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(共36张PPT)
专题十一　[提升]
四边形中常见的几何基本图形
1.中点四边形
“中点四边形”是顺次连接四边形各边中点而组成的四边形,是四边形的内接四边形的一种特殊情况,一般有以下三种形态:(原四边形ABCD依次是:凸四边形,凹四边形,折四边形)
结论:
(1)中点四边形一定是平行四边形.
①当原四边形对角线相等时,其中点四边形为菱形;
②当原四边形对角线垂直时,其中点四边形为矩形;
③当原四边形对角线垂直且相等时,其中点四边形为正方形.
(2)中点四边形的周长等于原四边形对角线之和.(如下图,C EFGH=AC+BD)
(3)中点四边形的面积等于原四边形面积的二分之一.
2.半角模型
如图1,在正方形ABCD中,∠EAF=45°.
辅助线作法:如图2,延长CB至点G,使BG=DF,连接AG,GF.
结论:①△AEF≌△AEG;
②△AGF为　 三角形;
③EF=EG=BE+DF.
等腰直角　
3.十字模型
如图,四边形ABCD均为正方形.
结论:如图1,若EF⊥GH,则EF　 　GH.(填“>”“<”或“=”,下同)
如图2,若AE⊥BF,则AE　 　BF.
如图3,若AE⊥FH,则AE　　FH.
=
=
=
4.手拉手模型
如图,四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形.
结论:△BAE≌△DAG,BE⊥DG,BE　　DG.
=
1.如图,在四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,垂足为O,点E,F,G,H分别为边AD,AB,BC,CD的中点.若AC=8,BD=6,则四边形EFGH的面积为(　　)
A.48 B.24 C.32 D.12
D
2.如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BD,CD,AC的中点,AD=4,BC=5,则四边形EFGH的周长是　　.
9
3.阅读理解:我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形.如图1,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,依次连接各边中点得到中点四边形EFGH.
(1)这个中点四边形EFGH的形状是　 　;
平行四边形
(2)如图2,在四边形ABCD中,点M在AB上且△AMD和△MCB均为等边三角形,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,AD的中点,试判断四边形EFGH的形状并证明.
(2)四边形EFGH为菱形.证明如下:
如答案图,连接AC,BD.
∵△AMD和△MCB为等边三角形,
∴AM=DM,∠AMD=∠CMB=60°,CM=BM,
∴∠AMC=∠DMB.
在△AMC和△DMB中,
∴△AMC≌△DMB(SAS),∴AC=DB.
∵E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,
∴EF是△ABC的中位线,GH是△ACD的中位线,HE是△ABD的中位线,
∴EF∥AC,EF=AC,GH∥AC,GH=AC,
HE=DB,
∴EF∥GH,EF=GH,∴四边形EFGH是平行四边形.
∵AC=DB,∴EF=HE,∴四边形EFGH为菱形.
4.如图为一正方形的纸片ABCD,边长为6,点E是DC边上一点且DC=3DE,把△ADE沿AE折叠使△ADE落在△AFE的位置,延长EF交BC边于点G,连接BF,AG,有以下四个结论:①∠GAE=45°;②BG+DE=GE;③点G是BC的中点;④连接FC,则BF⊥FC.其中正确的结论序号是(　　)
A.①②③④
B.①②③
C.①②
D.②③
(　　)
解析:∵正方形ABCD的边长为6,DC=3DE,∴DE=2,EC=4.
∵把△ADE沿AE折叠使△ADE落在△AFE的位置,
∴AF=AD=AB=6,EF=ED=2,∠AFE=∠D=90°,∠FAE=∠DAE.
∵AG=AG,∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL),
∴GB=GF,∠BAG=∠FAG,
∴∠GAE=∠FAE+∠FAG=∠BAD=45°,
故①正确;GE=GF+EF=BG+DE,故②正确;
设BG=GF=x,则CG=BC-BG=6-x,
在Rt△CGE中,由勾股定理,得CG2+CE2=GE2,
∴(6-x)2+42=(x+2)2,解得x=3,
∴BG=3,CG=6-3=3,
∴BG=CG,即点G为BC的中点,故③正确;∴GF=GC,
∴∠GFC=∠GCF,∴∠BGF=2∠GFC.
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG,∴∠AGB=∠AGF,
∴∠BGF=2∠AGF,∴∠AGF=∠GFC,∴FC∥AG.∵AB=AF,BG=FG,∴AG⊥BF,
∴BF⊥FC,故④正确.故选A.
A
解:(1)由旋转可知,AE=AM,BE=DM,∠EAM=90°,∠ABE=∠D=90°,
∴E,B,C三点共线.
∵∠MAN=45°,∴∠EAN=∠EAM-∠MAN=45°=∠MAN.
在△EAN和△MAN中,
∴△EAN≌△MAN(SAS),∴EN=MN.
∵EN=BE+BN,∴MN=DM+BN.
5.【探索发现】如图1,四边形ABCD是正方形,M,N分别在边CD,BC上,且∠MAN=45°,我们把这种模型称为“半角模型”,在解决“半角模型”问题时,旋转是一种常用的方法.如图2,小明将△ADM绕点A顺时针旋转90°,点D与点B重合,得到△ABE,连接MN.从而证明得MN=DM+BN.
(1)请你写出小明的证明过程;
【类比延伸】
(2)如图3,点N,M分别在正方形ABCD的边BC,CD的延长线上,∠MAN=45°,连接MN,请写出MN,DM,BN之间的数量关系,并证明.
(2)MN=BN-DM.证明如下:
如答案图,在BC上截取BE=MD,连接AE.
∵AB=AD,∠B=∠ADM,
∴△ABE≌△ADM(SAS),
∴AE=AM,∠BAE=∠MAD.
∴∠EAM=∠MAD+∠EAD=∠BAE+∠EAD=90°.
∵∠MAN=45°,
∴∠EAN=∠EAM-∠MAN=45°=∠MAN.
在△EAN和△MAN中,
∴△EAN≌△MAN(SAS),∴EN=MN.
∵EN=BN-BE,∴MN=BN-DM.
6.如图1,P为正方形ABCD的边BC上一动点(P与B,C不重合),点Q在CD边上,且BP=CQ,连接AP,BQ交于点E.
(1)求证:AP⊥BQ;
(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABP=∠BCQ=90°.
又∵BP=CQ,∴△ABP≌△BCQ(SAS),
∴∠PAB=∠QBC.
∵∠QBC+∠ABQ=90°,∴∠PAB+∠ABQ=90°,
∴∠AEB=90°,∴AP⊥BQ.
(2)当点P运动到BC中点处时(如图2),连接DE,请你判断线段DE与AD之间的关系,并说明理由;
(2)解:DE=AD,理由如下:
如答案图,延长BQ,AD交于点F.
∵P为BC的中点,BP=CQ,BC=DC,
∴CQ=DQ.
又∵∠FQD=∠BQC,
∠FDQ=∠C,
∴△FDQ≌△BCQ(ASA),∴FD=BC,∴FD=AD.
由(1)得,∠FEA=90°,∴DE=FD=AD.
(3)如图3,在(2)的条件下,过点A作AM⊥DE于点H,分别交BQ,CD于点N,M.若AB=2,求QM的长度.
(3)解:由(1)得,AP⊥BQ,∴∠ANE+∠NAE=90°.
∵AM⊥DE,
∴∠NAE+∠AEH=90°,∴∠ANE=∠AEH.
∵DE=DA,∴∠DAE=∠AEH.
∵AD∥BC,∴∠APB=∠DAE.
∵△PAB≌△QBC,∴∠CQB=∠APB.
∵∠QNM=∠ANE,∴∠CQB=∠QNM,
∴QM=MN.
∵CD∥AB,∴∠ABQ=∠CQB,
∴∠ABQ=∠ANE,∴AN=AB=2.
设QM=MN=x,
则DM=DQ+QM=1+x,AM=AN+MN=2+x.
在Rt△ADM中,由勾股定理,得22+(x+1)2=(x+2)2,
解得x=,∴QM=.
7.如图1,在正方形ABCD中,E为边BC上一点(不与点B,C重合),垂直于AE的一条直线MN分别交AB,AE,CD于点M,P,N.
(1)求证:AE=MN;
(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABE=∠BCD=90°,AB=BC,AB∥CD.
过点B作BF∥MN交CD于点F,如答案图1所示.
∴四边形MBFN为平行四边形,
∴MN=BF,BF⊥AE,∴∠ABF+∠BAE=90°.
∵∠ABF+∠CBF=90°,∴∠BAE=∠CBF.
在△ABE和△BCF中,
∴△ABE≌△BCF(ASA),∴AE=BF,∴AE=MN.
(2)如图2,若垂足P恰好为AE的中点,连接BD,交MN于点Q,连接EQ并延长交边AD于点F,求∠AEF的度数;
(2)解:连接AQ,过点Q作HI∥AB,分别交AD,BC于点H,I,如答案图2所示.
易得四边形ABIH为矩形,
∴HI⊥AD,HI⊥BC,HI=AB=AD.
∵BD是正方形ABCD的对角线,∴∠BDA=45°,
∴△DHQ是等腰直角三角形,
∴HD=HQ,∴AH=QI.
∵MN是AE的垂直平分线,
∴AQ=QE.
在Rt△AHQ和Rt△QIE中,
∴Rt△AHQ≌Rt△QIE(HL),
∴∠AQH=∠QEI,∴∠AQH+∠EQI=90°,
∴∠AQE=90°,∴△AQE是等腰直角三角形,
∴∠EAQ=∠AEQ=45°,即∠AEF=45°.
(3)如图3,若该正方形ABCD的边长为11,将正方形沿着直线MN翻折,使得BC的对应边B'C'恰好经过点A,过点A作AG⊥MN,垂足为G,若AC'=5,则AG=　　　.
(3)解:延长AG交BC于点E,如答案图3所示,
由折叠的性质可知,AG=EG,EC=AC'=5,
∴BE=BC-EC=11-5=6,
∴AE===,
∴AG=EG=AE=.
8.如图1,点E为正方形ABCD内一点,∠AEB=90°,将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°(即∠EBE'=90°)得到△CBE'(点A的对应点为点C),延长AE交CE'于点F,连接DE.
(1)试判断四边形BE'FE的形状,并说明理由;
解:(1)四边形BE'FE是正方形.理由如下:
由旋转得,∠E'=∠AEB=90°,∠EBE'=90°,BE'=BE.
∵∠BEF=90°,∴四边形BE'FE是矩形.
又∵BE'=BE,∴四边形BE'FE是正方形.
(2)如图1,若DA=DE,请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明;
(2)CF=FE',证明如下:
如图1,过点D作DG⊥AE于点G,则∠DGA=∠AEB=90°.
∵DA=DE,∴AG=AE.∵四边形ABCD是正方形,
∴DA=AB,∠DAB=90°,∴∠BAE+∠DAG=90°.
∵∠ADG+∠DAG=90°,∴∠ADG=∠BAE.
在△ADG和△BAE中,
∴△ADG≌△BAE(AAS),∴AG=BE.
∵四边形BE'FE是正方形,∴BE=FE',∴AG=FE'.
由旋转得,AE=CE',∴AE=CE',∴FE'=CE',∴CF=FE'.
(3)如图2,若BE=1,CF=3,请直接写出DE的长度.
(3)如图2,过点D作DG⊥AE于点G.
由题可知,BE=FE'=1,CF=3,∴CE'=AE=4.
同(2)可证得,△ADG≌△BAE,
∴DG=AE=4,AG=BE=1,
∴GE=AE-AG=4-1=3.
∵∠DGE=90°,
∴DE===5.
9.在正方形ABCD中,AC为对角线,点P在线段AC上运动,以PD为边作正方形DPFE,连接CE.
【初步探究】
(1)如图1,AP与CE的数量关系为　 ,AP与CE的位置关系为　 ;
解:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=CD,∠ADC=90°,∴∠ADP+∠PDC=90°.
∵四边形DPFE是正方形,
∴PD=ED,∠PDE=90°,∴∠PDC+∠CDE=90°,∴∠ADP=∠CDE,
∴△ADP≌△CDE,∴AP=CE,∠DAP=∠DCE.
∵点P在对角线AC上,
∴∠DAP=∠DCA=∠DCE=45°,∴∠ACE=90°,即AP⊥CE.
AP=CE　
AP⊥CE　
【探索发现】
(2)点P在线段AC及其延长线上运动时,如图1,图2,探究线段CD,PC和CE三者之间的数量关系,并说明理由;
(2)如图1,当点P在线段AC上运动时,PC+CE=CD,理由如下:
当点P在线段AC上运动时,由(1)可得,AP=CE,
∴PC+CE=PC+AP=AC=CD.
如图2,当点P在线段AC的延长线上运动时,
CE-PC=CD,理由如下:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=DC,∠ACD=∠DAC=45°,∠ADC=90°.
∵四边形DPFE是正方形,
∴DP=DE,∠PDE=90°,
∴∠ADC+∠CDP=∠PDE+∠CDP,
即∠ADP=∠CDE.
∴△ADP≌△CDE,∴AP=CE,
∴CE-PC=AP-PC=AC=CD.
【拓展延伸】
(3)如图3,连接AE,PE,若AB=,AE=,求四边形DCPE的面积.
(3)由(2)知,△ADP≌△CDE,
∴∠DCE=∠DAP=45°,∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=90°.
∵AB=,∴BC=AB=,∴AC=2,∴在Rt△ACE中,
CE===5.
∵AP=CE=5,∴PC=AP-AC=5-2=3,
∴PE===,
∴DE=DP=.
如答案图,连接BD,交AC于点O,易知DO=AC=1,
∴S△PDE=DE·DP=×=,
S△PDC=PC·DO=×3×1=,
∴S四边形DCPE=S△PDE+S△PDC=+=10.(共16张PPT)
第2课时　矩形的判定
1.(2025·重庆巴蜀)如图,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点O,添加下列一个条件,能判定该四边形是矩形的是(　　)
A.AB=BC B.AC⊥BD
C.AC=BD D.∠ABD=∠CBD
C
2.(2025·河北)活动课上,小明用四根细木条搭成如图所示的四边形,现要判断这个四边形是否为矩形,以下测量方案正确的是(　　)
A.测量两组对边是否分别相等
B.测量两组对边是否分别平行
C.测量是否有三个角是直角
D.测量对角线是否互相垂直
C
3.如图,在 ABCD中,M,N是BD上两点,BM=DN,连接AM,MC,CN,NA,添加一个条件,使四边形AMCN是矩形,这个条件是(　　)
A.OM=AC B.MB=MO
C.BD⊥AC D.∠AMB=∠CND
A
4.如图,直角AOB内的任意一点P到这个角的两边的距离之和为8,则图中四边形的周长为　 　.
5.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC边上,DF∥AB,DE∥AC,则当∠B=　
　°时,四边形AEDF是矩形.
16
45
6.(2025·重庆南开)如图,在平行四边形ABCD中,CE⊥AD于点E,AB=AE.
(1)用尺规作∠ADC的平分线,交BC于点F,连接AF(不写作法,保留作图痕迹);
解:(1)作图如答案图所示.
(2)在(1)的条件下,求证:四边形AFCE为矩形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴①　 ,AB=CD.∴∠ADF=∠DFC.
∵DF平分∠ADC,∴②　 .
∴∠DFC=∠CDF,∴③　 .
∵AB=AE,∴AE=CD=CF.
∵AE∥CF,∴四边形AFCE为平行四边形.∵CE⊥AD,∴④　 .
∴平行四边形AFCE为矩形(⑤　 )(填推理依据).
AD∥BC　
∠ADF=∠CDF　
CD=CF　
∠AEC=90°　
有一个角是直角的平行四边形是矩形　
7.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,△AOB是等边三角形,OE⊥BD交BC于点E.若CD=2,则CE的长为(　　)
A.1 B. C. D.
D
8.如图,在矩形ABCD中,AD=3,AB=4,M为线段BD上一动点,MP⊥CD于点P,MQ⊥BC于点Q,则PQ的最小值是(　　)
A. B.3 C. D.
A
9.(1)如图,已知四边形ABCD的两条对角线AC,BD互相垂直,E,F,G,H分别是四边形ABCD各边中点.若AC=8,BD=6,则四边形EFGH的面积为　 　;
(2)如图,在△ABC中,AC的垂直平分线分别交AC,AB于点D,F,BE⊥DF交DF的延长线于点E,已知∠A=30°,DF=1,AF=BF,则四边形BCDE的面积为　 .
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2　
10.(2025·辽宁)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点A作AE⊥BC于点E,延长BC到点F,使CF=BE,连接DF.
