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第五章分式与分式方程　
　5.3　分式方程
第2课时　分式方程的解法
初中数学北师大版（2024）八年级下册
学习目标
1.探索分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程.
(重点)
2.了解解分式方程可能会产生增根，解分式方程一定要验根及掌握验根方法.(难点)
课堂引入
1.方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫作方程的解.
2.求解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1.
一、
分式方程的解法
问题1　解分式方程： －1＝.
(1)先整理方程，将方程中的两个分母转化为一致形式：　 　　 ；
(2)类比解一元一次方程的去分母，方程两边都乘什么可以去掉分母？ 试去掉分母；
提示　方程两边都乘x－4，得3－x－(x－4)＝1.
－1＝
(3)去掉分母后，方程转化为什么方程.试解出这个方程；
提示　转化为一元一次方程或整式方程.
3－x－x＋4＝1.
－2x＝－6.
x＝3.
(4)将求得的方程的解代入原分式方程检验，判断这个解是不是原方程的解.
提示　检验：将x＝3代入原方程，
左边＝－1＝右边.
所以x＝3是原方程的解.
知识梳理
解分式方程的步骤：(1)在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程；(2)解这个整式方程；(3)把整式方程的解代入原分式方程，如果左边＝右边，那么整式方程的解就是原分式方程的解，否则需舍去；(4)写出原方程的根.
例1　(课本P144例1)解方程.
解　因为分式中分母不能为零，所以x≠2，且x≠0.
方程的两边都乘x(x－2)，
得x＝3(x－2)，
解这个方程，得x＝3.
检验：将x＝3代入原方程，
得左边＝1，右边＝1，左边＝右边，
所以，x＝3是原方程的根.
反思感悟
注意解分式方程容易犯的错误：(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘；(2)去分母后，分子是多项式时，没有添括号；(3)没有检验.
跟踪训练1　解方程：(1)－2＝；
解　－2＝，
方程两边同乘2(x－1)，得2x－(4x－4)＝3，
解得x＝，
检验：把x＝代入原方程，左边＝右边，
所以原分式方程的解为x＝.
跟踪训练1　解方程：(2)－1.
解　－1，
方程两边同乘(x－2)(x＋3)，得
6(x＋3)＝x(x－2)－(x－2)(x＋3)，
去括号，得6x＋18＝x2－2x－x2－x＋6，
化简得9x＝－12，
解得x＝－.
检验：将x＝－代入原方程，左边＝右边，所以x＝－是原方程的解.
二、
分式方程的增根
问题2　在解方程－2时，小亮的解法如下：
方程两边都乘x－2，得
1－x＝－1－2(x－2)，
解这个方程，得
x＝2.
你认为x＝2是原方程的根吗？与同伴交流.
提示　在这里，x＝2不是原方程的根，因为它使得原分式方程的分母为零.
知识梳理
在解分式方程时，使原分式方程的分母为零的根，叫作原方程的 .
解分式方程产生增根的原因是，我们在方程的两边都乘了一个使分母为零的整式.因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验.
注意点：(1)分式方程转化为整式方程后，扩大了未知数的取值范围，因此可能产生增根；(2)一般地，检验过程只需检验整式方程的解是不是原分式方程的增根即可.
增根
例2　解方程：(1)＝45；
解　方程两边同乘2x，得960－600＝90x.
解这个方程，得x＝4.
经检验，x＝4是原方程的根.
例2　解方程：(2).
解　方程两边同乘x(x＋1)(x－1)，
得2x＝x－1，
解得x＝－1，
检验：当x＝－1时，x(x＋1)(x－1)＝0，
∴x＝－1是原方程的增根，
∴原方程无解.
反思感悟
解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应做如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解，是分式方程的增根.所以解分式方程时，一定要检验.
跟踪训练2　(1)如果关于x的分式方程＝1－有增根，则m的值为
A.－3 B.－2 C.－1 D.3
√
解析　方程两边同乘(x－3)，得2＝x－3－m， ①
∵原方程有增根，∴x－3＝0，即x＝3.
把x＝3代入①，得m＝－2.
(2)解方程：－3.
解　方程两边同乘(x－2)，
得1＝x－1－3(x－2)，解得x＝2，
检验：把x＝2代入最简公分母(x－2)，
得x－2＝0，∴原方程无解.
课堂小结
1.解分式方程＝1，去分母后，结果正确的是
A.2－1－x＝1 B.2－1＋x＝1
C.2－1＋x＝2x D.2－1－x
课堂练习
√
解析　＝1，
方程两边同乘2x，得2－(1－x)＝2x，得2－1＋x＝2x.
2.分式方程＝－1的解是
A.x＝－ B.x＝
C.x＝ D.方程无解
√
课堂练习
解析　原方程去分母，得2x＝－(x－2)，
去括号，得2x＝－x＋2，
移项，得2x＋x＝2，
合并同类项，得3x＝2，
系数化为1，得x＝.
检验：把x＝代入x－2，得x－2≠0，
所以原分式方程的解为x＝.
课堂练习
3.解方程：
(1)；
解　方程两边同乘x(x－3)，
得2x＝3x－9，
解得x＝9.
检验：当x＝9时，x(x－3)≠0，
所以原分式方程的解为x＝9.
课堂练习
3.解方程：
(2).
解　方程两边同乘(x＋2)(x－2)，
得x＋2＝4，
解得x＝2.
检验：当x＝2时，(x＋2)(x－2)＝0，
因此x＝2不是原分式方程的解，原方程无解.
课堂练习
4.解方程：
(1)＝2；
解　整理，得＝2，
方程两边同乘(x－3)，得2x－x－3＝2x－6，
解这个方程，得x＝3.
检验：当x＝3时，x－3＝0，
因此x＝3是增根，原方程无解.
课堂练习
4.解方程：
(2)－1＝；
解　方程两边都乘(x－1)(x＋2)，
得x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3，
解得x＝1.
检验：当x＝1时，(x－1)(x＋2)＝0，
因此x＝1不是原分式方程的解，
所以原分式方程无解.
课堂练习
4.解方程：
(3)＝1；
解　方程两边同乘(x＋2)(x－2)，得x(x＋2)－1＝(x＋2)(x－2)，
解得x＝－.
检验：当x＝－时，(x＋2)(x－2)≠0，
所以x＝－是原分式方程的解.
课堂练习
4.解方程：
(4)＝－1.
解　整理，得＝－1，
方程两边同乘6(x－2)，得3(5x－4)－2(2x＋5)＝－6(x－2)，
解这个方程，得x＝2.
检验：当x＝2时，6(x－2)＝0，
所以x＝2是原方程的增根，应舍去.
所以原方程无解.
课堂练习
5.k为何值时，方程＋3＝产生增根？
解　方程两边都乘(x－2)，
得k＋3(x－2)＝x－1，
把x＝2代入上面的方程，得k＝1，
所以当k＝1时，方程＋3＝产生增根.
课堂练习
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