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(共18张PPT)
20.2　勾股定理的逆定理及其应用
1.(2025·江苏)下列各组数中,是勾股数的一组是(　　)
A.1,2,3 B.1,1,
C.5,12,13 D.0.3,0.4,0.5
2.(2025·成都树德)由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是(　　)
A.∠A+∠B=∠C B.a∶b∶c=1∶1∶2
C.(b+c)(b-c)=a2 D.a=1,b=,c=
C
B
3.若++(c-25)2=0,则以a,b,c为边的三角形是(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.无法确定
4.(1)下列各数是勾股数的是　 　;(填序号)
①6,8,10; ②1,,2; ③0.5,1.2,1.3;
④8,15,17; ⑤,,.
(2)有四种说法:①三个内角之比为5∶6∶1;②三边之长为,,;③三边之长为9,40,41;④三边之比为1.5∶2∶3.其中是直角三角形的有　 　(填序号).
B
①④
①②③
5.(1)如图,BD为△ABC的中线,AB=10,AD=6,BD=8,则△ABC的周长是　 　;
(2)如图,已知CD=6 m,AD=8 m,∠ADC=90°,BC=24 m,AB=26 m,则图中阴影部分的面积是　 　m2;
32
96
(3)如图,∠BAC=90°,AB=4,AC=4,BD=7,DC=9,则∠DBA=　 　.
45°
6.【教材改编】如图1,在四边形ABCD中,∠A=90°,
AB=3,BC=12,CD=13,DA=4.
(1)求四边形ABCD的面积;
解:(1)∵∠A=90°,AB=3,DA=4,
∴BD===5.
∵BC=12,CD=13,
∴BD2+BC2=52+122=169,CD2=132=169,
∴BD2+BC2=CD2,∴△BDC是直角三角形,∠DBC=90°.
∴=+=AD·AB+DB·BC=×4×3+×5×12=36.
(2)如图2,以A为坐标原点,分别以AB,AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系,点P在y轴上.若=,求点P的坐标.
(2)设点P的坐标为(0,a).
∵DA=4,∴D(0,4),∴PD=.
∵=,∴PD·AB=×36,
即×3=9,得=6,
∴a-4=6或a-4=-6,解得a=10或a=-2,∴点P的坐标为(0,10)或(0,-2).
7.【数学文化】《九章算术》是中国古代重要的数学著作,该著作中给出了勾股数a,b,c的计算公式:a=(m2-n2),b=mn,c=(m2+n2),其中m>n>0,m,n是互质的奇数.下列四组勾股数中,不能由该勾股数计算公式直接得出的是(　　)
A.3,4,5 B.5,12,13
C.6,8,10 D.7,24,25
C
8.(2025·河北)如图,在网格图(每个小方格均是边长为1的正方形)中,以AB为一边作直角三角形ABC,要求顶点C在格点上,则图中不符合条件的点是(　　)
A.C1 B.C2 C.C3 D.C4
D
9.如图,AB⊥BC,AB=2,CD=5,AD=3,BC=2,则∠DAB=　　度.
60
10.如图,AD=AE,AB=AC,∠DAE=∠BAC=90°.
(1)求证:CE=BD;
(1)证明:∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC-∠DAC=
∠DAE-∠DAC,
即∠DAB=∠EAC.
又∵AE=AD,AC=AB,
∴△ACE≌△ABD(SAS),
∴CE=BD.
(2)若AC=2,CE=4,DC=2,求∠ACD的度数;
(2)解:∵△ACE≌△ABD,∴DB=EC=4.
在Rt△ABC中,由勾股定理,得
BC2=AC2+AB2=8.
在△DBC中,BC2+DC2=8+8=16=42=BD2,
∴∠DCB=90°.
∵AC=AB,∠BAC=90°,∴∠ACB=45°,
∴∠ACD=∠DCB+∠ACB=135°.
(3)在(2)的条件下,求DE的长.
(3)解:∵BC2=8,DC2=8,∴DC=BC.
∵∠DCB=90°,∴∠DBC=45°.
又∵∠ABC=45°,∴∠ABD=90°.
在Rt△ABD中,由勾股定理,得
AD===2,
∴AE=AD=2,
在Rt△AED中,由勾股定理,得
DE===2.
11.如图,将三边长分别为3,4,5的△ABC(AC>BC)沿最长边AB翻转180°得到△ABC',则CC'的长等于(　　)
A. B.
C. D.
D
12.(1)已知长方形纸片ABCD,AB=5,BC=4,点P在边BC上,连接AP,将△ABP沿AP所在的直线折叠,点B的对应点为B',把纸片展平,连接BB',CB',当△BCB'为直角三角形时,线段CP的长为 ;
解析:∵四边形ABCD为长方形,
∴∠BCD=∠ADC=∠ABC=∠BAD=90°,AB=CD=5,AD=BC=4.
当∠BCB'=90°时,如答案图1.∵∠BCD=90°,
∴点B'在CD上,根据折叠可知,AB'=AB=5,BP=B’P,
∴DB'===3,CB'=DC-DB'=5-3=2.
设CP=x,则BP=B'P=4-x.
在Rt△CB'P中,根据勾股定理,得B'P2=B'C2+CP2,
即(4-x)2=22+x2,解得x=,即CP=;当∠BB'C=90°时,
如答案图2.根据折叠可知,BP=B’P,
∴∠PBB'=∠PB'B.∵∠PBB'+∠BCB'=90°,∠PB'B+∠PB'C=90°,
∴∠BCB'=∠CB'P,∴PC=PB',∴PC=PB.∵BC=BP+PC=4,
∴CP=2;易知∠CBB'<90°.综上,CP=或2.故答案为或2.
或2　
(2)如图,点P为等腰直角三角形ABC内一点,∠ACB=90°,PB=1,PC=2,PA=3,则∠BPC的度数为　 　.
解析:如答案图,过点C作CQ⊥CP,且CQ=CP,
连接PQ,BQ.易证得△ACP≌△BCQ(SAS),
∴BQ=AP=3.易得△PCQ为等腰直角三角形,
∴PQ==2,∠CPQ=45°.
∵BP2+PQ2=1+8=9,BQ2=9,∴BP2+PQ2=BQ2,
∴△BPQ为直角三角形,且∠BPQ=90°,
∴∠BPC=∠CPQ+∠BPQ=135°.故答案为135°.