(1)求证:四边形ADFE是矩形;
(1)证明:∵四边形ABCD
是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC.
∵CF=BE,
∴EF=EC+CF=
EC+BE=BC=AD,
∴四边形ADFE是平行四边形.
∵AE⊥BC,∴∠AEF=90°,
∴四边形ADFE是矩形.
(2)连接OF,若AD=8,EC=6,∠BAE=30°,求OF的长度.
(2)解:由(1)知四边形ADFE是矩形,∴EF=AD=8.
∵EC=6,∴BE=CF=2,∴BF=10.
在Rt△ABE中,∠BAE=30°,BE=2,
∴AB=2BE=4,∴DF=AE==2.
在Rt△BDF中,
∴BD===4.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD,∴OF=BD=2.
11.如图, ABCD的对角线AC,BD交于点O,顺次连接 ABCD各边中点得到一个新的四边形.如果添加下列四个条件中的一个条件:①AC⊥BD;②C△ABO=C△CBO;③∠DAO=∠CBO;④∠DAO=∠BAO,可以使这个新的四边形成为矩形,那么符合要求的条件个数有(　　)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
12.如图,在矩形ABCD中,AB=10,BC=6,点M是AB边的中点,点N是AD边上任意一点,将线段MN绕点M顺时针旋转90°,点N旋转到点N',则△MBN'周长的最小值为　 .
解析:如答案图,过点N'作EF∥AB,分别交AD,BC于点E,F,过点M作MG⊥EF于点G.易知四边形AMGE和BMGF都是矩形,∴∠A=∠MGN'=90°,由旋转的性质,得∠NMN'=90°,MN=MN',∴∠AMN=90°-∠NMG=∠GMN’,
∴△AMN≌△GMN'(AAS),∴MG=AM=5,∴点N'在平行于AB,且与AB的距离为5的直线上运动,作点M关于直线EF的对称点M',连接M'B交直线EF于点N',此时△MBN'周长取得最小值,最小值为BM+BM’.
∵BM=AB=5,MM'=5+5=10,∴BM+BM'=5+
=5+5.故答案为5+5.
5+5　
13.如图1,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ADE=90°,点D在边AB上,点E在射线AC上,分别过点B,E作AC,BC的平行线,两平行线交于点H.
(1)求证:四边形BCEH为矩形;
(1)证明:∵BC∥HE,BH∥AC,
∴四边形BCEH是平行四边形.
又∵∠ACB=90°,∴四边形BCEH为矩形.
(2)求证:DC=DH;
(2)证明:∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ADE=90°,
∴∠DAE=∠DEA=45°, AD=DE,AC=BC.
∵四边形BCEH为矩形,
∴∠HEA=90°,HE=BC=AC,
∴∠DEH=∠DAE=45°,
∴△ADC≌△EDH(SAS).∴DC=DH.
(3)如图2,当点E在AC的延长线上时,则= 　(直接写出结果).
(3)提示:如答案图,连接DH,
连接CH交BE于点O.
同(2)可证△ADC≌△EDH(SAS).
∴DC=DH,∠ADC=∠EDH,
∴∠CDH=90°.
∴△CDH是等腰直角三角形.
又∵四边形BCEH为矩形,
∴BE=CH.∴==.(共15张PPT)
第1课时　矩形的性质
1.(2025·湖北)如图,一根木棍斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上,设木棍中点为P.若木棍A端沿墙下滑,且B沿地面向右滑行.在此滑动过程中,点P到点O的距离(　　)
A.变小 B.不变 C.变大 D.无法判断
2.下列命题正确的是(　　)
A.矩形的四个角都相等
B.矩形的四条边都相等
C.矩形的对角线互相垂直
D.矩形的对角线平分内角
B
A
3.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=4,BE=EF=FA,连接CF和DE交于点G,则CG的长是(　　)
A.4 B.3 C.5 D.4
B
4.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠AOD=116°,则∠ACD的度数为　 　.
58°
5.(1)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,点M是AB的中点,则CM=　　;
(2)如图,在矩形ABCD中,O是AC的中点,OM∥AB交AD于点M.若OB=5,BC=8,则OM的长为　　.
5
3
6.如图,四边形ABCD为矩形,AC为矩形的一条对角线.
(1)用尺规完成以下基本作图:在AB的左侧作∠EAB=∠ACD,射线AE与CB的延长线交于点E,连接DE与AB交于点F;(保留作图痕迹,不写作法,不下结论)
解:(1)作图如答案图所示.
(2)小亮判断点F为线段DE的中点.他的证明思路是:利用矩形的性质,先证明△AEC为等腰三角形,从而得到点B为EC的中点,再利用三角形全等,得到点F为DE的中点.请根据小亮的思路完成下面的填空:
证明:∵四边形ABCD为矩形,∴AD=BC,∠ABC=∠BAD=90°,AB∥DC,
∴①　 .
∵∠EAB=∠ACD,∴∠EAB=∠BAC.
又∵∠ABC=90°,∴∠ABE=90°,
∴∠BAC+∠ACB=90°,∠EAB+∠AEB=90°,
∴②　 ,∴AE=AC.
∵AB⊥BC,∴③　 .
∵AD=BC,∴AD=BE.
∵∠BAD=∠ABE=90°,∠AFD=∠BFE,
∴④　 (AAS),∴EF=DF,∴点F为线段ED的中点.
∠BAC=∠ACD　
∠AEC=∠ACE　
BE=BC　
△ADF≌△BEF　
7.(2025·重庆八中)如图,在矩形ABCD中,AB=1,对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BD于点E.若BE=EO,则AD的长是(　　)
A. B. C.2 D.3
B
8.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,点E为AC的中点,在△AFC中,∠AFC=90°,连接BE,BF,EF.若∠ACB=50°,∠ECF=24°,则∠EFB的度数为(　　)
A.14° B.16° C.18° D.20°
B
9.如图,在矩形ABCD中,AE平分∠BAD交BC于点E,∠CAE=15°,则下面的结论:①△ODC是等边三角形;②BC=2AB;③S△AOB=S△BOC;④S△AOE=S△COE.其中正确的有　 　.(填序号)
①③④
10.如图,在矩形ABCD中,E,F分别是边AB,CD上的点,AE=CF,连接EF,BF,EF与对角线AC相交于点O,且BE=BF,∠BEF=2∠BAC.
(1)求证:OE=OF;
(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD.
∴∠CAE=∠ACF,
∠CFO=∠AEO.
又∵AE=CF,∴△AOE≌△COF.∴OE=OF.
(2)若AC=6,求AB的长.
(2)解:如图,连接OB.
∵BF=BE,OE=OF,∴BO⊥EF.
由(1)知,△AOE≌△COF,∴OA=OC.
∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,
∴BO=AC=OA.∴∠BAC=∠OBA.
又∵∠BEF=2∠BAC,∴∠BEF=2∠OBE.
∵在Rt△OBE中,∠BEO+∠OBE=90°,
∴∠ABO=∠BAC=30°,∴BC=AC=3,∴AB===3.
11.(2025·重庆巴蜀)如图,在矩形ABCD中,点E是AD的中点,EF⊥BE交CD于点F,连接BF.若∠ABE=α,则∠CBF的度数为(　　)
A.45°+α B.45°-α
C.45°- D.90°-2α
D
12.如图,在矩形ABCD中,E为AD边上一点,∠ABE=30°,将△ABE沿BE折叠得到△FBE,连接CF,DF.若CF平分∠BCD,AB=2,则DF的长为 　.
13.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E是AB上一点,连接OE,连接CE交BD于点F.
(1)如图1,若OE⊥AC,且AB=4,BC=3,求BE的长;
(1)解:设AE=x,则BE=4-x.
∵四边形ABCD是矩形,∴AO=OC.
∵OE⊥AC,∴AE=CE=x.
在Rt△BEC中,由勾股定理,得BE2+BC2=CE2.
即(4-x)2+32=x2,解得x=.
∴BE=4-=.
(2)如图2,若F是OB的中点,求证:CF=EF+OE.
(2)证明:如答案图,延长CE至点P,使FP=CF,连接OP,AP.
∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OB=OD.
∵F是OB的中点,∴OF=FB.
又∵∠PFO=∠CFB,FP=FC,∴△PFO≌△CFB(SAS).
∴OP=BC=AD,∠OPF=∠FCB.∴OP∥BC∥AD.
∴四边形APOD是平行四边形.
∴AP=OD=OA,AP∥BD,∴∠PAE=∠ABD.
∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA=∠PAB.
∵AE=AE,∴△APE≌△AOE(SAS),
∴PE=OE,∴CF=PF=EF+PE=EF+OE,即CF=EF+OE.(共18张PPT)
专题九　[强化]
(特殊)平行四边形中的尺规作图
1.(2025·重庆南开)在学行四边形与矩形的相关知识后,数学兴趣小组进行了以下研究,请根据他们的想法与思路,完成以下作图和填空:
(1)如图,BD是平行四边形ABCD的对角线,用尺规作∠ADB的平分线,交AB于点E,在CD边上截线段CF=AE,连接BF;(不写作法,保留作图痕迹)
解:(1)作图如答案图所示.
(2)在(1)所作图形中,若AD=BD,求证:四边形BFDE是矩形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴①　 ,AB∥DC.
又∵CF=AE,∴CD-CF=AB-AE,
即②　 .
又∵DF∥BE,∴四边形BFDE是平行四边形.
∵AD=BD,DE平分∠ADB,
∴③　 ,
∴∠DEB=90°,∴四边形BFDE是矩形.
AB=DC　
DF=BE　
DE⊥AB　
2.小高在学习矩形的判定之后,想继续研究判定一个平行四边形是矩形的方法,他的想法是作平行四边形两相邻内角的角平分线,与两内角公共边的对边相交,若这相邻内角的顶点到对应交点的距离相等,则可论证该平行四边形是矩形.
(1)用直尺和圆规,作射线CF平分∠BCD
交AD于点F;(只保留作图痕迹)
解:(1)作图如答案图所示.
(2)已知:如图,在平行四边形ABCD中,BE平分∠ABC交AD于点E,CF平分∠BCD交AD于点F,且BE=CF.求证:平行四边形ABCD是矩形.
证明:∵BE,CF分别平分∠ABC,∠BCD,
∴∠ABE=∠CBE,∠BCF=∠DCF.
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD∥BC,AB∥CD,AB=①　 　,
∴∠AEB=∠CBE,∠DFC=∠BCF,
∴∠AEB=∠ABE,∠DFC=②　 ,
∴AB=AE,DF=DC,∴AE=DF.
在△ABE和△DCF中,
CD
∠DCF　
∴△ABE≌△DCF(SSS),
∴∠BAE=∠CDF.
∵AB∥CD,∴∠BAE+∠CDF=180°,
∴③　 ,
∴平行四边形ABCD是矩形.
小高再进一步研究发现,若这组邻角的角平分线与公共边的对边延长线相交,结论仍然成立.因此,小高得出结论:作平行四边形两相邻内角的角平分线,与两内角公共边的对边(或对边延长线)相交,若这相邻内角的顶点到对应交点的距离相等,则④　 .
∠BAE=∠CDF=90°　
该平行四边形为矩形　
3.学习了菱形后,小莉进行了拓展性研究:过菱形的一个顶点分别向两条对边作垂线,这两条垂线与对角线产生两个交点,那么这两个交点到此顶点的距离关系如何 她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论.请根据她的思路完成以下作图与填空:
用直尺和圆规,过点A作CD的垂线,垂足为点M,
交BD于点N.(只保留作图痕迹)
解:作图如答案图所示.
已知:如图,四边形ABCD是菱形,过点A作AE⊥BC于点E,交对角线BD于点F,作AM⊥CD于点M,交对角线BD于点N.求证:AF=AN.
证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=①　 　,
∠ABD=∠ABC=∠ADC=∠ADB.
∵AE⊥BC,AM⊥CD,
∴∠AEB=∠AMD=90°.
∵∠AEB+∠ABC+∠BAE=180°,
∠AMD+∠ADC+∠DAM=180°,
∴②　 ,
∴△ABF≌③　 ,∴AF=AN.
请你依照题意完成下面的真命题:过菱形的一个顶点向两条对边作垂线,与对角线产生两个交点,则④　 .
AD
∠BAE=∠DAM　
△ADN　
这两个交点到此顶点的距离相等　
4.如图,在正方形ABCD中,直线l1经过点D,与AB交于点E.
(1)用直尺和圆规作图:过点C作DE的垂线l2,垂足为G,交AD于点F;(保留作图痕迹,不写过程,不下结论)
解:(1)作图如答案图所示.
(2)同学们作图完成后,通过测量发现DE=CF,并且推理论证了该结论,请你根据他们的推理论证过程完成以下证明.
如图,已知正方形ABCD中,DE,CF分别是直线l1,直线l2被一组对边截得的线段,当DE⊥CF时,求证:DE=CF.
证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=DC,∠EAD=∠CDF=90°,
∴①　 +∠AED=90°.
∵DE⊥CF,∴∠FGD=90°,
∴②　 ,
∴∠AED=∠DFG.
在△DAE和△CDF中,
∴△DAE≌△CDF(AAS),∴DE=CF.
∠ADE　
∠ADE+∠DFG=90°　
5.在学行线后,小西进行了如下思考,夹在一组平行线间的线段的垂直平分线,与平行线的两个交点和线段两端点所构成的四边形是什么四边形 请根据小西的思路完成以下作图与填空.
已知:如图,AD∥BC,连接AC.
(1)用直尺和圆规完成以下基本作图:
作线段AC的垂直平分线EF,EF分别交BC,AC,
AD于点E,O,F,连接AE,CF;
解:(1)作图如答案图所示.
(2)求证:四边形AECF是菱形.
证明:∵AD∥BC,∴①　 .
∵EF是AC的垂直平分线,
∴OA=OC,AE=CE.
在△AOF和△COE中,
∴△AOF≌△COE(ASA),∴③　 ,
∴四边形AECF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
∵AE=CE,
∴四边形AECF是菱形(④　 )(填推理依据).
∠FAO=∠ECO　
AF=CE　
一组邻边相等的平行四边形是菱形　
6.在学行四边形的相关知识后,小虹进行了拓展性研究.她发现,如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线,那么这条垂直平分线在该四边形内部的线段被这条对角线平分.其解决问题的思路为通过证明对应线段所在两个三角形全等即可得出结论.
请根据她的思路完成以下作图和填空:
用直尺和圆规作平行四边形ABCD的对角线
AC的垂直平分线,交DC于点E,交AB于点F,
垂足为O.(只保留作图痕迹)
解:作图如答案图所示.
如图,四边形ABCD是平行四边形,AC是对角线,EF垂直平分AC,垂足为O.求证:EO=FO.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC∥AB,
∴∠ECO=①　 .
∵EF垂直平分AC,
∴②　 .
又∵∠EOC=③　 ,
∴△COE≌△AOF(ASA),∴EO=FO.
小虹再进一步研究发现,过平行四边形的对角线中点的所有与该四边形一组对边相交所得的线段均具备此特征,请你依照题目中的相关表述完成下面真命题的填空:过平行四边形的对角线中点的直线④__________
___________________________________.
∠FAO　
OA=OC　
∠FOA　
与其一组
对边相交所得的线段被这条对角线平分　
7.如图,在矩形ABCD中,AC为其对角线.过点B作BE⊥AC于点E.
(1)用直尺和圆规,作∠CDF,使∠CDF=∠ABE,DF交AC于点F,交BC于点G;
解:(1)作图如答案图所示.
(2)小明思考此时的DF是否会垂直AC,为了探究这个问题,小明尝试利用证明三角形全等来推导DF⊥AC.请根据小明的思路,完成以下填空:
证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD,①　 ,
∴∠BAE=∠DCF.
AB∥CD　
在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(ASA),
∴③　 .
∵BE⊥AC,
∴④　 ,
∴∠CFD=90°,
即DF⊥AC.
∠AEB=∠CFD　
∠AEB=90°　
8.如图,在△ABC中,点D为BC边上的中点,连接AD.
(1)尺规作图:在BC下方作射线BF,使得∠CBF=∠C,且射线BF交AD的延长线于点E(不写作法,保留作图痕迹);
解:(1)作图如答案图所示.
(2)在(1)所作的图中,连接CE,若CE=AC,求证:四边形ABEC是菱形.(请补全下面的证明过程)
证明:∵点D为BC边上的中点,
∴DC=DB.
在△ADC和△EDB中,
∴△ADC≌①　 (ASA),
∴AC=②　 　.
∵∠CBF=∠ACB,
∴AC∥③　 　.
∴四边形ABEC是平行四边形.
又∵CE=AC,
∴平行四边形ABEC是菱形④(　 ).
