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(共11张PPT)
第1课时　二次根式的乘法
1.(2025·重庆南开)计算×的结果是(　　)
A. B.2 C.3 D.4
2.(2025·广东)下列运算中正确的是(　　)
A.=2 B.×=3
C.×= D.()2=4
B
C
3.某矩形相邻的两边长分别为 cm、 cm,设其面积为S cm2,则S在哪两个连续整数之间(　　)
A.1和2 B.2和3 C.3和4 D.4和5
C
4.化简或计算:
(1)=　 ; (2)×=　 　;
(3)=　 ;
(4)·=　 　.
3　
3
6　
4a
5.比较大小:2　　4;-2　 　-3.
<
>
6.计算与化简:
(1)×;
解:原式=.
(2);
解:原式=×
=5×6=30.
=48×3
(3);
解:原式=
=×=5.
(4) ×;
解:原式==
==4.
(5)(x>0,y>0);
解:原式=
=·
=3xy.
(6)-3·;
解:原式=-3=-3.
(7) -4××4.
解:原式=4×3×4×
=48×
7.估计(-)的值应在(　　)
A.2和3之间 B.3和4之间
C.4和5之间 D.5和6之间
8.(2025·重庆巴蜀)估计2×-1的运算结果最接近下列哪个整数(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
9.若无理数x与的积是一个正整数,则x的最小值是 .
A
　
B
10.(1)已知x+y=2,xy=,求x2y+xy2的值;
解:∵x+y=2,xy=,
∴x2y+xy2=xy(x+y)=×2=6.
(2)已知=a,=b,试着用a,b表示.
解:∵×==
=×=10,=a,=b,
∴ab=10,
∴=ab.
11.将一组数,2,,2,,2,…,,…,按如图方式进行排列,则第八行左起第1个数是(　　)
A.7 B.8 C. D.4
C
12.(1)已知x=+1,y=-1,则代数式x2-3xy+y2的值为　　;
(2)已知ab<0,化简=　 　.
2
-a
13.小明在解方程-=2时采用了下面的方法:
由(-)(+)=()2-()2
=(24-x)-(8-x)=16,
又由-=2,可得+=8.
将这两式相加可得=5.将=5两边平方可解得x=-1.
经检验,x=-1是原方程的解.
请你学习小明的方法,解下面的方程:
(1)方程+=5的解是　 ;
解:(1)(+)(-)
=()2-()2=(x2+8)-(x2+3)=5.
∵+=5,∴-=1.
将这两式相加可得=3.
将=3两边平方可解得x=±1.
经检验,x=±1是原方程的解.
故答案为x=±1.
x=±1　
(2)解方程+=4x.
(2)(+)(-)
=()2-()2
=(4x2+6x-5)-(4x2-2x-5)=8x.
∵+=4x,
∴-=2.
将这两式相加可得=2x+1,
解得x=3.
经检验,x=3是原方程的解.(共13张PPT)
第2课时　二次根式的混合运算
1.下列计算正确的是(　　)
A.+= B.×=
C.2÷=1 D.=-5
2.计算(-)×的结果是(　　)
A. B.1 C. D.3
3.(2025·陕西)已知a=+2,b=-2,则a2-b2=(　　)
A.1 B.4 C.9 D.8
B
B
D
4.计算:
(1)÷×= ;
(2)-=　 　;
(3)(+1)2-=　　;
(4)(-1)2 027×(+1)2 026= 　.
5.如图,在一个大长方形的内部可无重叠无缝隙地放置两个面积分别为12,27的正方形,则大长方形的面积为　 　.
　
-2
3
-1
45
6.计算:
(1)-4+2×;
解:原式=3-4×+2×2×=3-2+6=+6.
(2)+÷-×;
解:原式=2+4-=4+.
(3)×;
解:原式=-4-=2-8-6=2-14.
(4)÷;
解:原式=(3×3+4-4)÷
=27÷
=27.
(5)-(2+)2;
解:原式=(2-+2+)(2--2-)
=4×(-2)
=-8.
(6)(-2)2(+2)2-+6;
解:原式=[(-2)(+2)]2-2+3
=(3-4)2-2+3
=1+.
(7)(2-3-)(2+3-);
解:原式=(2-)2-(3)2
=12-4+6-18
=-12.
