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第六章平行四边形　
6.1　平行四边形的性质
第2课时　平行四边形对角线
的性质及梯形
初中数学北师大版（2024）八年级下册
学习目标
1.掌握平行四边形对角线互相平分的性质.(重点)
2.利用平行四边形对角线互相平分解决有关问题.(难点)
3.理解梯形的有关概念，掌握等腰梯形的性质，并能初步运用.
情境引入
如图， ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O.
思考：图中有哪些三角形是全等的？有哪些线段是相等的？
一、
平行四边形对角线互相平分的性质
问题1　(1)平行四边形的对角线之间具有什么关系？
提示　平行四边形的对角线互相平分.
(2)证明平行四边形的对角线互相平分.写出已知，求证，并画图，写出证明过程.
提示　已知：如图， ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O.
求证：OA＝OC，OB＝OD.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD(平行四边形的对边相等)，
AB∥CD(平行四边形的定义).
∴∠BAO＝∠DCO，∠ABO＝∠CDO.
∴△ABO≌△CDO，
∴OA＝OC，OB＝OD.
知识梳理
1.平行四边形的性质：
平行四边形的对角线 .
几何语言：
如图，∵ ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OC，OB＝OD.
2.△AOB，△AOD，△DOC，△COB的面积相等，且都等于平行四边形面积的四分之一.
互相平分
例1　(课本P156例2)已知：如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F.
求证：OE＝OF.
证明　∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DO＝BO(平行四边形的对角线互相平分)，
AD∥BC(平行四边形的定义).
∴∠ODE＝∠OBF.
∵∠DOE＝∠BOF，
∴△DOE≌△BOF，
∴OE＝OF.
反思感悟
平行四边形的对角线互相平分建立了平行四边形内部线段之间的关系，从而将平行四边形的边和对角线构建成了三角形，打通了三角形和四边形之间的关系，建立了平行四边形与线段和角之间的关系.
跟踪训练1　(1)如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列结论一定成立的是
A.AC⊥BD B.AC＝BD
C.OB＝OD D.∠ABC＝∠BAC
√
解析　通过四边形ABCD是平行四边形，
无法判断AC与BD垂直，也无法判断AC与BD相等，
故A，B不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，
∴OB＝OD，
故C符合题意；
∵AC与BC不一定相等，
∴∠ABC与∠BAC不一定相等，
故D不符合题意.
(2)如图，在 ABCD中，AC与BD交于点O，OA＝12 cm，OB＝19 cm，则AC＝　　cm，BD＝　　cm.
24
38
二、
梯形及等腰梯形的性质
问题2　还记得小学学过的梯形的“样子”吗？ 画一画，将它与平行四边形比较，并试着给出梯形的定义.
知识梳理
一组对边 、另一组对边 的四边形叫作梯形.
如图，平行的两边称为 ，较短的底通常称为 ，较长的底通常称为 .不平行的两边称为 ，两腰相等的梯形称为 .
梯形的底
平行
不平行
梯形的腰
上底
下底
等腰梯形
问题3　等腰梯形是轴对称图形吗？将等腰梯形纸片折一折，你有哪些发现？
知识梳理
等腰梯形是轴对称图形，等腰梯形在同一底上的两个角 .
注意点：等腰梯形的两条对角线相等.
相等
例2　在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠A＝50°，那么∠C＝　 °.
130
解析　如图，∵AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°.
∵∠A＝50°，∴∠B＝130°.
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠C＝∠B＝130°.
跟踪训练2　(1)如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝110°，则∠C等于
A.90° B.80°
C.70° D.60°
√
(2)等腰梯形四个内角之比可能是
A.1∶2∶3∶4
B.3∶2∶2∶3
C.1∶2∶1∶2
D.1∶2∶3∶2
√
课堂小结
1.
2.梯形的有关概念.
3.等腰梯形的性质.
1.如图，在 ABCD中，AD＝5，对角线AC与BD相交于点O，AC＋BD＝12，则△BOC的周长为
A.10　　　　　B.11　　　　　C.12　　　　　D.14
课堂练习
√
解析　∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC＝AC，BO＝OD＝BD，BC＝AD＝5，
∵AC＋BD＝12，
∴OC＋BO＝6，
∴C△BOC＝OC＋BO＋BC＝6＋5＝11.
2.如图，四边形OABC是等腰梯形，O是坐标原点，A，C的坐标分别是(1，2)，(3，0)，则B点坐标是
A.(3，2) B.(2，3)
C.(2，2) D.无法确定
√
解析　∵四边形OABC是等腰梯形，O是坐标原点，A，C的坐标分别是(1，2)，(3，0)，
∴OA＝BC，AB∥OC.∴B(2，2).
课堂练习
3.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若AO＝3，则AC＝　　.
6
解析　∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO＝AC，
∵AO＝3，
∴AC＝6.
课堂练习
4.已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠C∶∠D＝4∶5，则∠A＝　　　，∠B＝　　　.
100°
80°
课堂练习
5.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.AC平分∠DAE.
(1)若∠AOE＝50°，求∠ACB的度数；
解　∵AE⊥BD，∴∠AEO＝90°.
∵∠AOE＝50°，∴∠EAO＝40°.
∵AC平分∠DAE，∴∠DAC＝∠EAO＝40°.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAC＝40°.
课堂练习
5.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.AC平分∠DAE.
(2)求证：AE＝CF.
证明　∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC.
∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEO＝∠CFO＝90°.
∵∠AOE＝∠COF，∴△AEO≌△CFO(AAS).
∴AE＝CF.
课堂练习
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