形，点落在边上，若，当B、、三点共线时，等于　 　．
13．（2025·深圳模拟）如图，在中，是上一点，连接，，过作于点，交于点，且，若，，则的长为　 　．
三、计算题：本大题共1小题，共5分．
14．（2025·深圳模拟）计算：
四、解答题：本题共6小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（2025·深圳模拟）观察下面习题的解答过程．
题目：化简：， 解：原式①， …②， ③
解答过程中开始出现错误的步骤是______（填序号），请写出正确的化简过程．
16．（2025·深圳模拟）我国机器人产业正处于高速发展的关键时期．年春晚名为《秧BOT》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到秧歌的独特韵味．某科研团队研发了三款智能机器人，分别命名为A、B、．为测试这三款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图象识别能力测试中，A、B、C三款机器人的得分（满分为100分）分别为87分、85分、90分．运动能力测试由10位专业测试员打分，每位测试员最高打10分，各位测试员打分之和为运动能力测试成绩．现需对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析．
【数据收集与整理】
A、B、C三款机器人运动能力测试情况统计表
机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差
A m 9和10 85
B 8 87
C 8 n 83
任务1：______，______；
【数据分析与运用】
任务2：按图象识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你判断A、B、C三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？
任务3：如果要选择A、B、C三款机器人中的一款上台表演，你会选择哪一款？请给出你的理由．
17．（2025·深圳模拟）2025年蛇年春晚吉祥物形象“巳升升”已正式发布亮相，因其憨态可掬的眉眼与满满的中式美好寓意，“巳升升”受到广大群众的喜爱．某厂家生产A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的批发单价比B款吉祥物的批发单价高20元．若花800元批发购买A款吉祥物的数量与花600元批发购买B款吉祥物的数量相同．
（1）求A，B两款“巳升升”吉祥物的批发单价分别是多少元？
（2）某网店从该厂家处批发购进了A，B两款型号的“巳升升”吉祥物共60个，A款吉祥物的数量不超过B款吉祥物数量的一半，B款吉祥物售价为80元/个，A款吉祥物的售价比B款吉祥物的售价高．若购进的这两种型号吉祥物全部售出，且要使得该网店所获利润最多，则该网店购进A款吉祥物多少个？最大利润是多少？
18．（2025·深圳模拟）如图，点P是外一点，是的切线，切点为B，连接．
（1）尺规作图：在上方作射线，满足（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，
①求证：是的切线；
②连接并延长，交射线于点D，若，，求的半径．
19．（2025·深圳模拟）【定义与性质】
如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和．
定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线．
性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线；
②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上．
【理解与运用】
（1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______．
【思考与探究】
（2）设函数的图象为抛物线．
①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值；
②若抛物线与x轴有两个不同的交点，，请直接写出的取值范围．
20．（2025·深圳模拟）【问题探究】
（1）如图1，已知点A与点C关于．对称，则_____ ；（填“”“ ”或“”）
（2）如图2，在菱形中，点E是上的点，连接；将沿翻折得到，点C的对应点F恰好落在边上，延长交的延长线于点．若菱形的边长为5，，求的长；
【问题解决】
（3）如图3，某地有一块形如平行四边形的空地，已知，，，园林规划局计划在这片空地上开垦出一片区域，用于种植珍稀树苗，且用栅栏保护．根据规划要求，点E在线段上，点F在线段上，且点F与点D关于对称，点H在线段上，，求栅栏的长（即四边形的周长）．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】正数、负数的实际应用；有理数的加法实际应用
【解析】【解答】解：由题意得：，
所以该仓库当天物资变化的结果可表示为吨，
故答案为：C．
【分析】由题意，根据有理数加法法则“异号两数相加，绝对值相等时，和为零；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”计算，根据计算结果并结合题意“运进物资为“”，运出物资为“””即可判断求解．
2．【答案】D
【知识点】几何体的展开图；截一个几何体；简单几何体的三视图；正投影
【解析】【解答】A、 圆锥的侧面展开图是扇形，不是圆，A 不符合题意；