(8)×-+(2-)2 026·-.
解:原式=-+[(2-)(2+)]2 026·(2+)-
=2-2+2+-=.
7.(2025·泸州)已知m=+1,n=-1,则m2+2mn+n2的值为(　　)
A.2 B.12 C.10 D.6
8.(2025·重庆巴蜀)已知m=×,则实数m的取值范围是(　　)
A.0和1之间 B.1和2之间
C.2和3之间 D.3和4之间
9.(1)已知x=+1,则x2-2x+4=　 　;
(2)已知a=2+,b=2-,则代数式a2b-ab2的值等于　 .
B
C
6
2　
10.(1)当a=-1时,求代数式(a+1)2-(a-)(a+1)的值;
解:(1)原式=(a+1)(a+1-a+)
=(a+1)(1+).
当a=-1时,
原式=(1+)=23+.
(2)(2025·重庆一中)已知a+b=,ab=8,求+的值.
(2)∵a+b=,ab=8,
∴a>0,b>0,
∴原式=+=+
=.
当a+b=,ab=8时,原式==.
11.设6-的整数部分为a,小数部分为b,则(2a+)b的值是(　　)
A.6 B.2 C.12 D.9
12.(1)已知-=2,则的值为　 　;
(2)用若干个形状、大小完全相同的长方形纸片围成正方形,4个长方形纸片围成如图①所示的正方形,其阴影部分的面积为12;8个长方形纸片围成如图②所示的正方形,其阴影部分的面积为8;12个长方形纸片围成如图③所示的正方形,其阴影部分的面积为　 .
A
4
44-16　
13.阅读下列材料:
已知x=+2,求代数式x2-4x-7的值.下面是小敏的解题方法:
解:由x=+2,得x-2=,
∴=5,∴x2-4x+4=5,即x2-4x=1.
把x2-4x整体代入,得x2-4x-7=1-7=-6.
这种方法是把已知条件适当变形,再整体代入解决问题.
请你用上述方法解决下列问题:
(1)若x=+3,求代数式x2-6x+10的值;
解:(1)∵x=+3,∴x-3=,
∴(x-3)2=10,∴x2-6x+9=10,
∴x2-6x=1,∴x2-6x+10=1+10=11.
(2)若x=-5,求代数式2x4+20x3+20x的值.
(2)∵x=-5,
∴x+5=,
∴(x+5)2=26,
∴x2+10x+25=26,
∴x2+10x=1,
∴原式=2x2(x2+10x)+20x=2x2+20x
=2(x2+10x)=2×1=2.(共15张PPT)
第2课时　二次根式的除法
1.(2025·新疆)计算÷的结果正确的是(　　)
A.4 B.3 C.2 D.
2.(2025·湖北)下列二次根式是最简二次根式的是(　　)
A. B. C. D.
C
D
3.下列各式计算正确的是(　　)
A.===
B.=2
C.=2
D.÷==
D
4.计算:
(1)÷= 　;
(2)6÷2=　 　;
(3)= 　;
(4)= 　;
(5)÷=　 　.
6
3
5.(1)在式子,,,中,最简二次根式是 　;
(2)一个长方形的面积为12 cm2,它的一边长为 cm,则另一边长为　
　cm;
(3)若二次根式是最简二次根式,则最小的正整数a为　 　.
8
2
6.计算:
(1); (2);
解:原式===.
解:原式= = =2.
(3);
解:原式===.
(4)÷;
解:原式=÷==3.
(5)3÷;
解:原式=3÷=2=.
(6)÷(-)×3;
解:原式=-3=-3.
(7)÷3×.
解:原式=×
=
=5.
7.估计(+2)÷的值应在(　　)
A.3和4之间 B.4和5之间 C.5和6之间 D.6和7之间
8.若a=,b=,则=(　　)
A.2 B.4 C. D.
9.对于任意不相等的两个实数a,b(a>b)定义一种新运算a※b=,如3※2=,那么12※4= 　.
B
A
10.(1)计算:·÷3(a>0,b>0);
解:原式=-
=-
=-·a2b2
=-a2b.
(2)已知x=,y=,求x2-3xy+y2的值.
解:x===2+,
y===2-,
∴原式=(x-y)2-xy
=(2+-2+)2-(2+)(2-)
=12-1=11.