△EDB　
BE
BE
一组邻边相等的平行四边形是菱形　(共18张PPT)
专题八　[强化]
(特殊)平行四边形的计算
1.(2025·重庆八中)如图,在菱形ABCD中,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,交AB于点E,连接DF.若∠BAD=α,则∠CDF的度数为(　　)
A.α B.α C.180°-α D.180°-2α
C
2.如图,在矩形ABCD中,E,F为AC上一点,AE=AD,AF=CE,连接DE,BF.若∠CAD=α,则∠BFE的度数为(　　)
A.90°-α B.90°-α
C.α D.90°-α
B
3.如图,在 ABCD中,∠ABC=66°,AF⊥BC于点F,AF交BD于点E.若DE=2AB,则∠AED的度数是(　　)
A.62° B.64° C.66° D.68°
D
4.如图,在正方形ABCD中,E是BC上一点,F是CD延长线上一点,BE=DF,连接AE,AF,EF,G为EF中点,连接AG,DG.若∠BAE=α,则∠DGF的度数为(　　)
A.45°-α B.30°-α C.45°-α D.α
解析:如图,取CF的中点P,连接GP.易证得△ABE≌△ADF,∴AE=AF,∠BAE=∠FAD=α,∴∠BAE+∠EAD=∠EAD+∠FAD=90°,∴△AEF为等腰直角三角形,∴∠AFE=45°.设BE=a,EC=b,则DF=a,FC=a+a+b=2a+b.在△FEC中,G,P分别为EF,CF的中点,∴GP=EC=,GP∥EC,FP=FC=(2a+b)=a+,
∴DP=FP-DF=a+-a=,∴DP=GP,∴△DGP为等腰直角三角形,∴∠DGP=45°.
易知∠FHD=∠FAD+∠AFH=∠FGP=∠DGF+∠DGP=45°+α,
∴∠DGF=α.故选D.
D
5.如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在CD,BC的延长线上,AE∥BD,
EF⊥BF,AB=,EF=4,则CF的长是(　　)
A. B. C.2 D.
C
6.(2025·重庆西附)如图,四边形ABCD是菱形,点P为AD边上一动点(不与点A,D重合),PE⊥AC于点E,PF⊥DB于点F.若AC=6,BD=12,则EF的最小值为(　　)
A.3 B.2 C. D.
C
7.如图,在正方形ABCD中,E为BC上一点,BE=BC,过点B作BF⊥AE于点G,交CD于点F,H为EF的中点.若AB=6,则GH的长为(　　)
A.2 B. C.3 D.2
B
8.如图,在矩形ABCD中,AD=3.将∠A向内翻折,点A落在BC上,记为A',折痕为DE.若将∠B沿EA'向内翻折,点B恰好落在DE上,记为B',则AB= 　.
9.如图,正方形ABCD的边长为2,N为AD上一点,连接BN,AM⊥BN于点M,连接CM,且CM=CB.若AM=2,则△BCM的面积为(　　)
A.4 B.6 C.8 D.16
C
10.如图,菱形ABCD的边长为4,E,F分别是AB,AD上的点,连接CE,CF,EF,AC与EF相交于点G.若BE=AF=1,∠BAD=120°,则S△AGF∶S△AGE的值为　 　.
1∶3
11.如图,E为矩形ABCD边AB上一点,AB=14,CE=13,DE=15,CF⊥DE于点F,连接AF,BF,则△ABF的面积为　 　.
36.96
12.如图,边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O.E是BC边上一点,F是BD上一点,连接DE,EF.若△DEF与△DEC关于直线DE对称,则△BEF的周长是(　　)
A.2 B.2+ C.4-2 D.
A
13.如图,BD为菱形ABCD的一条对角线,E,F在BD上,且四边形AECF为矩形.若EF=BD,则的值为(　　)
A. B. C. D.
A
14.如图,在边长为6的正方形ABCD中,点E,F分别是边AB,BC上的动点,且满足AE=BF,AF与DE交于点O,点M是DF的中点,G是边AB上的点,AG=2GB,则OM+FG的最小值是(　　)
A.4 B.5 C.8 D.10
B
提示:易知DE⊥AF,则OM=DF.如答案图所示,在AB延长线上截取BH=BG,连接FH.
易得FH=FG,∴OM+FG=DF+HF=(DF+HF),
∴当H,D,F三点共线时,DF+HF有最小值,即此时OM+FG有最小值,为DH的长的.由勾股定理求出DH的值即可.
15.如图,在四边形ABCD中,AC⊥BD于点O,AO=CO=4,BO=DO=3,点P为线段AC上的一个动点.过点P分别作PM⊥AD于点M,PN⊥DC于点N,连接PB,在点P运动的过程中,PM+PN+PB的最小值为　 　.
提示:连接DP,由等积法可求出PM+PN的值为定值4.8,
∴当PB最短时,PM+PN+PB有最小值.由此得解.
7.8
16.如图,已知直线a∥b,且a与b之间的距离为4,点A到直线a的距离为2,点B到直线b的距离为3,AB2=120.试在直线a上找一点M,在直线b上找一点N,满足MN⊥a且AM+MN+NB的值最小,则此时AM+NB=　 　.
提示:如答案图,过点A作直线a的垂线,并在此垂线上取点A',使得AA'=4,连接A'B,与直线b交于点N,过点N作直线a的垂线,垂足为M,连接AM,过点B作BE⊥AA',交射线AA'于点E,此时AM+MN+NB=A'B+MN的值最小.
8
17.如图,在平面直角坐标系中,A(0,4),B(8,0),C(8,2),M,N是线段OB上的两个动点,且MN=2,则△AOM与△NCB周长和的最小值是　 .
提示:由题意可得,C△AOM+C△NCB=OA+OM+AM+
CB+BN+CN=12+AM+CN,当AM+CN最小时,
C△AOM+C△NCB最小.如答案图,将点C向左平移2个单位长度,作点A关于x轴的对称点A',连接A'C'交x轴于点M,将点M向右平移2个单位长度得到点N,这时AM+CN的值最小时,为A'C'的值.
6+12　(共18张PPT)
第2课时　平行四边形的性质(2)
1.(2025·湖南)如图,点P在直线m上移动,A,B是直线n上的两个定点,直线m∥n,对于下列各值,不会随点P的移动而变化的是(　　)
A.∠APB 的大小 B.线段PA的长度
C.△APB的周长 D.△APB的面积
D
2.如图,已知直线AB∥CD,AB与CD之间的距离为,∠BAC=60°,则AC的长为(　　)
A. B.2 C.1 D.
B
3.(2025·重庆一中)如图,在 ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD.若AE∶AF=2∶3,
ABCD的周长为40,则AB的长为(　　)
A.8 B.9 C.12 D.13
A
4.如图,a∥b,点B,C在直线a上,点A在直线b上,AB=6,AC=8,BC=10,则图中a
与b之间的距离为 　.
5.(2025·重庆育才)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,EF过点O,交AD于点F,交BC于点E.若AB=6,AC=8,AD=10,则图中阴影部分的面积是　 　.
12
6.如图,四边形ABCD为平行四边形,BD为对角线.
(1)用尺规完成以下基本作图:作BD的垂直平分线l,l与BD交于点O,与CD交于点E,与AB交于点F,连接BE,DF;(不写作法和证明,保留作图痕迹)
解:(1)作图如答案图所示.
(2)求证:AF=CE.(请补全下面的证明过程)
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴①　 ,AB=CD,
∴∠CDB=∠ABD.
AB∥CD　
∵EF垂直平分BD,
∴②　 ,BD⊥EF.
在△DOE与△BOF中,
∴△DOE≌△BOF(ASA),
∴⑤　 ,
∴AB-BF=CD-DE,∴AF=CE.
OD=OB　
DE=BF　
7.如图,在 ABCD中,点O是BD的中点,EF过点O,下列结论:①AB∥DC;②EO=ED;③∠A=∠C;④S四边形ABOE=S四边形CDOF,其中正确结论的个数为(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
8.(1)如图,在平行四边形ABCD的边AB,CD上截取AF,CE,使得AF=CE,连接EF,点M,N是线段EF上的两点,且EM =FN,连接AN,CM.若∠CMF=100°,∠CEM=70°,则∠NAF=　 　;
(2)如图,E,F分别是平行四边形ABCD的边AB,CD上的点,AF与DE相交于点P,BF与CE相交于点Q,若S△APD=17 cm2,S△BQC=27 cm2,则阴影部分的面积为　 　 cm2.
30°
44
9.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AD=3,AB=4,BC=6.点E在边BC上,将△ABE沿着AE翻折,点B的对应点为点F.如果EF⊥CD,那么EC的长为 .
　
10.已知平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=AC,AB⊥AC.
(1)如图1,若BD=4,求AB的长;
(1)解:∵四边形ABCD是平行四边形,BD=4,
∴OB=BD=2,OA=OC.
设OA=OC=x,则AB=AC=2OA=2x.
∵AB⊥AC,∴OA2+AB2=OB2,
即x2+(2x)2=,解得x=2(负值舍去),
∴OA=2,∴AB=4.
(2)如图2,过点C作CE⊥BD于点E,连接AE,过点A作AF⊥AE交BD于点F,求证:OF=CE+OE.
(2)证明:如答案图,过点C作CG∥AF,交BD于点G,
∴∠FAC=∠OCG,
∠AFO=∠OGC.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,
∴△AFO≌△CGO(AAS),∴OF=OG.
∵AB⊥AC,AF⊥AE,∴∠BAC=∠FAE=90°,
∴∠BAF=∠CAE.
∵CE⊥BD,∴∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠AEF+90°.
∵∠AFB=∠FAE+∠AEF=90°+∠AEF,
∴∠AEC=∠AFB.
又∵AB=AC,∴△ABF≌△ACE(AAS),∴AF=AE.
又∵AF⊥AE,∴∠AFE=∠AEF=45°,
∴∠AFO=∠CGO=45°,∴CE=EG.
∵OG=EG+OE,∴OF=CE+OE.
11.(2025·成都七中)如图, ABCD的对角线AC,BD交于点O,AE平分∠BAD,交BC于点E,且∠ADC=60°,AD=2AB,连接OE.下列结论:①∠CAD=30°;②OD=AB;③S ABCD=AC·CD;④S四边形OECD=S△AOD;⑤AC平分∠DAE.其中成立的个数是(　 　)
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
A
12.(2025·重庆巴蜀)如图,在 ABCD中,CE⊥AD于点E,BF平分∠ABC交CD于点F,CE=CF,CG平分∠ECF交BF于点G,BG=5FG,连接EF,若 ABCD的面积为26,则CE的长为 　,CG的长为　 　.
4
13.如图,在 ABCD中,BD为对角线,E,F分别为AB,CD边上两点,FB平分∠EFC.
(1)如图1,若AE=2,EF=5,求CD的长;
(1)解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD.∴∠ABF=∠BFC.
∵FB平分∠EFC,∴∠EFB=∠BFC.
∴∠ABF=∠EFB.∴BE=EF=5.
∵AE=2,∴CD=AB=AE+BE=2+5=7.
(2)如图2,∠BCD=45°,BC⊥BD.若G为EF上一点,且∠GBF=∠EFD,求证:FG+2FD=AB.
(2)证明:如答案图,在FC上截取FH=FG,连接BH.
在△BGF和△BHF中,
∴△BGF≌△BHF(SAS).∴∠BGF=∠BHF.
∵∠GBF=∠EFD,∠EFD+∠EFB+∠BFH=∠EFB+∠BGF+∠GBF=180°,
∴∠BFH=∠BGF=∠BHF.∴∠BFD=∠BHC.
∵∠BCD=45°,BC⊥BD,
∴∠BDF=45°.∴BD=BC.
在△BDF和△BCH中,
∴△BDF≌△BCH(AAS).∴DF=CH.
∴AB=CD=DF+FH+CH=FG+2FD,
即FG+2FD=AB.(共13张PPT)
21.1.1　四边形及其内角和
1.在四边形ABCD中,边AB的对边是(　　)
A.BC B.AC C.BD D.CD
2.如图,在四边形ABCD中,AB⊥BC,∠A=∠C=100°,则∠D的度数是(　　)
A.60° B.70° C.80° D.90°
D
B
3.(2025·江西)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,连接BD,BD平分∠ABC,
∠C=30°,∠ADB∶∠BDC=1∶2,则∠A的度数是(　　)
A.60° B.80° C.100° D.110°
4.一个四边形有　　条边,有　 　个内角,从一个顶点出发可以引　 　条对角线,一共有　　条对角线.
B
4
4
1
2
5.学校有一块四边形试验田被分割成A,B两块,由图可知,x-y=　 　.
6.(2025·河南)如图,在四边形ABCD中,∠B=50°,
∠C=110°,∠D=90°,AE⊥BC,AF是∠BAD的平分线,与边BC交于点F.求∠EAF的度数.
解:∵AE⊥BC,∴∠AEB=90°.
∵∠B=50°,∴∠BAE=90°-∠B=40°.
∵∠C=110°,∠D=90°,∴∠DAB=360°-∠D-∠C-∠B=110°.
∵AF平分∠DAB,∴∠FAB=∠DAB=×110°=55°,
∴∠EAF=∠FAB-∠BAE=55°-40°=15°.
3
7.如图,从△ABC纸片中剪去△CDE,得到四边形ABDE.如果∠1+∠2=230°,
那么∠C的度数为(　　)
A.40° B.60° C.50° D.55°
C
8.把一个四边形截去一个角,这个四边形会变成_____________________
________.
9.如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=　 　°.
三角形或四边形或　
五边形
360
10.在四边形ABCD中,∠A=100°,∠B=120°,点E,F分别是边AD,BC上的点,点P是一动点,连接PE,PF,令∠PED=∠1,∠PFC=∠2,∠EPF=∠α.
初探:
(1)如图1,若点P在线段CD上运动,试探究∠1+∠2与∠α之间的关系,并说明理由;
解:(1)∠1+∠2=40°+∠α,理由如下:
如答案图1,延长DA,CB交于点G.
∵∠A=100°,∠B=120°,∴易得∠G=40°.
∵∠G+(180°-∠2)+∠α+(180°-∠1)=360°,
∴∠1+∠2=40°+∠α.
再探:
(2)如图2,若点P在线段DC的延长线上运动,试探究∠1,∠2,∠α之间的关系,并说明理由;
(2)∠1-∠2=∠α+40°,理由如下:
如答案图2,记PE,BC的交点为H.
∴∠BHE=∠2+∠α.
∵∠A+∠B+∠BHE+(180°-∠1)=360°,
∴100°+120°+∠2+∠α+(180°-∠1)=360°,
即∠1-∠2=∠α+40°.
(3)若点P运动到四边形ABCD的内部,在备用图中画出此时的图形,并直接写出此时∠1,∠2,∠α之间的关系.
(3)如答案图3,∠1+∠2=40°+∠α;
如答案图4,∠1+∠2+∠α=400°.
11.下列长度的两条线段与长度为2,5的线段首尾依次相连能组成四边形的是(　　)
A.1,1 B.1,8 C.1,2 D.2,3
12.小明学习了四边形后,对有特殊性质的四边形的探究产生了兴趣,发现了这样一类特殊的四边形:两条对角线互相垂直的四边形叫作垂美四边形.如图,已知四边形ABCD中,AC⊥BD,垂足为O,对角线AC=4,BD=6,设S=AD+BC,则S的最小值等于　 .
D
2　
13.(2025·青岛)定义:有一组邻边相等且对角互补的四边形叫作邻等对补四边形.
(1)用三角板拼出下面的4个四边形,其中是邻等对补四边形的有　
　 (填序号);
②④
(2)如图1,已知长方形ABCD,延长CD至点E,使EC=BC,过点E作EF⊥AE交BC的延长线于点F.请你判断四边形ABFE是否为邻等对补四边形,并说明理由;
解:(2)四边形ABFE是邻等对补四边形,理由如下:
∵四边形ABCD是长方形,
∴∠B=∠ADC=∠BCD=90°,AD=BC,
∴∠ADE=∠ECF=180°-90°=90°.
∵EC=BC,∴EC=AD.
∵EF⊥AE,∴∠AEF=90°=∠AED+∠CEF.
又∵∠AED+∠DAE=90°,∴∠DAE=∠CEF,
∴△ADE≌△ECF(ASA),∴AE=EF.
又∵∠B+∠AEF=90°+90°=180°,∠F+∠BAE=180°,
∴四边形ABFE是邻等对补四边形.
(3)如图2,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠C=30°,AC=8,BM=AB,N为AC上一点,且四边形ABMN是邻等对补四边形,连接BN,则BN的长为　 .