135°
13.定义:a,b,c为正整数,若c2=a2+b2,则称c为“完美勾股数”,a,b为c的“伴侣勾股数”.如132=52+122,则13是“完美勾股数”,5,12是13的“伴侣勾股数”.
(1)数10　 　“完美勾股数”(填“是”或“不是”);
(2)已知△ABC的三边a,b,c满足a2+b2+c2-6a-8b-10c+50=0.求证:c是“完美勾股数”;
(2)证明:∵a2+b2+c2-6a-8b-10c+50=(a2-6a+9)+(b2-8a+16)+(c2-10c+25)=0,
∴(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0.
∵(a-3)2≥0,(b-4)2≥0,(c-5)2≥0,
∴a=3,b=4,c=5,∴c2=a2+b2,∴c是“完美勾股数”.
是
(3)已知m,n>0且m>n,c=2m2+2mn+2n2,a=m2+4mn+n2,b=(m+n),c为“完美勾股数”,a,b为c的“伴侣勾股数”.若多项式x3-3x2+p(p为常数)因式分解后有一个因式为x-m+n,求该多项式的另一个因式.
(3)解:由题意,得c2=a2+b2,
∴(2m2+2mn+2n2)2=(m2+4mn+n2)2+3(m+n)2,
∴(2m2+2mn+2n2)2-(m2+4mn+n2)2=3(m+n)2,
即(3m2+6mn+3n2)(m2-2mn+n2)=3(m+n)2,
整理,得(m+n)2=0.
又∵m,n>0,m>n,
∴(m-n)2-1=0,即m-n=1,
∴m=n+1.
∵x3-3x2+p因式分解后有一个因式为
x-m+n=x-1,
∴设x3-3x2+p=(x-1)(x2+sx+t),
即x3-3x2+p=x3+(s-1)x2+(t-s)x-t,
∴s=-2,t=-2,
∴另一个因式为x2-2x-2.(共18张PPT)
第1课时　勾股定理
1.(2025·重庆八中)已知直角三角形的两条直角边的长分别为9,12,则它的斜边长为(　　)
A.15 B.16 C.17 D.25
2.如图,已知正方形A的面积为3,正方形B的面积为4,则正方形C的面积为(　　)
A.7 B.5
C.25 D.1
A
A
3.如图,△ABC的顶点A,B,C在边长为1的正方形网格的格点上,BD⊥AC于点D,则BD的长为(　　)
A.3 B.2 C.4 D.
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c.
(1)若a=3,b=4,则c=　　;
(2)若b=5,c=13,则a=　 　;
(3)若a∶c=1∶3,b=2,则c=　 　.
A
5
12
3
5.(1)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于点E.若CD=3,BD=5,则BE的长为　 　;
(2)已知一个直角三角形的两条直角边分别为6,8,那么这个直角三角形斜边上的高为　 　.
4
4.8
6.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c.
(1)已知c=25,b=15,求a的长;
(2)已知a=,∠A=60°,求b,c的长.
解:(1)∵∠C=90°,c=25,b=15,
∴由勾股定理,得a===20.
(2)∵a=,∠A=60°,∴∠B=30°,∴c=2b.
∵a2+b2=c2,∴+b2=(2b)2,
∴b=(负值舍去),∴c=2.
7.如图,在Rt△ABC中,AC=8 cm,BC=6 cm,∠ACB=90°,分别以AB,BC,AC为直径作三个半圆,则阴影部分的面积为(　　)
A.18 cm2 B.24 cm2 C.36 cm2 D.48 cm2
B
8.如图,四个全等的直角三角形围成了正方形ABCD和正方形EFGH,连接AC,分别交EF,GH于点P,Q.已知=,正方形ABCD的面积为30,则图中阴影部分的面积和为(　　)
A.6 B.12 C. D.
9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=4,D是边AC的中点,E是边BC上一点,连接BD,DE.将△CDE沿DE翻折,点C落在BD上的点F处,则CE= 　.
A
10.如图,已知在Rt△ABC中,∠ABC=90°,E为AC边上一点,连接BE,过点E作ED⊥AC,交BC边于点D.
(1)如图1,连接AD,若CE=2,BD=3,∠C=45°,求△ADE的面积;
(1)解:∵ED⊥AC,∠C=45°,
∴∠EDC=∠C=45°,∴CE=DE=2,
∴CD==2.
∵BD=3,∴BC=BD+CD=5.
在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠C=45°,
∴∠BAC=∠C=45°,∴AB=BC=5,
∴AC==10,
∴AE=AC-CE=8,
∴S△ADE=AE·DE=×8×2=8.
(2)如图2,作∠ABC的平分线交AC边于点F,连接DF.若∠BDE=∠CDF,求证:AE+DE=BE.
(2)证明:如答案图,过点B作BT⊥BE交ED的延长线于点T.
∵∠BDE=∠CDF,
∴∠CDE=∠BDF.
∵DE⊥AC,
∴∠DEC=∠ABC=90°,
∴∠A+∠C=∠EDC+∠C=90°,
∴∠EDC=∠A,∴∠A=∠BDF.
∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠DBF.
又∵BF=BF,
∴△ABF≌△DBF(AAS),∴AB=BD.
∵∠ABC=∠EBT=90°,∴∠ABE=∠DBT.
∵∠BDT=∠CDE=∠A,
∴△ABE≌△DBT(ASA),
∴BE=BT,AE=DT,
∴△BET是等腰直角三角形,∴ET=BE,
∴AE+ED=DT+DE=ET=BE.
11.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,AC=3,D是BC边上一动点,连接AD,将△ACD沿AD折叠,点C落在同一平面的点E处,DE交AB于点F,当∠DEB是直角时,DF的长为(　　)
A.5 B.3
C. D.
C
12.(1)在△ABC中,AB=,AC=5,若BC边上的高等于3,则BC边的长为　 　;
解析:有两种情况:①如答案图1,∵AD是△ABC的高,
∴∠ADB=∠ADC=90°.由勾股定理,
得BD===5,
CD===4,
∴BC=BD+CD=5+4=9;
②如答案图2,同理可得CD=4,BD=5,
∴BC=BD-CD=5-4=1.
综上所述,BC边的长为9或1.故答案为9或1.
9或1
(2)如图,在△ABC中,AB=AC,E是边AB上一点,连接CE,在BC右侧作BF∥AC,且BF=AE,连接CF.若AC=13,BC=10,则四边形EBFC的面积为　 　.