11.在解决如下问题“已知=a,=b,用含a,b的代数式表示”时,甲、乙两名同学分别给出不同解法:
甲:====.
乙:==7.
∵====,∴=7=.
对于这两种解法,下列说法正确的是(　　)
A.甲 B.乙
C.甲、乙均对 D.甲、乙均不对
C
12.阅读下面的材料,并回答问题:
像·=a(a≥0),(+1)(-1)=b-1(b≥0)这样的两个含有二次根式的代数式相乘,积不含有二次根式,我们称这两个代数式互为有理化因式.例如:与,+1与-1都互为有理化因式.在进行含有二次根式的分式计算时,利用有理化因式,可以化去分母中的根号.
(1)2-3的有理化因式为　 　;
(2)已知x=,y=,则x2+y2的值为　 ;
(3)已知<++…+<,则正整数n的最大值与最小值的和为　 　.
2+3
14　
11
13.(2025·扬州)【阅读材料】先来看一个有趣的现象:===2,这个根号里的2经过适当地演变,竟然可以“跑”到根号的外面,我们不妨把这种现象称为“穿墙”,具有这种现象的数还有许多,例如:=3,=4.
(1)【猜想】=　 　;(不用化成最简二次根式)
解:(1)===5.故答案为5.
5
(2)【推理证明】请你用一个正整数n(n为“穿墙”数,且n≥2)表示含有上述规律的等式,并给出证明;
(2)=n(n≥2).证明如下:===n(n≥2).
(3)【创新应用】按此规律,若=a(a,b均为正整数),求a+b的值.
(3)由题意可知,a=8,b=a2-1,
∴b=82-1=63,
∴a+b=8+63=71.(共10张PPT)
第1课时　二次根式的加法与减法
1.(2025·湖北)计算+的结果是(　　)
A.4 B.3 C. D.6
2.(2025·天津)下列各式化简后,能与合并的是(　　)
A. B. C. D.
3.下列计算正确的是(　　)
A.2+=2 B.-= C.3-=3 D.=1
A
C
B
4.计算:
(1)2-5=　 ;(2)-3+= .
5.若与最简二次根式5可以合并,则a=　　.
-3　
　
2
6.计算:
(1)-6+;
解:原式=2-6×+3=2-2+3=3.
(2)(-)-;
解:原式=4--3-=3-4.
(3)-;
解:原式=4+- -+4= + .
(4)2a-(a>0,b>0).
解:原式=2ab-+ab=.
7.若最简二次根式与的被开方数相同,则a+b的值为(　　)
A.1 B.-1 C.2 D.3
8.已知m=-,则实数m的范围是(　　)
A.29.(1)已知a+b=-2,ab=1,则+=　 　;
(2)已知a+2+=10,则a=　 　.
B
B
2
2
10.嘉嘉和淇淇同学玩一个摸球计算游戏,在一个不透明的容器中放入四个小球,小球上分别标有一个数.现从容器中摸取小球,若摸到白色球,就加上球上的数;若摸到灰色球,就减去球上的数.
(1)若嘉嘉摸到如图1的两个小球,请计算结果;
解:(1)由题意可知,-=2-×3=.
(2)如图2,若嘉嘉摸出全部的球,计算结果为x,淇淇说x的值能与合并.你认为淇淇的说法正确吗 请说明理由.
(2)淇淇的说法正确.理由如下:
x=-2-+=2-2×-×3+=2--+=.
∵=4,∴x的值能与合并.
11.已知m=1+,n=1-,则代数式的值为(　　)
A.16 B.±4 C.4 D.5
12.(1)若二次根式与能合并,则x可取的最小正整数是　 　;
(2)若二次根式-3与的和是一个二次根式,则正整数n的最小值为　　.
C
11
6
13.基本事实:如果两个实数相等,那么它们的有理数部分和无理数部分必然分别相等.
(1)已知a,b均为有理数,且a+3=7+,则a=　　,b=　 　;
(2)已知a,b均为有理数,若=14-,求a+b的值;
解:(2)∵a,b均为有理数,(-)2=14-,
∴2-2+a=14-,
∴解得∴a+b=12+96=108.
7
18
(3)已知a,b均为有理数,且+++=a+b,求a+b的值.