2　(共25张PPT)
专题十　[提升]
(特殊)平行四边形中的计算与证明
1.在平行四边形ABCD中,E是AD的中点,EF⊥AB于点F,交CD的延长线于点G.
(1)如图1,若CF=10,EF=3,AF=3,求BF的长;
(1)解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DC,∴∠A=∠ADG.
∵E是AD的中点,∴AE=ED.
∵∠AEF=∠DEG,∴△AEF≌△DEG(ASA),
∴EF=EG=3,AF=GD=3.
∴FG=EF+EG=3+3=6.
∵EF⊥AB,AB∥DC,∴∠G=∠AFG=90°,
∴CG===8,
∴CD=CG-GD=8-3=5,∴BF=AB-AF=CD-AF=5-3=2.
(2)如图2,若CE平分∠BCD,求证:AD=BF+CG.
(2)证明:如图2,延长CE和BA交于点H.
∵AB∥DC,∴∠H=∠ECG.
∵∠HEF=∠CEG,EF=EG,
∴△HEF≌△CEG(AAS),
∴HF=CG,∴BH=BF+HF=BF+CG.
∵CE平分∠BCD,∴∠BCE=∠ECG.
∵∠H=∠ECG,∴∠BCE=∠H,∴BH=BC.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,∴AD=BH,∴AD=BF+CG.
2.已知,AD是△ABC的中线,过点C作CE∥DA.
(1)如图1,DE∥BA交AC于点F,连接AE.求证:四边形ABDE是平行四边形;
(1)证明:∵CE∥DA,∴∠ADB=∠ECD.
∵DE∥BA,∴∠ABD=∠EDC.
又∵AD是△ABC的中线,∴BD=DC,
∴△ABD≌△EDC(ASA),∴AB=DE,
∴四边形ABDE是平行四边形.
(2)P是线段AD上一点(不与点A,D重合),PE∥BA交AC于点F,交CE于点E,连接AE.
①如图2,四边形ABPE是平行四边形吗 请说明理由;
(2)解:①四边形ABPE是平行四边形,理由如下:
延长BP,交CE于点G,取CG的中点H,连接DH,如答案图1.
∵CE∥DA,∴∠APB=∠EGP.
∵PE∥BA,∴∠ABP=∠EPG.
∵AD是△ABC的中线,点H为CG的中点,
∴DH为△BCG的中位线,
∴DH∥BG,BG=2DH,即DH∥PG.
又∵CE∥DA,即GH∥PD,∴四边形PDHG为平行四边形,
∴DH=PG,则BG=2DH=2PG=PG+BP,
∴BP=PG,∴△ABP≌△EPG(ASA),∴AB=EP,∴四边形ABPE是平行四边形.
②如图3,延长BP交AC于点Q,若BQ⊥AC,∠ACB=45°,∠CAD=30°,请直接写出的值.
②过点D作DM⊥AC于点M,如答案图2.
设BC=2a,
∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD=a,
∵∠ACB=45°,∴易得DM=CM=a,
BQ=CQ=a,∴QM=a.
∵∠CAD=30°,
∴AD=2DM=a,∴AM==a,
∴AQ=a,∴==.
3.已知:如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=,AE⊥BD于点E,点F是点E关于AB的对称点,连接AF,BF.
(1)求AE和BE的长;
解:(1)在Rt△ABD中,AB=5,AD=,
∴BD===.
∵S△ABD=BD·AE=AB·AD,∴AE===4.
在Rt△ABE中,AB=5,AE=4,
∴BE==3.
(2)若将△ABF沿着射线BD方向平移,设平移的距离为m(平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度).当点F分别平移到线段AB,AD上时,直接写出相应的m的值;
(2)设平移中的三角形为△A1B1F1,如答案图1所示.
由对称的性质可知,∠1=∠2,
由平移的性质可知,
AB∥A1B1,∠4=∠1,BF=B1F1=3.
①当点F1落在AB上时,如答案图1.
∵AB∥A1B1,∴∠3=∠4,∴∠3=∠2,
∴BB1=B1F1=3,即m=3;
②当点F2落在AD上时,如答案图2.
∵AB∥A2B2,AB⊥AD,∴∠6=∠2,A2B2⊥AD.
∵∠1=∠2,∠5=∠1,
∴∠5=∠6,易得B2D=B2F2=3,
∴BB2=BD-B2D=-3=,即m=.
综上所述,点F平移到线段AB上时,m的值为3,点F平移到线段AD上时,m的值为.
(3)在第(2)问中将△ABF沿着射线BD方向平移,记平移后的三角形为△A'B'F'.设平移的距离为n,求n为多少时,△A'B'A为等腰三角形.
(3)如答案图3,设A'B'交AD于点K.
当AA'=AB'时,∵AK⊥A'B',∴B'K=A'K=A'B'=AB.
∵B'K∥AB,∴BB'=DB'=,∴平移距离n=;
当AB'=A'B'时,
在Rt△AEB'中,EB'===3,
∴BB'=BE+EB'=3+3=6,∴平移距离n=6;
当AA'=A'B'时,四边形ABB'A'是菱形,
∴BB'=AB=5,∴平移距离n=5.
综上所述,满足条件的n的值为或6或5.
4.如图,在矩形ABCD中,AC是对角线,P为矩形外一点且满足AP=PC,AP⊥PC,PC交AD于点N,连接DP,过点P作PM⊥PD交AD于点M.
(1)若AP=5,AB=BC,求矩形ABCD的面积;
解:(1)∵AP=PC,AP⊥PC,AP=5,∴AC=5.
∵四边形ABCD为矩形,
∴∠B=90°,由勾股定理,得AB2+BC2=AC2.
∵AB=BC,
∴+BC2=50,解得BC=3(负值舍去),
∴AB=.
∴S矩形ABCD=AB×BC=15.
(2)若CD=PM,试探究线段AC,AP,PN之间的关系,并证明.
(2)AC=AP+PN,证明如下:
如答案图,延长AP,CD交于点E.
∵AP⊥PC,PM⊥PD,∴∠APC=∠MPD=90°,
∴∠APM+∠MPC=∠MPC+∠CPD=90°,
∴∠APM=∠CPD.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ADC=90°.∴∠NCD+∠CND=90°.
∵∠APC=90°,∴∠PAN+∠ANP=90°.
又∵∠ANP=∠CND,∴∠NCD=∠PAN.
又∵AP=CP,
∴△APM≌△CPD(ASA).∴PM=PD.
又∵CD=PM,∴CD=PD.∴∠DPC=∠DCP.
∵∠DCP+∠E=∠DPC+∠DPE=90°,
∴∠E=∠DPE.∴PD=DE=CD.∴D为CE的中点.
又∵AD⊥CE,∴AC=AE.
易证△APN≌△CPE(ASA).∴PN=PE.
∴AC=AE=AP+PE=AP+PN.
5.如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O.若∠ABC=45°,过点A作AM⊥BC于点M,交BD于点N.
(1)求证:OC=BN;
(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AC=2OC.
∵AM⊥BC,∴∠MAC+∠ACM=∠MBO+∠ACM,
∴∠MAC=∠MBO.
∵∠ABM=45°,AM⊥BC,
∴∠BAM=45°=∠ABM,∠BMN=∠AMC=90°,
∴BM=AM,∴△BMN≌△AMC,
∴BN=AC=2OC,∴OC=BN.
(2)若AB=4,求AN的长度.
(2)解:如答案图,过点N作NH⊥AB于点H.
∵四边形ABCD是菱形,∴BD平分∠ABC.
∵NH⊥AB,AM⊥BC,∴NM=NH.
设NM=NH=x,
∵∠ABC=45°,
∴△ABM与△AHN均为等腰直角三角形,
∴AH=NH=x,AH2+HN2=AN2,AB2=AM2+BM2,
∴AN=x,∴BM=AM=x+x=2,
解得x=4-2,∴AN=x=4-4.
6.如图,在菱形ABCD中,∠B=120°,E,F分别是边BC,CD上的点,且满足CE=CF,连接AE,AF,EF.
(1)若CE=1,AB=3,求AF的长;
(1)解:过点F作FH⊥AD于点H,如答案图1所示,
则∠H=90°.
∵四边形ABCD是菱形,∴∠ADC=∠B=120°,
AD=CD=BC=AB=3.
∴∠FDH=60°.∴∠DFH=30°.
∵CF=CE=1,∴DF=CD-CF=2.
∴DH=DF=1,FH=.∴AH=AD+DH=4.
在Rt△AFH中,由勾股定理,得
AF===.
(2)取AF的中点G,连接EG,DG,求证:EG⊥DG.
(2)证明:延长DG交AB于点M,连接ED,EM,如答案图2所示.
∵四边形ABCD是菱形,∠B=120°,
∴AB∥CD,∠C=60°.∴∠MAG=∠DFG.
∵G是AF的中点,∴AG=FG.
又∵∠AGM=∠FGD,
∴△AMG≌△FDG(ASA).
∴AM=FD,MG=DG.∴BM=CF.
∵CE=CF,∠C=60°,∴△CEF是等边三角形.
∴EF=CF,∠CFE=60°.
∴BE=FD,BM=EF,∠EFD=120°=∠B.
∴△BEM≌△FDE(SAS),∴EM=DE.
又∵MG=DG,∴EG⊥DG.
7.在正方形ABCD中,点E,F在BC,CD上,且BE=CF,AE与BF交于点G.
(1)如图1,求证:△ABE≌△BCF;
证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°.
∵BE=CF,∴△ABE≌△BCF(SAS).
(2)如图2,在GF上截取GM=GB,∠MAD的平分线交CD于点H,交BF的延长线于点N,连接CN.
求证:①△AGN是等腰直角三角形;
(2)①由(1)知,△ABE≌△BCF,∴∠BAE=∠CBF.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABF+∠CBF=90°,∴∠ABF+∠BAE=90°,
∴∠AGB=∠AGM=90°.
又∵AG=AG,GB=GM,
∴△AGB≌△AGM(SAS),∴∠BAG=∠MAG.
∵AN平分∠DAM,∴∠DAN=∠MAN.
∵∠BAD=90°,
∴∠MAG+∠MAN=45°,即∠GAN=45°,
∴∠ANG=45°,∴AG=NG,∴△AGN是等腰直角三角形.
②CN+AN=BN.
②如图2所示,过点B作BQ⊥BN,交NA的延长线于点Q.
∵∠QBN=90°,∠QNB=45°,∴∠Q=45°,
∴BQ=BN,∴△QBN是等腰直角三角形,
∴QN==BN.
∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=∠QBN=90°,
∴∠QBA+∠ABN=∠CBN+∠ABN=90°,∴∠QBA=∠CBN.
在△BAQ和△BCN中,
∴△BAQ≌△BCN(SAS),∴AQ=CN,
∴QN=AQ+AN=CN+AN,∴CN+AN=BN.
8.在正方形ABCD中,动点E,F在对角线AC上,连接DE,BF,且DE∥BF(特殊情况点E,F为AC的中点时除外).
(1)如图1,若∠DEC=∠ABF,AB=1,求CF的长度;
(1)解:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=90°,AB=BC=1,
∴AC==.
∵DE∥BF,∴∠AFB=∠CED.
又∵∠DEC=∠ABF,∴∠AFB=∠ABF,
∴AF=AB=1,∴CF=AC-AF=-1.
(2)如图2,过点C作CG⊥AC,且CE=CG,连接AG,分别交BF,BC于点H,K.若BH=KH,求证:BH=HF+KG;
(2)证明:如答案图1所示,延长AG到点T,使得GT=FH,连接CT.
∵四边形ABCD是正方形,∴∠ACB=45°.
∵CG⊥AC,∴∠ECG=90°,
∴∠BCG=∠BCE=45°.
∵BH=KH,∴∠HBK=∠HKB.
又∵∠CKG=∠HKB,∴∠HBK=∠CKG.
∵∠FBC+∠FCB+∠BFC=180°,∠KCG+∠KGC+∠CKG=180°,
∴∠BFC=∠KGC,∴∠AFH=∠CGT.
∵BF∥DE,∴∠CFB=∠AED,∴∠AFB=∠CED.
∵在正方形ABCD中,AB=CD,∠BAC=∠ACD=45°,
∴△ABF≌△CDE(AAS),∴AF=CE.
∵CG=CE,∴CG=AF,∴△AFH≌△CGT(SAS),∴CT=AH,∠T=∠AHF.
∵∠AHF=∠BHK,∴∠T=∠BHK.
∵∠ABK=90°,
∴∠BAK+∠BKA=90°,∠ABH+∠HBK=90°,
∴∠BAK=∠ABH,∴AH=BH,∴BH=CT.
∵∠BKH=∠CKT,∠BHK=∠T,∴△HBK≌△TCK(AAS),
∴KT=HK=BH,∴BH=TG+KG=HF+KG.
(3)如图3,将线段DE绕着点D逆时针旋转60°,得到线段DE',连接CE',BE'.当线段DE'取得最小值时,请直接写出的值.
(3)解:∵DE'由DE绕着点D逆时针旋转60°得到,
∴DE'=DE,即当DE取得最小值时,DE'取得最小值.
由垂线段最短可得,当DE⊥AC时,DE有最小值,
如答案图2,连接BE,EE',由正方形的性质易得,
点B,E,D在一条直线上.
由题易得△EDE'是等边三角形,
∴DE=EE',∠DEE'=60°,
∴∠BEE'=120°.
由正方形的性质,得∠BEC=90°,CE=DE,
∴∠CEE'=30°,CE=EE',∴∠ECE'=∠EE'C==75°.
∵∠ACD=45°,∴∠DCE'=30°.
如答案图2所示,过点E'作E'Q⊥CD于点Q,则CE'=2QE',
∴CQ==QE'.
∵BC⊥CD,∴BC∥E'Q,
∴点E'到BC的距离等于CQ的长,∴==.(共17张PPT)
21.2.3　三角形的中位线
1.如图,小张想估测被池塘隔开的A,B两处景观之间的距离,他先在AB外取一点C,然后步测出AC,BC的中点D,E,并步测出DE的长约为18m,由此估测A,B之间的距离约为(　　)
A.18m B.24m C.36m D.54m
C
2.如图,在△ABC中,D是AB上一点,AD=AC,AE⊥CD于点E,点F是BC的中点.若BD=10,则EF的长为(　　)
A.8 B.6 C.5 D.4
C
3.(2025·成都七中)如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是BC的中点,AC=4.若 ABCD的周长为16,则△COE的周长为(　　)
A.4 B.5 C.6 D.8
C
4.如图,四边形ABCD各边中点分别是E,F,G,H.若对角线AC=24,BD=18,则四边形EFGH的周长是　 　.
5.(2025·重庆南开)如图,DE是△ABC的中位线,∠ABC的平分线交DE于点F.若∠DFB=32°,则∠ABC=　 　°.
42
64
6.【教材改编】如图,△ABC的中线BF,CE相交于点O,点H,G分别是BO,CO的中点,连接EH,HG,GF,FE,试判断四边形EFGH的形状,并证明你的结论.
解:四边形EFGH是平行四边形.证明如下:
∵点E,F分别是AB,AC的中点,
∴EF∥BC,EF=BC.
同理,可得GH∥BC,GH=BC.
∴EF=GH,EF∥GH.
∴四边形EFGH是平行四边形.
7.如图,在平行四边形ABCD中,AC=2AB=8,AE⊥BD于点E,点F为BC的中点,则EF的长度为(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
A
8.如图,DE是△ABC的中位线,且AB=AC,∠ABC的平分线交DE的延长线于点F.若EF=1,△ABC的周长为16,则BC=　 　.
4
9.(1)如图,在△ABC中,延长AC至点D,使CD=CA,过点D作DE∥CB,且DE=DC,连接AE交BC于点F.若∠CAB=∠CFA,CF=1,则BF=　　;
(2)(2025·广安)如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AB=2,AD=2,M为线段BC的中点,N为线段AB上的动点(含端点),E,F分别为DM,MN的中点,则EF的长的最大值为　　.
3
2
10.如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC上两点,连接ED,EB.点F,G,H分别是DE,BC,BE的中点,连接HG,FG,HF.
(1)猜想∠A与∠FHG的关系,并证明你的猜想;
解:(1)猜想:∠A+∠FHG=180°.证明如下:
∵点F是DE的中点,点H是BE的中点,
∴FH∥BD,
∴∠FHE=∠ABE.
∵点G是BC的中点,点H是BE的中点,
∴GH∥CE,∴∠EHG=∠AEB,∴∠FHG=∠ABE+∠AEB.
∵∠A+∠ABE+∠AEB=180°,∴∠A+∠FHG=180°.
(2)已知∠A=90°.
