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(共19张PPT)
23.4　实际问题与一次函数
1.某品牌鞋子的长度y cm与鞋子的码数x之间满足一次函数关系.若22码鞋子的长度为16 cm,44码鞋子的长度为27 cm,则36码鞋子的长度为(　 　)
A.23 cm B.24 cm C.25 cm D.26 cm
A
2.某移动通讯公司有两种移动电话计费方式,这两种计费方式中月使用费y(元)与主叫时间x(分钟)的对应关系如图所示(主叫时间不到1分钟,按1分钟收费).下列判断中正确的是(　　)
①方式一每月主叫时间为300分钟时,月使用费为88元;②每月主叫时间为350分钟和600分钟时,两种方式收费相同;③每月主叫时间超过600分钟时,选择方式一更省钱.
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
A
3.甲、乙两地相距a千米,小亮8:00乘慢车从甲地去乙地,10分钟后,小莹乘快车从乙地赶往甲地.两人分别距甲地的距离y(千米)与两人行驶时刻t的函数图象如图所示,则小亮与小莹相遇的时刻为(　　)
A.8:28 B.8:30 C.8:32 D.8:35
A
4.(1)某商店今年6月初销售纯净水的数量如下表所示.
日期 1 2 3 4
数量(瓶) 120 125 130 135
观察此表,利用所学函数知识预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量为　 　瓶;
(2)某种商品的销售额y(万元)与广告投入x(万元)成一次函数关系,当投入10万元时,销售额为1 000万元;当投入90万元时,销售额为5 000万元,则当投入80万元时,销售额为　 万元.
150
4 500　
5.某公司生产了A,B两款新能源电动汽车.如图,l1,l2分别表示A款、B款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量y(kW·h)与汽车行驶路程x(km)的关系.当两款新能源电动汽车的行驶路程都是300 km时,A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多　 　.
12 kW·h
6.某商店购进A,B两种纪念品,已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元.用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同.
(1)求纪念品A,B的单价分别是多少元;
解:(1)设纪念品A的单价为x元,则纪念品B的单价为(x-10)元,
由题意,得=,解得x=30.
经检验,x=30是所列方程的解,
∴x-10=20.
答:纪念品A,B的单价分别是30元和20元.
(2)商店计划购进纪念品A,B共400件,且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍.若总费用不超过11 000元,如何购进这两种纪念品使得总费用最少
(2)设纪念品A购进a件,总费用为y元,则y=30a+20(400-a)=10a+8 000.
由题意,得a≥2(400-a),且10a+8 000≤11 000,解得≤a≤300.
∵10>0,≤a≤300且a为整数.∴y随a的增大而增大,
∴当a=267时,购进这两种纪念品的总费用最少,
此时纪念品A购进267件,纪念品B购进400-267=133(件).
7.甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2 400 m,先到终点的人原地休息.已知甲先出发4 min,在整个步行过程中,甲、乙两人的距离y(m)与甲出发的时间t(min)之间的关系如图所示,下列说法中错误的是(　　)
A.乙用12 min追上甲
B.乙追上甲后,再走1 440 m才到达终点
C.甲、乙两人之间的最远距离是300 m
D.甲到终点时,乙已经在终点处休息了6 min
C
8.(2025·山东)甲、乙两个批发店销售同一种苹果.在甲批发店,不论一次购买数量是多少,价格均为6元/kg,在乙批发店,一次购买数量不超过50 kg时,价格为7元/kg;一次购买数量超过50 kg时,其中50 kg的价格仍为7元/kg,超出50 kg部分的价格为5元/kg.有下列结论:
①若小王在甲、乙两个批发店一次购买苹果的数量相同,且花费相同,则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为90 kg;
②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为120 kg,则他在甲、乙两个批发店中的乙批发店购买花费少;
③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元,则他在甲、乙两个批发店中的甲批发店购买数量多.
其中正确的结论是(　　)
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
C
9.如图1,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,CA=CB,动点E从点D出发,沿折线D-C-B-A方向以1单位长度/秒的速度匀速运动,在整个运动过程中,△ADE的面积S与运动时间t的函数图象如图2所示,则四边形ABCD的面积是　 　.
18
10.甲、乙两地相距480 km,货车和轿车先后从甲地出发驶向乙地,其中货车先出发0.5 h,如图,线段OA表示货车离甲地的距离y货(km)与货车行驶时间x(h)之间的图象关系,折线B-C-D表示轿车离甲地的距离y轿(km)与货车行驶时间x(h)之间的图象关系,根据图象解答下列问题:
(1)货车的速度=　 　km/h,y货=　 　(用含x的代数式表示);
80
80x(0≤x≤6)
解:(2)由图可知,当轿车追上货车时,2.5设当2.5解得
∴y轿=120x-180(2.5令120x-180=80x,解得x=4.5,
∴当轿车追上货车时,x=4.5.
(2)当轿车追上货车时,求x的值;
(3)轿车追上货车后,两车继续行驶至乙地,当两辆车相距20 km时,求x的值.
(3)由题意,得当轿车在货车前20 km时,
120x-180-80x=20,解得x=5;
当轿车到达终点,货车离终点20 km时,
80x=480-20,解得x=5.75,
∴轿车追上货车后,两车继续行驶至乙地,当两辆车相距20 km时,x=5或x=5.75.
11.(2025·南通)如图是某地区一种产品30天的销售图象,产品日销售量y(件)与时间t(天)的大致函数关系如图1,图2是一件产品的销售利润z(元)与时间t(天)的函数关系.已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润.下列结论错误的是(　 　)
A.日销售量为150件的是第12天与第30天
B.第10天销售一件产品的利润是15元
C.从第1天到第20天这段时间内日销售利润将先增加再减少
D.第18天的日销售利润是1 225元
C
12.甲骑摩托车从A地去B地,乙开汽车从B地去A地,同时出发,匀速行驶,各自到达终点后停止.设甲、乙两人间距离为s(km),甲行驶的时间为t(h),s与t之间的函数关系如图所示,有下列结论:①出发1 h时,甲、乙在途中相遇;②出发1.5 h时,乙比甲多行驶了60 km;③出发3 h时,甲、乙同时到达终点;④甲的速度是乙速度的一半.其中正确结论是　 .(填序号)
①②④　
13.甲、乙两货车分别从相距225 km的A,B两地同时出发,甲货车从A地出发,途经配货站时停下来卸货,半小时后继续驶往B地,乙货车沿同一条公路从B地驶往A地,但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地,结果比甲货车晚半小时到达B地.如图是甲、乙两货车距A地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数图象,结合图象回答下列问题:
(1)甲货车到达配货站之前的速度是　 　km/h,乙货车的速度是　 　km/h;
30
40
(2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中,甲货车距A地的距离y与行驶时间x之间的函数解析式;
解:(2)由题意及图象可知,E(4,105),F(5.5,225).
设yEF=kx+b(4≤x≤5.5),
∴解得
∴在配货站卸货后驶往B地的过程中,甲货车距A地的距离y与行驶时间x之间的函数解析式为y=80x-215(4≤x≤5.5).
(3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中,出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等.
(3)设甲货车出发x h,甲、乙两货车与配货站的距离相等.
①当两车到达配货站之前时,
则有105-30x=120-40x,解得x=;
②当乙货车到达配货站开始返回,甲货车未到达配货站时,则有105-30x=40x-120,解得x=;
③当甲货车在配货站卸货后驶往B地时,
则有80x-215-105=40x-120,解得x=5.
答:经过 h或 h或5 h,甲、乙两货车与配货站的距离相等.(共15张PPT)
23.1　一次函数的概念
1.下列说法正确的是(　　)
A.一次函数一定是正比例函数
B.正比例函数一定是一次函数
C.y=kx+b是一次函数
D.一个函数不是正比例函数就一定不是一次函数
B
2.矩形的长为10cm、宽为6cm,它的各边都减少xcm,得到的新矩形的周长为ycm,则y与x之间的关系式是(　　)
A.y=32-4x(0B.y=32-4x(0≤x≤6)
C.y=(10-x)(6-x)(0D.y=(10-x)(6-x)(0≤x≤6)
3.要使函数y=(m-2)xn-1+n是一次函数,应满足的条件是(　　)
A.m≠2,n≠2 B.m=2,n=2
C.m≠2,n=2 D.m=2,n=0
A
C
4.(1)下列函数中:①y=-x;②y=;③y=-x2;④y=-x+3;⑤2x-3y=1.其中y是x的一次函数的是　 　,y是x的正比例函数的是　 　;(均填序号)
(2)要使y=(m-2)+3是关于x的一次函数,则m=　 　;
(3)(2025·重庆八中)当k=　 　时,关于x的一次函数y=(k-2)x-4+k2是正比例函数.