(3)∵a,b均为有理数,+++(2-3)2=a+b,
∴a+b=2+3+ +4-12+18=22- ,
∴a=22,b=-,∴a+b=22+=.(共8张PPT)
专题三　[易错]
《二次根式》中常见的易错题
1.若代数式 有意义,则实数x的取值范围是(　　)
A.x≥-1 B.x≥-1 且x≠3
C.x>-1 D.x>-1且x≠3
2.在二次根式,,,,,,中,最简二次根式有(　　)
A.5个 B.4个
C.3个 D.2个
B
C
3.下列各式正确的是(　　)
A.=a B.=-a
C.= D.=()2
4.满足=3-a的正整数a的值有(　　)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
C
C
5.化简二次根式的结果是(　　)
A.-a B.a
C. D.a
6.把x根号外的因数移到根号内,结果是(　　)
A. B.
C.- D.-
C
C
7.如果最简二次根式与可以合并,那么使有意义的x的取值范围是(　　)
A.x≤10 B.x≥10
C.x<10 D.x>10
8.若最简二次根式与是同类二次根式,求a的值.
解:∵最简二次根式与是同类二次根式,
∴2a=a2+2a-9,解得a=3或-3.
∵2a≥0,∴a≥0,∴a=3.
A
9.若x,y都为实数,且++y=4,则xy的值为(　　)
A.0 B.
C.2 D.不能确定
10.化简-()2的结果是(　　)
A.6x-6 B.-6x+6
C.-4 D.4
C
D
11.(1)当a=时,求+的值;
解:(1)当a=时,-a=5-=>0.
∴+=+-a=-a.
当a=时,原式=10-=.
(2)当0(2)当00,x+1>0,
∴-+
=-(x-3)-(2x+1)+(x+1)
=-2x+3.(共11张PPT)
第1课时　二次根式
1.(2025·重庆八中)若有意义,则x的取值范围是(　　)
A.x>2 B.x<2
C.x≥2 D.x≤2
2.下列各式中,不是二次根式的是(　　)
A. B.
C. D.
D
B
3.【教材改编】当a=-3时,的值为(　　)
A.1 B.2 C. D.4
4.(1)(2025·成都石室)若在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是　 　;
(2)若代数式在实数范围内有意义,则x的取值范围是　 　;
(3)若式子+有意义,则x的取值范围是　 ;
(4)使代数式+有意义的x的取值范围是　 　.
C
x≥9
x>1
1≤x≤　
-35.(1)已知一个正方形的面积是3,则它的边长为 　;
(2)已知是整数,则实数m的最大值为　 　.
6.当x是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义
(1); (2);
解:x≥-.
解:x>2.
(3); (4)+.
解:x≤且x≠-1.
解:≤x≤1.
12
7.使式子有意义的字母m的取值有(　　)
A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个
8.(1)若有意义,则n的取值范围是　 　;若是整数,则整数n的值是　 ;
(2)已知a,b分别为等腰三角形的两条边长,且a,b满足b=4++,则该三角形的周长为　 ;
(3)(2025·重庆南开)已知b=2+-3,则ba的值为　　.
B
n>1
4或13　
10或11　
9
9.若x,y为实数,且y=,试求式子x-的值.
解:由题意,得
∴x=3,y=.
∴x-=×3-3=-2.
10.阅读下列材料:
我们在学习二次根式时,若式子有意义,则x≥0;若式子有意义,则x≤0.若式子+有意义,求x的取值范围,这个问题可以转化为不等式组来解决,即求关于x的不等式组的解集,解这个不等式组,得x=0.
(1)若式子+有意义,求x的取值范围;
解:(1)由题意,式子+有意义,
可得
∴x2=1,解得x=1或x=-1.
(2)已知y=+-3,求xy的值.
(2)由题意,得
∴x=4,∴y=-3,
∴xy=4-3=.
11.如图是按一定规律排成的三角形数阵,按图中数阵的排列规律,第9行从左至右第5个数是 (　　)
A. B.
C. D.
B
12.(2025·重庆江津区)若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解,且关于a的代数式+有意义,则符合条件的所有整数a的和为　　.
1
13.已知a满足+=a,求a-2 0252的值.
解:∵+=a,
∴a-2 026≥0,故a≥2 026.