①若∠2=∠1+60°,求的值;
(2)①∵点G是BC的中点,点H是BE的中点,
∴GH=CE,即CE=2GH.
∵∠A=90°,∠A+∠FHG=180°,∴∠FHG=90°.
∵FH∥BD,∴∠2=∠1+∠HFG.
∵∠2=∠1+60°,∴∠HFG=60°,∴∠HGF=30°,
∴FG=2FH,HG=FH,∴===.
②若BD=4,CE=6,求FG的长.
②由题意知,FH=BD=2,HG=CE=3.
在Rt△FGH中,由勾股定理,得
FG===.
11.(2025·重庆西附)如图,在四边形ABCD中,AC⊥BD,AC=6,BD=6,点E,F分别是边AD,BC的中点,连接EF,则EF的长是(　　)
A.3 B.3 C.3 D.
C
12.(1)如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是平行四边形,CD交y轴于点E,B(-2,0),BC=,∠ADB=45°,则点E的坐标为 　;
(2)如图,在△ABC中,∠A=90°,AC>AB>4,点D,E分别在边AB,AC上,BD=4,CE=3,取DE,BC的中点分别为M,N,则线段MN的长为　 　.
2.5
13.在平行四边形ABCD中,连接BD,若BD⊥CD,点E为边AD上一点,连接CE,交BD于点F.
(1)如图1,若点E为AD中点,对角线AC与BD相交于点O,且△DFE的面积为,DF=2,求CD的长;
(1)解:连接EO,如图1.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC.
又∵点E为AD中点,∴EO∥CD,EO=CD.
∵BD⊥CD,∴EO⊥BD,
∴S△EDF=DF·EO=×2·EO=,∴EO=,∴CD=2.
(2)如图2,若点G在BD上,且DG=AB,连接CG,过点G作GH⊥CE于点H,连接DH并延长交AB于点M.若DM=AB,求证:BM+DH=BD.
(2)证明:过点D作DR⊥DM,交EC于点R,如图2.
∵CD⊥BD,DR⊥MD,∴∠MDR=∠BDC=90°,
∴∠HDG=∠RDC.
∵GH⊥EC,∴∠GHC=90°=∠FDC.
又∵∠HFG=∠DFC,∴∠HGD=∠RCD.
∵DG=AB,AB=DC,∴DG=DC.
∴△DHG≌△DRC(ASA),∴DH=DR,HG=CR.
∵∠HDR=90°,∴△HDR为等腰直角三角形,
∴∠DHR=∠DRH=45°,HR=DH.
∵DG=DC,∠GDC=90°,∴△GDC为等腰直角三角形,
∴∠DGC=∠DCG=45°,CG=DC,∴CG=AB.
∵DM=AB,∴DM=CG.
∵CD∥AB,CD⊥BD,∴AB⊥BD,∴∠ABD=90°.
∵∠GHC=90°,∴∠GHC=∠MBD.
∵∠DHF=45°=∠DGC,∠HFD=∠GFC,∴∠HCG=∠BDM.
∴△CHG≌△DBM(AAS),∴CH=BD,BM=HG.
∵CR=HG,∴BM=CR,∴BD=CH=CR+HR=BM+DH,
即BM+DH=BD.(共15张PPT)
专题十二　[易错]
《四边形》中常见的易错题
1.一个多边形切去一个角后,形成的另一个多边形的内角和为1 080°,那么原多边形的边数为(　　)
A.7 B.7或8 C.8或9 D.7或8或9
2.已知一个多边形最小的外角是60°,其余外角依次增加20°,则这个多边形的边数为　 　.
3.一个多边形的所有内角与它的一个外角的和等于2 000°,则这个外角的度数为　 　.
D
4
20°
4.下列命题中,是假命题的是(　　)
A.平行四边形的对角线互相平分
B.矩形的对角线互相垂直
C.菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角
D.正方形的对角线互相垂直平分且相等
B
5.正方形具备而菱形不具备的性质是(　　)
A.对角线相等
B.对角线互相垂直
C.每条对角线平分一组对角
D.对角线互相平分
A
6.下列命题不正确的是(　　)
A.四个内角都相等的四边形是矩形
B.对角线互相平分的四边形是平行四边形
C.对角线相等的四边形是矩形
D.四条边都相等的四边形是菱形
C
7.下列命题:①一组邻角相等的平行四边形是矩形;②如果一个菱形的对角线相等,那么它一定是正方形;③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形;④一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形.其中假命题是(　　)
A.① B.② C.③ D.④
D
8.如图,已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,下列结论中错误的是(　　)
A.当AC⊥BD时,四边形ABCD是菱形
B.当∠OBC=∠OCB时,四边形ABCD是矩形
C.当∠BAC=∠DAC时,四边形ABCD是菱形
D.当OA=OD时,四边形ABCD是正方形
D
9.顺次连接菱形四边中点得到的四边形是(　　)
A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
10.如图,点D是△ABC内一点,BD⊥CD,AD=7,BD=4,CD=3,点E,F,G,H分别是AB,BD,CD,AC的中点,则四边形EFGH的周长为(　　)
A.12 B.14 C.24 D.21
C
A
11.如图,点E,F,G,H分别是四边形ABCD边AB,BC,CD,DA的中点,则下列说法中正确的个数有(　　)
①若AC=BD,则四边形EFGH为矩形;
②若AC⊥BD,则四边形EFGH为菱形;
③若四边形EFGH是平行四边形,则AC与BD互相平分;
④若四边形EFGH是正方形,则AC与BD互相垂直且相等.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
A
12.在 ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,若AC=8,BD=6,则边AB的取值范围为(　　)
A.113如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,点P为边BC上一动点,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,动点P从点B出发,沿着BC匀速向终点C运动,则线段EF的值的大小变化情况是(　　)
A.一直增大 B.一直减小
C.先减小后增大 D.先增大后减小
A
C
14.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E是边CD上一点,且BC=EC,CF⊥BE交AB于点F,点P是EB延长线上一点,下列结论:①BE平分∠CBF;②CF平分∠DCB;③BC=FB;④PF=PC.其中正确的结论有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
D
15.如图,现有一张矩形纸片ABCD,AB=4,BC=8,点M,N分别在矩形的边AD,BC上,将矩形纸片沿直线MN折叠,使点C落在矩形的边AD上,记为点P,点D落在点G处,连接PC,交MN于点Q,连接CM.下列结论:①CQ=CD;②四边形CMPN是菱形;③P,A两点重合时,MN=2;④△PQM的面积S的取值范围是3≤S≤5.
其中正确的是　 　.(填序号)
②③
提示:先判断出四边形CMPN是平行四边形,再根据翻折的性质可得CN=NP,由此判断出②正确;假设CQ=CD,得Rt△CMQ≌Rt△CMD,进而得∠DCM=∠QCM=∠BCP=30°,这个不一定成立,判断出①错误;P,A两点重合时,设BN=x,则AN=NC=8-x,在Rt△ABN中,利用勾股定理列出方程求解得x的值,进而用等积法求得MN,判断出③正确;当MN过点D时,求得四边形CMPN的最小面积,进而得S的最小值4,当点P与点A重合时,S的值最大,求得最大值5,所以4≤S≤5,判断出④错误.
16.在 ABCD中,∠A=30°,AD=4,BD=4,则 ABCD的面积等于　 .
提示:本题无图形,需分类讨论.过点D作 ABCD的高DE,分高DE在平行四边形的内部和外部两种情况,再根据勾股定理及平行四边形的面积公式即可求解.
16或8　
17.如图,在直线AP上方有一个正方形ABCD,∠PAD=30°,以点B为圆心,AB长为半径作弧,与AP交于点A,M,分别以点A,M为圆心,AM长为半径作弧,两弧交于点E,连接ED,则∠ADE的度数为　 .
提示:分点E与正方形ABCD在直线AP的同侧和点E与正方形ABCD在直线AP的两侧两种情况,根据正方形的性质、等边三角形的性质解答.
15°或45°　
18.如图,四边形ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=6,对角线AC与BD相交于点O,点E在AC上,若OE=2,则CE的长为　 .
提示:分点E在点O的左侧与点E在点O的右侧两种情况.
5或　
19.矩形ABCD的面积是90,对角线AC,BD交于点O,点E是BC边的三等分点,连接DE,点P是DE的中点,OP=3,连接CP,则PC+PE的值为　 　.
提示:分CE>BE(如答案图1)和CE13或(共18张PPT)
第1课时　平行四边形的性质(1)
1.(2025·辽宁)如图,在 ABCD中,∠ABC=80°,BE平分∠ABC,则∠BED的度数为(　　)
A.40° B.130° C.140° D.150°
C
2.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.若AB=6,AC=7,BD=11,则△OCD的周长为(　　)
A.14 B.15 C.12 D.15.5
B
3.如图,在 ABCD中,下列结论不一定成立的是(　　)
A.∠1=∠2 B.∠ABC=∠CDA
C.AC=BD D.AB=CD
C
4.(1)如图,在 ABCD中,BA=BD,AE⊥BD.若∠C=70°,则∠DAE的度数为　 ;
(2)如图,在平行四边形ABCD中,AF平分∠BAD交CD于点F,BE平分∠ABC交CD于点E.若AB=15,BC=6,则EF的长为　　.
20°　
3
5.如图, ABCD 的对角线相交于点 O,且 AD≠CD,过 点 O 作 OM⊥AC,垂足为O,交 AD 于点 M,连接CM.如果 ABCD 的周长为8,那么△CDM 的周长为　　.
4
6.如图,在平行四边形ABCD中,AE平分∠BAD,交对角线BD于点E.
(1)用尺规完成以下基本作图:作∠BCD的平分线,交对角线BD于点F;(不写作法和结论,保留作图痕迹)
(1)解:作图如图.
(2)在(1)所作的图形中,求证:BE=DF.
(2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD,∠BAD=∠BCD,∴∠ABE=∠CDF.
∵AE,CF分别平分∠BAD和∠BCD,
∴∠BAE=∠BAD,∠DCF=∠BCD,∴∠BAE=∠DCF.
在△ABE与△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(ASA),∴BE=DF.
7.如图,在平行四边形ABCD中,对角线交于点O,直线MN经过点O,分别交AD,BC于点M,N.若∠MDO=∠MOD,BN=2,则MN的长为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.6
C
8.如图,在 ABCD中,BE⊥CD,BF⊥AD,∠EBF=45°,CE=3,DF=1,则AF等于(　　)
A.3-1 B.3+1
C.3-2 D.3+2
A
9.如图所示,在平行四边形ABCD中,E为AD边上一点,将△DEC沿CE翻折得到△FEC,点F在AC上,且满足AF=EF.若∠D=48°,则∠BCE=　 　.
78°
10.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,点E,F在对角线AC上,BE∥DF,BD平分∠EBC.
(1)若∠BAD=100°,∠ABE=20°,求∠ADB的度数;
解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠ABC=180°-∠BAD=180°-100°=80°.
∵∠ABE=20°,
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=80°-20°=60°.
∵BD平分∠EBC,∴∠CBD=∠EBC=30°,
∵AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD=30°.
(2)若AE=2,OF=3,求AC的长.
(2)∵BE∥DF,∴∠BEO=∠DFO,∠EBO=∠FDO.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BO=DO,AO=CO,
∴△BOE≌△DOF(AAS),∴OE=OF=3,
∴AO=AE+OE=2+3=5,∴AC=2AO=10.
11.如图,在 ABCD中,AC,BD相交于点O,AC=2,BD=2.过点A作AE⊥BC于点E,记BE长为x,BC长为y.当x,y的值发生变化时,下列代数式的值不变的是(　　)
A.x+y B.x-y C.xy D.x2+y2
解析:如答案图,过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F.易证得△ABE≌△DCF(AAS).∴AE=DF,BE=CF=x.由勾股定理可得,AE2=AC2-CE2=AC2-(BC-BE)2=4-(y-x)2,DF2=BD2-BF2=BD2-(BC+CF)2=12-(y+x)2,∴4-(y-x)2=12-(y+x)2,∴(y+x)2-(y-x)2=8,即4xy=8,解得xy=2,∴当x,y的值发生变化时,代数式的值不变的是xy.故选C.
C
12.如图,在平行四边形ABCD中,AB=,∠B是锐角,AE⊥BC于点E,F是AB的中点,连接DF,EF.若∠EFD=90°,AE=,则AD的长为　 　.
2
13.已知,等腰Rt△ADM中,∠AMD=90°,AM=DM, ABCD的边BC经过点M,点E是线段DM上一动点,连接AE.
(1)如图1,若点E是DM的中点,∠ABC=60°,AE=,求BM的长;
(1)解:如答案图1,过点A作AK⊥BC于点K,
∵等腰Rt△ADM中,∠AMD=90°,AM=DM,
∴∠MAD=45°.
设AM=DM=2a.
∵点E是DM的中点,AE=,
∴ME=MD=a.在Rt△AME中,AM2+ME2=AE2,
即+a2=,解得a=(负值舍去),∴AM=2.
∵四边形ABCD为平行四边形,∴BC∥AD,∴∠AMK=∠MAD=45°,
∴△AMK为等腰直角三角形,AK=KM.
在Rt△AMK中,AK2+KM2=AM2,
∴AK=KM=2.
∵∠ABC=60°,∴∠BAK=30°,∴AB=2BK.
在Rt△ABK中,AK2+BK2=AB2,
即22+BK2=(2BK)2,解得BK=,
∴BM=KM+BK=2+.
(2)如图2,连接CE,当AE⊥AB时,求证:CD+CE=AE.
(2)证明:如答案图2,延长AM,DC交于点F.
∵四边形ABCD为平行四边形,AE⊥AB,
∴∠BAD=∠BCD=90°+∠DAE.
在等腰Rt△ADM中,
∠ADM=∠MAD=45°,
∴∠MDC=180°-∠BCD-∠ADM
=180°-(90°+∠DAE)-45°=45°-∠DAE=∠MAE.
又∵∠FMD=∠EMA=90°,MD=MA,
∴△DMF≌△AME(ASA),
∴DF=AE,MF=ME.
∵BC∥AD,∴∠EMC=∠MDA=45°,
∴∠FMC=90°-∠EMC=45°=∠EMC.
又∵ME=MF,MC=MC,
∴△CME≌△CMF(SAS),∴CE=CF,
∴CD+CE=CD+CF=DF=AE.(共20张PPT)
21.3.3　正方形
1.(2025·成都石室)矩形、菱形、正方形都具有的性质是(　　)
A.对角线相等
B.对角线互相平分
C.对角线互相垂直
D.对角线平分对角
B
2.(2025·山东)小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图,(1)(2)(3)(4)处需要添加条件,则下列条件添加错误的是(　　)
A.(1)处可填∠A=90°
B.(2)处可填AD=AB
C.(3)处可填DC=CB
D.(4)处可填∠B=∠D
D
3.如图,在正方形ABCD中,F为边AB上一点,CF与BD交于点E,连接AE.若∠BCF=25°,则∠AEF= (　 　)
A.35° B.40° C.45° D.50°
4.已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中错误的有　 　.(填序号)
①当AB=BC时,它是菱形;②当AC⊥BD时,它是菱形;③当∠ABC=90°时,它是矩形;④当AC=BD时,它是正方形.
B
④
5.(1)(2025·广元)如图,已知正方形ABOC的顶点B(2,1),则顶点C的坐标为　 ;
(2)如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,CE=5,F为DE的中点,若OF=3.5,则△CEF的周长为　 　.
(-1,2)　
18
6.如图,在正方形ABCD中,点E在AB边上,点F在BC边的延长线上,且CF=AE,连接EF,过点D作DH⊥EF,垂足为H,交BC于点M,连接DF.
(1)求∠DEF的度数;
解:(1)在正方形ABCD中,
AD=CD,∠A=∠BCD=∠ADC=90°,
∴∠DCF=90°,∴∠A=∠DCF.
在△ADE和△CDF中,
∴△ADE≌△CDF,∴DE=DF,∠ADE=∠CDF.
∵∠ADE+∠EDC=90°,
∴∠CDF+∠EDC=∠EDF=90°,∴∠DEF=45°.
(2)连接EM,当BE=12,CF=3时,求CM的长.
(2)∵△DEF为等腰直角三角形,DH⊥EF,
∴EH=HF,∴ME=MF.
∵BE=12,CF=3,AB=BC,CF=AE,
∴BC=AB=AE+EB=CF+EB=15.
设CM=x,则BM=15-x,ME=MF=MC+CF=3+x.
在Rt△EMB中,EM2=EB2+BM2,
∴=122+,
解得x=10,∴CM=10.