①④⑤
①
0
-2
5.(2025·陕西)某班同学在探究弹簧的长度随外力的变化关系时,使用50克/个的砝码进行实验,记录得到的相应数据如下表,则弹簧的长度y(厘米)与砝码的质量x(克)之间的函数关系式是　 　.
砝码的个数/个 0 1 2 3 4 5 6 7
弹簧长度 /厘米 5 6 7 8 9 10 11 12
y=x+5
6.如图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图,碗的规格都是相同的.小亮尝试结合学习函数的经验,探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度y(cm)随着碗的数量x(个)的变化规律.下表是小亮经过测量得到的y与x之间的对应数据:
x/个 1 2 3 4
y/cm 6 8.4 10.8 13.2
(1)依据小亮测量的数据,写出y与x之间的函数表达式,并说明理由;
解:(1)由表格可知,每增加一只碗,总高度增加2.4 cm,
∴y=6+2.4(x-1)=2.4x+3.6.
检验:当x=1时,y=6;当x=2时,y=8.4;
当x=3时,y=10.8;当x=4时,y=13.2均符合表中数据,
∴y与x之间的函数表达式为y=2.4x+3.6.
(2)若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过28.8 cm,则此时碗的数量最多为多少个
(2)根据题意,得2.4x+3.6≤28.8,
解得x≤10.5,
∴碗的数量最多为10个.
x/个 1 2 3 4
y/cm 6 8.4 10.8 13.2
7.根据如图所示的程序计算,若输入x的值是-1时,输出y的值是5,则输入x的值是3时,输出y的值是(　　)
A. B.7 C.-1 D.1
C
8.已知y与4x-1成正比例,且当x=3时,y=22,写出y与x的函数关系式　
.
9.(1)汽车开始行驶时,油箱中有油30升,如果每小时耗油4升,那么油箱中的剩余油量y(升)和行驶时间x(时)之间的函数关系式是　 　;
(2)如图,某品牌自行车每节链条的长度为2.5cm,交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm.如果一辆自行车的链条(安装前)共由60节链条组成,那么链条的总长度是　 　cm.
y=8x-2　
y=30-4x(0≤x≤7.5)
102.8
10.为鼓励市民节约用水,某地按月实行阶梯水价,价目如下表:
阶梯 月用水量(m3) 单价(元/m3)
第一阶梯 不超过22的部分 3
第二阶梯 超过22但不超过30的部分 5
第三阶梯 超过30的部分 7
(1)若A居民家4月份共用水25 m3,则应交水费为　 　元;
(2)设月用水量为x m3,当月应交水费为y元.当x>30时,y与x之间的函数关系式为　 ;若B居民家5月份共交水费120元,求B居民5月份的用水量;
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y=7x-104(x>30)　
解:(2)当x=30时,当月应交水费y=3×22+5×8=106(元)<120元,
∴当y=120时,则7x-104=120,解得x=32.
答:B居民5月份的用水量为32 m3.
(3)若C居民家5,6月份的用水量共50 m3(5月份的用水量小于6月份的用水量),这两个月共交水费174元,则C居民家5,6月份的用水量分别为多少立方米
(3)设C居民家5月份的用水量为x m3,则6月份的用水量为(50-x)m3,
∴x<50-x,即x<25.
当030,
依题意,得3x+7(50-x)-104=174,解得x=18,则50-x=32;
当20≤x≤22时,则28≤50-x≤30,
依题意,得3x+22×3+5(50-x-22)=174,
解得x=16,不符合题意,舍去;
当22依题意,得22×3+22×3+6×5=162<174,不符合题意.
综上所述,C居民家5月份的用水量为18 m3,6月份的用水量为32 m3.
11.有甲、乙两个大小不同的水桶,容量分别为x升、y升,且已各装了一些水.若将甲中的水全倒入乙后,乙只可再装20升的水;若将乙中的水倒入甲,装满甲水桶后,乙还剩10升的水,则y与x之间的关系式为(　　)
A.y=20-x B.y=x+10
C.y=x+20 D.y=x+30
D
12.如图,已知AB=2,AD=4,∠BAD=90°,AD∥BC,点E是射线BC上的动点(点E与点B不重合),点M是线段DE的中点.设BE=x,△ABM的面积为y,则y与x的函数关系式为　 　.
y=x+2(x>0)
13.已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上,它们之间的距离如图所示.小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去市图书馆,付费9元;中午再从市图书馆乘出租车去光明电影院,付费12.6元.若该市出租车的收费标准是:不超过3 km计费为m元,超过3 km部分按n元/km计费.
(1)求m,n的值,并直接写出车费y(元)与路程x(km)(x>3)之间的函数关系式;
解:(1)易知m=9.
∵从市图书馆乘出租车去光明电影院,路程为5 km,付费12.6元,
∴(5-3)n+9=12.6,解得n=1.8.
∴当x>3时,车费y与路程x之间的函数关系式为y=1.8(x-3)+9=1.8x+3.6(x>3).
(2)如果小张这天外出的消费还包括:中午吃饭花费15元,在光明电影院看电影花费25元,则小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学 为什么
(2)小张剩下的现金为
75-15-25-9-12.6=13.4(元),乘出租车从光明电影院返回光明中学的费用为
1.8×(5+2)+3.6=16.2(元).
∵13.4<16.2,
∴小张剩下的现金不够乘出租车从光明电影院返回光明中学.(共28张PPT)
《一次函数》
章末考点复习与小结
增大
减小
二、四
一
两
1.下图能表示为一次函数y=-kx+b与正比例函数y=-kbx(k,b是常数,且kb≠0)的大致图象的是(　　)
B
2.(1)【跨学科融合】铁的密度约为7.9 g/cm3,铁的质量m(g)与体积V(cm3)成正比例.一个体积为10cm3的铁块,它的质量为　 　g;
(2)若正比例函数y=(m-2)x的图象经过点A(x1,y1)和点B(x2,y2),当x1y2,则m的取值范围是　 　;
(3)如图,正比例函数y=kx,y=mx,y=nx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则比例系数k,m,n的大小关系是　 　.(用“>”号连接)
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m<2
k>m>n
3.(2025·重庆八中)对于一次函数y=-2x+1,下列结论正确的是(　　)
A.函数的图象与y轴的交点坐标是(1,0)
B.函数的图象经过第一、二、四象限
C.若A(x1,y1),B(1,y2)两点在该函数图象上,且x1>1,则y1>y2
D.函数的图象向上平移1个单位长度得到y=-2x的图象
B
4.(2025·重庆巴蜀)一次函数y=kx+b与y=bx-k在同一坐标系中的图象可能是(　　)
D
5.(2025·河北)如图,直线y=-x+6分别与x轴、y轴交于点A,B,点C在线段OA上,线段OB沿BC翻折,点O落在AB边上的点D处,以下结论:①AB=10;②直线BC的函数解析式为y=-2x+6;③点D的坐标为(4,2).其中正确的结论是(　　)
A.① B.①②
C.②③ D.①②③
B
6.(1)若点A(3,y1),点B(-1,y2)都在一次函数y=-x-7的图象上,则y1　　y2;(填“>”“<”或“=”)
(2)在一次函数y=-2x+m的图象上有三点A(-3,y1),B(-1,y2),C(3,y3),则用“>”号将y1,y2,y3连接起来的结果是　 ;
(3)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在直线y=kx+b上,且直线经过第一、三、四象限,当x1<
y1>y2>y3　
y17.(2025·甘肃)如图,直线y=mx+n过点A,B,则关于x的方程mx+n=0的解是(　　)
A.x=3 B.x=0 C.x=-4 D.x=-1
C
8.(1)已知二元一次方程组的解为则在同一平面直角坐标系中,直线l1:y=x+5与直线l2:y=-x-1的交点坐标为　 ;
(2)如图,直线l1:y=x-1与l2:y=ax+b的交点在y轴上,则关于x的不等式组的解集为　 　.
(-4,1)　
09.(2025·成都石室)如图,在直角坐标系中,直线l1:y=x+1与x轴交于点A,与直线l2:y=-x+m交于点B,直线l2分别与x轴、y轴交于点C,D,连接AD.
(1)求m,n的值;
解:(1)∵直线y=x+1经过点B,
∴n=×+1=,
∴B.