则原式可变为a-2 025+=a,
∴=2 025,
∴a-2 026=2 0252,
∴a-2 0252=2 026.(共13张PPT)
专题二　[强化]二次根式的计算
1.(2025·重庆南开)已知m<-A.6 B.5 C.4 D.3
2.若a=×,则表示实数a的点会落在如图所示数轴的(　　)
A.段①上 B.段②上 C.段③上 D.段④上
D
B
3.估计×(+)的值应在(　　)
A.8和9之间 B.9和10之间
C.10和11之间 D.11和12之间
4.估计(+2)÷的值应在(　　)
A.2和3之间 B.3和4之间
C.4和5之间 D.5和6之间
5.(2025·重庆育才)估计×(+)的值在(　　)
A.3到4之间 B.4到5之间
C.5到6之间 D.6到7之间
C
B
B
6.计算:
(1)2+-3;
解:原式=10+2-9
=3.
(2)×--;
解:原式=2--=.
(3)+×;
解:原式=-2+1-
=-1.
(4)÷-×;
解:原式=÷-×
=2---2
=-1.
(5)(3+2)(3-2)-(-)2;
解:原式=(3)2-(2)2-(3-2+2)
=18-12-3+2-2=2+1.
(6)÷-;
解:原式=(-+)÷-
=(4-+2)÷-
=(4+)÷-=4+-=4.
(7)÷-2×+(2-)2 026(2+)2 027.
解:原式=-2+[(2-)(2+)]2 026·(2+)
=2-2+(2+)
=4-.
7.对于任意的正实数a和b,我们定义新运算:a*b=如:27*12=-=.求:(5*2)×(18*45)的值.
解:由题意,得
(5*2)×(18*45)=(-)×(+)
=(-)×(3+3)
=3×(-)×(+)
=3×(5-2)=9.
8.已知x=,y=.
(1)求x2+y2+xy的值;
解:(1)∵x==3-2,
y==3+2,
∴x+y=6,xy=1,
∴x2+y2+xy=(x+y)2-xy
=62-1
=35.
(2)若x的小数部分是m,y的小数部分是n,求(m+n)2 026-的值.
(2)∵1<2<2.25,∴1<<1.5,则2<2<3,
∴0<3-2<1,5<3+2<6.
∵x的小数部分为m,y的小数部分为n,
∴m=3-2,n=3+2-5=2-2,
∴m+n=3-2+2-2=1,
m-n=3-2-2+2=5-4,
∴(m+n)2 026-=1-(5-4)=4-4.
9.在学习二次根式时,发现一些含有根号的式子可以化成另一式子的平方.例如:5+2=(2+3)+2=++2×=;7-2=(2+5)-2=+-2×=.
请你根据上述的分析方法,解决下列问题:
(1)10+2=　　　　;
解:(1)10+2=(3+7)+2
=++2×
=.
故答案为(+)2.
(2)若a+2=,且a,m,n均为正整数,则a=　　　　;
(2)∵a+2=,
∴a+2=m+2+n,
∴m+n=a,mn=17.
∵a,m,n均为正整数,
∴或
∴a=m+n=18.
故答案为18.
(3)计算:.
(3)=
=2=2
=2
=2=2
=2-2.(共13张PPT)
第2课时　二次根式的性质
1.()2=(　　)
A.-2.25 B.-1.5 C.1.5 D.2.25
2.下列运算中,正确的是(　　)
A.=±3 B.=2
C.()2=-2 D.=8
3.若=2-x,则x的取值范围是(　　)
A.x=2 B.x≤-2 C.x≥2 D.x≤2
C
D
D
4.化简:
(1)=　　;
(2)(-3)2=　 　;
(3)=　 　;
(4)(π-3.14)0+= 　.
5.(1)若m,n为实数,且+=0,则的值为　　;
(2)已知实数x,y满足+=0,则=　　;
(3)已知a,b满足等式a2+6a+9+=0,则a2 026b2 025=　　.
3
18
π-3
1
2
3
6.计算:
(1)(2)2;
(2);
(3)-;
(4)-+(-2)2.
解:原式=12.
解:原式=49×
=14.
解:原式=-.
解:原式=-3+20
=19.