解析:易知∠CBA=∠CBF.如答案图,过点 C作CM⊥AB于点M,CN⊥BF于点N,则CM=CN.设BM=x,则AM=13-x.在Rt△ACM中,由勾股定理,得CM2=AC2-AM2.在Rt△BCM中,由勾股定理,得CM2=BC2-BM2,
∴132-(13-x)2=102-x2,解得x=,∴CM==.
∵AE=BF,
∴S四边形EBFC=BE·CM+BF·CN=AB·CM
=×13×=60.故答案为60.
60
13.【问题初探】勾股定理神奇而美妙,它的证法多种多样,在学习了教材中介绍的拼图证法以后,小华突发灵感,给出了如图1所示的拼图:两个全等的直角三角板ABC和直角三角板DEF,顶点F在BC边上,顶点C,D重合,连接AE,EB,设AB,DE交于点G.已知∠ACB=∠DFE=90°,BC=EF=a,AC=DF=b(a>b),AB=DE=c.请你回答以下问题:
(1)AB与DE的位置关系为　 ;
(2)填空:S四边形ADBE= (用含c的代数式表示);
AB⊥DE　
c2　
(3)请尝试利用此图形证明勾股定理;
【问题初探】(3)证明:∵S四边形ADBE=S△ACB+S△ABE
=AB·DG+AB·EG=AB·(DG+EG)=AB·DE=c2,
S四边形ADBE=S四边形ACFE+S△EFB=(b+a)b+(a-b)·a
=b2+ab+a2-ab=a2+b2,
∴c2=a2+b2,
即a2+b2=c2.
【问题再探】 平移直角三角板DEF,使得顶点B,D重合,这就是大家熟悉的“K型图”.如图2,此时△ABE是一个等腰直角三角形.
请你利用以上信息解决以下问题:
已知直线a∥b及点P,作等腰直角△PAB,使得点A,B分别在直线a,b上,且∠APB=90°;(尺规作图,保留作图痕迹)
【问题再探】解:如答案图1,△PAB即为所求作.
【问题拓展】 请你利用以上信息解决问题:
如图4,已知在△ABC中,∠A=45°,∠B=22.5°,BC=6,则△ABC的面积=　　　.
【问题拓展】解:如答案图2,过点B作BE⊥AC交AC延长线于点E,过点C作CD⊥AB于点D.
∵∠A=45°,BE⊥AC,
∴△ABE是等腰直角三角形,
∴∠ABE=45°,AE=BE.
∵∠ABC=22.5°,∴∠CBE=∠ABC=22.5°.
又∵BE⊥AC,CD⊥AB,∴CE=CD.
∵CD⊥AB,∠A=45°,
∴△ACD是等腰直角三角形,
∴AD=CD=CE,AC=AD.
易得Rt△BDC≌Rt△BEC(HL),
∴BD=BE,
∴BD=BE=AE=AC+CE=AD+AD=(+1)AD.
在Rt△BCE中,由勾股定理,得BE2+CE2=BC2,
∴AD2+AD2=62,∴AD2=9(2-),
∴S△ABC=AC·BE=×AD·(+1)AD=AD2=×9(2-)=9.
故答案为9.(共14张PPT)
专题七　[易错]
《勾股定理》中常见的易错题
1.已知一个直角三角形的两边长分别是5和12,则第三边长为　　 .
2.若直角三角形其中两条边的长分别为3,4,则该直角三角形斜
边上的高的长为 .
13或
或　
3.下列数组中:①5,12,13;②2,3,4;③2.5,6,6.5;④21,20,29,其中是勾股数的组数为(　　)
A.4 B.3 C.2 D.1
4.下列几组数据中不能作为直角三角形的三边长的是(　　)
A.0.5,1.2,1.3 B.,3,2
C.9,40,41 D.32,42,52
C
D
5.若a,b,c是直角三角形的三条边长,斜边c上的高的长是h,给出下列结论:
①以a2,b2,c2的长为边的三条线段能构成一个三角形;
②以,,的长为边的三条线段能构成直角三角形;
③以a+b,c+h,h的长为边的三条线段能构成直角三角形;
④以,,的长为边的三条线段能构成直角三角形.
其中结论正确的序号为　 　.
②③④
6.在△ABC中,AB=15,AC=13,BC上的高AD长为12,则△ABC的面积为(　 　)
A.84 B.24
C.24或84 D.42或84
7.已知CD是△ABC的边AB上的高.若CD=,AD=1,AB=2AC,则BC的长为　 .
C
2或2　
8.已知等腰三角形一边长为4,另一边长为6,则这个等腰三角形的面积等于(　 　)
A.3 B.8 C.6 D.3或8
解析:当4为腰,6为底时,过点A作AD⊥BC于点D,如答案图1,则∠ADB=90°.
∵AB=AC=4,BC=6,AD⊥BC,∴BD=BC=3,
∴AD==,∴S△ABC=BC×AD=×6×=3;
当4为底,6为腰时,过点A作AD⊥BC,如答案图2,则∠ADB=90°.
同理可得BD=BC=2,AD==4,
∴S△ABC=BC×AD=×4×4=8.
综上,这个等腰三角形的面积等于3或8,故选D.
D
9.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,在长方形OABC中,A(10,0),C(0,4),D为OA的中点,P为BC边上一点.若△POD为等腰三角形,则所有满足条件的点P的坐标为　 .
解析:由长方形的性质得出∠OCB=90°,OC=4,BC=OA=10.
由点D为OA的中点可知,OD=AD=5.
分如下三种情况讨论:
①当PO=PD时,点P在OD的垂直平分线上,
∴点P的坐标为(2.5,4);
②当OP=OD时,点P的坐标为(3,4);
③当DP=DO时,分两种情况:当点P在点D的左侧时,点P的坐标为(2,4);当点P在点D的右侧时,点P的坐标为(8,4).故答案为(2.5,4)或(3,4)或(2,4)或(8,4).
(2.5,4)或(3,4)或(2,4)或(8,4)　
10.如图1,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,CD=9,AD=12,BD=16.
(1)求证:∠BAC=90°;
(1)证明:∵AD⊥BC,∴∠ADC=∠ADB=90°,
∴根据勾股定理,得AC==15,
AB==20.
∵BC=CD+DB=25,202+152=252,
即AB2+AC2=BC2,
∴△ABC为直角三角形,且∠BAC=90°.
(2)如图2,若∠ACB的平分线CE交AB于点E,交AD于点F.
