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第五章分式与分式方程　
　5.2　分式的运算
第3课时　异分母分式的加减法
初中数学北师大版（2024）八年级下册
学习目标
1.会确定几个分式的最简公分母并进行通分.(难点)
2.能熟练运用异分母的分式加减法法则进行异分母分式的加减运算.(重点、难点)
课堂引入
把与通分可得，，类比分数的通分，怎样把分式通分呢？
一、
分式的通分
问题1　你认为应该怎样计算？
方法一：.
方法二：.
上面两种方法哪种方法的公分母更简单？
提示　第2种方法的公分母更简单.
知识梳理
1.最简公分母的定义：异分母的分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫作最简公分母.
2.确定最简公分母的步骤：
(1)定系数：分母中各系数的最小公倍数；
(2)定底数：各分母中出现的所有字母或多项式都要取到；
(3)定指数：分母中相同字母或多项式取最高次幂.
知识梳理
注意点：分母中的多项式能因式分解的应先因式分解.
3.分式的通分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为 的分式，这一过程称为分式的通分.
通分的关键是确定最简公分母.
同分母
例1　分式和的最简公分母是　　　　　 　.
a(a＋1)(a－1)
解析　，
，
所以最简公分母为a(a＋1)(a－1).
反思感悟
求分式的最简公分母的一般方法：(1)如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂及单独出现的字母的幂的乘积，所有不同字母都写在积里.(2)如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母(或含字母的整式)为底数的幂的因式都要取最高次幂.
跟踪训练1　(1)分式与的最简公分母是　　　　 　　.
x(x＋3)(x－3)
解析　∵x2－3x＝x(x－3)，x2－9＝(x＋3)(x－3)，
∴最简公分母为x(x＋3)(x－3).
(2)找最简公分母：
①与；
②与.
解　①6a2c.
②∵x2＋2xy＋y2＝(x＋y)2，x2－y2＝(x＋y)(x－y)，
∴最简公分母为(x＋y)2(x－y).
例2　通分：(1)与；(2)与.
解　(1)最简公分母是2a2b2c，
，
.
(2)最简公分母是(x－5)(x＋5)，
，
.
跟踪训练2　通分：
(1)，；(2)，；(3)，.
解　(1)最简公分母是6a2bc2，
.
(2)最简公分母是2a(a＋1)(a－1)，
，
.
(3)最简公分母是(2m＋3)(2m－3)2，
，
.
二、
异分母分式的加减运算
问题2　观察下列算式，类比异分母的分数加减法法则，请描述异分母的分式相加减的过程.
，
.
提示　异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
知识梳理
异分母的分式加减法法则：异分母的分式相加减，先 ，化为同分母的分式，再按 的加减法法则进行计算.
异分母分式的加减运算步骤：
(1)通分：将异分母分式化成同分母分式；
(2)写成“分母不变，分子相加减”的形式；
(3)分子化简：分子去括号、合并同类项；
(4)约分：结果化为最简分式或整式.
这一法则可以用式子表示为：±±.
通分
同分母的分式
例3　(课本P137例5)计算：
(1)；(2)；(3).
解　(1)＝.
(2)＝
＝.
(3)＝
＝.
反思感悟
分母是多项式时，应先因式分解，目的是找最简公分母以便通分.对于整式与分式的加减运算，可以将整式的每一项的分母看成1，再通分，也可以把整式看作一个整体，写成分母是1的形式，再进行通分运算.
解　(1)＝.
(2)＝＝
＝.
(3)＝
＝
＝.
跟踪训练3　计算：
(1)；(2)；(3).
三、
分式的加减在生活中的应用
例4　(课本P138例6)小刚家和小丽家到学校的路程都是3 km，其中小丽骑车走的是平路，速度是2v km/h.小刚骑车需要走1 km的上坡路、2 km的下坡路，在上坡路上的速度是v km/h，在下坡路上的骑车速度是3v km/h.
(1)小刚从家到学校需要在路上花费多长时间？
(2)小刚和小丽谁在路上花费的时间少？少多长时间？
解　(1)小刚从家到学校需要在路上花费(h).
(2)小丽从家到学校需要在路上花费 h，
因为>，所以小丽在路上花费的时间少.
小丽在路上花费的时间比小刚少(h).
跟踪训练4　有一客轮往返于两城市之间，第一次往返航行时，水流速度为a千米/小时；第二次往返航行时，正遇上河流汛期，水流速度为b千米/小时(b>a).已知该船在两次航行中，静水速度都为v千米/小时，问该船两次往返航行所用时间是否相等，若相等，请说明理由；若不相等，请分别表示出两次航行所用的时间，并指出哪次时间更短些？
解　设两城市之间的距离为s千米，
第一次往返航行所用时间为(小时)，
第二次往返航行所用时间为(小时)，
∵b>a，∴b2>a2，
∴v2－b2∴>，
∴第一次往返航行所用的时间更短些.
课堂小结
1.最简公分母的确定方法：
(1)系数：取分母中各系数的最小公倍数；
(2)因式：凡各分母中出现的不同因式都要取到；
(3)因式的指数：相同因式取指数最高的.
2.异分母的分式加减法法则用式子表示为：±±.
1.化简的结果是
A. B. C. D.1
课堂练习
√
解析　·
＝.
2.分式和的最简公分母为　　　　　　 　.
解析　∵的分母为3(a＋b)2，
的分母为2a2—2b2＝2(a－b)(a＋b)，
∴两个分式的最简公分母为6(a－b)(a＋b)2.
6(a－b)(a＋b)2
课堂练习
3.分式，，的最简公分母为　　　　　.
解析　y2－2y＝y(y－2)，y2－4＝(y＋2)(y－2)，
2y2－4y＝2y(y－2)，
∴最简公分母为2y(y－2)(y＋2)，即2y3－8y.
2y3－8y
课堂练习
4.化简的结果是　　　.
解析　原式＝
＝
＝.
　
课堂练习
5.计算：(1)；
解　原式＝.
(2).
解　原式＝
＝.
课堂练习
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