B、 横放圆柱的俯视图是矩形，不是圆，B 不符合题意；
C、 用平行于赤道的平面截取球体，得到的截面是圆，不是椭圆，C 不符合题意；
D、 正方体在正上方点光源下的中心投影可以得到正方形，D 符合题意；
故答案为：D。
【分析】先回忆圆锥侧面展开、圆柱俯视图、球体截面的标准形状，再结合中心投影的特点判断正方体投影的合理性判断选项。
3．【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意知，共有5种等可能的结果，其中座位是靠窗的结果有2种，
∴座位是靠窗的概率为．
故选：B．
【分析】根据题意可知共有5种等可能的结果，其中座位是靠窗的结果有2种，利用概率公式可得答案．
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】A、 合并同类项时，系数相加、字母及指数不变，2a+3a=5a，不是 5a2，A 不符合题意；
B、 同底数幂相乘，底数不变、指数相加，a2 a3=a(2+3)=a5，不是 a6，B 不符合题意；
C、 由平方差公式 (a+2)(a 2)=a2 22=a2 4，计算正确，C 符合题意；
D、 幂的乘方，底数不变、指数相乘，(a2)5=a(2×5)=a ，不是 a7，D 不符合题意；
故答案为：C。
【分析】先明确合并同类项、同底数幂乘法、平方差公式、幂的乘方的运算法则，再逐一验证选项，排除违背法则的计算，选出正确结果。
5．【答案】D
【知识点】平行线的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵ 两块平面镜平行放置，
∴ AB ∥ CD，
∴ ∠2 = ∠3（两直线平行，内错角相等）。
∵ ∠MPN = 70°，且∠1 = ∠2（反射角等于入射角），
∴ ∠1 = ∠2 = ，
∴ ∠3 = ∠2 = 55°。
又∵ ∠3 = ∠4（反射角等于入射角），
∴ ∠4 = 55°。
故答案为：D。
【分析】先利用“两直线平行，内错角相等”得到∠2=∠3，再结合反射角等于入射角及平角为180°的性质，通过角度和差运算求出∠2的度数，最后依据反射规律推得∠4的大小。
6．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：解：设该班女生有人，男生有人。
根据“37名学生”这一总人数条件，可得男女学生人数之和为37，即 。
再根据“共捐92本书，女生平均每人捐3本，男生平均每人捐2本”的条件，可得女生捐书总数与男生捐书总数之和为92，即 。
联立上述两个方程，可得方程组：
故答案为：A。
【分析】先依据“男女生总人数”建立人数关联的方程，再根据“图书总捐赠量”构建书本数量的方程，最终组合成正确的方程组。
7．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解： 如图所示：
由物理公式可知，电流 、电压 和电阻 满足关系 ，变形可得 。
在函数图象中，某一点对应的横坐标（电阻 ）与纵坐标（电流 ）的乘积，即为该点所在曲线表示的蓄电池电压。
对于点 ，其所在曲线对应的电压 可表示为矩形 的面积，即 ；
对于点 ，其所在曲线对应的电压 可表示为矩形 的面积，即 。
观察图形，矩形 的面积等于大矩形 的面积减去小矩形 的面积，即：
。
因此，矩形 的面积实际代表了两款蓄电池的电压之差。
故答案为：B。
【分析】欧姆定律将反比例函数图象上点的横纵坐标乘积转化为电压，再通过矩形面积差得出MNPQ的面积代表两款蓄电池的电压差值。
8．【答案】B
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图：
过点作，垂足为，则的长度即为握手点到水平地面的竖直高度。
在中，，米，
由余弦的定义可得：
已知米，因此：
所以，握手点离水平地面的竖直高度约为米。
故答案为：B。
【分析】通过作高构造直角三角形，先利用余弦函数求出直角边 OE 的长度，再结合已知的 OA 长度，通过线段差 AE=OA OE，最终得到握手点 B 的竖直高度
9．【答案】3
【知识点】分式的基本性质；分式的约分
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：
【分析】将 a=3b 直接代入分式 中，约去 b 后计算得到结果为 3。
10．【答案】6
【知识点】因式分解﹣提公因式法；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：因为，，
故答案为：
【分析】先对代数式 提取公因式 ，变形为 ，再将 、 整体代入计算，得到结果为6。
11．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；圆周角定理；弧长的计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，连接，，交于O点，
由条件可知是直径，
，
四边形是矩形，
，
，
，
∴是等边三角形，
，
门洞的圆弧所对的圆心角为，
改建后门洞的圆弧长是，
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理求出圆的直径，再根据矩形边长证明△COD 是等边三角形，得到圆弧所对的圆心角为 300°，最后用弧长公式计算出灯带的长度。
12．【答案】28
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】平行四边形绕点A旋转得到平行四边形，
，，，
，
，
，
，
等于28，
故答案为：.