∵直线y=-x+m经过点B,
∴=-×+m,解得m=3.
(2)根据图象直接写出关于x的不等式-x+m>x+1的解集;
(2)x<.
(3)求△ABD的面积.
(3)由(1)得直线l2的解析式为y=-x+3.
对于y=-x+3,令x=0,则y=3;
令y=0,则-x+3=0,∴x=4,∴D(0,3),C(4,0).
对于y=x+1,令y=0,则x+1=0,∴x=-2,
∴A(-2,0).∴S△ABD=S△ADC-S△ABC=×6×3-×6×=.
10.在平面直角坐标系中,O为坐标原点.若直线y=x+3分别与x轴、直线y=-2x交于点A,B,则△AOB的面积为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.6
B
11.如图,直线y=x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B,点C,D分别为线段AB,OB的中点,点P为OA上一动点,当PC+PD的值最小时,点P的坐标为(　　)
A.(-3,0) B.(-6,0)
C. D.
C
12.如图所示,直线y=x+5分别与x轴、y轴交于A,B两点,C为线段OA上一点,连接BC,将△ABC沿BC翻折,点A的对应点A'恰好落在y轴上,则点
C的坐标为 　.
13.直线l1:y=x-1与x轴交于点A,将直线l1绕点A逆时针旋转15°,得到直线l2,则直线l2对应的函数解析式是　 .
y=x-　
14.如图,在等腰△ABC中,AB=AC=5 cm,BC=6 cm,点D为BC的中点,点P从点B出发,沿B→D→A方向以每秒1 cm的速度匀速运动到点A.设点P的运动时间为x s(0(1)直接写出y与x的函数关系式,注明x的取值范围;
解:(1)y=
(2)画出y的函数图象,观察y的函数图象,写出一条该函数的性质:_____________________________
________________;
(3)结合图象,写出当y>8时,x的取值范围为　 　.
(2)函数图象如图.
在自变量x的取值范围内,y随着
x的增大而减小
015.如图,直线l1经过点A(0,4),与直线l2:y=-x相交于点B,且与x轴交于点C,其中点B的纵坐标为2.
(1)求直线l1的解析式;
解:(1)对于y=-x,当y=2时,-x=2,
解得x=-3,∴点B(-3,2).
设直线l1的解析式为y=kx+4,
将点B的坐标代入上式,
得2=-3k+4,解得k=,
∴直线l1的解析式为y=x+4.
(2)将l1向下平移7个单位长度,记平移后的直线为l3,记l3与l2交于点D,点Q为l3上一动点,当点Q运动到何位置时,△ODQ的面积等于△BOC面积的倍 请求出点Q的坐标;
(2)由直线l1的解析式可知,点C(-6,0),
∴S△BOC=×6×2=6,∴S△ODQ=S△BOC=9.
易知直线l3的解析式为y=x-3,
设直线l3交x轴于点N,∴点N.
联立l2,l3的表达式,得x-3=-x,解得x=,
∴D.
当点Q在直线l2上方时,
由S△DON=××=<9可知,点Q在x轴上方,
则S△ODQ=S△DON+S△ONQ=×+=9,
解得yQ=,∴Q;
当点Q在直线l2下方时,
则S△ODQ=S△ONQ-S△ODN=×-=9,
解得yQ=-,∴Q.
综上,点Q的坐标为或.
(3)在x轴上(除原点外)是否存在点P,使得△PBC是等腰三角形 若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)设点P(x,0).由点P,B,C的坐标,得
BC2=13,PB2=(x+3)2+4,PC2=(x+6)2.
当PB=BC时,则13=(x+3)2+4,解得x=0或-6(均舍去);
当BC=PC时,则(x+6)2=13,解得x=-6±,
∴点P的坐标为(-6+,0)或(-6-,0);
当PB=PC时,则(x+3)2+4=(x+6)2,
解得x=-,∴点P的坐标为.
综上,点P的坐标为(-6+,0)或(-6-,0)或.
16.(2025·西安)已知小明家距学校1 200 m,一天,小明从家出发匀速步行前往学校.4 min后,小明的爸爸发现他忘了带数学书,于是,爸爸立即出发沿同一路线匀速追赶小明.在中途追上了小明后,爸爸以原速原路返回家中.小明与爸爸之间的距离y(m)与小明出发的时间x(min)之间的关系如图所示,以下说法中正确的个数为(　　)
①小明步行的速度是80 m/min;
②爸爸的速度是180 m/min;
③a的值为12;
④当小明与爸爸相距120 m时,小明出发后
的时间是 min或 min或 min.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
17.某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4 000元,销售20台A型和10台B型电脑的利润为3 500元.
(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润;
解:(1)设每台A型电脑的销售利润为a元,每台B型电脑的销售利润为b元.
根据题意,得
解得
答:每台A型电脑的销售利润为100元,每台B型电脑的销售利润为150元.
(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台,设购进A型电脑x台,这100台电脑的销售总利润为y元.求y关于x的函数关系式;
(2)根据题意,得
y=100x+150(100-x)=-50x+15 000,
∴y关于x的函数关系式
y=-50x+15 000(0≤x≤100).
(3)在第(2)问的条件下,如果A型电脑至少购进20台,则购进两种型号的电脑100台的利润最多为多少钱
(3)由题意及(2)知,y=-50x+15 000(20≤x≤100).
∵-50<0,∴y随x的增大而减小.
∵x为正整数,
∴当x=20时,y取得最大值,
为-50×20+15 000=14 000(元),
∴该商店购进两种型号的电脑100台的利润最多为14 000元.
18.甲、乙两地相距s km.慢车从甲地出发匀速驶往乙地,出发a h后快车也从甲地出发,沿同一路线匀速驶往乙地.两车同时到达乙地后,慢车立即保持原速,沿原路返回甲地.快车在乙地休息1 h后,提速50%,沿原路匀速返回,又与慢车同时回到甲地.在整个行程中,慢车离甲地的距离y1(km)与时间t(h)之间的函数关系如图所示.
(1)在图中画出快车离甲地的距离y2(单位:km)与时间t之间的函数图象;
解:(1)作图如图所示.
(2)a=　 　;
(2)根据图形可知,快车去乙地时速度为v快,用时(2-a)h,返回的速度为1.5v快,用时1 h,
∴(2-a)·v快=1×1.5v快,解得a=0.5.
故答案为0.5.
0.5
(3)若s=120,已知从甲地到乙地的路程中,距离乙地30 km处有一个治安警亭.在整个行程中(不含行程终点甲地),t的值是多少时,两车与警亭的距离相等
(3)当s=120时.
由题意可知,v慢=60 km/h,
返回前v快=80 km/h,返回后v快'=120 km/h.
由图象可知,当快车与慢车同时到达乙地时,两车与警亭的距离相等,此时t=2;
当慢车未到达乙地时,
∵两车到警亭的距离相等,
则60t-(120-30)=(120-30)-80(t-0.5),
解得t=;
当慢车到达乙地后,
同理可得60(t-2)-30=30-120(t-3),
解得t=3.
综上,t的值为2或或3.(共15张PPT)
23.3　一次函数与方程(组)、不等式
1.一次函数y=kx+b的图象如图所示,则关于x的方程kx+b=0的解为(　　)
A.x=0 B.x=3 C.x=-2 D.x=-3
B
2.(2025·成都外国语)如图,在平面直角坐标系中,直线l1:y=ax+b(a,b为常数,且a≠0)和直线l2:y=mx+n(m,n为常数,且m≠0)相交于点A.若点A的坐标是(4,5),则关于x,y的二元一次方程组的解为(　　)
A. B.
C. D.
B
3.(2025·重庆育才)已知在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b(k≠0)与y=mx+n(m≠0)的图象如图所示.若kx+b≤mx+n,则x的取值范围为(　　)
A.x≥2 B.x≤-3 C.x≤2 D.x≥-3
B
4.如图,函数y=ax和y=kx+b的图象相交于点A(-2,1),可知关于x的不等式ax的解为 .
x>-2　
　
5.(1)如图,已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象分别与x轴、y轴交于A,B两点.若OA=2,OB=1,则关于x的方程kx+b=0的解为　 　;
x=-2
(2)已知直线y=x+m与直线y=-2x+n交于点A.若点A的横坐标为3,则关于x的不等式x+m>-2x+n的解集为　 　;
(3)如图,已知函数y=-x+2和y=kx+3的图象交于点P,点P的纵坐标为2.5,则
关于x,y的方程组的解是 .