7.(2025·重庆一中)实数a,b在数轴上的位置如图所示,则+()2-化简的结果是(　　)
A.-2b B.-2a C.2b-2a D.0
D
8.(2025·河北)如果是一个正整数,那么整数a的最小值是(　　)
A.10 B.2 C.-4 D.-2
9.(1)已知式子+1,当x= 　时,式子有最小值　　;
(2)若3(3)若x,y均为实数,且y>++2,则化简x-=　 　.
D
1
2m-7
4-y
10.阅读下面的解题过程,体会如何发现隐含条件,并回答后面的问题:
化简:-.
解:由题意,得1-3x≥0,解得x≤,
∴1-x>0,
∴原式=-
=1-3x-1+x
=-2x.
【启发应用】
(1)按照上面的解法,试化简:-()2;
解:(1)由题意,得2-x≥0,解得x≤2,
∴x-3<0,∴原式=3-x-(2-x)=1.
【类比迁移】
(2)实数a,b在数轴上的位置如图所示,试化简:--;
(2)由数轴可知,a<0,
∴a+b<0,b-a>0,
∴原式=-a-(-a-b)-(b-a)
=-a+a+b-b+a=a.
(3)已知a,b,c为△ABC的三边长,试化简:+.
(3)由三角形的三边关系可知,a+b>c,b+c>a,
∴a+b-c>0,a-b-c<0,
∴原式=a+b-c+(b+c-a)
=a+b-c+b+c-a=2b.
11.(2025·山东)若2,5,n为三角形的三边长,则化简+的结果为(　　)
A.5 B.2n-11 C.11-2n D.-5
12.(1)【教材改编】已知n是正整数,是整数,则n的最小值为　　;
(2)已知式子-+2,当x= 时,式子的值最大为　　;
(3)若m满足代数式+
=+,则m的值为　 .
解析:由题意,得∴x+y=2 026,∴2x+3y=0,
4x+5y-m=0,∴m=4x+5y=2(x+y)+(2x+3y)=2×2 026+0=4 052.故答案为4 052.
A
2
　
-1
4 052　
13.同学们,我们以前学过完全平方公式,a2±2ab+b2=(a±b)2,你一定熟练掌握了吧.现在我们又学方根,那么所有的正数和0都可以看作是一个数的平方,比如:2=()2,3=()2,7=()2,0=02,那么我们就能利用这种思想方法计算下面的题:
例:求3-2的算术平方根.
解:∵3-2=2-2+1=()2-2+12=(-1)2,
∴3-2的算术平方根是-1.
同学们,你们看明白了吗 大胆试一试,相信你能做正确!
(1);
解:(1)原式===+1.
(2);
(2)原式=
=
===4+.
(3)已知△ABC的三边a,b,c满足关系式a+b+c-2-4-6+4
=0.试求△ABC的周长.
(3)∵a+b+c-2-4-6+4=0,
∴++
=0,
∴(-1)2+(-2)2+(-3)2=0.
∵(-1)2≥0,(-2)2≥0,(-3)2≥0,
∴a-5=1,b-4=4,c-1=9,
∴a=6,b=8,c=10.
即△ABC的周长是6+8+10=24.(共8张PPT)
专题一　[方法]
二次根式的大小比较的常见方法
1.比较下列各组数的大小.
(1)　 ;
(2)-　 　-;
(3)--1　 　--1;
(4)+2　 -2.
<
>
>
<
2.比较大小.
(1)2　 ;
(2)-3　 　-2;
(3)+　 +.
<
<
<
3.将,,三个数按从小到大的顺序用“<”号连接起来: 　.
<<
4.(1)比较与的大小;
解:∵==,
==,
+<+,
∴<,即<.
(2)比较与的大小.
解:∵==-1,
==,
-1<,
∴<.
5.(1)比较-与-的大小;
解:∵-==,
-==,
+>+,
∴<,
即-<-.
(2)比较-4与4-的大小.
解:∵-4==,
4-==,
+4>+4,
∴<,
即-4<4-.
6.(1)比较与1的大小;
解:-1=.
∵2<<3,
∴<0,∴<1.
(2)比较与的大小.
解:-=.
∵4<<5,
∴<0,∴<.
1.比较下列各组数的大小.