【分析】先根据平行四边形和旋转的性质得到∠C'=∠C=76°、AB'=AB，再由平行线性质推出∠AB'B=76°，最后利用等腰三角形等边对等角和三角形内角和定理求出旋转角∠B'AB=28°，即 α=28°。
13．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
∴设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图所示，在上取一点T，连接使得，过点T作于H，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】 先通过设角和等腰三角形性质证明 BA=BC，再构造辅助线证明三角形全等得到线段等量关系，接着用勾股定理和面积法求出相关线段长度，最后通过相似三角形的比例关系算出 DF 的长度。
14．【答案】解：原式=-+（-1）-1
=4-+-1-1
=2.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】分别计算出负整数指数幂、特殊角的三角函数、化简绝对值和零指数幂，再进行加减计算即可．
15．【答案】①；由解题步骤可得开始出现错误的步骤是①，
正确的化简过程如下：
原式
，
【知识点】解分式方程；异分母分式的加、减法
【解析】【解答】由解题步骤可得开始出现错误的步骤是①，
故答案为：①．
【分析】先将整式部分 x+1 提取负号变为 (x 1)，再与分式通分，最后通过完全平方公式展开并合并同类项，得到最简分式。
16．【答案】解：任务1 ：9；8；
任务2：款机器人的综合成绩为分，
B款机器人的综合成绩为（分），
C款机器人的综合成绩为（分），
，
综合成绩最高的是B款机器人．
任务3：选择B款机器人，理由如下：
由折线统计图可判断B款机器人的得分波动比A款机器人的得分波动小，
，
由表知，
，
测试员对B款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高；
选择B款机器人．
【知识点】扇形统计图；折线统计图；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：任务1：由折线统计图可知，A款机器人测试员打分从低到高排列为：6，7，7，8，9，9，9，10，10，10，
款机器人测试员打分的中位数，
由扇形统计图可知，C款机器人运动能力得分出现次数最多的是8分，
，
故答案为：9；8；
【分析】任务 1 先将 A 款机器人测试员打分排序，取中间两个数的平均数得到中位数m=9；再根据扇形统计图中占比最高的得分确定 C 款的众数n=8。
任务 2 分别按 “图象识别成绩 ×40% + 运动能力成绩 ×60%” 计算三款机器人的综合成绩，比较后得出 B 款综合成绩最高。
任务 3 结合运动能力测试的方差（得分稳定性）、综合成绩等因素，选择 B 款机器人，理由是其综合成绩最高且得分波动更小、表现更稳定。
17．【答案】（1）解：设A款“巳升升”吉祥物的批发单价为元，则B款“巳升升”吉祥物的批发单价为元，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：A款“巳升升”吉祥物的批发单价为元，B款“巳升升”吉祥物的批发单价为元
（2）解：由题意得，A款售价为元/个，
设购进A款“巳升升”个，则购进B款“巳升升”个，
∵A款吉祥物的数量不超过B款吉祥物数量的一半，
∴，
，
设利润为W元，
∴
，
∵，
W随着m增大而增大，
当时，W有最大值，最大值为为．
答：购进A款“巳升升”吉祥物20个时，获得最大利润，最大利润为1280元
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A款“巳升升”吉祥物的批发单价为元，则B款“巳升升”吉祥物的批发单价为元，根据花800元批发购买A款吉祥物的数量与花600元批发购买B款吉祥物的数量相同建立方程，解方程即可求出答案.
（2）先求出A的售价，再设购进A款“巳升升”个，则购进B款“巳升升”个，根据A款吉祥物的数量不超过B款吉祥物数量的一半建立不等式求出m的取值范围，再分别求出A，B两款吉祥物的利润，进而得到总利润与m之间的一次函数关系式，结合一次函数性质即可求出答案.
