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第六章 平行四边形　
6.1　平行四边形的性质
第1课时　平行四边形边、角的性质
初中数学北师大版（2024）八年级下册
学习目标
1.理解平行四边形的概念.(重点)
2.掌握平行四边形边、角的性质.(重点)
3.利用平行四边形边、角的性质解决问题.(重点、难点)
情境引入
亲爱的同学，还记得平行四边形吗？它是我们生活中常见的图形，如图所示.那么你知道平行四边形具有哪些性质吗？
一、
平行四边形的定义
知识梳理
1.两组对边 的四边形叫作平行四边形.
几何语言：
如图，∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
2.记作 ABCD.读作“平行四边形ABCD”.
3.平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫作它的 .
4.平行四边形中相对的边称为对边，相对的角称为对角.
注意点：表示平行四边形四个顶点的字母应按顺序(顺时针或逆时针)写出.
分别平行
对角线
例1　如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠1＝∠2.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明　∵∠1＋∠B＋∠ACB＝180°，
∠2＋∠D＋∠CAD＝180°，
∠B＝∠D，∠1＝∠2，
∴∠ACB＝∠CAD，
∴AD∥BC.
∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
反思感悟
平行四边形的定义是判断一个四边形是平行四边形的重要方法.
跟踪训练1　(1)如图，在 ABCD中，过点B作BE⊥CD交CD延长线于点E，若∠A＝40°，则∠EBC的度数为
A.40° B.50°
C.60° D.70°
√
解析　在 ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，则∠ABE＝∠E＝90°，∠A＋∠ABC＝180°，
∴∠EBC＝180°－∠A－∠ABE＝180°－40°－90°＝50°.
(2)如图，在 ABCD中，AE平分∠DAB，∠B＝100°，则∠DEA等于
A.100° B.80°
C.60° D.40°
√
解析　在 ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠DAB＝180°－∠B＝180°－100°＝80°.
∵AE平分∠DAB，
∴∠EAB＝∠DAB＝40°.
又∵AB∥CD，
∴∠DEA＝∠EAB＝40°.
二、
平行四边形边、角的性质
问题1　如图，准备两个全等的三角形，将它们相等的一组边重合，得到一个四边形.
(1)你得到了怎样的四边形？与同伴交流一下；
提示　平行四边形.
(2)观察拼出的这样一个四边形，这个四边形的对边和对角有怎样的关系呢？为什么？
提示　对边相等，对角相等.因为全等三角形的对应边、对应角相等.
问题2　(1)证明平行四边形对边相等.写出已知，求证，并画图，写出证明过程.
提示　已知：如图(1)，四边形ABCD是平行四边形.
求证：AB＝CD，BC＝DA.
证明：连接AC，如图(2).
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，BC∥DA(平行四边形的定义).
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
∵AC＝CA，
∴△ABC≌△CDA.
∴AB＝CD，BC＝DA.
(2)证明平行四边形对角相等.写出已知、求证，并画图，写出证明过程.
提示　已知：如图(1)，四边形ABCD是平行四边形.
求证：∠A＝∠C，∠B＝∠D.
证明：连接DB，如图(2).
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD，
∴∠A＝∠C，∠ABC＝∠ADC.
知识梳理
1.平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的 .
2.平行四边形的对边 .平行四边形的对角 .
对称中心
相等
相等
文字叙述 几何语言
边 对边平行 ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥DC.
对边相等 ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝DC.
角 对角相等 ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D.
例2　(课本P154例1)已知：如图，在 ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，并且AE＝CF.
求证：BE＝DF.
证明　∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD(平行四边形的对边相等)，
AB∥CD(平行四边形的定义).
∴∠BAE＝∠DCF.
又∵AE＝CF，
∴△ABE≌△CDF.
∴BE＝DF.
跟踪训练2　(1)在平行四边形ABCD中，∠A比∠B大40°，那么∠D的度数为
A.60° B.70° C.80° D.110°
√
解析　画出图形如图所示.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，∠A＋∠B＝180°，
又∵∠A－∠B＝40°，
∴∠A＝110°，∠B＝70°，
∴∠D＝∠B＝70°.
(2)如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，BC＝9，DE＝4，则平行四边形ABCD的周长等于　　 .
44
解析　∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD， ∴∠CEB＝∠EBA，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠EBC＝∠CEB，
∵BC＝9，DE＝4，
∴EC＝BC＝9，
∴DC＝DE＋EC＝4＋9＝13，
∴AB＝DC＝13，
∴CD＝AB＝13，AD＝BC＝9，
∴平行四边形的周长是2(AB＋BC)＝44.
课堂小结
1.如图，在 ABCD中，∠B＝50°，则∠D等于
A.40° B.50°
C.130° D.140°
课堂练习
√
解析　∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B＝50°.
2.在 ABCD中，AB＝6，则CD的长为
A.2 B.4
C.6 D.12
√
解析　∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝6，
∴CD＝AB＝6.
课堂练习
3.一个平行四边形相邻两条边的长度分别是5厘米和7厘米，其中一条底边上的高是6厘米，这个平行四边形的面积是
A.30平方厘米 B.35平方厘米
C.42平方厘米 D.条件不足，无法得出
√
课堂练习
解析　平行四边形相邻两边的长度分别为5厘米和7厘米，其中一条底边上的高是6厘米.
若高对应底边长为5厘米，则斜边长(邻边)为7厘米，∵7>6，∴可能；
若高对应底边长为7厘米，则斜边长(邻边)为5厘米，∵5<6，∴不可能，
∴高对应底边长为5厘米，
∴这个平行四边形的面积＝5×6＝30(平方厘米).
课堂练习
4.如图，△ABC的面积是30平方厘米，是 CDEF面积的2倍，则图中阴影部分的面积是　　平方厘米.
7.5
解析　设 CDEF的高为h，
则S CDEF＝EF·h，
由题意知，S阴影＝S△EFB＝EF·h＝S CDEF，
且S CDEF＝×30＝15(平方厘米)，
∴S阴影＝×15＝7.5(平方厘米)，
∴阴影部分的面积是7.5平方厘米.
课堂练习
5.如图，在 ABCD中，E，F分别是边AD和BC上的点，∠DAF＝∠BCE.求证：BF＝DE.
证明　∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD，AB＝CD.
∵∠DAF＝∠BCE，∴∠BAF＝∠DCE.
∴△ABF≌△CDE(ASA).∴BF＝DE.
课堂练习
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