①求证:AE=AF;
(2)①证明:∵CE是∠ACB的平分线,
∴∠ACE=∠BCE.
∵∠CAE=∠CDF=90°,
∴∠ACE+∠AEF=∠BCE+∠CFD=90°,
∴∠CFD=∠AEF.
又∵∠AFE=∠CFD,∴∠AFE=∠AEF,
∴AE=AF.
②求点E到BC的距离;
②解:如答案图,过点E作EG⊥BC于点G.
∵CE是∠ACB的平分线,∠BAC=90°,∴AE=GE.
又∵CE=CE,
∴Rt△ACE≌Rt△GCE(HL),
∴CG=AC=15,∴BG=BC-CG=25-15=10.
设AE=GE=x,则BE=20-x,
在Rt△BGE中,由勾股定理,得BE2=EG2+BG2,
即(20-x)2=x2+102,解得x=7.5,
即点E到BC的距离为7.5.
(3)若点P为CB边上一点,连接AP.若△ACP为等腰三角形,请直接写出
CP的长为　 .
(3)提示:①当CP=AC时,CP=15;
②当CP=AP时.
∵CP=AP,∴∠ACP=∠CAP.
∵∠CAB=90°,
∴∠CAP+∠BAP=90°,∠ACB+∠B=90°,
∴∠BAP=∠B,∴AP=BP,∴CP=BP=BC=;
③当AC=AP时.
∵AD⊥BC,∴CD=DP=CP,∴CP=2CD=18.
综上所述,CP的长为15或或18.故答案为15或或18.
15或或18　
11.若△ABC的三边a,b,c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0,则△ABC是(　　)
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形或等腰三角形或直角三角形
D.等腰直角三角形
C
12.阅读下列内容,设a,b,c是一个三角形的三条边长,且a是最长边,我们可以利用a,b,c三边长之间的关系来判断这个三角形的形状:
①若a2=b2+c2,则该三角形是直角三角形;②若a2>b2+c2,则该三角形是钝角三角形;③a2例如:一个三角形的三边长分别是4,5,6,最长边是6,由于62<42+52,故由③可知,该三角形是锐角三角形,请解答以下问题:
(1)若一个三角形的三条边长分别是2,3,4,则该三角形是　 　三角形;
(2)若一个三角形的三条边长分别是7,24,x,且这个三角形是直角三角形,则x的值为　 ;
钝角
25或　
(3)若一个三角形的三条边长分别是,mn,,请判断这个三角形的形状,并写出你的判断过程.
解:(3)这个三角形是直角三角形.理由如下:
∵=,
(mn)2=m2n2,=,
∴+(mn)2=,
∴这个三角形是直角三角形.(共10张PPT)
专题四　[提升]
利用勾股定理进行计算
1.(2025·重庆南开)如图,在△ABC中,D为BC中点,AD=3,AC=2,
∠BAD=90°,则AB的长为(　　)
A.3 B.2 C.2 D.
C
2.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,O为△ABC内一点,且S△ABO=S△ACO,
AO=2,则△BOC的面积为(　　)
A.6 B.4 C.3 D.2
A
3.如图,在等腰直角△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D为边BC上一点,连接AD,AE=AD,且∠DAE=90°,连接CE,BE.若AD=5,BD=8,则CE的长为　 .
2
4.如图,在等腰三角形ABC中,AB=BC=8,点D为△ABC外一点,连接DB交AC于点H,连接AD.若∠DBC=∠DAB=90°,BH=2,则线段AD的长度为(　　)
A.12 B.13 C.15 D.17
C
5.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=6,点D,E分别在边AC,AB上,沿着直线DE翻折△ADE,点A落在边BC上,记为点F.若CF=2,则BE的长为(　　)
A.6 B.5 C. D.
D
6.如图,将长方形纸片ABCD折叠,使边DC落在对角线AC上,折痕为CE,且
点D落在对角线上的点D'处.若AB=3,AD=4,则ED的长为 　.
7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,D为AC上一点.若BD是∠ABC的平分线,则AD的长为　　.
8.如图,正方形ABCD的边长为5,点E在AD边上,DE=2,连接CE,将△CDE沿CE翻折得△CD'E,延长ED'交AB于点F.则D'F的长度为 .
　
5
9.如图,在正方形纸片ABCD中,点E是CD的中点,将正方形纸片折叠,点B落在线段AE上的点G处,折痕为AF.如果AD=4 cm,那么CF的长为(　　)
A.(6-2)cm B.(6-2)cm
C. cm D. cm
A
10.(2025·重庆巴蜀)如图,在△ABC中,AB=AC=,BC=2,点D是AB边上一点,连接CD,将△BCD沿CD翻折得到△ECD,其中DE与AC相交于点F.若DE⊥AC,则AD的长为 　.(共12张PPT)
专题六　[提升]
勾股定理的综合应用(二)
1.如图是一个二级台阶,每一级台阶的长、宽、高分别为60 cm,30 cm,10 cm.A和B是台阶两个相对的端点,在点B处有一只蚂蚁想到点A去觅食,那么它爬行的最短路程是(　　)
A.60 cm B.80 cm
C.100 cm D.140 cm
C
2.(2025·北京)华表是一种中国传统建筑形式,天安门前耸立着高大的汉白玉华表,每根华表重约20 000公斤.如图,在底面周长约为3米带有层层回环不断的云朵石柱上,有一条雕龙从柱底向柱顶(从A点到B点)均匀地盘绕3圈,每根华表刻有雕龙部分的柱身高约12米,则雕刻在石柱上的巨龙至少(　　)
A.3米 B.20米
C.15米 D.9米
C
C
3.(1)(2025·成都石室)如图,正方体盒子的棱长为2,O为AE的中点,现有一只蚂蚁位于点C处,它想沿正方体的表面爬行到点O处获取食物,则蚂蚁需爬行的最短路程为 　;
(2)如图是放在地面上的一个长方体盒子,其中AB=18 cm,BC=12 cm,BF=10 cm,点M在棱AB上,且AM=6 cm,点N是FG的中点,一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N,它需要爬行的最短路程为　 .
20 cm　
4.(2025·重庆南开)如图,无盖圆柱盒子高7 cm,底面周长12 cm,蚂蚁从盒子外壁点A爬到内壁点B,爬行的最短路程是　 　cm.