（1）解：设A款“巳升升”吉祥物的批发单价为元，则B款“巳升升”吉祥物的批发单价为元，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：A款“巳升升”吉祥物的批发单价为元，B款“巳升升”吉祥物的批发单价为元；
（2）解：由题意得，A款售价为元/个，
设购进A款“巳升升”个，则购进B款“巳升升”个，
∵A款吉祥物的数量不超过B款吉祥物数量的一半，
∴，
，
设利润为W元，
∴
，
∵，
W随着增大而增大，
当时，W有最大值，最大值为为．
答：购进A款“巳升升”吉祥物20个时，获得最大利润，最大利润为1280元．
18．【答案】（1）
（2）①证明：如图，过点O作于点∵是的切线，
∴，
，
，
是的切线；
②解：，
，，
∵，是的切线，
∴，
，
在和中，
，，
，
，
，
的半径为
【知识点】切线的判定与性质；解直角三角形；角平分线的概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：图形如图所示：
【分析】(1) 以 P 为圆心、适当长为半径画弧分别交 PB、PO 于两点，再分别以这两点为圆心、相同长度为半径画弧交于一点，连接 P 与该点得到射线 PQ，即可使∠OPQ=∠OPB。
(2) ① 过 O 作 OA⊥PQ 于 A，利用角平分线的性质得 OA=OB（OB 为半径），根据 “到圆心距离等于半径的直线是圆的切线” 可证 PQ 是⊙O 的切线。
② 先由 sin∠BDP= 和 PB=6 求出 PD、BD 的长度，再由切线长定理得 PA=PB=6，进而得到 AD 的长度，最后通过证明△DAO∽△DPB，利用相似三角形的比例关系求出 OA（即⊙O 的半径）为 3。
（1）解：图形如图所示：
（2）①证明：如图，过点O作于点
∵是的切线，
∴，
，
，
是的切线；
②解：，
，，
∵，是的切线，
∴，
，
在和中，
，，
，
，
，
的半径为
19．【答案】解：（1）2；；
（2）①，
∴顶点坐标为：，
∵函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，
∴，
整理得：，
∴；
②或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：（1）二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，
∴点在的图象上
代入得：，，
解得：，，
故答案为：2；；
（2）②∵与x轴有两个不同的交点，，
由①得：函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，
∴顶点坐标在图象上滑动，顶点为，
当时，
解得：或，
抛物线与x轴交两个点，
当顶点在下方时，抛物线有两个交点，，
∵若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即C的顶点在上．
∴在上，
当顶点在下方时，；
综上可得：或．
【分析】（1）由伴随抛物线的定义可得点都在图象上，从而分别代入求解即可；
（2）①利用配方法确定出抛物线C2的顶点坐标为，然后代入抛物线C0的解析式得出，即可求解；
②抛物线C2的顶点坐标为在图象上滑动，抛物线C0的顶点坐标为（2，9），令抛物线C0中的y=0算出对应的自变量的值，可得其与x轴两交点的坐标为（-1，0）与（5，0）；然后分当顶点在（-1，0）下方时，抛物线有两个交点，当顶点在（5，0）下方时，两种情况分析即可得出结果．
20．【答案】解：（1）；
（2）延长，相交于点H，
将沿翻折得到，
，，
又，
，
，
四边形为菱形，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
；
（3）如图3，连接与相交于点O，过点F作的延长线于点G，延长交的延长线于点M，则，
点F与点D关于对称，
，，，，，，
，
，
，
，
四边形是菱形，
四边形为平行四边形，
，，
，，
又，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
设，则，
，
，
解得（不合，舍去），，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
栅栏的长．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：（1）∵点A与点C关于对称，
，
故答案为：；
【分析】(1)根据轴对称的性质，关于直线对称的点到对称轴的距离相等，因此 。
(2)先由折叠性质和菱形边长证明 得 ，再通过 证明 ，利用相似比求出 ，最后结合 算出 。
(3)先由轴对称和平行线性质证明四边形 是菱形，再构造等腰直角三角形和全等三角形求出相关线段长度，接着通过相似三角形求出菱形边长 ，最后计算出菱形周长即为栅栏的长。
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