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第六章　平行四边形　
6.2　平行四边形的判定
第2课时
平行四边形的判定定理3
初中数学北师大版（2024）八年级下册
学习目标
1.探索并掌握平行四边形的判定定理3.(重点)
2.熟练运用平行四边形的判定定理进行推理证明.(重点、难点)
情境引入
如图，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，再用一根橡皮筋绕端点A，B，C，D围成一个四边形ABCD.
思考：(1)△AOB≌△COD吗？
(2)想一想，四边形ABCD的对边之间有什么关系？你得到什么结论？
平行四边形的判定定理3
问题　(1)平行四边形对角线有什么性质？它的逆命题是什么？是真命题吗？
提示　平行四边形对角线互相平分.逆命题：对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题.
(2)求证：对角线互相平分的四边形是平行四边形.(写出已知、求证，并画图，写出证明过程)
提示　方法一　已知：如图，四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，并且OA＝OC，OB＝OD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵OA＝OC，OD＝OB，∠AOD＝∠COB，
∴△AOD≌△COB.
∴AD＝CB，∠ADO＝∠CBO.∴AD∥CB.
∴四边形ABCD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
方法二　已知：如图，在四边形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：在△AOB和△COD中，
∴△AOB≌△COD，
∴∠OAB＝∠OCD，
∴AB∥CD，同法可证AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
知识梳理
平行四边形判定定理3：对角线 的四边形是平行四边形.
几何语言：如图，∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形.
互相平分
例　(课本P162例2)已知：如图，E，F是 ABCD对角线AC上的两点，且AE＝CF.
求证：四边形BFDE是平行四边形.
证明　如图，连接BD，交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD(平行四边形的对角线互相平分).
∵AE＝CF，
∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF，
∴四边形BFDE是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).
跟踪训练　(1)下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是
A.对角线相互垂直
B.对角线互相平分
C.一组对边平行
D.一组对边相等
√
解析　对角线互相平分的四边形是平行四边形，而对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，故A选项错误，B选项正确；
两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故C选项错误；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故D选项错误.
(2)如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，连接AE，ED，过点C作CF∥AE交ED的延长线于点F，连接AF.
①求证：四边形AFCE是平行四边形；
证明　∵CF∥AE，∴∠CFD＝∠AED.
∵D是AC的中点，∴CD＝AD.
在△CDF和△ADE中，
∴△CDF≌△ADE(AAS)，
∴DF＝DE，
∴四边形AFCE是平行四边形.
(2)如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，连接AE，ED，过点C作CF∥AE交ED的延长线于点F，连接AF.
②若BC＝2CE，△ABC的面积为8，求△CDF的面积.
解　∵四边形AFCE是平行四边形，
∴S AFCE＝2S△ACE.
∵BC＝2CE，△ACE的CE边上的高与△ABC的BC边上的高相等，
∴2S△ACE＝S△ABC，
∴S AFCE＝S△ABC＝8，
∴S△CDF＝S AFCE＝×8＝2.
课堂小结
1.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是
A.AB∥CD，AD∥BC
B.OA＝OC，OB＝OD
C.AD＝BC，AB∥CD
D.AB＝CD，AD＝BC
课堂练习
√
解析　对于A，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定，故不符合题意；
对于B，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定，故不符合题意；
对于C，无法判定，四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形，故符合题意；
对于D，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定，故不符合题意.
课堂练习
2.如图，在四边形ABCD中，AO＝OC，BD＝12厘米，则当OB＝　 　厘米时，四边形ABCD是平行四边形.
6
解析　∵AO＝OC，
∴当OB＝OD时，四边形ABCD是平行四边形，
∵BD＝12厘米，
∴OB＝BD＝×12＝6(厘米).
课堂练习
3.在①AD＝BC，②AD∥BC，③∠BAD＝∠BCD，这三个条件中选择其中一个你认为合适的，补充在下面的问题中，并完成问题的解答.
问题：如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，
若　　　　(请填序号)，求证：四边形ABCD为平行四边形.
解　添加②AD∥BC.
证明：∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠BCO，
在△AOD与△COB中，
∴△AOD≌△COB(ASA)，
∴OD＝OB，
又∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
课堂练习
4.如图所示， AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D.求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明　∵四边形AECF是平行四边形，
∴OA＝OC，OE＝OF，AE∥CF.
∴∠DFO＝∠BEO，∠FDO＝∠EBO，
∴△FDO≌△EBO.
∴OD＝OB.
∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
课堂练习
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