　
x>3
6.已知函数y=kx+b的图象如图所示,利用函数图象求:
(1)kx+b=0的解;
(2)kx+b=1.5的解;
(3)不等式kx+b<0的解集;
(4)不等式0.5解:(1)x=-0.5.
(2)x=1.
(3)x<-0.5.
(4)07.点P在直线y=-x+4上,坐标是二元一次方程5x-6y=33的解,则点P的位置在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
8.(2025·河北)在同一平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b与y=mx+n(aA.在一次函数y=mx+n的图象中,y随x的增大而减小
B.方程组的解为
C.方程mx+n=0的解为x=2
D.当ax+b>mx+n时,x>-3
D
D
9.(1)已知直线l1:y=-3x+a和l2:y=x+b上部分点的横坐标和纵坐标如下表所示,则关于x的方程-3x+a=x+b的解是　 　;
x -1 0 1 2
y=-3x+a 8 5 2 -1
y=x+b 0 1 2 3
(2)如图,在平面直角坐标系中,经过点B(-4,0)的直线y=kx+b与直线y=mx+2相交于点A(-2,-1),则关于x的不等式组mx+2x=1
-4≤x<-2　
10.如图,直线l1:y=x+5分别交y轴、x轴于A,B两点,直线l2:y=-x-1分别交y轴、x轴于C,D两点,直线l1,l2相交于点P.
(1)方程组的解是 　;
(2)求直线l1,l2与x轴围成的三角形的面积;
解:(2)把y=0分别代入y=x+5和y=-x-1,
解得x=-5和x=-2,
∴B(-5,0),D(-2,0),∴BD=3.
∵P(-4,1),
∴直线l1,l2与x轴围成的三角形的面积为×3×1=.
(3)过点P的直线把△PAC的面积两等分,请直接写出这条直线的解析式.
(3)易知A(0,5),C(0,-1),∴AC的中点为(0,2).
设过点P且把△PAC的面积两等分的直线的解析式为y=kx+b.把点(-4,1),(0,2)代入,得
解得
∴这条直线的解析式为y=x+2.
11.如图,直线y=x+3分别与x轴、y轴交于点A,C,直线y=mx-m分别与x轴、y轴交于点B,D,则下列说法错误的是(　　)
A.直线AC与x轴的夹角为45°
B.直线BD经过点(1,0)
C.当m<0时,直线BD经过两个点P,Q,则y1D.直线AC与直线BD相交于点M(a,2),则不等式x+3≤mx-m的解集为x≤-1
C
12.已知直线y1=kx+1(k<0)与直线y2=mx(m>0)的交点坐标为,则关
于x的不等式组mx-213.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=45°,
∠ADC=90°,E为AB的中点,AD=DC=4.动点P从点B出发,沿着折线B→C→D运动,到达点D停止运动,连接DE,EP,PD.设点P的运动路程为x(0(1)直接写出y1关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;
解:(1)y1=
(2)在给定的平面直角坐标系中画出y1的函数图象,并写出该函数的一条性质;
(2)作图如图所示.
性质:当0(3)已知函数y2=-x+,直接写出当y1≥y2时,x的取值范围.
(3)4≤x≤10.(共16张PPT)
第2课时　求一次函数的解析式
1.直线y=kx-4经过点(-2,2),则该直线的解析式是(　　)
A.y=-3x-4 B.y=-x-4
C.y=x-4 D.y=3x-4
A
2.【跨学科融合】如图,杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易平衡器,其秤砣到秤纽的水平距离y(cm)与所挂物重x(kg)之间满足一次函数关系,如下为记录几次数据之后所列表格:
x/kg 1 2 3
y/cm 8 13.5 19
则y与x之间的关系式为(　　)
A.y=5.5x+2.5 B.y=5.5x-2.5 C.y=11x+8 D.y=11x
A
3.在平面直角坐标系中,将正比例函数y=-2x的图象向右平移3个单位长度得到一次函数y=kx+b(k≠0)的图象,则该一次函数的解析式为(　　)
A.y=-2x+3 B.y=-2x+6 C.y=-2x-3 D.y=-2x-6
B
4.如图,求直线l的解析式.
y=-3x
y=-x+3
y=x+2
5.已知一次函数的图象经过点(0,5),且与直线y=x平行,则该一次函数的表达式为　 　.
6.【跨学科融合】氯化钾的溶解度随温度的升高而增大,在0 ℃100 ℃的条件下,氯化钾的溶解度y(g)与温度x(℃)之间近似满足一次函数关系.高高根据实验数据,画函数图象如图.(注:氯化钾的溶解度表示在一定温度下,氯化钾在100 g水里达到饱和状态时所溶解的氯化钾质量)
(1)求y关于x的函数解析式;
解:(1)设y关于x的函数解析式为y=kx+b(k≠0),将点(10,30),(40,40)代入y=kx+b,得
解得
∴y关于x的函数解析式为y=x+.
y=x+5
(2)当温度是34 ℃时,在100 g水中加入37 g氯化钾,充分搅拌,是否能完全溶解 请说明理由.
(2)能完全溶解,理由如下:
当x=34时,y=×34+=38.
∵38>37,∴能完全溶解.
7.(2025·杭州)在平面直角坐标系中,已知点(1,2)与(2,4)在直线l上,则直线l必经过(　　)
A.(-2,-1) B.(-1,-2) C.(6,3) D.(6,8)
8.如图所示,直线y=x+2分别与x轴、y轴交于点A,B,以线段AB为边,在第二象限内作等腰直角△ABC,∠BAC=90°,则过B,C两点的直线的解析式为(　　)
A.y=-x+2 B.y=-x+2
C.y=-x+2 D.y=-2x+2
B
B
9.(1)在平面直角坐标系中,直线y=-x+b分别交x轴于点A,交y轴于点B,
且S△ABO=4,则直线AB的解析式为　 ;
(2)已知一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0),当1≤x≤4时,3≤y≤6,则的值为　 　.
y=-x+2或y=-x-2　
2或-7
10.如图,在平面直角坐标系中,直线l1:y=x与直线l2的交点A的横坐标为2,将直线l1沿x轴向右平移8个单位长度得到直线l3,直线l3与y轴交于点B,与直线l2交于点C,点C的纵坐标为-2.
(1)求直线l2的解析式;
解:(1)把x=2代入y=x,得y=1,∴A(2,1).
∵将直线l1沿x轴向右平移8个单位长度得到直线l3,
∴直线l3的解析式为y=(x-8)=x-4,
把y=-2代入上式,得-2=x-4,解得x=4,∴C(4,-2).
设直线l2的解析式为y=kx+b,
代入A,C两点的坐标,得解得
∴直线l2的解析式为y=-x+4.
(2)连接AB,求△ABC的面积;
(2)在y=-x+4中,令x=0,则y=4,∴D(0,4),
在y=x-4中,令x=0,则y=-4,∴B(0,-4),∴BD=8,
∴S△ABC=S△BCD-S△ABD=×8×4-×8×2=8.
(3)若点P是直线l1上一动点,且满足S△ABP=2S△ABC,请直接写出点P的坐标.
(3)∵S△ABP=2S△ABC,∴S△ABP=16.
①当点P在点A的上方时,S△ABP=S△OBP-S△OAB,
∴OB·xP-OB·xA=16,
即×4·xP-×4×2=16,解得xP=10.∴P(10,5);
②当点P在点A的下方时,S△ABP=S△OBP+S△OAB,
此时xP<0,∴OB·(-xP)+OB·xA=16,
即-×4·xP+×4×2=16,解得xP=-6.∴P(-6,-3).
综上,点P的坐标为(10,5)或(-6,-3).
11.如图,已知点A的坐标为(-3,9),过点A作x轴的垂线交x轴于点B,连接AO,现将△ABO沿AO折叠,点B落在第一象限的点B'处,则直线AB'与x轴的交点D的坐标为(　　)
A.(5,0) B.
C. D.
D
12.如图,四边形ABCD的顶点坐标分别为A(-4,0),B(-2,-1),C(3,0),D(0,3),当过点B的直线l将四边形ABCD分成面积相等的两部分时,则直线l的函
数解析式为　 .
y=x+　
13.如图1,已知直线l:y=-x+6与x轴交于点A,与y轴交于点B,直线m与y轴交于点C(0,-2),与直线l交于点D(t,1).
(1)求直线m的解析式;
解:(1)将点D(t,1)代入y=-x+6,得-t+6=1,解得t=5,∴D(5,1).
设直线m的解析式为y=kx+b,
代入C,D两点坐标,得解得
∴直线m的解析式为y=x-2.
