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第六章平行四边形　
6.2　平行四边形的判定
第3课时　平行线之间的距离及
平行四边形性质判定
的综合应用
初中数学北师大版（2024）八年级下册
学习目标
1.理解两条平行线之间距离的概念.(重点)
2.能够综合平行四边形的性质和判定进行推理证明.(难点)
情境引入
如图，在笔直的铁轨下，夹在两根铁轨之间的平行枕木是否一样长？你能说明理由吗？与同伴进行交流.
平行线之间的距离
一、
知识梳理
如果两条直线互相平行，那么其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都 (如图，AC＝BD)，这个距离称为 .
(简记为：两条平行线间的距离处处相等)
相等
平行线之间的距离
例1　(课本P164例3)已知：如图，直线a∥b，A，B是直线a上任意两点，AC⊥b，BD⊥b，垂足分别为C，D.
求证：AC＝BD.
证明　∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠1＝∠2＝90°.
∴AC∥BD.
∵AB∥CD，
∴四边形ACDB是平行四边形(平行四边形的定义).
∴AC＝BD(平行四边形的对边相等).
反思感悟
平行线之间的距离处处相等，这个特殊的定理，对于今后求三角形或者四边形的面积是一个很好的工具.
跟踪训练1　(1)如图，直线AB∥CD，点P是直线AB上一个动点，当点P的位置发生变化时，△PCD的面积
A.向左移动变小 B.向右移动变小
C.始终不变 D.无法确定
√
解析　∵直线AB∥CD，点P是直线AB上一个动点，
∴无论点P怎么移动，点P到CD的距离不变，
∴△PCD的底不变，高不变，面积也不变.
(2)在同一平面内到直线的距离等于2的直线有
A.1条 B.2条
C.4条 D.无数条
√
平行四边形性质与判定的综合运用
二、
例2　(课本P164例4)已知：如图，在 ABCD中，点M，N分别在边AD和BC上，点E，F在对角线BD上，且DM＝BN，DF＝BE.
求证：四边形MENF是平行四边形.
证明　∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC(平行四边形的定义).
∴∠MDF＝∠NBE.
∵DM＝BN，DF＝BE，
∴△MDF≌△NBE.
∴ME＝NE，∠MFD＝∠NEB.
∴∠MFE＝∠NEF.
∴MF∥NE.
∴四边形MENF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
跟踪训练2　(1)如图，已知四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明　∵四边形AEFD是平行四边形，
∴AD∥EF，AD＝EF.
∵四边形EBCF是平行四边形，
∴BC∥EF，BC＝EF.
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
(2)如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD交BD于点E，交BC于点M.
解　如图，CN为所作.
①用尺规完成以下基本作图：作∠BCD的平分线CN，交BD于点F；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD交BD于点E，交BC于点M.
②连接AF，EC.求证：四边形AECF为平行四边形.
证明　如图，∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠BAD＝∠BCD，
∵AE平分∠BAD，CN平分∠BCD，
∴∠BAE＝∠BAD，∠DCF＝∠BCD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
(2)如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD交BD于点E，交BC于点M.
②连接AF，EC.求证：四边形AECF为平行四边形.
证明　在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(ASA)，
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，
根据对顶角相等可得出∠NFE＝∠MEF，
∴AM∥NC，即AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形.
课堂小结
1.如图，直线a∥b，则直线a，b之间的距离是
A.线段AB的长度
B.线段CD的长度
C.线段AD的长度
D.线段CE的长度
课堂练习
√
解析　由直线a∥b，CD⊥b可知，
线段CD的长度是直线a，b之间的距离.
2.如图，将两条宽度相同的纸条重叠在一起，使∠BAD＝60°，则∠BCD等于
A.30° B.45°
C.60° D.120°
√
解析　由题意可知AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD＝∠BAD＝60°.
课堂练习
3.如图，a∥b，点A，B分别在直线a，b上，∠1＝45°，点C在直线b上，且∠BAC＝105°，若a，b之间的距离为3，求线段AC的长.
解　如图，作AH⊥BC于点H，
∵a∥b，
∴AH＝3，∠ACH＝∠2，
∵∠1＝45°，∠BAC＝105°，
∴∠2＝180°－∠1－∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝30°，
∴AC＝2AH＝6.
课堂练习
4.如图，在 ABCD中，点E在AB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足BE＝DF.连接EF，分别与BC，AD交于点G，H.求证：EG＝FH.
证明　∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠ABC＝∠CDA.
∴∠E＝∠F，∠EBG＝∠FDH.
在△BEG与△DFH中，
∴△BEG≌△DFH(ASA).∴EG＝FH.
课堂练习
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