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第六章平行四边形　
6.2　平行四边形的判定
第1课时　平行四边形的判定
定理1，2
初中数学北师大版（2024）八年级下册
学习目标
1.探索并掌握平行四边形的判定定理1，2.(重点)
2.综合运用平行四边形的性质与判定定理1，2解决问题.(重点、难点)
课堂引入
1.回顾一下平行四边形的性质.
2.思考：(1)怎样判定一个四边形是平行四边形呢？
(2)是否存在其他的判定方法呢？
一、
平行四边形的判定定理1
问题1　(1)根据平行四边形的性质可知，平行四边形两组对边分别相等，它的逆命题是什么？是真命题吗？
提示　两组对边分别相等的四边形是平行四边形，是真命题.
(2)证明：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.写出已知，求证，并画图，写出证明过程.
提示　已知：如图(1)，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝CB.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：如图(2)，连接BD.
在△ABD和△CDB中，
∵AB＝CD，AD＝CB，BD＝DB，
∴△ABD≌△CDB，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴AB∥CD，AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形(平行四边形的定义).
知识梳理
平行四边形判定定理1：
两组对边分别　　　的四边形是平行四边形.
几何语言：如图，∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
注意点：利用定义法可以推出平行四边形判定定理1，要注意区分平行四边形判定和性质之间的互逆关系.
相等
例1　如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明　∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD＝∠CDB＝90°，
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL)，
∴AB＝CD，
又∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
跟踪训练1　(1)如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧；再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D，连接AD，CD.若∠B＝65°，∠BCD的大小为
A.65° B.130°
C.120° D.115°
√
解析　根据作图可知AD＝BC，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B＋∠BCD＝180°，
∵∠B＝65°，
∴∠BCD＝115°.
(2)将两个边长分别为2，3，4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是　　 .
3
解析　如图所示，
将两个边长分别为2，3，4的全等三角形拼成四边形，
可以拼得不同形状的平行四边形分别是
ADBC， ABFC， ABCE，共3个.
二、
平行四边形的判定定理2
问题2　(1)平行四边形的每组对边具有什么样的位置关系与数量关系？反过来，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？
提示　平行四边形的每组对边平行且相等，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
(2)证明：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.写出已知，求证，并画图，写出证明过程.
提示　已知：如图(1)，在四边形ABCD中，AB綊CD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：如图(2)，连接AC.
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA.
又∵AB＝CD，AC＝CA，
∴△ABC≌△CDA.
∴BC＝DA.
∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).
知识梳理
平行四边形判定定理2：
一组对边 的四边形是平行四边形.
几何语言：如图，∵AB＝CD，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
平行且相等
例2　(课本P161例1)已知：如图，在 ABCD中，E，F分别为AD和CB的中点.
求证：四边形BFDE是平行四边形.
证明　∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB(平行四边形的对边相等)，
AD∥CB(平行四边形的定义).
∵E，F分别为AD和CB的中点，
∴ED＝AD，FB＝CB.
∴ED＝FB，ED∥FB.
∴四边形BFDE是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
反思感悟
平行四边形的判定方法目前学了三个，第一是平行四边形定义，还有两个平行四边形的判定定理，根据题目的已知条件，灵活选择合适的判定方法判定平行四边形.
跟踪训练2　(1)如图，已知AB∥CD，增加下列条件可以使四边形ABCD成为平行四边形的是
A.∠1＝∠2 B.AD＝BC
C.OA＝OC D.AD＝AB
√
解析　可以使四边形ABCD成为平行四边形的是OA＝OC，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠2，
在△AOB和△COD中，
∴△AOB≌△COD(ASA)，
∴AB＝CD，
∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
(2)如图，点A，B，C的坐标分别是(0，2)，(2，2)，(0，－1)，在第三象限内有一点D使四边形ABCD为平行四边形，那么点D的坐标是　 　　　　.
(－2，－1)
解析　∵A(0，2)，B(2，2)，
∴AB＝2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB＝2，
∵C(0，－1)，
∴D(－2，－1).
课堂小结
1.如图，下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是
A.AB∥CD，AD∥BC
B.AB＝CD，∠B＝∠D
C.AB∥CD，AB＝CD
D.AB＝CD，AD＝BC
课堂练习
√
解析　∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)，故A选项不符合题意；
AB＝CD，∠B＝∠D，
不能判断四边形ABCD是平行四边形，故B选项符合题意；
∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)，故C选项不符合题意；
课堂练习
解析　∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)，故D选项不符合题意.
课堂练习
2.如图是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇的推理成立，需在四边形ABCD中添加条件，下列添加的条件正确的是
A.∠B＋∠C＝180°
B.AB＝CD
C.∠A＝∠B
D.AD＝BC
√
∵∠A＋∠D＝180°，
∴AB∥CD，
又∵　　　　，
∴四边形ABCD是平行四边形.
课堂练习
解析　∵∠A＋∠D＝180°，
∴AB∥CD，
又∵AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
课堂练习
3.如图，两条射线AE∥BF，点C，D分别在射线BF，AE上，只需添加一个条件，即可判断四边形ABCD为平行四边形.这个条件可以是　　　 　　　　　　　　.
AD＝BC或AB∥CD(答案不唯一)
解析　在四边形ABCD中，AD∥BC，
∴再加条件AB∥CD或AD＝BC，四边形ABCD是平行四边形.
课堂练习
4.在四边形ABCD中，AD∥BC，再从下列四个条件中：①AB∥CD；②AB＝CD；③∠A＝∠C；④∠B＝∠C任选一个，能使四边形ABCD为平行四边形的条件的序号是　　　　.
①或③
解析　①∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故①符合题意；
②由AD∥BC，AB＝CD，不能得出四边形ABCD是平行四边形，故②不符合题意；
③∵AD∥BC，
∴∠A＋∠B＝180°，
课堂练习
4.在四边形ABCD中，AD∥BC，再从下列四个条件中：①AB∥CD；②AB＝CD；③∠A＝∠C；④∠B＝∠C任选一个，能使四边形ABCD为平行四边形的条件的序号是　　　　.
①或③
解析　∵∠A＝∠C，
∴∠C＋∠B＝180°，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故③符合题意；
④由AD∥BC，∠B＝∠C，不能得出四边形ABCD是平行四边形，故④不符合题意.
课堂练习
5.如图，在四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，若△ADE≌△CBF.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明　∵△ADE≌△CBF，
∴AD＝BC，AE＝CF.
∵E，F分别为边AB，CD的中点，
∴AB＝2AE，CD＝2CF.
∴AB＝CD.∴四边形ABCD是平行四边形.
课堂练习
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