(2)如图2,点P在直线l上,且在y轴左侧,过点P作PQ∥y轴交直线m于点Q,交x轴于点G,当S△PCG=2S△QCG时,求出P,Q两点的坐标;
(2)设P(x,-x+6)(x<0),则Q,G(x,0),
∴PG=6-x,QG=2-x.
∵S△PCG=2S△QCG,∴PG=2QG,
即6-x=2,解得x=-10,
∴P(-10,16),Q(-10,-8).
(3)将直线l:y=-x+6向左平移10个单位长度得到直线n,交x轴于点E,点F是点C关于原点的对称点.过点F作直线k∥x轴,点M在直线k上.若△CEM是以CM为腰的等腰三角形,请直接写出所有符合条件的点M的坐标.
(3)由题意可得,直线n的解析式为y=-x-4,
∴E(-4,0).∵C(0,-2),∴F(0,2).
设M(s,2),∴CE=2,CM=,EM=.
当CE=CM时,即2=,解得s=±2,
∴M(2,2)或(-2,2);
当CM=EM时,即=,
解得s=-,∴M.
综上所述,点M的坐标为(2,2)或(-2,2)或.(共25张PPT)
专题十六　[提升]
一次函数与几何综合问题(二)
1.在平面直角坐标系中,直线y=-3x-交x轴于点A,交y轴于点B,直线y=-x+3交x轴于点C,交y轴于点D.
(1)如图1,连接BC,求△BCD的面积;
解:(1)对于直线y=-3x-,令x=0,则y=-,
故点B.
对于直线y=-x+3,令x=0,则y=3;令y=0,则x=4,
∴D(0,3),C(4,0),∴BD=3+=,OC=4,
∴S△BCD=BD·OC=××4=11.
(2)如图2,在直线y=-x+3上存在点E,使得∠ABE=45°,求点E的坐标.
(2)由题意可知,点E只能在直线AB的右侧,过点E作BE的垂线交AB于点R,过点E作HG∥y轴,过点R作RG∥x轴交HG于点G,过点B作BH∥x轴交HG于点H.
设点E,点R.
∵∠ABE=45°,RE⊥BE,∴ER=EB.
∵∠REG+∠BEH=90°,∠BEH+∠EBH=90°,∴∠REG=∠EBH.
又∵∠EHB=∠RGE=90°,EB=RE,
∴△EHB≌△RGE(AAS),∴EH=RG,BH=GE,
即解得∴E.
2.如图,在平面直角坐标系中,直线l1:y=kx-8k与x轴交于点A,与y轴正半轴交于点B,△AOB的面积为16,直线l2:y=x与直线l1交于点C.
(1)求直线l1的解析式;
解:(1)易得A(8,0),B(0,-8k),
∴OA=8,OB=-8k.
∵△AOB的面积为16,
∴×8×(-8k)=16,解得k=-,
∴直线l1的解析式为y=-x+4.
(2)求OC的长;
(2)联立解得
∴C(4,2).∴OC==2.
(3)若直线l2上有一点P,满足∠PBA=∠BAO,直接写出点P的坐标,并写出求解点P的坐标的其中一种情况的过程.
(3)由(1)知,k=-,则B(0,4).
①当点P在直线AB的上方时,如答案图.
∵∠PBA=∠BAO,∴BP∥AO,
∴点P的纵坐标为4.
∵点P在直线l2上,∴4=x,∴x=8,∴P(8,4);
②当点P'在直线AB的下方时,延长BP'交OA于点E,如答案图.
∵∠P'BA=∠BAO,∴AE=BE=8-OE.
在Rt△BOE中,由勾股定理,得(8-OE)2=OE2+16,
解得OE=3,∴E(3,0).设直线BE的解析式为y=mx+4,
∴0=3m+4,解得m=-,
∴直线BE的解析式为y=-x+4.
联立解得∴P'.
综上所述,点P的坐标为(8,4)或.
3.如图1,在平面直角坐标系中,直线y=2x+6与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C在y轴上,点D在x轴正半轴上,且OA=OD.点E(-1,e)是直线CD与线段AB的交点.
(1)求直线CD的解析式;
解:(1)对于y=2x+6,令x=0,则y=6;
令y=0,则2x+6=0,解得x=-3,
∴A(-3,0),B(0,6).
∵OD=OA,∴D(3,0).
把E(-1,e)代入y=2x+6,得
e=2×(-1)+6=4,∴E(-1,4).
设直线CD的解析式为y=kx+b(k≠0),
代入E,D两点坐标,得解得
∴直线CD的解析式为y=-x+3.
(2)若F为直线AB上一动点,连接FC,FD,当S△CDF=S△ADE时,求点F的坐标;
(2)由(1)可知直线CD的解析式为y=-x+3,
令x=0,则y=3,∴C(0,3).
∵S△ADE=AD·=×6×4=12,
∴S△CDF=S△ADE=×12=9.
设F(f,2f+6),分两种情况讨论:
①当点F在直线CD下方时,
∵S△ACD=×6×3=9=S△CDF,∴此时点F与点A重合,即F(-3,0);
②当点F'在直线CD上方时,
即f>-1时,由S△BCD=<9可知,f>0.
如答案图1,连接OF',
∴S△CDF'=S△COF'+S△ODF'-S△COD=9,
即×3f+·3(2f+6)-×3×3=9,解得f=1,∴F(1,8).
综上所述,点F的坐标为(-3,0)或(1,8).
(3)如图2,连接AC,在直线AC上是否存在动点M,使得∠CDM+∠ABC=∠BCE 若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)已知A(-3,0),C(0,3),
∴直线AC的解析式为y=x+3,
∴△AOC,△COD,△ACD都为等腰直角三角形,
∴∠ODC=∠OCD=∠OAC=∠OCA=45°,
∴∠BCE=∠OCD=45°,∴∠CDM+∠ABC=45°.
①如答案图2,连接BD交AC于点M.
∵OB⊥AD,OA=OD=3,
∴△ABD是等腰三角形,AB=BD,∠ABO=∠DBO.
∵∠OCD是△BCD的外角,
即∠CBD+∠CDM=∠OCD=45°,
∴点M即为所求点的位置.
设直线BD的解析式为y=ax+c(a≠0),
代入点B(0,6),D(3,0),得
解得
∴直线BD的解析式为y=-2x+6.
联立解得∴M(1,4);
②如答案图2,作∠CDM关于CD的对称角,交AC于点M',则∠CDM'=∠CDM,
∴∠M'DC+∠ABC=∠MDC+∠ABC=∠BCE=45°.
∵∠M'DC=∠MDC,CD=CD,∠M'CD=∠MCD=90°,
∴△M'DC≌△MDC(ASA),
∴CM'=CM,∴点C为MM'的中点,
∴M'(-1,2).
综上所述,存在点M的坐标为(-1,2)或(1,4).
4.如图1,在平面直角坐标系中,直线l1:y=-x+4与x轴交于点B,与y轴交于点A.直线l2与x轴交于点D,与y轴交于点C,两直线交于点E.若点C为OA的中点,BD=8.
解:(1)对于y=-x+4,当x=0时,则y=4;当y=0时,则x=4,∴A(0,4),B(4,0),∴OA=OB=4.
∵BD=8,点D在x轴负半轴,∴D(-4,0).
∵C是OA的中点,∴C(0,2).
设直线CD的解析式为y=kx+b,代入C(0,2),D(-4,0),得
解得
∴直线CD的解析式为y=x+2.
(2)∵C(0,2),BD=8,∴S△DCB=×8×2=8,
∴S△QCE=S△DCB=.
联立解得∴E.
设Q(m,-m+4),
∴S△QCE=S△ACQ-S△ACE=AC·-AC·=×2×m-×2×=m-=,
解得m=6,∴点Q的坐标为(6,-2).
(2)如图2,连接BC,点Q为直线AB上一动点,且位于直线l2下方.若有S△QCE=S△DCB,请求出点Q的坐标;
(3)如图3,将直线l2平移得到直线l3,使得直线l3经过点A,并交x轴于点F,点M为直线l1上一点.若以点M,F,A为顶点的三角形是以AM为腰的等腰三角形,请写出所有符合条件的点M的坐标,并写出求解点M坐标其中一种情况的过程.
(3)将直线l2平移得到直线l3,使得直线l3经过点A,并交x轴于点F,
∴l3的解析式为y=x+4.
当y=0时,x=-8,则F(-8,0).