10
5.(2025·重庆巴蜀)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,E是BC的中点,过点E作AB的垂线,垂足为F,点M为直线EF上的任意一点,则AM+CM的最小值为(　　)
A.3 B.4 C.2 D.2
C
6.如图,∠AOB=30°,点M,Q在射线OA上,点P,N在射线OB上,且OM=1,ON=,则MP+PQ+QN的最小值是　 .
2　
7.如图,在平面直角坐标系中,M(2,2),N(4,-1),则MN= 　,P是坐标轴上的点,则的最大值为 　.
解析:易知MN==.当点P在x轴上时,如答案图,作点N关于x轴的对称点N',连接MN'并延长交x轴于点P,此时的值最大,为MN’的值.
易知N'(4,1),∴MN'==;当点P'在y轴上时,连接NM并延长,交y轴于点P',此时的值最大,为MN的值,即.∵>,∴的最大值为.故答案为,.
8.某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型:
直线l同侧有两个定点A,B,在直线l上存在点P,使得PA+PB的值最小.
解法:如图1,作点A关于直线l的对称点A',连接A'B,则A'B与直线l的交点即为P,且PA+PB的最小值为A'B的长.
请利用上述模型解决下列问题:
(1)【几何应用】如图2,在△ABC中,∠C=90°,
AC=BC=2,E是AB的中点,P是BC边上的一
动点,则PA+PE的最小值为　　　;
解:(1)如答案图1,作点A关于BC的对称点A',连接A'E交BC于点P,此时PA+PE的值最小.连接BA'.
由勾股定理,得
BA'=BA===2.
∵E是AB的中点,∴BE=BA=.
∵∠C=90°,AC=BC=2,
∴∠A'BC=∠ABC=45°,
∴∠A'BA=90°,
∴PA+PE的最小值为
A'E===.
故答案为.
(2)【几何拓展】如图3,在△ABC中,AC=2,∠A=30°,若在AB,AC上各取一点M,N,使CM+MN的值最小,画出图形,求最小值并简要说明理由.
(2)如答案图2,作点C关于直线AB的对称点C',作C'N⊥AC于点N,交AB于点M,连接AC',此时CM+MN的值最小,为C'N的值.
∵C'A=CA=2,∠C'AB=∠CAB=30°,
∴∠C'AC=60°,
∴△C'AC为等边三角形,∴AC'=CC'.
∵C'N⊥AC,∴AN=AC=1,
∴CM+MN的最小值为C'N==.(共20张PPT)
第2课时　勾股定理的应用
1.【教材改编】如图,一次飓风灾害中,一棵大树在离地面3 m处折断,树的顶端落在离树干底部中心4 m处,那么这棵树折断之前的高度是(　　)
A.5 m B.6 m
C.7 m D.8 m
D
2.(2025·湖北)小明学了在数轴上表示无理数的方法后,进行了练习:首先画数轴,原点为O,在数轴上找到表示数2的点A,然后过点A作AB⊥OA,使AB=1;再以点O为圆心,OB长为半径作弧,交数轴正半轴于点P,那么点P表示的数是(　　)
A.2.2 B. C.1+ D.
B
3.(2025·成都七中)“今有方池一丈,葭生其中央,出水一尺.引葭赴岸,适与岸齐.问:水深几何 ”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.如图,AC=5,DC=1,BD=BA,则BC= (　　)
A.8 B.10 C.12 D.13
C
4.(1)【教材改编】如图,在平面直角坐标系中有两点A(5,0)和B(0,4),则这两点之间的距离为 　;
(2)一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30 km至B港,然后再沿北偏西30°方向航行40 km至C港,则A,C两港之间的距离为　 　km.
50
5.(1)如图,学校有一块长方形花铺,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花铺内走出了一条“路”.他们仅仅少走了　　步路(假设2步为1 m),却踩伤了花草;
(2)如图,一圆柱高6cm,底面周长为16cm,一只蚂蚁从点A沿圆柱外壁爬到点B处吃食物,要爬行的最短路程是　 　cm.
4
10
6.如图,一条公路AB和一条铁路CD在点A处交汇,且∠BAD=30°,在公路的点P处有一所学校(学校看作点P,点P与公路AB的距离忽略不计),AP=320米.火车行驶时,火车周围200米以内会受到噪音的影响,现有一列动车在铁路CD上沿AD方向行驶,该动车车身长200米,动车的速度为180千米/时,那么在该动车行驶过程中.
(1)学校P是否会受到噪声的影响 请说明理由;
解:(1)如答案图,过点P作PH⊥CD于点H.
在Rt△APH中,∠PAH=30°,PA=320米,
∴PH=PA=160米.
∵160<200,∴学校P会受到噪声的影响.
(2)如果受噪声影响,那么学校P受影响的时间为多少秒
(2)如答案图,取PE=PF=200米,当动车在线段EF上时,学校P受噪声影响.
由(1)知,∠PHF=90°,PH=160米,
∴EF=2FH=2=240(米).
∵180千米/时=50米/秒,
∴t==8.8(秒).
答:学校P受影响的时间为8.8秒.
7.(2025·重庆西附)如图是两个型号的圆柱形笔筒,粗细相同,高度分别是8 cm和12 cm,将一支铅笔按如图所示的方式先后放入两个笔筒,铅笔露在笔筒外面的部分分别为4 cm和2 cm,则铅笔的长为(　　)
A.19 cm B.21 cm C.23 cm D.25 cm
C
8.如图,在Rt△ABC中,AB=2,BC=1,点A在数轴上对应的数是1,以点A为圆心,斜边AC的长为半径画弧,交数轴于点E,则点E表示的实数是　 　.
1-或1+
9.一个长方体盒子的长、宽、高分别为15cm,10cm,20cm,点B离点C的距离是5cm,一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒子的表面爬到点B,则蚂蚁爬行的最短路程是　 　cm.
25
10.阅读材料,回答问题.
【材料】平面内两点M(x1,y1),N(x2,y2),则由勾股定理可得,这两点间的距离MN=.例如:如图1,M(3,1),N(1,-2),则MN==.
【直接应用】
(1)已知P(2,-3),Q(-1,3),求P,Q两点间的距离;
解:(1)∵P(2,-3),Q(-1,3),
∴PQ==3.
(2)如图2,在平面直角坐标系中的两点A(-1,-3),B(1,-1),P为x轴上任一点,求PA+PB的最小值;
(2)如答案图,作点B关于x轴对称的点C,连接AC,CP,AP,BP,
则C(1,1),
由轴对称的性质可得PC=PB,
∴PA+PB=PA+PC≥AC,
∴当A,P,C三点共线时,PA+PC最小,即PA+PB最小,最小值为AC的长.
