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第六章　平行四边形
6.3　三角形的中位线
初中数学北师大版（2024）八年级下册
学习目标
1.掌握三角形的中位线的概念.
2.探索并掌握三角形中位线定理，并能应用进行推理证明及计算.(重点、难点)
情境引入
古时候，有位老汉有四个儿子，他有一块三角形的耕地(如图)，想分给四个儿子.他们的儿子说必须分成一模一样的四部分才公平.这可难坏了老汉，你能帮帮他吗？
三角形的中位线及三角形中位线定理
一、
问题　如图(1)，在△ABC中，连接每两边的中点，看上去就得到了四个全等的三角形.如图(2)，将△ADE绕E按顺时针方向旋转180°到△CFE的位置，这样就得到了一个与△ABC的面积相等的 DBCF.
提示　三角形两边中点的连线平行于第三边，且等于第三边的一半，证明略.
从小明的上述做法中，你能猜想出三角形两边中点的连线与第三边有怎样的关系吗？能证明你的猜想吗？
知识梳理
连接三角形 的线段叫作三角形的中位线.
注意点：三角形的中位线有三条，注意三角形中位线与三角形中线的区别.
两边中点
例1　已知：如图，DE是△ABC的中位线.
求证：DE∥BC，DE＝BC.
证明　如图，延长DE至F，使FE＝DE，连接CF，
在△ADE和△CFE中，
∵AE＝CE，∠1＝∠2，DE＝FE，
∴△ADE≌△CFE，
∴∠A＝∠ECF，AD＝CF，
∴CF∥AB，
∵BD＝AD，
∴CF＝BD，
∴四边形DBCF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)，
∴DF∥BC(平行四边形的定义)，DF＝BC(平行四边形的对边相等)，
∴DE∥BC，DE＝BC.
知识梳理
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于 ，且等于_______
.
几何语言：
如图，∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC.
注意点：三角形中位线定理有两个结论：
(1)表示位置关系——平行于第三边；
(2)表示数量关系——等于第三边的一半.
第三边
第三边
的一半
例2　(课本P173例题)如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AB的中点，∠ADB＝90°，AC＝6，OE＝1.求AD和BD的长度.
解　∵ ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴OA＝OC，OD＝OB(平行四边形的对角线互相平分).
∵E为AB的中点，
∴OE是△ADB的中位线(三角形的中位线的定义).
∴AD＝2OE＝2(三角形的中位线定理).
∵AC＝6，OA＝OC，
∴OA＝AC＝×6＝3.
在Rt△ADO中，由勾股定理可得OD＝.
∴BD＝2OD＝2.
反思感悟
三角形的中位线定理有两个作用：
(1)证明两条线段平行；(2)证明两条线段的倍分关系.
跟踪训练1　(1)如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在AB外取一点C，然后步测出AC，BC的中点D，E，并步测出DE的长约为18 m，由此估测A，B之间的距离约为
A.18 m B.24 m
C.36 m D.54 m
√
解析　∵D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线.
∴根据三角形的中位线定理，得AB＝2DE＝36(m).
(2)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，FD⊥AB交CB的延长线于点F.若AF＝3，CF＝7，则DE的长为
A.2 B.3
C.3.5 D.4
√
解析　∵D是AB的中点，FD⊥AB，
∴DF是线段AB的垂直平分线，
∴BF＝AF＝3，
∵CF＝7，
∴BC＝CF－BF＝7－3＝4，
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝2.
(3)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD，点E为BC的中点.
①求证：DE∥AC；
证明　如图，延长BD交AC于点H，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠HAD，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝∠ADH＝90°，
在△ADB和△ADH中，
(3)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD，点E为BC的中点.
①求证：DE∥AC；
证明　∴△ADB≌△ADH(ASA)，
∴BD＝HD，即点D为BH的中点，
又∵点E为BC的中点.
∴DE∥AC.