∵点M为直线l1上一动点,∴设M(t,-t+4),
∴AF==4,AM==,
MF==.
①当MF=AM时,即=,
解得t=-10,∴M(-10,14);
②当AM=AF时,即4=,解得t=±2,
∴M(2,-2+4)或M(-2,2+4).
综上所述,M(-10,14)或M(2,-2+4)
或M(-2,2+4).
5.如图,已知直线l1:y=2x+4分别与x轴、y轴交于点A,B,直线l2:y=kx+b分别与x轴、y轴交于点C,D,且OC=2OA,OD=OB,直线l1与l2交于点E.
(1)求k,b的值;
解:(1)把x=0代入y=2x+4,得y=4,∴B(0,4),
把y=0代入y=2x+4,得2x+4=0,解得x=-2,
∴A(-2,0),∴OA=2,OB=4,∴OC=2OA=4,OD=OB=2.
∴C(4,0),D(0,-2).
把C(4,0),D(0,-2)代入y=kx+b,得
解得
(2)过点E作EF∥BC交y轴于点F,求线段BF的长;
(2)设BC的解析式为y=k'x+b',把B(0,4),C(4,0)代入,得
解得
∴直线BC的解析式为y=-x+4.
联立解得∴E(-4,-4).
∵EF∥BC,∴设直线EF的解析式为y=-x+b″,
把E(-4,-4)代入y=-x+b″,得-4=4+b″,
解得b″=-8,∴直线EF的解析式为y=-x-8.
把x=0代入y=-x-8,得y=-8,∴F(0,-8),∴BF=4-(-8)=12.
(3)在(2)问的条件下,点E关于y轴的对称点为点G,平面内是否存在点P,使得以点P,A,F,G为顶点的四边形为平行四边形 若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)由题意可知,G(4,-4),
设点P的坐标为(xP,yP).
当AF为对角线时,解得
∴点P的坐标为(-6,-4);
当AG为对角线时,解得
∴点P的坐标为(2,4);
当AP为对角线时,解得
∴点P的坐标为(6,-12).
综上所述,点P的坐标为(-6,-4)或(2,4)或(6,-12).
6.如图,直线l与直线m交于点Q,直线m与坐标轴分别交于A,B两点,直线l与y轴交于点C.已知B,C两点关于x轴对称,且BC=6.
(1)求直线l和直线m的解析式;
解:(1)∵B,C两点关于x轴对称,且BC=6,
∴B(0,3),C(0,-3).
又∵直线l与直线m交于点Q,
∴直线l的解析式为y=3x-3,
直线m的解析式y=-x+3.
(2)若P为直线l上一动点,且S△PAB=S△OAB,求点P的坐标;
(2)易得A(4,0).设点P的坐标为(a,3a-3).
如答案图,过点P作x轴的垂线与直线m交于点G,
则点G的坐标为,
∴S△PAB=(xA-xB)·
=×4×=.
又∵S△OAB=×4×3=6,且S△PAB=S△OAB,
∴=×6,解得a=或a=,
∴点P的坐标为或.
(3)若M为直线l上一动点,N为平面内一点,直接写出所有使得以A,B,M,N为顶点、以AM为边的四边形为菱形的点N的坐标,并把求其中一个点N的坐标的过程写出来.
(3)设M(m,3m-3),N(s,t).由题知,A(4,0),B(0,3).
分情况讨论:
①当AB为对角线时,则有
解得
∴N;
②当AN为对角线时,则有
解得或∴N(-4,0)或.
综上所述,点N的坐标为或(-4,0)或.(共23张PPT)
专题十五　[提升]
一次函数与几何综合问题(一)
1.如图,直线y=7-3x与y轴交于点A,与x轴交于点B,直线y=2x+b与x轴交于点C,与y轴交于点D,如果两直线交于点E,且AD∶DO=5∶2.
(1)求点C的坐标;
解:(1)在y=7-3x中,令x=0,得y=7,令y=0,得x=,
∴A(0,7),B.
∵AD∶DO=5∶2,∴D(0,2).
将D(0,2)代入y=2x+b中,
可得直线CD的解析式为y=2x+2.
令y=0,得x=-1,
∴C(-1,0).
(2)求四边形ODEB的面积.
(2)联立解得
∴E(1,4).
∴S四边形ODEB=S△AOB-S△ADE
=OA·OB-AD·
=×7×-×5×1=.
2.如图1,直线l2:y=-x+24与y轴交于点A,直线l1:y=x与直线l2交于点B.
(1)求△ABO的面积;
解:(1)在y=-x+24中,令x=0,则y=24,
∴A(0,24).
联立解得
∴B(18,6).
∴S△ABO=OA·=×24×18=216.
(2)如图2,点C为线段OB上的一动点(点C不与点O,B重合),过点C作CD∥y轴交直线l2于点D,过点C向y轴作垂线,垂足为E.若四边形DECB的面积为120,求点C的坐标.
(2)∵点C为线段OB上一动点(点C不与点O,B重合),
∴设C,且0∵CD∥y轴,
∴D(a,-a+24).∴DC=(-a+24)-a=24-a.
∴S四边形DECB=S△DEC+S△DCB
=DC·=×18
=216-12a=120,解得a=8.
∴C.
3.在平面直角坐标系中,直线l1:y=x+4分别与x轴、y轴相交于A,B两点,直线l2:y=x+6分别与x轴、y轴相交于C,D两点,直线l1与直线l2交于点E.
(1)求点E的坐标;
解:(1)联立解得
∴点E的坐标为(-,3).
(2)在直线CD上是否存在一点P,使得△PAC的面积等于△BDE面积的2倍 若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(2)如答案图,过点P作PF⊥x轴,垂足为F,连接AP.
设点P的坐标为(a,b).
在y=x+4中,令x=0,得y=4;
令y=0,得x=-4,
∴A(-4,0),B(0,4).
在y=x+6中,令x=0,得y=6;
令y=0,得x=-2,
∴C(-2,0),D(0,6).由(1)可知,点E的坐标为(-,3),
∴OC=2,OA=4,OD=6,OB=4,则AC=2,DB=2,PF=,
∴S△EBD=DB·=×2×=,
S△PAC=AC·=×2×=.
∵△PAC的面积等于△BDE面积的2倍,
∴=2,∴=2,∴b=±2.
∵点P在直线l2:y=x+6上,∴当b=2时,a=-;当b=-2时,a=-,
∴点P的坐标为或.
4.如图,直线AB:y=x+1与直线CD:y=-2x+4交于点E.
(1)求点E的坐标;
解:(1)由题意,得
解得
∴E(1,2).
(2)在x轴上找一点F,使得FB+FE最小,求OF的长.
(2)如答案图,作点B关于x轴的对称点B1,连接B1E交x轴于点F,此时FB+FE的值最小.在y=x+1中,令x=0,得y=1,
∴B(0,1),∴B1(0,-1).
设直线B1E的解析式为y=kx+b(k≠0),则有
解得
∴直线B1E的解析式为y=3x-1.
当y=0时,x=,∴F,∴OF=.
5.如图,已知直线l1:y=-x+b与x轴交于点A,直线l2:y=x-与x轴交于点B,直线l1,l2交于点C,且点C的横坐标为1.
(1)求直线l1的解析式;
解:(1)把x=1代入y=x-,得y=-4,
∴点C的坐标为(1,-4).
把(1,-4)代入y=-x+b,得b=-3.
∴直线l1的解析式为y=-x-3.
(2)过点A作x轴的垂线,若点P为垂线上的一个动点,点Q为y轴上的一个动点,当CP+PQ+QA的值最小时,求点P的坐标.
(2)把y=0代入y=-x-3,得x=-3,
∴A(-3,0).
如答案图,作点A关于y轴的对称点A'(3,0),作点C关于直线x=-3的对称点C'(-7,-4),连接A'C',交直线x=-3于点P,交y轴于点Q,连接CP,AQ,此时CP+PQ+QA的值最小,即为C'A'的长.
设直线A'C'的解析式为y=kx+b'.
把A'(3,0),C'(-7,-4)代入y=kx+b',得
解得
∴直线A'C'的解析式为y=x-.
把x=-3代入解析式,得y=-.
∴点P的坐标为.
6.在平面直角坐标系中,直线AB与x轴交于点A,与y轴交于点B,且∠OAB=30°,OA=9.
(1)如图1,点C为线段AB上一点,若S△AOC=9,求点C的坐标;
解:(1)如答案图1,过点C作CM⊥OA于点M.
∵S△AOC=9=OA·CM,OA=9,∴CM=2.