∵A(-1,-3),C(1,1),∴AC==2,
∴PA+PB的最小值为2.
(3)利用上述两点间的距离公式,求代数式
+的最小值是多少
(3)+可以看成点(x,y)到两点(0,2)和(3,1)的距离之和,
∴其最小值为(0,2)和(3,1)两点的距离,即+的最小值为=.
11.已知直角三角形的三边a,b,c满足c>a>b,分别以a,b,c为边作三个正方形,把两个较小的正方形放置在最大正方形内,如图.设三个正方形无重叠部分的面积为S1,均重叠部分的面积为S2,则(　 　)
A.S1>S2 　　　　B.S1C.S1=S2 　　　　D.S1,S2大小无法确定
C
12.如图,已知∠MON=30°,点A,D在射线OM上,点C,B在射线ON上,OA=2,OB=4,则AC+CD+DB的最小值为　 .
解析:如答案图,作点A关于射线ON的对称点A',作点B关于射线OM的对称点B',连接A'B'分别交ON,OM于点C,D,A'B'的长即为所求,
∴∠B'OM=∠A'OC=∠MON=30°,
OB'=OB=4,OA'=OA=2,∴∠A'OB'=90°,
∴A'B'==2,即AC+CD+DB的最小值是2.故答案为2.
2　
13.在△ABC中,点D,F分别为AB,AC边上的动点,连接CD,BF交于点H.
(1)如图1,若BF⊥AC,DH=CH=,CF=3,BD=5,求BF的长;
(1)解:延长BH至点G,使得HG=BH,连接CG,如答案图1.
∵DH=CH,∠DHB=∠CHG,BH=GH,
∴△DHB≌△CHG(SAS),
∴CG=BD=5,BH=HG.
又∵BF⊥AC,CH=,CF=3,
在Rt△CFH中,由勾股定理,得
HF==2,
在Rt△CFG中,由勾股定理,得
FG==4,
∴BH=HG=HF+FG=6,∴BF=BH+HF=8.
(2)如图2,若BC=BF,FC=2AF,且∠BCD=45°,BE⊥CD于点E,连接EF,∠BFE=∠FCE,求证:AB=2AF=4EF.
(2)证明:∵∠BCD=45°,BE⊥CD于点E,
∴△BCE为等腰直角三角形,
∴∠CBE=45°,BE=EC.
过点E作EG⊥EF,交AC于点G,连接AE,BG,如答案图2.
∵BC=BF,
∴∠BFC=∠BCF,
即∠BFE+∠EFG=∠BCD+∠FCE.
又∵∠BFE=∠FCE,∴∠EFG=∠BCD=45°,
∴△EFG为等腰直角三角形,
∴∠EGF=45°,EF=EG,FG=EF.
∵∠BEC=∠GEF=90°,
∴∠BEC+∠CEG=∠GEF+∠CEG,
即∠BEG=∠CEF,
∴△BEG≌△CEF(SAS),
∴∠EGB=∠CFE=45°,BG=CF,∠FCE=∠GBE,
∴∠BGF=∠BGE+∠EGF=90°,
∴BG⊥CF.
又∵BC=BF,∴CG=FG=FC.
又∵FC=2AF,∴AF=FG=CG,∴AG=2AF,
∴AF=EF,AF+FG=FG+CG,即AG=CF,
∴AG=BG.
∴△ABG为等腰直角三角形,
∴AB=AG=2AF=4EF.(共25张PPT)
《勾股定理》
章末考点复习与小结
1.【数学文化】如图是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”,得到正方形ABCD与正方形EFGH,连接CE.若正方形ABCD的面积为6,EF=BG,则CE的长为(　 　)
A.6 B.5 C.2 D.
D
2.(2025·重庆育才)如图,5个阴影四边形都是正方形,所有三角形都是直角三角形,若正方形A,C,D的面积依次为4,5,20,则正方形B的面积为(　　)
A.8 B.9 C.10 D.11
D
3.在Rt△ABC中,斜边长BC=3,
AB2+AC2+BC2的值为　 　.
18
4.如图,将三角形纸片ABC折叠,使点B,C都与点A重合,折痕分别为DE,FG.已知∠ACB=15°,AE=EF,DE=,则BC的长为　 .
5.如图,正方形ABCD的边长为2,E为BC边的中点,点P在对角线BD上移动,则PE+PC的最小值是 　.
4+2　
6.(1)如图,在3×3的网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上.若BD是△ABC的高,则BD的长为 ;
(2)如图,在△ABC中,AB=AC,过点C作CD⊥AB交AB于点D.已知CD=5,BD=2,则△ABC的面积是 .
　
　
7.如图,在△ABC中,∠A=45°.
(1)如图1,若AC=6,BC=2,求△ABC的面积;
(1)解:如图1,过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D.
∵∠A=45°,∴∠A=∠ACD=45°,∴AD=CD.
∵AC=6,AC2=AD2+CD2,∴AD=CD=6.
在Rt△BCD中,由勾股定理,得
BD==4,
∴AB=AD-BD=6-4=2,
∴S△ABC=AB·CD=×2×6=6.
(2)如图2,D为△ABC外的一点,连接CD,BD且CD=CB,∠ABD=∠BCD.过点C作CE⊥AC交AB的延长线于点E.求证:BD+2AB=AC.
(2)证明:如图2,在BE上截取BF=BD,连接CF.
∵∠D+∠BCD+∠DBC=180°,
∠ABD+∠DBC+∠CBE=180°,∠ABD=∠BCD,
∴∠D=∠CBE.
又∵CD=CB,DB=BF,∴△CDB≌△CBF(SAS),
∴CB=CF,∴∠CBF=∠CFB,∴∠ABC=∠EFC.
∵∠A=45°,AC⊥EC,∴∠E=45°,
∴∠A=∠E,AC=EC,∴△ABC≌△EFC(AAS),
∴AB=EF,∴AE=AB+BF+EF=2AB+BD.
∵AE2=AC2+CE2,∴AE=AC,
∴BD+2AB=AC.
8.下列各组数中,以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是(　　)
A.4,3, 　 B.6,8,10
C.8,15,16 　 D.7,24,25
9.(2025·重庆八中)△ABC的三边长分别是a,b,c,下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是(　　)
A.∠A=∠B-∠C 　 B.a∶b∶c=5∶12∶13
C.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5 　 D.a2=(b+c)(b-c)
C
C
10.在△ABC中,∠ACB=90°,D为△ABC内一点.连接BD,DC,延长DC到点E,使得CE=DC.