7.(2025·重庆一中)如图,在正方形ABCD中,点E为边BA延长线上一点,点F在边BC上,且AE=CF,连接DF,EF,EF交AD于点G.若∠AEF=α,则∠FDG=(　　)
A.90°-α B.2α
C.α+45° D.4α-90°
C
8.如图,在边长为4的正方形ABCD中,点E是BC上一点,点F是CD延长线上一点,连接AE,AF,AM平分∠EAF,交CD于点M.若BE=DF=1,则DM的长度为(　　)
A.2 B. C. D.
D
9.(1)如图,正方形ABCD的边长为5,E为BC边上一动点,F为CD边上一动点,连接AE,AF,EF,点E和点F在运动的过程中始终保持∠EAF=45°,则△CEF的周长为　 　;
10
(2)如图,正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∠ACB的平分线分别交AB,BD于点M,N.若AM=,则线段BN的长为　　.
1
10.综合探究:如图,∠AOB=90°,点P在∠AOB的平分线上,PA⊥OA于点A.
(1)【操作判断】
如图1,过点P作PC⊥OB于点C,根据题意在图1中画出PC,图中∠APC的度数为　 　度;
90
(1)解:如答案图1,PC即为所求作.
(2)证明:如答案图2,过点P作PC⊥OB于点C,
易知四边形OAPC是矩形.
∵点P在∠AOB的平分线上,PA⊥OA,PC⊥OB,
∴PA=PC,∠A=∠PCN=90°,
∴矩形OAPC是正方形,
∴OA=AP=PC=OC,∠APC=90°.
∵PN⊥PM,∴∠APM=∠CPN=90°-∠MPC.
∴△APM≌△CPN,∴AM=CN,
∴OM+ON=OM+CN+OC=OM+AM+AP=OA+AP=2AP.
(2)【问题探究】
如图2,点M在线段AO上,连接PM,过点P作PN⊥PM交射线OB于点N,求证:OM+ON=2AP.
11.(2025·重庆巴蜀)如图,在正方形ABCD中,点E在对角线AC上,连接BE,过点E作BE的垂线交CD于点F,交BC的延长线于点G.若点F是EG的中点,AB=3,则EG的长度为(　　)
A.4 B.5 C.2 D.
C
12.(2025·重庆八中)如图,E为正方形ABCD内一点,AE=AB,连接BE,过点A作AF⊥BE交直线DE于点F,则∠BEF=　 .连接CF,若CF=5,则DE=　 .
45°
5　
13.【模型建立】
(1)如图1,已知△ABE和△BCD,AB⊥BC,AB=BC,CD⊥BD,AE⊥BD.用等式写出线段AE,DE,CD之间的数量关系,并说明理由;
解:(1)DE+CD=AE,理由如下:
∵CD⊥BD,AE⊥BD,AB⊥BC,
∴∠ABC=∠D=∠AEB=90°,
∴∠ABE+∠CBD=∠C+∠CBD=90°,∴∠ABE=∠C.
又∵AB=BC,∴△ABE≌△BCD(AAS),
∴BE=CD,AE=BD,
∴DE=BD-BE=AE-CD,即DE+CD=AE.
【模型应用】
(2)如图2,在正方形ABCD中,点E,F分别在对角线BD和边CD上,AE⊥EF,
AE=EF.用等式写出线段BE,AD,DF之间的数量关系,并说明理由;
(2)AD=BE+DF,理由如下:
如答案图1,过点A作AM⊥BD于点M,
过点F作FN⊥BD于点N.
∴∠AME=∠ENF=∠AEF=90°,
∴∠AEM+∠MAE=∠AEM+∠NEF=90°,
∴∠MAE=∠NEF.
又∵AE=EF,∴△AEM≌△EFN(AAS),
∴EM=NF.
∵四边形ABCD为正方形,
∴∠ABD=∠BDC=45°,AB=AD,
∴△ABM和△NFD都是等腰直角三角形,
∴AB=AD=AM=BM,
DF=NF=EM,
∴AD=BM=(BE+EM)=(BE+NF)=BE+DF.
【模型迁移】
(3)如图3,在正方形ABCD中,点E在对角线BD上,点F在边CD的延长线上,
AE⊥EF,AE=EF.用等式写出线段BE,AD,DF之间的数量关系,并说明理由.
(3)AD=BE-DF,理由如下:
如答案图2,过点A作AH⊥BD于点H,过点F作FG⊥BD,交BD的延长线于点G,
∴∠AHE=∠G=∠AEF=90°,
∴∠AEH+∠HAE=∠AEH+∠GEF=90°,
∴∠HAE=∠GEF.
又∵AE=EF,
∴△HAE≌△GEF(AAS),∴HE=FG.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABD=∠BDC=45°,AB=AD,
∴∠FDG=45°,
∴△ABH和△DFG都是等腰直角三角形,
∴AB=AD=BH,DF=FG,
∴AD=BH=(BE-HE)=BE-FG=BE-DF.(共17张PPT)
第1课时　平行四边形的判定(1)
1.(2025·黑龙江)四边形ABCD四个角∠A∶∠B∶∠C∶∠D满足下列哪一条件时,四边形ABCD是平行四边形(　　)
A.1∶2∶2∶1 B.2∶1∶1∶1 C.1∶2∶3∶4 D.2∶1∶2∶1
2.根据所标数据,不能判断下列四边形是平行四边形的是(　　)
D
C
3.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,DE∥AC,CE∥BD.若AC=3,BD=5,则四边形OCED的周长为(　　)
A.4 B.6 C.8 D.16
4.(1)在四边形ABCD中,已知AB=4,AD=5,CD=4.当BC=　 　时,四边形ABCD是平行四边形;
(2)在四边形ABCD中,已知∠A=∠C=50°,则当∠B=　 　时,四边形ABCD为平行四边形.
C
5
130°
5.如图,四边形ABCD的对角线相交于点O,AO=CO,请添加一个条件 　 (只添加一个即可),使四边形ABCD是平行四边形.
答案不唯一,如BO=DO 　
6.如图,BD是平行四边形ABCD的对角线,AE平分∠BAD,交CD于点E.
(1)请用尺规作∠BCD的平分线CF,交AB于点F;(只保留作图痕迹,不写作法)
解:(1)作图如答案图所示.
(2)根据图形证明四边形AECF为平行四边形,请完成下面的填空.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,∠BAD=∠BCD,
∴①　 .
又∵AE平分∠BAD,CF平分∠BCD,
∠ECF=∠CFB　
∴∠EAF=② ,∠ECF=③ ,
∴∠EAF=∠ECF,
∴∠EAF=④　 ,
∴AE∥⑤　 　.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CE∥AF,
∴四边形AECF为平行四边形(⑥____________________________
________________)(填推理的依据).
∠BAD　
∠BCD　
∠CFB　
CF
两组对边分别平行的四边形
是平行四边形　
7.下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程:
已知:如图,在△ABC中,AB=AC,AE平分△ABC的外角∠CAN,点M是AC的中点,连接BM并延长交AE于点D,连接CD.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠3.
∵∠CAN=∠ABC+∠3,∠CAN=∠1+∠2,∠1=∠2,
∴①　　　. 又∵∠4=∠5,MA=MC,
∴△MAD≌△MCB(②　　　).
∴MD=MB,∴四边形ABCD是平行四边形.
若以上解答过程正确,①②应分别填(　　)
A.∠1=∠3,AAS B.∠1=∠3,ASA C.∠2=∠3,AAS D.∠2=∠3,ASA
D
8.(2025·吉林)如图,已知△ABC,分别以C,A为圆心,AB,BC的长为半径作弧,两弧交于点D,连接AD,CD,则四边形ABCD是平行四边形的依据是 　
.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形　
9.如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,DE∥CB,△ADE的周长为18,DC=4,则该梯形的周长等于　 　.
26
10.如图,在 ABCD中,过点B作BM⊥AC于点E,交CD于点M,过点D作DN⊥AC于点F,交AB于点N.
(1)求证:四边形BMDN是平行四边形;
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DM∥BN.
∵BM⊥AC,DN⊥AC,
∴DN∥BM.
∴四边形BMDN是平行四边形.
(2)已知AF=12,EM=5,求AN的长.
(2)解:∵四边形BMDN是平行四边形,∴DM=BN.
∵CD=AB,CD∥AB,∴CM=AN,∠MCE=∠NAF.
∵BM⊥AC,DN⊥AC,∴∠CEM=∠AFN=90°.
∴△CEM≌△AFN(AAS).∴FN=EM=5.
在Rt△AFN中,由勾股定理,得
AN===13.
11.如图,在平面直角坐标系中,点A,B,C的坐标分别是A(1,0),B(-1,3),C(-2,-1),再找一点D,使它与点A,B,C构成的四边形是平行四边形,则点D的坐标不可能是(　　)
A.(-4,2) B.(0,-4)
C.(2,4) D.(-3,2)
D
12.如图,在△ABC中,AB=AC=2,BC=2,点D是BC上的动点,连接AD.过点C作CE∥AD,过点A作AE∥BC交CE于点E,连接DE.当DE取得最小值时,四边形ADCE的周长为 .
提示:当DE⊥BC时,DE取得最小值.
+　
13.【问题情境】在数学综合实践课上,同学们以特殊三角形为背景,探究动点运动的几何问题.如图,在△ABC中,点M,N分别为AB,AC上的动点(不含端点),且AN=BM.
【初步尝试】(1)如图1,当△ABC为等边三角形时,小颜发现:将MA绕点M逆时针旋转120°得到MD,连接BD,则MN=DB,请思考并证明;
(1)证明:∵△ABC为等边三角形,∴∠A=60°,AB=AC.
∵MA绕点M逆时针旋转120°得到MD,
∴DM=AM,∠AMD=120°,
∴∠DMB=60°,∴∠DMB=∠A=60°.
又∵AN=MB,∴△ANM≌△MBD(SAS),∴MN=DB.
【类比探究】(2)小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究:如图2,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,AE⊥MN于点E,交BC于点F,将MA绕点M逆时针旋转90°得到MD,连接DA,DB.猜想四边形AFBD的形状并说明理由;
(2)解:四边形AFBD为平行四边形,理由如下:
∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠ABC=45°.
∵MA绕点M逆时针旋转90°得到MD,
∴MA=MD,∠MAD=∠MDA=45°,∠DMA=∠DMB=90°,
∴∠MAD=∠ABF=45°.∴AD∥BF.
易证得△ANM≌△MBD(SAS),∴∠AMN=∠MDB.
∵AE⊥MN,∴∠AMN+∠MAE=90°.
∵∠MDB+∠MBD=90°,∴∠MBD=∠MAE,
∴DB∥AF,∴四边形AFBD为平行四边形.
【拓展延伸】(3)孙老师提出新的探究方向:如图3,在△ABC中,AB=AC=4,
∠BAC=90°,连接BN,CM,请直接写出BN+CM的最小值.
(3)解:如答案图,过点A作∠BAG=45°,使AG=CB,连接GM,GC,GB,过点G作GO⊥CB,交CB的延长线于点O,
∵AB=AC=4,∠BAC=90°,
∴∠ABC=∠ACB=45°,BC=4,
∴∠GAM=∠BCN=45°.
∵AN=BM,∴AM=CN.
又∵AG=CB,∴△GAM≌△BCN(SAS),
∴GM=BN,∴BN+CM=GM+CM≥CG,
∴当点G,M,C三点共线时,BN+CM的值最小,最小值为CG的值.
∵∠GAM=∠ABC=45°,∴AG∥BC.
易知△GAB≌△CBA(SAS),∴∠BAC=∠ABG=90°,
∴AC∥GB,∴∠GBO=∠ACB=45°,
四边形ACBG是平行四边形,∴BG=AC=4.
∵GO⊥BO,∴∠OBG=∠OGB=45°,∴OG=OB,
∴GB=OB=OG,∴OG=OB=2,∴OC=6.
在Rt△GOC中,GC==4,
∴BN+CM的最小值为4.(共17张PPT)
第1课时　菱形的性质
1.如图,在菱形ABCD中,∠ABD=30°,则∠A的度数为(　　)
A.150° B.140° C.130° D.120°
D
2.如图,四边形ABCD是菱形,CD=5,BD=8,AE⊥BC于点E,则AE的长是(　　)
A. B.6 C. D.12
A
3.如图,O是坐标原点,菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上,顶点C的坐标为,则顶点A的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
C
4.如图,已知在菱形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,∠BAD=120°,AC=4,则该菱形的面积是　 .
5.如图,在菱形ABCD中,对角线相交于点O,作BF⊥AD于点F,点E为BC边中点,连接OE.若S菱形ABCD=15,BF=3,则EO=　 　.
8　
2.5
6.(2025·江苏)如图,E为菱形ABCD的对角线BD上一点,连接AE,CE.
(1)求证:AE=CE;
(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,∠ABD=∠CBD.
在△ABE和△CBE中,
∴△ABE≌△CBE(SAS),∴AE=CE.
(2)若AE=DE,∠BCE=75°,求∠ABC的度数.
(2)解:∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB.
∵AE=DE,∴∠EAD=∠ADB=∠ABD,
由(1)知△ABE≌△CBE,
∴∠BCE=75°=∠BAE.
∵∠ABD+∠ADB+∠DAE+∠BAE=180°,
∴3∠ABD+75°=180°,∴∠ABD=35°,
∴∠ABC=2∠ABD=70°.
7.(2025·重庆一中)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点M,N分别是边AD,CD的中点,连接MN,OM.若MN=3,S菱形ABCD=24,则OM的长为(　　)
A.3 B.3.5 C.2 D.2.5
D
8.如图,在菱形ABCD中,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,点E为垂足,连接DF,BF.若∠BAD=α,则∠CDF的度数为(　　)
A.α B.180°-2α
C.180°-α D.α
C
9.(1)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=6,AC是一条对角线,E是AC上一点,过点E作EF⊥AB,垂足为F,连接DE.若CE=AF,则DE的长为　 ;
(2)如图,已知四边形ABCD为菱形,∠BAD=60°,E为AD中点,AB=6cm,P为AC上任一点.则PE+PD的最小值是　 .
2　
3　
10.在菱形ABCD中,∠BAD=60°.
(1)如图1,点E为线段AB的中点,连接DE,CE,若AB=4,求线段EC的长;
(1)解:如答案图1,连接BD.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=AB,AB∥CD.
∵∠BAD=60°,∴△ABD是等边三角形,
∴BD=AD=AB=4.
∵E是AB的中点,∴AE=2,DE⊥AB,
∴DE==2.
∵AB∥CD,∴∠EDC=∠DEA=90°.
在Rt△DEC中,由勾股定理,得
EC===2.
(2)如图2,M为线段AC上一点(M不与A,C两点重合),以AM为边,构造如图所示等边△AMN,线段MN与AD交于点G,连接NC,DM,Q为线段NC的中点,连接DQ,MQ,求证:DM=2DQ.
(2)证明:如答案图2,延长CD至点H,使DH=CD,连接NH,AH.
∵AD=CD,∴AD=DH.
∵CD∥AB,∴∠HDA=∠BAD=60°,
∴△ADH是等边三角形,∴AH=AD,∠HAD=60°.
∵△AMN是等边三角形,∴AM=AN,∠NAM=60°,
∴∠HAN+∠NAG=∠NAG+∠DAM,
∴∠HAN=∠DAM.
在△ANH和△AMD中,
∴△ANH≌△AMD(SAS),∴HN=DM.
∵D是CH的中点,Q是NC的中点,
∴DQ是△CHN的中位线,
∴HN=2DQ,∴DM=2DQ.
11.如图,在菱形ABCD中,∠A=110°,E,F分别是边AB和BC的中点,EP⊥CD于点P,连接PF,则∠FPC的度数为(　　)
A.55° B.50° C.45° D.35°
A
12.如图,在菱形ABCD中,AB=BD,点E,F分别是AB,AD上任意的点(不与端点重合)且AE=DF.连接BF与DE相交于点G,连接CG与BD相交于点H.若CG=2,则四边形BCDG的面积为　 .
3　
13.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=2,E是BC边上一个动点,连接AE,AE的垂直平分线MN交AE于点M,交BD于点N.连接EN,CN.
(1)求证:EN=CN;
(1)证明:如答案图1,连接AN.
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=30°,BA=BC.
又∵BN=BN,∴△ABN≌△CBN(SAS),
∴AN=CN.
∵MN垂直平分AE,∴AN=NE,∴EN=CN.
(2)求2EN+BN的最小值.
(2)解:如答案图1,过点N作NF⊥BC于点F,连接AF.
∵∠DBC=30°,∴NF=BN.