∵∠OAB=30°,
∴AC=4.
在Rt△ACM中,由勾股定理,得AM=6,
∴OM=OA-AM=3,∴C(3,2).
(2)如图2,点D在线段OA上,OD=2DA,E,F是直线AB上的两个动点,且EF=4,G是x轴上任意一点,连接DE,GF,求DE+EF+FG的最小值.
(2)如答案图2,作点D关于直线AB的对称点V,将点V沿AB方向平移4个单位长度至点W,则四边形WFEV是平行四边形,
∴DE=EV=FW.
当WG⊥x轴,且点F在直线WG上时,GF+EF+DE的值最小,为WG+4.
如答案图2,过点V作VR⊥WG于点R,VT⊥OA于点T.
∵OD=2DA,OA=9,∴AD=3.
∵∠WRV=90°,WV=EF=4,∠WVR=30°,
∴WR=×4=2.
易知△ADV为等边三角形,
∴DV=AD=3,∠ADV=60°,∠DVT=30°,
∴DT=DV=,∴RG=VT==,
∴WG=WR+RG=,
∴DE+EF+FG的最小值为+4=.
7.如图1,在平面直角坐标系中,直线l2:y=-x+6与直线l1交于点E(e,4),l2与x轴、y轴分别交于C,D两点,l1与x轴、y轴分别交于A,B两点,且OB=OC.
(1)求直线l1的解析式;
解:(1)把E(e,4)代入l2:y=-x+6中,得-e+6=4,
解得e=2,∴E(2,4).在l2:y=-x+6中,当y=0时,x=6,
∴C(6,0),OC=6,∴OB=OC=3,∴B(0,3).
设直线l1的解析式为y=kx+b,
代入E,B两点坐标,得解得
∴直线l1的解析式为y=x+3.
(2)如图2,在射线EC上有一动点F,连接AF,BF,M为x轴上一动点,连接FM,BM.当S△ABF=S△AEC时,求的最大值.
(2)在y=x+3中,当y=0时,x=-6,∴A(-6,0),∴AC=12.
∵E(2,4),∴S△AEC=AC·yE=×12×4=24,
∴S△ABF=S△AEC=27.
如图2,过点F作FH∥y轴交直线l1于点H.
设F(m,-m+6)(m>2),则H,
∴FH=m+3-(-m+6)=m-3.
∵S△ABF=S△AHF-S△BHF=27,
∴·-m=27,
解得m=8,∴F(8,-2).
如图2,作点B关于x轴的对称点B',连接B'F,B'M,
则B'(0,-3).
由轴对称的性质可得B'M=BM,
∴=.
∵≤B'F,
∴当点M在直线B'F上时,有最大值,即有最大值,最大值即为B'F的长,
∴的最大值为=.
8.如图1,直线AB:y=x+6与直线CD:y=-x+1交于点C,直线CD与y轴交于点E.
(1)求△BDE的周长;
解:(1)把x=0代入y=x+6,得y=6,∴B(0,6),BO=6.
把x=0代入y=-x+1,得y=1,∴E(0,1),EO=1.
把y=0代入y=-x+1,得x=2,∴D(2,0),DO=2,
∴BE=BO-EO=5,DE==,
BD==2,
∴△BDE的周长=BE+DE+BD=5++2.
(2)如图2,点K为直线CD上一动点,点T为x轴上一动点,连接BK,TK.若点K在第四象限,且S△KBD=S△ACD,求KT+AT的最小值及此时点T的坐标.
(2)如答案图,将x轴所在的直线绕点A逆时针旋转30°,过点T作旋转后的直线的垂线TH,垂足为H,过点K作KG⊥x轴于点G,
∴∠HAT=30°,∠AHT=∠KGT=90°,
∴HT=AT,∴KT+AT=KT+HT,
∴当点K,T,H在同一直线上时,KT+HT的值最小,即KT+AT的值最小,此时∠GTK=∠ATH=60°,
∴∠GKT=90°-60°=30°,
∴KT=2GT,GK==GT,∴GT=.
联立解得∴C(-4,3).
把y=0代入y=x+6,得x+6=0,解得x=-8,
∴A(-8,0),AO=8,∴S△ACD=AD·=×10×3=15,
∴S△KBD=S△ACD=×15=10.
设K(a>2).
∴S△KBD=S△KBE-S△BED=BE·-BE·OD=BE·(xK-OD)=×5(a-2)=10,
解得a=6,
∴K(6,-2),GK=2,AG=14,∴GT==,
∴KT=2GT=,AT=AG-GT=14-,
∴HT=AT=7-,
∴此时KT+HT=+7-=7+,TO=GO-GT=6-,
∴KT+AT的最小值为7+,此时点T的坐标为.(共11张PPT)
专题十七　[易错]
《一次函数》中常见的易错题
1.下列函数:①y=πx;②y=2x-1;③y=;④y=2-1-3x;⑤y=x2-1中,是一次函数的有(　　)
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
2.已知y=(m-2)+3,当m=　　时,y是关于x的一次函数.
B
-2
3.一次函数y=kx+b不经过第三象限,则下列选项中正确的是(　　)
A.k<0,b>0 B.k<0,b<0
C.k<0,b≤0 D.k<0,b≥0
4.若一次函数y=(2m+1)x+m-3的图象不经过第二象限,则m的取值范围是(　　)
A.m>- B.m<3
C.-D
D
5.已知等腰三角形的周长是10,底边长y是关于腰长x的函数,则下列函数中,能正确反映y与x之间的函数关系的图象是(　　)
D
6.(2025·成都树德)一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是-3≤x≤6,相应函数值的取值范围是-5≤y≤-2,则这个函数的解析式为　 .
7.已知四条直线y=kx-3,y=-1,y=3和x=1所围成的四边形的面积是8,则k的值为 　.
提示:易知围成的四边形是梯形,求出y=-1,y=3之间的距离是4,再求出直线y=kx-3与y=-1和y=3的交点,然后分交点在直线x=1的左侧与右侧两种情况进行讨论得出答案.此题易忽略其中一种情况得出错误答案.
y=x-4或y=-x-3　
或-4
8.已知直线y=-x+2与x轴、y轴分别交于点A,B,另一直线y=kx+b(k≠0)经过点C(1,0),且把△AOB的面积分为1∶5的两部分,求k与b的值.
解:直线将已知三角形分为面积不等的两部分,旋转直线可以发现可能存在两种符合题意的情况:
①直线y=kx+b与AB边相交于点D1,如答案图1.设两直线的交点D1的坐标为(x0,y0).易得A(2,0),B(0,2),AC=1,则S△AOB=2.
∴=S△AOB,即×1×y0=×2,解得y0=.
把y0=代入y=-x+2,得x0=.∴D1(,).
把(1,0),代入y=kx+b,得
解得
②直线y=kx+b与OB相交于点D2,如答案图2.
设点D2的坐标为(0,y1).
∴=S△AOB,即×1×y1=,解得y1=.
∴D2.
把(1,0),代入y=kx+b,得
解得
综上所述,k=2,b=-2或k=-,b=.
9.若一次函数y=kx+2与两坐标轴围成的三角形的面积是4,则k的值
为　 .
10.如图,直线l1:y=2x+1与直线l2:y=mx+4相交于点P(1,b).
(1)求b,m的值;
解:(1)将(1,b)代入y=2x+1,得b=2+1=3,∴P(1,3).
将(1,3)代入y=mx+4,得
3=m+4,解得m=-1.
∴b=3,m=-1.
±　
(2)垂直于x轴的直线x=a与直线l1,l2分别相交于C,D两点.若线段CD的长为2,求a的值.
(2)将x=a代入y=2x+1,得y=2a+1,
∴C(a,2a+1).
将x=a代入y=-x+4,得y=4-a,∴D(a,4-a).
∵CD=2,
∴|2a+1-(4-a) |=2,解得a=或.
11.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由直线y=3x向下平移得到,与x轴交于点B,且过点A(1,2).
(1)求一次函数的解析式;
解:(1)∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由直线y=3x向下平移得到,∴k=3.
将(1,2)代入y=3x+b,得3+b=2,解得b=-1.
∴一次函数的解析式为y=3x-1.
(2)求直线y=kx+b与x轴的交点B的坐标;
(2)在y=3x-1中,当y=0时,x=,
∴点B的坐标为.
(3)设坐标原点为O,一条直线过点B,且与两条坐标轴围成的三角形的面积是,这条直线与y轴交于点C,求直线AC的解析式.
