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第五章分式与分式方程　
　5.2　分式的运算
第1课时　分式的乘除法
初中数学北师大版（2024）八年级下册
学习目标
1.通过类比分数乘除法的法则，经历探索分式乘除法的法则，提高联想能力和推理能力.(重点)
2.熟练地进行分式的乘除法运算和乘方运算，并能利用它解决实际问题.(重点、难点)
课堂引入
观察下列运算：
×，×，
÷×，÷×.
以上是以前学习的分数的乘法与除法，分数乘法与除法的运算法则分别是什么？
今天我们仿照分数的乘除来研究分式的乘除.
一、
分式的乘除法
问题1　仿照分数的乘除法运算思考下面的算式：
(1)·；
提示　·.
(2)÷.
提示　÷.
知识梳理
分式乘除法的法则：
两个分式相乘，把分子相乘的积作为　　　　　，把分母相乘的积作为
；
两个分式相除，把除式的分子和分母 后再与被除式相乘.
这一法则可以用式子表示为：·，÷·.
积的分子
积的分母
颠倒位置
例1　计算：(1)·；
(2)÷.
解　(1)·.
(2)÷·＝－.
反思感悟
分子和分母都是单项式的分式的乘法，直接按“分子乘分子，分母乘分母”进行运算，其运算步骤为：(1)符号运算；(2)按分式的乘法法则运算.如果运算结果不是最简分式，一定要进行约分，使运算结果化成最简分式.
跟踪训练1　计算：
(1)－·；
(2)÷.
解　(1)原式＝·＝.
(2)原式＝·＝.
例2　计算：·.
解　原式＝·
＝
＝.
反思感悟
分式的分子和分母为多项式时，能分解因式的一般先分解因式，再用分式的乘除法法则计算，最后化成最简分式.整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式.
跟踪训练2　(1)计算：
÷.
解　原式＝·
＝·
＝
＝.
(2)化简：÷(x＋1).
解　÷(x＋1)＝÷
＝ ·
＝.
二、
分式的乘方
问题2　(1)根据乘方的意义计算下列各式：
34；；；
提示　34＝3×3×3×3＝81.
×.
×××.
(2)类比分数的乘方运算，计算下列各式：
；；；
提示　 ·.
··.
.
(3)猜想的值.
提示　 .
知识梳理
分式的乘方：一般地，当n是正整数时，.
注意点：(1)分式的乘方是把分子、分母各自乘方；
(2)分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负；
(3)含有乘方的分式乘除混合运算，先算分式的乘方，再算乘除.
例3　下列运算结果不正确的是
A.
B.＝－＝－
C.
D.
√
解析　A，B，C项计算都正确；
D项，＝(－1)n，原题计算错误.
反思感悟
分式的乘方就是分子、分母分别乘方，再进行因式分解，最后化为最简分式.
解　(1).
(2)÷÷
＝·.
跟踪训练3　计算：
(1)；
(2)÷.
三、
分式乘除运算的应用
例4　(课本P134尝试·交流)购买西瓜时，人们总是希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好.假如我们把西瓜都看成球形，并且西瓜瓤的分布是均匀的，西瓜皮的厚度都是d，已知球的体积公式为V＝πR3(其中R为球的半径)，请回答下列问题：
(1)西瓜瓤与整个西瓜的体积的比是多少？
(2)你认为买大西瓜合算还是买小西瓜合算？与同伴交流.
解　(1)西瓜瓤的体积是π(R－d)3，整个西瓜的体积是πR3.
则西瓜瓤与整个西瓜的体积比是.
(2)由(1)知，西瓜瓤与整个西瓜的体积比是，且西瓜皮的厚度都是d，
故买大西瓜比买小西瓜合算.
反思感悟
实际问题需要根据具体问题建立分式之间的关系，从而求解.
跟踪训练4　有甲、乙两筐水果，甲筐水果的质量为(m－1)2kg，乙筐水果的质量为(m2－1)kg(其中m>1).售完后，两筐水果都卖了150元.甲的单价是乙的单价的　　　倍？
　
解析　根据题意得÷·，
∴甲的单价是乙的单价的倍.
课堂小结
1.
2.分式的乘方就是分子、分母分别乘方，再进行因式分解，最后化为最简分式.
1.计算÷等于
A.b2x B.
C.－ D.－
课堂练习
√
解析　÷·＝－.
2.化简÷的结果是
A. B.a
C.a－1 D.
√
解析　÷·＝a.
课堂练习
3.计算：(1)·；
解　原式＝.
(2)÷.
解　原式＝·
＝·
＝.
课堂练习
4.先化简，再求值：·，其中x＝，y＝.
解　原式＝·＝，
当x＝，y＝时，
原式＝＝24.
课堂练习
5.老王家种植两块正方形土地，边长分别为a米和b米(a≠b)，老李家种植一块长方形土地，长为2a米，宽为b米.他们种的都是花生，并且总产量相同，试问老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的花生单位面积产量的多少倍？
解　设花生的总产量是1，则÷，
即老王家种植的花生单位面积产量是老李家种植的花生单位面积产量的倍.
课堂练习
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