(3)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD，点E为BC的中点.
②若AB＝4，AC＝6，求DE的长.
解　∵△ADB≌△ADH，
∴AH＝AB＝4，
∴CH＝AC－AH＝2，
∵由①可知，DE为△BHC的中位线，
∴DE＝CH＝1.
拓展：中点四边形
二、
知识梳理
中点四边形的定义：
依次连接任意四边形各边中点所得到的四边形称为中点四边形.
例3　如图，任意画一个四边形ABCD，以四边形的各边中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形的形状有什么特征？请证明你的结论，并与同伴交流.
解　四边形EFGH为平行四边形.
证明：如图，连接AC，
∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF∥AC，EF＝AC，
HG∥AC，HG＝AC.
∴EF∥HG，EF＝HG.
∴四边形EFGH为平行四边形.
反思感悟
实际上，顺次连接四边形各边中点所得到的四边形一定是平行四边形，但它是否是特殊的平行四边形取决于它的对角线是否垂直或者是否相等，与是否互相平分无关.
跟踪训练2　(1)如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点，点G，H分别是BD，AC的中点，依次连接E，G，F，H得到的四边形是　　　　　　.
平行四边形
解析　∵点E，G分别是AD，BD的中点，
∴EG∥AB，且EG＝AB，
同理可证HF∥AB，且HF＝AB，
∴EG∥HF，且EG＝HF，
∴四边形EGFH是平行四边形.
(2)如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，连接AC，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，若BC＝GC＝2，AC＝2，则四边形EFGH的周长为　　　.
4
解析　如图，连接BD，
∵G是CD的中点，GC＝2，
∴CD＝4，
∴BD＝＝2，
∵点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，
∴EH是△ADB的中位线，EF是△ACB的中位线，FG是△BCD的中位线，GH是△ADC的中位线，
∴EH＝BD＝，EF＝AC＝，FG＝BD＝，GH＝AC＝，
∴四边形EFGH的周长为4.
课堂小结
1.如图，在 ABCD中，点E，F分别是AB，AC的中点，连接EF，若EF＝1.5，则AD的长为
A.1.5　　　　　B.3　　　　　C.4.5　　　　　D.6
课堂练习
√
解析　∵E，F分别是AB，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC＝2EF＝3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝3.
2.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，D，E分别为AC，BC的中点，连接DE，则DE长为
A.4　　　　　B.5　　　　　C.6　　　　　D.7
√
解析　∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，
∴AB＝＝10，
∵D，E分别为AC，BC的中点，
∴DE＝AB＝5.
课堂练习
3.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，若∠EPF＝130°，则∠PEF的度数为
A.25° B.30°
C.35° D.50°
√
课堂练习
解析　∵点P，F分别是BD，CD的中点，
∴PF＝BC，同理可得PE＝AD，
∵AD＝BC，
∴PF＝PE，
∵∠EPF＝130°，
∴∠PEF＝∠PFE＝×(180°－130°)＝25°.
课堂练习
4.如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的周长是　　.
解析　∵等边三角形ABC的边长为2，
∴△ABC的周长为2×3＝6.
∵D，E，F分别是△ABC的AB，BC，CA边的中点，
∴EF，DE，DF为△ABC的中位线，
∴EF＝AB，DF＝BC，DE＝AC，
∴△DEF的周长为EF＋DF＋DE＝(AB＋BC＋AC)＝×6＝3.
3
课堂练习
5.如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE的延长线与AC的交点，求的值.
解　如图，过点D作DH∥AC交BF于点H，
∵DH∥AC，
∴∠ADH＝∠EAF，∠DHE＝∠AFE.
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE.
∴△AEF≌△DEH.
∴DH＝AF.
课堂练习
5.如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE的延长线与AC的交点，求的值.
解　∵DH∥AC，AD是△ABC的中线，
∴DH是△BCF的中位线，
∴DH＝FC.
∴.
课堂练习
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