(3)设直线AC的解析式为y=mx+n(其中m≠0),
则点C的坐标为(0,n).根据题意,得
S△BOC=×=,∴=3,∴n=±3.
当n=3时,将(1,2)代入y=mx+3,得m+3=2,解得m=-1,∴y=-x+3;
当n=-3时,将(1,2)代入y=mx-3,得m-3=2,
解得m=5,∴y=5x-3.
综上所述,直线AC的解析式为y=-x+3或y=5x-3.(共12张PPT)
第1课时　一次函数的图象和性质
1.(2025·黑龙江)正比例函数y=-2x的图象经过的象限是(　　)
A.第一、三象限 B.第二、四象限
C.第三、四象限 D.第一、二象限
2.(2025·安徽)已知直线y=-3x+m(m为常数)过点A(-1,y1)和点(-3,y2),则y1和y2的大小关系是(　　)
A.y1>y2 B.y1C.y1=y2 D.不能确定
B
B
3.关于一次函数y=-2x-1,下列结论正确的是(　　)
A.图象必经过点(-1,-3)
B.图象经过第一、二、三象限
C.图象与直线y=-2x+5平行
D.y随x的增大而增大
4.(1)将直线y=3x向下平移2个单位长度,所得直线的解析式为　 ;
(2)若直线l向下平移4个单位长度后得到的直线的解析式为y=2x+3,则直线l的解析式为　 .
C
y=3x-2　
y=2x+7　
5.(1)已知点(x1,y1),(x2,y2)在函数y=-6x的图象上,如果x1”“<”或“=” )
(2)(2025·山东)已知直线y=kx+b(k,b为常数)经过点(3,5)与(-4,-9),则k　　0.(填“>”“<”或“=” )
>
>
6.已知一次函数y=(m+2)x+3-m.
(1)m为何值时,函数的图象经过坐标原点
解:(1)∵一次函数y=(m+2)x+3-m的图象经过坐标原点,
∴3-m=0,且m+2≠0,解得m=3.
(2)m为何值时,y随x的增大而减小
(2)∵y随x的增大而减小,
∴m+2<0,解得m<-2.
(3)若函数图象经过第一、二、三象限,求m的取值范围.
(3)∵一次函数y=(m+2)x+3-m的图象经过第一、二、三象限,
∴m+2>0,且3-m>0,解得-27.(2025·重庆一中)在同一平面直角坐标系中,函数y=kx(k≠0)与y=-k的图象大致是(　　)
B
8.在平面直角坐标系中,一次函数y=2x+m的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,且S△AOB=4.若该一次函数的图象不经过第四象限,则m的值为(　　)
A.-4 B.3 C.4 D.5
9.(1)如图,直线y=x+2与x轴、y轴分别交于点B和点A,点C是线段OA上的一点.若将△ABC沿BC折叠,点
A恰好落在x轴上的点A'处,则点C的坐标为 　;
(2)若直线l:y=kx+b与直线y=x-4经过y轴上同一点,且l与两坐标轴所围成的三角形的面积等于4,则k=　 　.
C
±2
10.已知一次函数y=(3-m)x+m-4的图象不经过第一象限,且m为整数.
(1)求m的值;
解:(1)由题可得,3-m<0,且m-4≤0,
解得3∵m为整数,∴m=4.
(2)在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象;
(2)当m=4时,一次函数的解析式为y=-x.
∴作图如图所示.
(3)当-3(3)-1≤y<3.
11.(2025·重庆巴蜀)如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点A,B均在x轴上,点D在y轴上,已知直线BD的函数解析式为y=-2x+4,则对角线AC的长度为(　　)
A.5 B.8 C.4 D.9
C
12.如图,在平面直角坐标系中,点P的坐标为(0,2),直线y=x-3与x轴、y轴分别交于点A,B,点M是直线AB上的一个动点,则PM长的最小值为　　.
4
13.如图,直线l的解析式为y=-x+4,它与坐标轴分别交于A,B两点.
(1)求出点A的坐标;
解:(1)令y=0,解得x=3,
∴A(3,0).
(2)动点C从y轴上的点(0,12)出发,以每秒1个单位长度的速度向y轴负半轴运动,当点C运动t s时,△ABC为等腰三角形,求出t的值.
(2)令x=0,则y=4,∴B(0,4),∴AB==5.
①当BA=BC时,
t=(12-4-5)÷1=3(s)或t=(12-4+5)÷1=13(s);
②当CB=CA时,易知点C在线段OB上.
设AC=BC=x,则OC=4-x.
在Rt△OAC中,OC2+OA2=AC2,
即(4-x)2+32=x2,解得x=,
∴t=(12-4+)÷1=(s);
③当AB=AC时,
∵AO⊥OB,∴OB=OC=4,
∴t=(12+4)÷1=16(s).
综上所述,t的值为3或13或或16.(共13张PPT)
专题十四　[提升]
动态几何与一次函数
1.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,BC=5,AC=3,动点P从点B出发,沿折线B→C→A运动,到达点A时停止运动.设点P运动的路程为x(0(1)直接写出y关于x的函数表达式,并注明自变量x的取值范围;
解:(1)y=
(2)在平面直角坐标系中画出y的函数图象,并写出它的一条性质;
(2)y的函数图象如图所示.
性质:当0(3)直接写出y≥4的取值范围:_____________________.
(3)≤x≤6.
2.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,已知AD=2,AB=3,BC=6,点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发,沿折线A→B→C运动,当点P到达点C时停止运动(点P不与点A,C重合).设点P的运动时间为t秒,△PCD的面积为y1.请回答下列问题:
(1)直接写出y1关于t的函数关系式,并注明自变量t的取值范围;
解:(1)y1=
(2)在平面直角坐标系中画出函数y1的图象,并写出该函数的一条性质;
(2)画出函数y1的图象如图.
性质:当0(3)平面直角坐标系中已给出y2=t的图象,结合函数图象,当y15.43.(2025·重庆外语校)如图1,在平行四边形ABCD中,∠C=60°,过点B作BE⊥CD于点E,AB=4,AD=4.点P从点A出发,以每秒个单位长度的速度沿折线A→B→E运动,到达点E时停止(点P不与点A,E重合).设点P的运动时间为x秒,△APE的面积为y.
(1)请直接写出y与x的函数关系式,并注明自变量x的取值范围;
解:(1)y=
(2)在如图2所示的平面直角坐标系中画出y的函数图象,并写出函数y的一条性质:__________________________
___________________________________________;
(2)图象如图2所示.
(3)若直线y1=-x+b与该函数图象恰有一个交点,则常数b的取值范围是　 .
当0当404.如图1,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=8,CB=6,动点D从点B出发,沿着B→A→C方向运动,速度为每秒个单位长度,同时点E从点B出发,沿着B→C→A方向运动,速度为每秒1个单位长度,当两者相遇时停止运动.设运动时间为t秒,点D与点A的距离为y1,点E与点C的距离为y2,y=y1+y2.
(1)请直接写出y关于t的函数关系式,并注明自变量的取值范围;
解:(1)y=
(2)在给出的平面直角坐标系中画出这个函数的图象,并写出该函数的一条性质;
(2)图象如图2所示.
性质:当0(3)结合图象直接写出当y=7时,t的值.
(3)由图象可知,当y=7时,t的值为3或9.
5.(2025·重庆育才)如图1,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点P,Q分别从点B,D同时出发,点P沿B→C→D以每秒1个单位长度的速度运动,点Q以某一速度匀速沿D→B运动,点P到达点D时点Q停止运动.设点P的运动时间为x秒(0(1)请直接写出y1与x之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
解:(1)y1=
(2)在平面直角坐标系中画出y1的图象,并写出函数y1的一条性质;
(2)函数y1的图象如图2所示.
函数y1的性质:当0(3)请结合你所画的函数图象,估计当y106.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,BC⊥AB,AB=12,DC=6,BC=8.动点P从点A出发,沿A→B方向以每秒1个单位长度的速度运动,同时,动点Q从点A出发,沿折线A→D→C方向以每秒2个单位长度的速度运动,当点Q到达点C时,P,Q两点都停止运动.设动点P运动的时间为x秒,y1=AP+DQ.
(1)请直接写出y1关于x的函数关系式,并注明自变量x的取值范围;
解:(1)y1=
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数y1的图象,并写出函数y1的一条性质;
(2)y1的图象如图所示.
性质:当0(3)若函数y2=x+b的图象与函数y1的图象有两个交点,请直接写出b的取值范围.
(3)如图,当0

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