∵AN=EN,
∴2EN+BN=2=2(AN+NF)≥2AF,
当点A,N,F三点共线时,2EN+BN取得最小值,为2AF的值.当AF⊥BC时,AF最小,如答案图2,
在Rt△ABF中,AF=AB=2×=,
∴2EN+BN的最小值为2.(共43张PPT)
《四边形》章末考点复习与小结
同一直线
360°
360°
(n-2)x180°
360°
平行
相等
相等
互相平分
分别平行
分别相等
平行且相等
分别相等
互相平分
平行
一半
直角
相等
斜边的一半
直角
相等
直角
相等
垂直平分
邻边相等
互相垂直
相等
相等
直角
相等
互相垂直平分
相等
直角
相等
互相垂直
1.下列多边形中,内角和等于360°的是(　　)
B
2.下列长度的四条线段,能作为四边形四边的是(　　)
A.1,1,1,3 B.2,2,2,3
C.1,3,2,6 D.2,2,2,7
3.如图,五边形ABCDE是正五边形.若l1∥l2,则∠1-∠2=　 　°.
B
72
4.(1)(2025·成都七中)一个多边形的外角和是内角和的,则这个多边形的边数为　 　;
(2)如图,已知∠MON=60°,正五边形ABCDE的顶点A,B在射线OM上,顶点E在射线ON上,则∠AEO的度数为　 　.
11
48°
5.如图,在四边形ABCD中,点M,N分别在AB,BC上,将△BMN沿MN翻折,得到△FMN.若FM∥AD,FN∥CD,则∠D的度数为　 　.
95°
6.如图,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD交于点O.若AC=2AB,
∠BAO=94°,则∠AOD的度数为(　　)
A.157° B.147° C.137° D.127°
C
7.如图,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,AO=CO,若再添加一个条件,可判定四边形ABCD为平行四边形.请从①AD=CB;②AB=CD;③BO=DO这三个条件中选取一个作为添加条件.你选择的条件是　 　.(填序号)
③
8.(1)(2025·广东)如图,在 ABCD中,AE平分∠BAD交BC于点E,BE=4,EC=2,则 ABCD的周长为　 　;
(2)如图,在 ABCD中,DE平分∠CDA交AB于点E,交CB的延长线于点F.若∠ABC=30°,DC=2,则△CDF的面积为　 　;
20
1
(3)如图,在 ABCD中,∠ABC=60°,∠BAC=45°,AB=2,E为AC上一点,将△ADE沿DE翻折,点A恰好落在DC上的点F处,连接BF,则BF的长是　 .
解析:如答案图,连接AF,过点C作CM⊥AB于点M,则∠AMC=∠CMB=90°.
∵∠BAC=45°,∠ABC=60°,∴AM=MC,MC=BM.
设AM=MC=x,则BM=x,
∴AB=AM+BM=x+x=2,解得x=3-.
∴AC=MC=3-.易证△ADF为等边三角形,
∴∠AFD=60°,AD=AF.∴∠AFC=120°.又∵∠DCB=120°,BC=AD,
∴∠AFC=∠BCF,AF=BC.又∵FC=CF,∴△AFC≌△BCF.
∴BF=AC=3-.故答案为3-.
3-　
9.在 ABCD中,E是CD上一点,连接AE,BE,已知AD=DE.
(1)如图1,若AB⊥BE,AB=16,BE=8,求△ADE的周长;
(1)解:设AD=DE=x.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC=16,BC=AD=x,AB∥CD,
∴CE=16-x.∵BE⊥AB,∴∠BEC=∠ABE=90°.
在Rt△BEC中,BE2+CE2=BC2,
即82+(16-x)2=x2,解得x=10.∴AD=DE=10.
在Rt△ABE中,由勾股定理,
得AE===8,
∴△ADE的周长=AD+DE+AE=20+8.
(2)如图2,若AB=AE,∠EBC=45°,点F,G分别是DA,AB延长线上的点,且满足∠BCD+∠FEG=180°,求证:AG=AF+3BC.
(2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD∥AB,∠D=∠ABC.∴∠AED=∠EAB.
∵AD=DE,∴∠DAE=∠DEA=∠EAB.
设∠DAE=∠DEA=∠EAB=α,则∠D=∠ABC=180°-2α.
∵AE=AB,∴∠AEB=∠ABE=(180°-α)=90°-α.
∵∠ABC=∠ABE+∠EBC,
即180°-2α=90°-α+45°,解得α=30°,
∴∠DAE=∠EAB=30°.∴∠BCD=∠DAB=60°.
∵∠BCD+∠FEG=180°,∴∠FEG=120°.
如答案图,过点E作EH⊥AB于点H,在AG上取一点M,使得∠AEM=120°,连接EM.
∴∠AME=180°-30°-120°=30°,∠AEF=∠MEG.
∴∠EAM=∠EMA=∠EAD.
∴EA=EM,∠EAF=∠EMG=150°.
∴△AEF≌△MEG(ASA).∴AF=MG.
在Rt△AEH中,∠EAH=30°,
∴EH=AE,∴AH=AE.
∵AE=EM,EH⊥AM,
∴AH=HM.∴AM=AE.
同法可证AE=EM=AD=BC,
∴AM=3BC.∴AG=MG+AM=AF+3BC.
10.(2025·成都七中)如图,DE是△ABC的中位线,∠ACB的平分线交DE于点F,连接AF并延长交BC于点G.若AC=12,DE=9,则BG的长为(　　)
A.6 B.8 C.10 D.12
A
11.如图,在矩形ABCD中,P,Q分别是BC,DC上的点,E,F分别是AP,PQ的中点,BC=12,DQ=5,则线段EF的长为　 　.
6.5
12.如图1,在等腰Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=CB,点D,E分别在AB,CB上,DB=EB,连接AE,CD,取AE的中点F,连接BF.
(1)求证:CD=2BF,CD⊥BF;
(1)证明:在△ABE和△CBD中,
∵AB=CB,∠ABE=∠CBD=90°,BE=BD,
∴△ABE≌△CBD(SAS),∴AE=CD,∠FAB=∠BCD.
∵F是Rt△ABE斜边AE的中点,
∴AE=2BF,∴CD=2BF.
∵BF=AE=AF,∴∠FAB=∠FBA,
∴∠FBA=∠BCD,
∵∠FBA+∠FBC=90°,
∴∠FBC+∠BCD=90°.∴CD⊥BF.
(2)将△DBE绕点B顺时针旋转到图2的位置.
①求证:CD=2BF;
(2)①证明:如图2,延长BF到点G,使FG=FB,连接AG.
∵AF=EF,∠AFG=∠EFB,FG=FB,
∴△AGF≌△EBF(SAS),
∴∠FAG=∠FEB,AG=BE,∴AG∥BE,
∴∠GAB+∠ABE=180°.
∵∠ABC=∠EBD=90°,∴∠ABE+∠DBC=180°,
∴∠GAB=∠DBC.
∵BE=BD,∴AG=BD.
又∵AB=BC,∴△AGB≌△BDC(SAS),∴CD=BG.
∵BG=2BF,∴CD=2BF.
②请直接写出BF与CD的位置关系.
②解:BF⊥CD.理由如下:
如图2,延长BF到点G,使FG=FB,连接AG,延长EB到点M,使BM=BE,连接AM并延长交CD于点N.
同①可证得△AGB≌△BDC,
∴∠ABG=∠BCD.
∵F是AE的中点,B是EM的中点,∴BF∥AN,
∴∠ABG=∠BAN=∠BCD,
∴∠ANC=180°-∠NAC-∠CAN
=180°-∠NAC-∠ACB-∠BCD
=180°-∠BAC-∠ACB=∠ABC=90°,
∴AN⊥CD.∵BF∥AN,∴BF⊥CD.
13.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作DH⊥BC于点H,连接OH.若OA=8,S菱形ABCD=96,则OH的长度为(　　)
A.12 B.6 C. D.
B
14.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,BD=2AD,点E,G分别是OC,AB的中点,连接BE,GE.若∠ABE=42°,则∠AEG的度数为(　　)
A.42° B.45° C.46° D.48°
D
15.(1)如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,点F在DE上,且∠AFB=90°.若AB=6,BC=8,则EF的长为　　;
(2)如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为斜边作Rt△ADC,使∠ADC=90°,∠CAD=∠CAB=26°,点E,F分别是BC,AC的中点,则∠EDF=　 　°;
1
51
(3)如图,在矩形ABCD中,BC=6,AB=3,矩形外一点E满足∠EAD=∠ECD,点O为对角线BD的中点,则OE的长度为 .
　
16.如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分∠BAD,过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E,连接OE.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(1)证明:∵AB∥CD,∴∠OAB=∠DCA.
∵AC平分∠DAB,∴∠OAB=∠DAC,
∴∠DCA=∠DAC,
∴CD=AD.
∵AB=AD,∴AB=CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AD=AB,∴平行四边形ABCD是菱形.
(2)若OE=2,∠DAB=60°,求四边形ABCD的面积.
(2)解:∵四边形ABCD是菱形,∠BAD=60°,
∴∠CAE=30°,∠AOB=90°,OA=OC,
∴AB=2OB,∴AO=CO==OB.
∵AE⊥CE,∴∠AEC=90°.
又∵OA=OC,∴OA=OC=OE=AC=2,
∴OB=2,AC=4,∴BD=4,
∴S四边形ABCD=AC·BD=8.
17.下列说法正确的是(　　)
A.平行四边形的对角互补
B.有一组邻边相等的四边形是菱形
C.矩形的对角线相等且互相垂直
D.四个内角都相等的四边形是矩形
D
18.(2025·重庆巴蜀)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AE⊥BD于点F,交BC于点E,点G在AB上,连接CG,交AE于点H,交BD于点M,连接AM.若H为CG的中点,AG=GH,∠ABD=α,则∠MAF= (　　)
A.α-45° B.2α-90°
C.α-90° D.90°-α
B
19.(1)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,且BA=3,AC=4,D是斜边BC上的一个动点,过点D分别作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N,连接MN,则线段MN的最小值为 ;
　
(2)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=6,点E在BC边上,BE=4,连接AE,将△ABE沿AE翻折,得到△AB'E,B'E交AD于点F,连接B'D,则B'D的长度为　 .
2　
20.如图1,已知AD∥BC,AB∥CD,∠B=∠C.
(1)求证:四边形ABCD为矩形;
(1)证明:∵AD∥BC,AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AB∥CD,∴∠B+∠C=180°.
又∵∠B=∠C,∴∠B=∠C=90°.
∴四边形ABCD是矩形.
(2)如图2,M为AD的中点,在AB上取一点N,使∠BNC=2∠DCM.
①若N为AB的中点,BN=2,求CN的长;
(2)解:①如答案图,延长CM,BA交于点E.
∵AN=BN=2,∴AB=CD=4.
∵AE∥DC,∴∠E=∠MCD.∵M为AD的中点,
∴AM=DM.
又∵∠AME=∠DMC,
∴△AME≌△DMC(AAS).∴AE=CD=4.
∵∠BNC=2∠DCM=∠NCD,
∴∠NCE=∠ECD=∠E.∴CN=EN=AE+AN=4+2=6.
②若CM=3,CN=4,求BC的长.
②由①可知,△AME≌△DMC,EN=CN,
∴EM=CM=3,EN=CN=4.
设BN=x,则BC2=CN2-BN2=CE2-EB2,
即42-x2=62-(x+4)2,解得x=.
∴BC===.
21.如图,在 ABCD中,E,F分别为边AD,BC的中点,点G,H在AC上,且AH=CG,若添加一个条件使四边形EGFH是菱形,则下列可以添加的条件是(　　)
A.AB=AD B.AB⊥AD
C.AB=AC D.AB⊥AC
D
22.如图,四边形ABCD是菱形,∠B=60°,E,F分别是CB,CD上两点,连接AE,AF,EF,且∠EAF=60°.若∠BAE=α,则下列说法错误的是(　　)
A.∠CEF=α B.∠FAD=60°-α
C.∠EFC=60°-α D.∠AFD=90°-α
D
23.如图,在菱形ABCD中,AC=6,BD=6,点E是BC边的中点,点P,M分别是AC,AB上的动点,连接PE,PM,则PE+PM的最小值是(　 　)
A.6 B.3 C.2 D.4.5
C
24.(1)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E是AB的中点.若AC=24,OE=,则菱形ABCD的面积为　 　;
(2)如图,在菱形ABCD中,过点D作DE⊥CD交AC于点E.若BC=8,DE=4,
则AE的长是 .
120
　
25.如图,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是各边的中点,且AB∥CD,AD∥BC,四边形EFGH是矩形.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(1)证明:如答案图,连接BD,AC,BD,AC交于点O.
∵AB∥CD,AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵点E,F,G,H分别是四边形ABCD各边的中点,
∴GF∥BD,HG∥AC.
∵四边形EFGH是矩形,
∴HG⊥GF,∴BD⊥AC,
∴四边形ABCD是菱形.
(2)若矩形EFGH的周长为22,四边形ABCD的面积为10,求AB的长.
(2)解:由题意,知GF=EH=BD,HG=EF=AC.
∵矩形EFGH的周长为22,∴BD+AC=22.
∵四边形ABCD是菱形,∴OA+OB=11.
∵四边形ABCD的面积为10,∴2OA·OB=10.
∵(OA+OB)2=OA2+2OA·OB+OB2=121,
∴OA2+OB2=121-10=111,
∴AB==.
26.(2025·重庆一中)如图,点E为正方形ABCD的边AD上一点,且DE=AD,连接BE,取BE的中点F,连接AF.若AF的长为,则正方形ABCD的面积为(　　)
A.9 B.12 C.16 D.20
C
27.如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,满足CE=DF,连接AF,DE,点G在AB边上,连接DG交AF于点H,使得∠DHF=45°,连接GE.若∠DAF=α,则∠BGE的度数为(　　)
A.90°-2α B.45°+α
C.4α D.3α+15°
A
28.如图,在△ABC中,已知AB=6,BC=5,以AC为边作正方形ACDE,使得点B,E落在直线AC的两侧,连接BE,以AB为边作正方形ABFG,使得点C,G落在直线AB的两侧,连接CG.若∠ABC=45°,则BE的长为　　.
13
(1)证明:如答案图,过点E作EM⊥BC于点M,EN⊥CD于点N,∴∠MEN=90°.
又∵∠DEF=90°,∴∠DEN=∠FEM.
∵E是正方形ABCD对角线上的点,∴EM=EN.
又∵∠DNE=∠FME=90°,
∴△DEN≌△FEM(ASA).∴DE=FE.
又∵四边形DEFG是矩形,
∴矩形DEFG是正方形.
29.如图,已知四边形ABCD为正方形,AB=5,E为对角线AC上一动点,连接DE,过点E作EF⊥DE,交BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG.
(1)求证:矩形DEFG是正方形;
(2)探究:CE+CG的值是否为定值 若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.
(2)解:CE+CG的值是定值,定值是5.
∵四边形DEFG和四边形ABCD均为正方形,
∴DE=DG,AD=DC,∠ADC=∠EDG,
∴∠ADE=∠CDG,∴△ADE≌△CDG(SAS).
∴AE=CG.∴CE+CG=CE+AE=AC.
在Rt△ABC中,AB=BC=5,
∴AC==5.
即CE+CG的值是定值,为5.(共16张PPT)
第2课时　平行四边形的判定(2)
1.(2025·大渡口区)如图,若AB∥CD,则添加下列选项后不能判定四边形ABCD是平行四边形的是(　　)
A.AD∥BC B.AB=CD
C.AD=BC D.∠ACB=∠CAD
C
2.在四边形ABCD中,AB∥CD,且AB=CD.若∠B=56°,则∠C的度数为(　　)
A.56° B.65° C.124° D.114°
3.如图,在四边形ABCD中,点E,F分别在边AD,BC上,线段EF与对角线AC交于点O且互相平分.若AD=BC=10,AB=6,则四边形ABCD的周长是(　　)
A.26 B.32
C.34 D.36
C
B
4.(1)如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,OA=OC,请补充一个条件　 ,使四边形ABCD是平行四边形;
(2)如图,在 ABCD中,E,F分别为AD,BC边上的点,若添加一个条件　
,则四边形AFCE为平行四边形.
AD∥BC(答案不唯一)　
AF∥CE或AE=FC或DE=BF(答案不唯一)　
5.(2025·湖南)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD=8 cm,BC=6 cm,点P,Q分别从点A,C同时出发,点P以1 cm/s的速度由点A向点D运动,点Q以2 cm/s的速度由点C向点B运动,当点P,Q中有一点到达终点时,另一点也随之
停止运动,则 s后四边形PQCD是平行四边形.