(1)如图1,延长BC到点F,使得CF=BC.连接AF,EF.求证:BD=EF;
(1)证明:在△BCD和△FCE中,
∴△BCD≌△FCE(SAS),∴BD=EF.
(2)连接AE,交BD的延长线于点H.依题意补全图2.若AB2=AE2+BD2.判断BD与AE位置关系,并证明.
(2)解:补图如图2.BD⊥AE,证明如下:
延长BC至点M,使CM=BC,连接EM,AM.
同(1)可知,△BCD≌△MCE(SAS),
∴BD=ME,∠DBC=∠EMC,∴BD∥ME.
∵AC⊥BC,BC=CM,∴AB=AM.
∵AB2=AE2+BD2,∴AM2=AE2+EM2,
∴△AEM是直角三角形,∠AEM=90°.
∵BD∥ME,∴∠BHE=∠AEM=90°,∴BH⊥AE,即BD⊥AE.
11.为了丰富中小学生的业余生活,某社区要在如图所示的直线AB上修建图书室,该社区有一小学在点C处,有一中学在点D处,已知CA⊥AB于点A,DB⊥AB于点B,且AB=20 km,CA=12 km,DB=10 km.要使两所学校到图书室的距离相等,图书室到点A的距离应为(　　)
A.8.9km B.9.8km
C.10km D.10.1km
A
12.(2025·成都外国语)如图,正方体盒子棱长为4,M为BC的中点,一只蚂蚁从点A处沿盒子的表面爬行到点M的最短距离为(　　)
A.2 B.2 C. D.4
B
13.某市为了打造“绿洲”,计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮,已知AB=10米,BC=15米,∠B=120°,这种草皮每平方米售价2a元,则购买这种草皮需要(　 　)
A.75a元
B.50a元
C.a元
D.150a元
A
14.某小区在创城工作过程中,在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地.如图,已知AB=9m,BC=12m,CD=17m,AD=8m,技术人员在只有卷尺的情况下,通过测量某两点之间距离,便快速确定了∠ABC=90°.
(1)请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离以及确定∠ABC=90°的依据;
解:(1)测量的是点A,C之间的距离.
依据是:如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
(2)若平均每平方米空地的绿化费用为150元,试计算绿化这片空地共需花费多少元
(2)如图,连接AC.
∵∠ABC=90°,AB=9m,BC=12m,
∴S△ABC==54(m2).
由勾股定理,得AC==15m.
又∵AD=8m,CD=17m,∴AC2+AD2=CD2,
∴△ACD是直角三角形,∠CAD=90°,
∴S△ACD==60(m2).
∴S四边形ABCD=54+60=114(m2).
∴绿化费用为:114×150=17100(元).
答:绿化这片空地共需花费17100元.
15.森林火灾是一种常见的自然灾害,危害很大,随着中国科技、经济的不断发展,开始应用飞机洒水的方式扑灭火源.如图,有一架救火飞机沿东西方向AB由点A飞向点B,已知点C为其中一个着火点,且点C与直线AB上两点A,B的距离分别为600m和800m,AB=1 000m,飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响.
(1)着火点C受洒水影响吗 请说明理由;
解:(1)着火点C受洒水影响.理由如下:
如答案图,过点C作CD⊥AB于点D.
由题意知,AC=600m,BC=800m,AB=1 000m.
∵AC2+BC2=6002+8002=1 0002,AB2=1 0002,
∴AC2+BC2=AB2,
∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°,
∴=AC·BC=CD·AB,
∴CD==480m.
∵飞机中心周围500 m以内可以受到洒水影响,
∴着火点C受洒水影响.
(2)若飞机的速度为10m/s,要想扑灭着火点C估计需要13s,请你通过计算判断着火点C能否被扑灭
(2)如答案图,当EC=FC=500m时,飞机正好喷到着火点C.
∵在Rt△CDE中,
ED===140(m),
∴EF=280 m.
∵飞机的速度为10 m/s,
∴着火点C受到洒水时间为280÷10=28(s).
∵28>13,∴着火点C能被扑灭.
16.已知图1是某超市购物车,图2是超市购物车侧面示意图,现已测得支架AC=72cm,BC=54cm,两轮轮轴的距离AB=90cm(购物车车轮半径忽略不计),DG,EH均与地面平行.(参考数据:≈1.732)
(1)猜想两支架AC与BC的位置关系并说明理由;
解:(1)AC⊥BC,理由如下:
∵AC=72cm,BC=54cm,AB=90cm,
722+542=902,
∴∠ACB=90°,即AC⊥BC.
(2)若FG的长度为80cm,∠EHG=60°,求购物车把手F到AB的距离.(结果精确到0.1)
(2)如答案图,过点F作AB的垂线,分别交DG,AB的延长线于点P,Q.
∵EH∥DG,∠EHG=60°,
∴∠FGP=60°,∴∠GFP=30°.在Rt△FGP中,FG=80cm,
∴GP=40 cm,∴FP=40cm.
在Rt△ABC中,h===PQ,
∴FQ=FP+PQ=40+≈112.5(cm).
答:购物车把手F到AB的距离约为112.5cm.
17.(2025·江苏)【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠,充满着魅力.千百年来,人们对它的证明趋之若鹜,其中有著名的数学家,也有业余数学爱好者.向常春在1994年构造发现了一个新的证法.
【小试牛刀】
(1)把两个全等的Rt△ABC与Rt△DAE按如图1放置,其三边长分别为a,b,c.显然,∠DAB=∠B=90°,AC⊥DE.请用a,b,c分别表示出梯形ABCD、△EBC、四边形AECD的面积,再探究这三个图形面积之间的关系,可得到勾股定理:
S梯形ABCD=　　　　　,S△EBC=　　　　　,
S四边形AECD=　　　　　,则它们满足的关系
式为　　　 　　　,经化简,可得到勾股定理;
解:(1)a(a+b),b(a-b),c2,a(a+b)=b(a-b)+c2.
【知识运用】
(2)如图2,铁路上A,B两点(看作直线上的两点)相距40千米,C,D为两个村庄(看作两个点),AD⊥AB,BC⊥AB,垂足分别为A,B,AD=25千米,BC=16千米,则两个村庄的距离为　　　　千米;
(2)如答案图1,连接CD,
过点C作CE⊥AD于点E.
