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第五章分式与分式方程　
　5.3　分式方程
第3课时　分式方程的应用
初中数学北师大版（2024）八年级下册
学习目标
1.掌握列分式方程解应用题的方法和步骤，提高分析问题和解决问题的能力.(难点)
2.用分式方程来解决现实情境中的问题，通过分式方程的应用教学，培养数学应用意识.(重点、难点)
情境引入
某单位将沿街的一部分房屋出租，每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元.
(1)你能找出这一情境中的等量关系吗？
(2)根据这一情境你能提出哪些问题？
(3)你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗？
分式方程的应用
问题　试解决情境引入中的问题.
提示　(1)①第二年每间房屋的租金－第一年每间房屋的租金＝500；
②第一年出租的房屋数＝第二年出租的房屋数.
(2)①每年有多少间房屋出租？
②这两年每间房屋的租金各是多少？
提示　(3)设每年有x间房屋出租，
根据题意，得＝500，
解得x＝12，
经检验，x＝12是原方程的解，也符合题意，
所以每年有12间房屋出租.
＝8 000(元)，
＝8 500(元).
所以第一年每间房屋的租金为8 000元，第二年每间房屋的租金为8 500元.
知识梳理
列分式方程解应用题同列整式方程解应用题的步骤一样，有以下几步：
1.审，即审题.弄清题意及已知量和未知量，找出题中的等量关系，明确涉及的基本数量关系.
2.设，即设未知数.选择一个适当的未知量设为未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量.
3.列，即列方程.根据题中的主要等量关系列出分式方程.
4.解，即解方程.其过程可以省略.
知识梳理
5.验，即检验.首先检验所得的解是不是所列分式方程的解；再检验所得方程的解是否符合题意(即是否符合实际意义).
6.答，即写答案.注意答案中要写出单位名称.
例1　(课本P145例2)师徒两人加工同一种“非遗文化”工艺品，师傅比徒弟每天多加工10个这种工艺品，师傅加工300个这种工艺品所用的时间是徒弟加工120个这种工艺品所用时间的2倍，求师傅和徒弟每天各加工多少个这种工艺品.
解　设徒弟每天加工这种工艺品x个，则师傅每天加工这种工艺品(x＋10)个，根据题意，得＝2×.
解这个方程，得x＝40.
经检验，x＝40是所列方程的根.
40＋10＝50.
所以，师傅每天加工这种工艺品50个，徒弟每天加工这种工艺品40个.
跟踪训练1　某希望学校收到赞助单位的新年礼物共65件，计划每班分得数量相同的若干件礼物.结果还差3件.改为每班少分1件，结果剩余14件.这所希望学校有多少个教学班？
解　设希望学校有x个教学班，根据题意，得＋1.
解得x＝17.
经检验x＝17是原方程的解.
即这所希望学校有17个教学班.
例2　抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期3个小时才能完成.现甲、乙两队合作2个小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成.求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小时？
解　设甲队单独完成需要x小时，则乙队单独完成需要(x＋3)小时，记工作总量为1.
由题意得＝1，
解得x＝6.
经检验，x＝6是方程的解，且符合题意.
∴x＋3＝9.
即甲队单独完成全部工程需6小时，乙队单独完成全部工程需9小时.
反思感悟
解决工程问题的思路方法：各部分工作量之和等于1，常从工作量和工作时间上考虑相等关系.
跟踪训练2　两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？
解　设乙队单独完成这项工程需要x个月.
记工作总量为1，甲每月的工作效率是，
根据题意得××＝1，即＝1.
方程两边都乘2x，
得x＋1＝2x，解得x＝1.
经检验，x＝1是分式方程的解且符合题意.
由上可知，由乙队单独施工1个月可以完成全部工程，而甲队单独施工需3个月才可以完成全部工程，
所以乙队的施工速度快.