(1)W13V17;
(2)-V39
/40
3)-V3-1
-vV5-1
(4)vV6+2V57-2.
2.比较大小.
(1)2V3V13;
2)-3V5-2V6:
(3)w2+V7V3+V6.
V15+√13
V15+V13
√15-√13
(√15-V13)(V15+V13)
2
√17+V15
V17+V15
17-V15(√17-√15)（√17+W15)
2
/15+√13<√17+V15
V15+√13√17+√15
2
2
V15-√13√17-√15
解：
1+V2
(1+V2)(3-2W2
3+2V2(3+2V23-2W2
2+V2(2+V2)(V2-1)
V2+1(V2+1)2-1)
V2-1<2,
1+V22+V2
3+2V2V2+1
解：VB√厅-W⑧-V⑦W+V万
V8+V7
√万-√6=W7-67+v6
√+V6
V8+V万>V7V6,
VB+V万V万+√6
即v8-v7<√7-v√6
解：V17-4=-4W7+4
V17+4
17
4-V15=4-V15(4+V15)
4+V15
V17+4>W15+4,
71
V17+44+V15
即V17-4<4-V15
,
V5-3
2
2
2√5-3
√5-1
2
2
解
V23-23V23-5
4
4<235
23-5
V23-23
4(共29张PPT)
《二次根式》
章末考点复习与小结
二次根式
不含分母
因数或因式
a
|a|
二次根式
1.(2025·广西)式子在实数范围内有意义,则x的取值范围是(　　)
A.x≤2 B.x<2 C.x>2 D.x≥2
2.若式子3+x(x-1)0有意义,则x的取值范围是　 　.
C
x≤2且x≠1
3.(2025·天津)下列各式中,正确的是(　　)
A.=-3 B.-=-3
C.=±3 D.=2
4.已知实数a,b在数轴上的位置如图所示,化简--的结果是(　　)
A.1-a B.-a-1 C.a-1 D.a+1
B
B
5.(1)已知y=+-2,则xy=　 　;
(2)若+=0,则x-y的值为　 　;
(3)已知+=x,则x的值为　 　.
6.(1)若=4-3x,则x的取值范围是　 　;
(2)已知实数a满足-=-a,则a+2 0262=　 .
9
4
13
x≤
2 025　
7.已知实数x,y,z满足+=+,试问长度分别为x,y,z的三条线段能否组成一个三角形 如果能,请求出该三角形的周长;如果不能,请说明理由.
解:能组成一个三角形.
由题意,得∴x+y=8.①
∴+=0.
∴
②+③,得4x-3y=-3.④
联立①④,解得
将x,y的值代入②,得z=4.
∵3+4>5,5-3<4,
∴长度为3,4,5的线段能组成一个三角形,其周长为3+4+5=12.
8.下列式子是二次根式的是(　　)
A. B.
C. D.
9.(2025·成都石室)下列各式中,属于最简二次根式的是(　　)
A. B.
C. D.
10.在二次根式:,,,中,化简后能与合并的是 　.
C
B
,
11.两个含有二次根式的代数式相乘,积不含有二次根式,我们称这两个代数式互为有理化因式.例如,与,+1与-1,a+与a-等都是互为有理化因式.在进行二次根式计算时,利用有理化因式,可以化去分母中的根号.
例如:==--.
(1)化简:=　　　　,=　　　　;
解:(1)==.===2-.
故答案为,2-.
(2)比较-与-的大小,并说明理由;
(2)∵-=,
-=,
且+>+,
∴<,
即-<-.
(3)计算:+++…+;
(3)原式=+++…
+
=(-1)+(-)+(-)+…+(-)
=(-1+-+-+…+-)
=.
(4)解方程:+=5.
(4)设-=m,与原方程相乘,得
(+)×(-)=5m.
整理,得(x-2)-(x-7)=5m,解得m=1,
∴-=1,与原方程相加,得
(+)+(-)=6,
∴2=6,即x-2=9,解得x=11.
经检验,x=11是原方程的解,
∴方程的解是x=11.
12.估算的值在(　　)
A.1和2之间 B.2和3之间
C.3和4之间 D.4和5之间
13.估计(+)×的值应在哪两个数之间(　　)
A.7和8 B.8和9
C.9和10 D.10和11
14.比较大小:　 　2(填“>”“<”或“=”).