∵AD⊥AB,BC⊥AB,∴BC=AE,CE=AB,
∴DE=AD-AE=9千米,
∴CD===41(千米),
∴两个村庄的距离为41千米.
(3)在(2)的背景下,若AB=40千米,AD=24千米,BC=16千米,要在AB上建造一个供应站P,使得PC=PD,请用尺规作图在图2中作出P点的位置,并求出AP的长;
(3)点P的位置如答案图2所示.
设AP=x千米,则BP=(40-x)千米.
在Rt△ADP中,PD2=AP2+AD2=x2+242.
在Rt△BPC中,PC2=BP2+BC2=(40-x)2+162.
∵PC=PD,∴x2+242=(40-x)2+162,
解得x=16,即AP=16千米.
【知识迁移】
(4)借助上面的思考过程与几何模型,求代数式+的最小值(0(4)如答案图3.
+的最小值为C'D==20.(共18张PPT)
专题五　[提升]
勾股定理的综合应用(一)
1.小明同学手中有一张长方形纸片ABCD,AD=12 cm,CD=10 cm,他进行了如下操作:
第一步,如图1,将长方形纸片对折,使AD与BC重合,得到折痕MN,将纸片展平.
第二步,如图2,再一次折叠纸片,把△ADN沿AN折叠得到△AD'N,AD'交折痕MN于点E,则线段EN的长为(　　)
A.8 cm B. cm C. cm D. cm
B
2.如图,在Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC折叠,使点A与BC的中点D重合,折痕为MN,则BN的长为　　.
3.如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的边AB在x轴上,点A的坐标为(-2,0),点E在边CD上.将△BCE沿BE折叠,点C落在点F处.若点F的坐标为(0,6),则点E的坐标为　 .
4
(3,10)　
4.将一张长方纸片(四边形ABCD)按如图所示的方式对折,使点C落在AB上的点C'处,折痕为MN,点D落在点D'处,C'D'交AD于点E.若BM=3,BC'=4,AC'=3,则DN= .
　
5.如图,在△ABC中,D是AC边上的中点,连接BD,把△BDC沿BD翻折,得到△BDC',DC'与AB交于点E,连接AC'.若AD=AC'=2,BD=3,则点D到BC的距离为 　.
6.如图,在长方形ABCD中,AB=3,BC=2,点E在BC边上,连接DE,将△DEC沿DE翻折,得到△DEC',C'E交AD于点F,连接AC'.若点F为AD的中点,则AC'的长度为 　.
7.如图,在正方形方格中,每个小正方形的边长都是一个单位长度,点A,B,C,D,E均在正方形方格的顶点上,线段AB,CD交于点F.若∠CFB=α,则∠ABE等于(　　)
A.180°-α 　　　　 B.180°-2α
C.90°+α 　　　　 D.90°+2α
C
8.如图所示的网格是边长为1的正方形网格,则∠PAB+∠PBA=　 　°.(点A,B,P是网格线交点)
45
9.如图,在5×7的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1:
(1)线段AE是△ABD的　 ;
(2)点C到AB的距离是 　.
角平分线　
10.【问题背景】
在△ABC中,AB,BC,AC三边的长分别为,,,求这个三角形的面积.小明同学在解答这道题时,先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1),再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处).如图1所示.这样不需求△ABC的高,而借用网格就能计算出它的面积.
(1)直接写出△ABC的面积为　　;
3.5
【思维拓展】
(2)我们把上述求△ABC面积的方法叫作构图法.若△ABC三边的长分别为,,,请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长为1)画出相应的△ABC,并求出它的面积;
解:(2)如图2,△ABC即为所求作.
=2×4-×2×3-×4×1-×1×1=.
【探索创新】
(3)若△ABC三边的长分别为a,2a,a(a>0),请利用图3的正方形网格(每个小正方形的边长为a)画出相应的△ABC,并求出它的面积;
(3)如图3,△ABC即为所求作.
S△ABC=2a·4a-·2a·2a-·2a·a-·4a·a=3a2.
(4)若△ABC三边的长分别为,,
2(m>0,n>0,且m≠n),试运用构图法求出△ABC的面积.
(4)根据题意,构造长为4n,宽为3m的长方形,作出边长为、、2的三角形如答案图,△ABC即为所求作.
S△ABC=3m·4n-·3m·2n-·2m·2n-·4n·m=5mn.
11.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AB=5,点E为射线BC上一点.若△ABE是直角三角形,则△ABE的面积是　 .
6或　
12.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC=5,BC=4,过点B的直线把△ABC分割成两个三角形△ABP与△BCP,且使△ABP是以AB为腰的等腰三角形,则这个等腰三角形的面积是　 .
解析:在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC=5,BC=4,
∴AB===3,∴S△ABC=AB·BC=6.
∵△ABP是以AB为腰的等腰三角形,
∴有两种情况:①当AB=AP=3时,如答案图1,
S△ABP=·S△ABC=×6=3.6;
②当AB=BP=3,且点P在AC上时,如答案图2,
作△ABC的高BD,则BD===2.4,
∴AD=DP==1.8,∴AP=2AD=3.6,
∴S△ABP=·S△ABC=×6=4.32.综上,等腰三角形的
面积为3.6或4.32.故答案为3.6或4.32.
3.6或4.32　
13.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,AC=6,动点P从点B出发,以每秒2个单位长度的速度,沿射线BC运动,设运动时间为t秒,请解答以下问题:
(1)BC边的长为　　;
8
(2)当△ABP为直角三角形时,求t的值,写出求解过程;
解:(2)若△ABP为直角三角形,有如下两种情况:
①当∠APB=90°时,BP=BC=8,t=8÷2=4;
②当∠BAP=90°时,BP=2t,则CP=2t-8.
在Rt△ABP中,AP2=BP2-AB2,
在Rt△ACP中,AP2=AC2+CP2,
∴BP2-AB2=AC2+CP2,
即(2t)2-102=62+(2t-8)2,解得t=.
综上,t的值为4或.
(3)当△ABP为等腰三角形时,直接写出t的值.
(3)若△ABP为等腰三角形,有如下三种情况:
①当AB=BP=10时,t=5;
②当AB=AP时,BP=2BC=16,∴t=8;
③当BP=AP时,AP=BP=2t,则CP=8-2t.
在Rt△ABP中,由勾股定理,得(2t)2=62+(8-2t)2,
解得t=.
综上,t的值为5或8或.

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