　
6.如图,线段AC,BD相交于点O.且AB∥CD,AE⊥BD于点E.
(1)尺规作图:过点C作BD的垂线,垂足为F,连接AF,CE;(不写作法,保留作图痕迹)
解:(1)作图如图所示.
(2)若AB=CD,请判断四边形AECF的形状,并说明理由.
(2)四边形AECF是平行四边形,理由如下:
∵AB∥CD,∴∠B=∠D,∠OAB=∠OCD.
又∵AB=CD,∴△ABO≌△CDO(ASA),∴OA=OC.
∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴AE∥CF,∠AEO=∠CFO=90°.
又∵∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF(AAS),
∴AE=CF,∴四边形AECF是平行四边形.
7.点A,B,C,D在同一平面内,从①AB∥CD;②AB=CD;③BC∥AD;④BC=AD这四个条件中任意选两个,能使四边形ABCD是平行四边形的有(　　)
A.3种 B.4种 C.5种 D.6种
8.如图,点E,F分别是平行四边形ABCD的边CD,AB的中点,G,H是对角线AC上的两点,且EG∥HF,EF与AC交于点O,则下列结论中不正确的是(　　)
A.GE=HF　　 B.四边形EGFH是平行四边形
C.OG=GC　　 D.S四边形AHED=S四边形CGFB
B
C
9.如图,在 ABCD中,BE垂直平分CD于点E,∠BAD=45°,AD=6,则 ABCD的对角线AC的长为　 .
6　
10.已知:如图所示,在平行四边形ABCD中,DE,BF分别是∠ADC和∠ABC的平分线,分别交AB,CD于点E,F,连接BD,EF.
(1)求证:BD,EF互相平分;
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD∥AB,CD=AB,AD=BC,
∴∠AED=∠CDE,∠CFB=∠ABF.
∵DE,BF分别是∠ADC和∠ABC的平分线,
∴∠ADE=∠CDE,∠CBF=∠ABF,
∴∠AED=∠ADE,∠CFB=∠CBF,
∴AE=AD,CF=CB,∴AE=CF,
∴AB-AE=CD-CF,即BE=DF.
又∵DF∥BE,∴四边形DEBF是平行四边形,
∴BD,EF互相平分.
(2)若∠A=60°,AE=2EB,AD=4,求线段BD的长.
(2)解:如答案图,过点D作DG⊥AB于点G.
∵∠A=60°,AE=AD,
∴△ADE是等边三角形,
∴DE=AE=AD=4.
又∵DG⊥AE,∴AG=GE=2.
∵AE=2EB,∴BE=2,∴BG=4.
在Rt△ADG中,DG==2,
∴BD===2.
11.如图,在 ABCD中,∠B=60°,AB=6 cm,BC=12 cm.点P从点A出发,以1 cm/s的速度沿A→D运动,同时点Q从点C出发,以3 cm/s的速度沿C→B→C往复运动,当点P到达端点D时,点Q随之停止运动.在此运动过程中,线段PQ=CD出现的次数是(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
B
12.如图,F是 ABCD的边CD上的点,Q是BF的中点,连接CQ并延长交AB于点E,连接AF,DE,AF与DE相交于点P.若S△APD=2 cm2,S△BQC=8 cm2,则图中阴影部分的面积为　 .
18 cm2　
13.如图,在△BCF中,点D是边CF上的一点,过点D作AD∥BC,过点B作BA∥CD交AD于点A,点G是BC的中点,点E是线段AD上一点,且∠CDG=∠ABE=∠EBF.
(1)若∠F=60°,∠C=45°,BC=2,请求出AB的长;
(1)解:如答案图1,过点E作EH⊥AB于点H.
∵AD∥BC,AB∥CD,
∴四边形ABCD为平行四边形.
∴AB=DC,∠DAB=∠DCB.
在△CGD和△AEB中,
∴△CGD≌△AEB(ASA),
∴∠DGC=∠BEA,DG=BE,
∴∠DGB=∠BED.
∵AD∥BC,∴∠EDG+∠DGB=180°,
∴∠EDG+∠BED=180°,∴EB∥DG,
∴四边形BGDE为平行四边形.∴BG=ED.
∵G为BC的中点,∴BG=BC.
又∵AD=BC=2,∴AE=ED=AD=.
∵∠EHA=90°,∠EAB=∠C=45°,
∴AH=EH=.
∵∠F=60°,∴∠FBA=60°.
∵∠EBA=∠EBF,∴∠EBA=30°,
∴EB=2EH=2,∴HB=3,
∴AB=HB+HA=3+.
(2)求证:CD=BF+DF.
(2)证明:如答案图2,连接FE并延长,交AB于点M,
易证△AEM≌△DEF.
∴AM=DF,ME=FE.
又∵∠EBA=∠EBF,
∴△MBF是等腰三角形,
∴BF=BM.
∴AB=CD=AM+BM=DF+BF,
即CD=BF+DF.(共12张PPT)
21.1.2　多边形及其内角和
1.下列图形中,是正八边形的是(　　)
2.从多边形的一个顶点出发可引出7条对角线,则它是(　　)
A.七边形 B.八边形
C.九边形 D.十边形
D
C
3.(2025·成都)如图,五边形ABCDE是正五边形,连接AC,则∠CAB的度数为(　 　)
A.18° B.24° C.30° D.36°
4.从六边形的一个顶点出发,可以画出　 　条对角线,它们将六边形分成　 　个三角形.　　边形没有对角线.
D
3
4
三
5.(1)(2025·重庆巴蜀)如果一个多边形的每个外角都等于36°,则这个多边形的边数为　 　;
(2)(2025·重庆一中)如果一个正多边形的内角和比另一个多边形的外角和多360°,则这个正多边形的边数是　　;
(3)如果一个多边形的每个内角都是每个外角的3倍,那么这个多边形的边数是　 　,所有的对角线条数为　 　.
10
6
8
20
6.如图,在五边形ABCDE中,AB=AE=CD=6,∠ABC=∠AED=90°,连接AC,AD,∠BAE=2∠CAD.
(1)已知∠BAE=150°,则∠BAC+∠DAE=　 　;
(2)求五边形ABCDE的周长.
解:(2)将△ABC绕点A逆时针旋转,使点B与点E重台,点C落在点F处,如答案图,
∴AF=AC,∠B=∠AEF=90°,
∠BAC=∠EAF,BC=EF.
∵∠AED=90°,∴∠AEF+∠AED=180°,
∴D,E,F在同一条直线上.
75°
∵∠BAE=∠BAC+∠CAD+∠DAE=2∠CAD,
∴∠BAC+∠DAE=∠CAD,
∴∠EAF+∠DAE=∠CAD,
即∠DAF=∠CAD.
又∵AD=AD,AC=AF,
∴△CAD≌△FAD(SAS),∴DF=CD,
∵DF=DE+EF,∴CD=DE+BC,
∴五边形ABCDE的周长=AB+BC+CD+DE+AE=4AB=24.
7.(2025·济宁)如图,在正六边形ABCDEF中,直线m,n分别经过边BC,CD上一点,且m∥n.则∠2-∠1= (　　)
A.80° B.60° C.50° D.30°
8.如图,正六边形ABCDEF和正五边形EGHPQ的边CD,GH在同一直线上,正五边形在正六边形右侧,则∠DEG的度数为　 　.
B
48°
9.(1)如果一个正方形被截掉一个角后,得到一个多边形,那么这个多边形的内角和是　 ;
(2)一个多边形过顶点剪去一个角后,所得多边形的内角和为720°,则原多边形的边数是　 　.
10.小贝在进行多边形内角和的计算时,求得一多边形的内角和为1 500°,当她发现错了之后,重新检查,发现少加一个内角,你知道她少加的这个内角是多少度吗 她求的这个多边形是几边形
540°或360°或180°　
6或7
解:设少加的内角的度数为x,多边形的边数为n.
由题意,得(n-2)×180°=1 500°+x.
变形,得n-2==8+.
∵n为正整数,且0答:她少加的这个内角是120°,这个多边形是十一边形.
11.在平面内,将长分别为1,5,1,1,d的线段,首尾顺次相接组成凸五边形(如图),则d可能是(　　)
A.1 B.2 C.7 D.8
12.如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=　 　°.
C
540
13.【阅读理解】如果两个三角形各有一个角互为对顶角,那么这两个三角形叫作对顶三角形.如图1,△AOB与△COD互为对顶三角形.
(1)【问题发现】
如图1,试证明:∠A+∠B=∠D+∠C;
(1)证明:∵∠A+∠B+∠AOB=∠D+∠C+∠COD=180°,
∠AOB=∠COD,
∴∠A+∠B=∠D+∠C.
(2)【拓展研究】
如图2,若AM是∠BAC的平分线,DM是∠BDC的平分线,∠B=m°,∠C=n°,求∠M的度数;(用含m,n的代数式表示)
(2)解:如图2,∵∠AED=∠B+∠BAE=∠M+∠EDM,
∴∠M=∠B+∠BAE-∠EDM.
∵AM是∠BAC的平分线,DM是∠BDC的平分线,
∴∠BAE=∠BAC,∠EDM=∠BDC.
由(1)知∠BAC+∠B=∠BDC+∠C,∴∠BAC-∠BDC=∠C-∠B,
∴∠M=∠B+∠BAE-∠EDM=∠B+∠BAC-∠BDC
=∠B+(∠BAC-∠BDC)=∠B+(∠C-∠B)
=∠B+∠C=m°+n°.
(3)【解决问题】
如图3,在(2)的条件下,若AN与DN分别平分∠PAC与∠QDB,
100°<∠N<120°,请直接写出m+n的取值范围.
(3)解:∵AN与DN分别平分∠PAC与∠QDB,AM是∠BAC的平分线,DM是∠BDC的平分线,
∴∠NAC+∠MAC=∠PAC+∠BAC=∠PAB=90°,
∠NDB+∠BDM=∠QDB+∠BDC=∠QDC=90°,
即∠MAN=∠MDN=90°,
∴∠N=360°-∠MAN-∠MDN-∠M
=360°-90°-90°-=180°-(m°+n°),
∵100°<∠N<120°,
∵100°<180°-(m°+n°)<120°,∴120第2课时　菱形的判定
1.(2025·山东)依据所标数据,下列四边形不一定为菱形的是(　　)
C
2.如图,已知在△ABC中,AB=AC,将△ABC沿边BC翻折,得到△DBC与原△ABC拼成的四边形ABDC,则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是(　　)
A.有一组邻边相等的平行四边形是菱形
B.四条边相等的四边形是菱形
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形
B
3.如图,在 ABCD中,AB=4,AD=5,以点A为圆心,AB的长为半径画弧交AD于点F,再分别以点B,F为圆心,大于BF的长为半径画弧,两弧交于点P,连接AP交BC于点E,连接EF,则四边形ABEF的周长为　( 　)
A.16 B.18 C.20 D.25
A
4.(1)如图,将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF,只需添加一个条件即可证明四边形ABED是菱形,这个条件可以是　 ;(写出一个即可)
AB=AD(答案不唯一)　
(2)如图,四边形ABCD是轴对称图形,且直线AC是其对称轴,AB∥CD,则下列结论:①AC⊥BD;②AD∥BC;③四边形ABCD是菱形;④△ABD≌△CDB.其中正确的是　 .(填序号)
①②③④
5.【教材改编】如图,两张宽度均为3 cm的纸条交叉叠放在一起,交叉形成的锐角为60°,则重合部分构成的四边形ABCD的周长为　 cm.
8　
6.(2025·重庆巴蜀)学习小组在学习了菱形的知识后,经过探究发现:通过作已知角的平分线和作一条线段等于已知线段,可以在平行四边形中构造出菱形,请根据小组的想法与思路,完成以下作图与填空:
(1)在平行四边形ABCD(AD>CD)中,用尺规作∠BCD的平分线CE交AD于点E,在BC上截取CF=CD,连接EF;(不写作法,保留作图痕迹)
(1)解:作图如答案图所示.
(2)证明:∵CE平分∠BCD,∴∠ECD=∠ECB.
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠DEC=∠ECB,
∴∠DCE=∠DEC,∴DE=DC.
∵CF=CD,∴DE=CF.
又∵DE∥CF,
∴四边形CDEF是平行四边形.
又∵DC=CF,
∴四边形CDEF是菱形.
(2)在(1)问所作图形中,求证:四边形CDEF是菱形.
7.在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,EG,FH交于点O.若四边形ABCD的对角线相等,则线段EG与FH一定满足的关系为(　　)
A.互相垂直平分　　 B.互相平分且相等
C.互相垂直且相等　 D.互相垂直平分且相等
A
8.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,D为斜边AB上一点,以CD,
CB为边作平行四边形CDEB.当AD= 时,平行四边形CDEB为菱形.
　
9.(2025·南京)邻边长分别为2,a(2或
10.在△ABC中,AB=AC.
(1)如图1,若∠BAC=120°,AB=4,以AC为边在AC下方作等边△ACD,AD与BC交于点O,连接BD,求四边形ABDC的面积;
(1)解:∵在△ABC中,AB=AC,且△ACD是等边三角形.
∴AC=DC=AD=AB=4,∠ACD=60°.∵∠BAC=120°,∴AB∥CD,
∴四边形ABDC是平行四边形.
又∵AB=AC,∴四边形ABDC是菱形,
∴AD⊥BC,AD=2AO,BC=2BO,
∴AO=AD=2,∴BO==2,∴BC=4,
∴S四边形ABCD=AD·BC=×4×4=8.
(2)如图2,若∠BAC>120°,以AC为边在AC下方作等边△ACD,连接BD,过点A作AE⊥BC于点E,求证:AE+BD=CE.
(2)证明:如答案图,延长EA至点F,使得AF=BD,连接CF.
∵△ACD是等边三角形,AB=AC,
∴AB=AC=AD=CD,∠ADC=∠ACD=∠DAC=60°.
设∠ABD=∠ADB=α,
∴∠BAD=180°-2α.
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=180°-2α+60°=240°-2α.
∵AE⊥BC,∴∠CAE=∠BAC=120°-α,
∴∠FAC=180°-=60°+α.
∵∠BDC=∠ADB+∠ADC=60°+α,
∴∠FAC=∠BDC.
又∵CA=CD,FA=BD,
∴△CDB≌△CAF,
∴∠FCA=∠BCD,∴∠FCE=∠ACD=60°.
在Rt△FEC中,∠F=90°-60°=30°,
∴2CE=CF,
∴EF==CE,
∴AE+BD=AE+AF=EF=CE.
11.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,BD=2AD,E,F,G分别是OC,OD,AB的中点,下列结论:①BE⊥AC;②EG=EF;③△EFG≌△GBE;
④EA平分∠GEF;⑤四边形BEFG是菱形.其中正确的个数是(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
C
12.(1)如图,A,B两点的坐标分别为(5,0),(1,3),C是平面直角坐标系内一点.若以点O,A,B,C四点为顶点的四边形是菱形,则点C的坐标为　 　;
(-4,3)
(2)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD为AC的中线,过点C作CE⊥BD于点E,过点A作BD的平行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG,DF.若AG=13,BG=5,则CF的长为　　.
6
13.如图,在平行四边形ABCD中,CE平分∠BCD,交AB边于点E,EF∥BC,交CD于点F,G是BC边的中点,连接GF,且∠1=∠2,CE与GF交于点M,过点M作MH⊥CD于点H.
(1)求证:四边形BCFE是菱形;
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD.∴∠1=∠ECF.
∵EF∥BC,
∴四边形BCFE是平行四边形.
∵CE平分∠BCD,∴∠BCE=∠ECF,∴∠BCE=∠1.
∴BC=BE,∴四边形BCFE是菱形.
(2)若CH=1,求BC的长;
(2)解:∵∠1=∠ECF,∠1=∠2,
∴∠ECF=∠2,∴CM=FM.
∵MH⊥CD,∴CF=2CH=2.
∵四边形BCFE是菱形,
∴BC=CF=2.
(3)求证:EM=FG+MH.
(3)证明:如答案图,连接BF交CE于点O,则OC=OE.
∵G是BC的中点,∴CG=CB.
∵CH=CF,∴CG=CH.
又∵CM=CM,∠GCM=∠HCM,
∴△CGM≌△CHM(SAS).
∴∠CGM=∠CHM=90°,即FG⊥BC.
∵CG=BG,∴CF=BF,∴BC=CF=BF.
∴△BCF是等边三角形.
∴∠BFC=60°,∴∠2=∠BFG=30°.
又∵四边形BCFE是菱形,∴BF⊥CE,OC=OE,∴OM=MH.
∵OC,FG均为等边△BCF的高,
∴OC=FG,∴EM=OE+OM=FG+MH.

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