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第五章分式与分式方程　
　
5.1　分式及其基本性质
第2课时　分式的基本性质
初中数学北师大版（2024）八年级下册
学习目标
1.通过类比分数的方法来理解分式的基本性质.(重点)
2.运用分式的基本性质进行分式的变形与约分，将分式化为最简分式.(难点)
课堂引入
，，这些分数相等的依据是什么？
一、
分式的基本性质
问题1　(1)下列两式成立吗？
(c≠0)，(c≠0)；
提示　成立.
(2)你认为分式“”与“”，分式“”与“”相等吗？(a≠0，n≠0，m≠0)
提示　相等.
知识梳理
分式的基本性质：
分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值 .
这一性质可以用式子表示为：
，(m≠0).
注意点：运用分式的基本性质时，要注意两点：(1)分子、分母都乘或除以，而不是加或减；(2)不能忽略条件“同一个不等于零的整式”.
不变
例1　(课本P129例2)下列等式的右边是怎样从左边得到的？
(1)(y≠0)；(2).
解　(1)因为y≠0，所以.
(2)因为x≠0，所以.
反思感悟
分式的基本性质是分式变形的依据.判断分式的变形，主要是找出分子、分母同乘或同除以的整式，注意这个整式需满足不为零的条件，尤其注意隐含条件的挖掘.
跟踪训练1　(1)下列式子从左到右变形一定正确的是
A. B.
C.＝a＋b D.
√
解析　不一定相等，故A不符合题意；
不一定相等，故B不符合题意；
和a＋b不一定相等，故C不符合题意；
，故D符合题意.
(2)填空：
x2
a
2x
2ab－b2
二、
分式的约分及最简分式
问题2　填空：
(1)；
提示　 .
提示　.
(2).
问题3　在化简分式时，小宇和小丽的做法分别如下：
小宇：.
小丽：.
对于两人的做法，你有什么看法？
提示　在小丽的化简结果中，分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式.化简分式时，通常要使结果成为最简分式或者整式.
知识梳理
1.把一个分式的分子和分母的 约去，这种变形称为分式的 .
2.最简分式：分子和分母已没有公因式，这样的分式称为 .
注意点：判断一个分式是不是最简分式，要严格按照定义来判断，就是看分子、分母有没有公因式.分子或分母是多项式时，要先把分子、分母因式分解.
公因式
约分
最简分式
例2　(课本P129例3)化简下列分式：
(1)；(2).
解　(1)＝ac.
(2).
反思感悟
约分的基本步骤：
(1)若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公因数，并约去相同字母的最低次幂；
(2)若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式.
跟踪训练2　(1)计算等于
A.a－5 B.a＋5
C.5 D.a
√
解析　＝a.
(2)下列分式是最简分式的是
A. B.
C. D.
√
解析　A项，该分式的分子、分母含有公因式a，则它不是最简分式，错误；
B项，该分式的分子、分母含有公因数3，则它不是最简分式，错误；
C项，分子为(x＋1)(x－1)，所以该分式的分子、分母含有公因式(x＋1)，则它不是最简分式，错误；
D项，该分式符合最简分式的定义，正确.
(3)约分：
①；
②.
解　①＝－.
②.
三、
分式的变号法则
问题4　(1)下列各式是怎样从左边变形到右边的？由此你能发现分式的分子、分母符号的变化规律吗？
；.
提示　分子、分母都乘以－1，符号变化规律为分子、分母同时改变符号，分式的值不变.
(2)根据有理数的除法法则，可得到＝－，＝－，类似地可得到＝　　　，＝　　　.由此你能发现分式本身的符号与分子(或分母)符号的变化规律吗？
提示　－，－，变化规律为同时改变分子(或分母)的符号、分式本身的符号，分式的值不变.
知识梳理
分式的变号法则：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任意两个，分式的值不变；若只改变其中的一个或三个全变号，则分式的值变成原分式值的相反数.
注意点：注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符号.
例3　不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“－”号.
(1)；(2)；(3)－.
解　(1)原式＝－.
(2)原式＝.
(3)原式＝.
跟踪训练3　不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”号.
(1)；(2)；(3).
解　(1)原式＝－.
(2)原式＝－.
(3)原式＝－.
课堂小结
1.下列式子从左到右变形正确的是
A. B.＋1
C.＝－ D.＝m＋n
课堂练习
√
2.下列分式中是最简分式的是
A. B.
C. D.
√
课堂练习
解析　A项，该分式的分子、分母中含有公因式2x，不是最简分式，该选项不符合题意；
B项，原式为最简分式，该选项符合题意；
C项，该分式的分子、分母中含有公因式(x＋1)，不是最简分式，该选项不符合题意；
D项，该分式的分子、分母中含有公因式(x－1)，不是最简分式，该选项不符合题意.
课堂练习
3.从代数式3，a2－1，a＋1中任选两个，组成一个最简分式　　　　　　.
(写出一个即可)
或
课堂练习
4.根据分式的基本性质填空：，括号内应填　　　.
x－1
解析　.
课堂练习
5.约分：(1)；
解　.
(2)；
解　.
课堂练习
5.约分：
(3)；
解　.
(4).
解　＝－.
课堂练习
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