例3　朋友们相约一起开着2辆车自驾去黄山玩，其中面包车为领队，小轿车紧随其后，他们同时出发，当面包车行驶了200 km时，发现小轿车只行驶了180 km，若面包车的行驶速度比小轿车快10 km/h，请问面包车、小轿车的速度分别为多少km/h？
解　设小轿车的速度为x km/h，
则面包车的速度为(x＋10)km/h，
依题意得，
解得x＝90，
经检验，x＝90是原方程的解，且x＝90，x＋10＝100，均符合题意.
∴面包车的速度为100 km/h，小轿车的速度为90 km/h.
反思感悟
行程问题涉及的基本数量关系：路程＝速度×时间，一般地，由题意可找到速度、时间两方面的等量关系.若问题所求的量是速度，则可利用速度方面的等量关系设未知数，并利用时间方面的等量关系列分式方程；若问题所求的量是时间，则可利用时间方面的等量关系设未知数，并利用速度方面的等量关系列分式方程.
跟踪训练3　在例3的条件下，面包车发现小轿车跟丢时，面包车行驶了200 km，小轿车行驶了180 km，小轿车为了追上面包车，他就马上提速，他们约定好在300 km的地方碰头，他们正好同时到达，请问小轿车提速了多少km/h？
解　设小轿车提速了x km/h，
依题意得，
解得x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，且x＝30符合题意.
∴小轿车提速了30 km/h.
课堂小结
列分式方程解应用题的步骤：
1.审；2.设；3.列；4.解；5.验；6.答.
1.A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30 kg，A型机器人搬运900 kg所用时间与B型机器人搬运600 kg所用时间相等.A型机器人每小时搬运化工原料
A.30 kg B.60 kg
C.90 kg D.120 kg
课堂练习
√
解析　设A型机器人每小时搬运x kg化工原料，
则，
解得x＝90，
经检验，x＝90是原分式方程的解，且符合题意.
所以A型机器人每小时搬运90 kg化工原料.
课堂练习
2.斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度.如图，某路口的斑马线路段A－B－C横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝12米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过AC路段，其中通过BC路段的速度是通过AB路段速度的1.2倍，则小敏通过AB路段时的速度是
A.0.5米/秒 B.1米/秒
C.1.5米/秒 D.2米/秒
√
课堂练习
解析　设小敏通过AB路段的速度是x 米/秒，
根据题意可列方程＝22 ，
解得x＝1，
经检验：x＝1是原方程的解且符合题意.
所以小敏通过AB路段时的速度是1米/秒.
课堂练习
3.某地泥石流灾害导致某铁路隧道被严重破坏.为抢修其中一段120米的隧道，施工队每天施工效率比原计划提高1倍，结果提前4天开通了列车.则施工队原计划每天修多少米
A.10 B.15
C.20 D.25
√
课堂练习
解析　等量关系为原来所用的时间－实际所用的时间＝4.
设原计划每天修x米，则
原来所用的时间为.
故所列方程为－4，
解得x＝15，
经检验，x＝15是原方程的解且符合题意，
所以施工队原计划每天修15米.
课堂练习
4.在“母亲节”前夕，某花店用16 000元购进第一批鲜花礼盒，上市后很快预售一空.根据市场需求情况，该花店又用7 500元购进第二批鲜花礼盒.已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元.则第二批鲜花每盒的进价是　　　元.
150
解析　设第二批鲜花每盒的进价是x元，则第一批每盒进价为(x＋10)元，
∴第一批购进的盒数为.
∵第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，
∴×，
课堂练习
4.在“母亲节”前夕，某花店用16 000元购进第一批鲜花礼盒，上市后很快预售一空.根据市场需求情况，该花店又用7 500元购进第二批鲜花礼盒.已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元.则第二批鲜花每盒的进价是　　　元.
解析　解得x＝150，
经检验，x＝150是原方程的解，且符合题意，
故第二批鲜花每盒的进价是150元.
150
课堂练习
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