C
C
>
15.(2025·重庆巴蜀)下列运算正确的是(　　)
A.+= B.2-=2
C.2×=3 D.=
D
16.已知a0=,将a0的整数部分加上a0的小数部分的倒数得到a1,再将a1的整数部分加上a1的小数部分的倒数得到a2,以此类推可得到a3,a4,…,an.如的整数部分为1,小数部分为-1,所以a1=1+=1+.根据以上信息,下列说法正确的有(　　)
①a3=;②a2 026的小数部分为;
③a20-a19=;④++…+=;
⑤a1+a2+a3+…+a40=1 230+30.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
B
17.计算:
(1)=　　;
(2)-=　 ;
(3)-×=　 　.
18.已知m为正整数,若是整数,则根据==3可知m有最小值3×7=21.设n为正整数,若是大于1的整数,则n的最小值为　 　,最大值为　 　.
1
6-4　
0
3
75
19.计算:
(1)÷2-×;
解:原式=2÷2-
=-
=0.
(2)(2-2)(+);
解:原式=(2-2)(2+2)
=20-12=8.
(3)÷2+;
解:原式=÷2+
=÷2+=+=.
(4)(+)×(-)-(+3)2;
解:原式=(+)×(2-2)-(3+6+18)
=2×(-)(+)-(21+6)
=2×2-21-6=-17-6.
(5)÷2-3×+(2+)2.
解:原式=4÷2-×4+(12+4+2)
=2-2+14+4
=16+2.
20.老师布置了如下一个题目:
已知a+b=-3,ab=2,计算+的值.
小刚与小美的解法分别如下:
小刚的解法:
+=+== .
∵a+b=-3,ab=2,∴+==-.
小美的解法:
=+2+=.
∵a+b=-3,ab=2,∴=.∵+>0,∴+=.
两人解出的答案不一样,你觉得谁的有错误,应如何改正,请你帮忙完善解法.
解:小刚的答案有错误.正解如下:
∵a+b=-3,ab=2,∴a<0,b<0.
∴+=+=+=- =.
21.(1)若x=2-,则= 　;
(2)已知xy=12,x+y=-8,则y+x的值为　 .
22.(1)(2025·山西)已知x=+1,y=-1.求+的值;
-1
-4　
解:∵x=+1,y=-1,
∴x+y=2,xy=3-1=2,
∴+=====4.
(2)(2025·湖北)已知x=2+,求代数式(7-4)x2+(2-)x+的值.
解:∵x=2+,
∴(7-4)x2+(2-)x+
=(7-4)(2+)2+(2-)(2+)+
=(7-4)(7+4)+(4-3)+
=49-48+1+
=2+.
23.若x,y是实数,且y=++3,求-(+)的值.
解:由题意,可知4x-1≥0,1-4x≥0,
∴4x-1=0,解得x=.
∴y=3.
原式=(2x+2)-(x+5)
=x-3.
当x=,y=3时,
原式=-3=-.
24.阅读材料:我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念,同学们可以发现以下结论:
当a>0时,
∵a+=()2-2·++2·=+2,
∴当=,即a=1时,a+的最小值为2.
请利用以上结论解决下面的问题:
(1)当a>0时,a+的最小值为　　　　;当a<0时,a+的最大值为　　　　;
解:(1)当a>0时,
∵a+=()2-2·++2·=+4,
∴当=,即a=2时,a+的最小值为4;
当a<0时,a+=-.
∵-a-=()2-2·++2·=+4,
∴-=--4,
∴当=,即a=-2时,a+的最大值为-4.
(2)当a>0时,求的最小值;
(2)=a+3+.
当a>0时,由(1)可知,a+的最小值为4,
∴的最小值是4+3=7.
(3)如图,已知四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O.若△AOD的面积为1,△BOC的面积为4,求四边形ABCD面积的最小值.
(3)设△AOB的面积为a.
∵S△AOD∶S△AOB=OD∶OB=S△COD∶S△COB,
即1∶a=S△COD∶4,
∴S△COD=,∴四边形ABCD的面积=1+4+a+.
由(1)可知,当a>0时,a+的最小值为4,
∴1+4+a+的最小值是5+4=9,
∴四边形ABCD面积的最小值为9.

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