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福建龙岩市上杭县第一中学2025-2026学年度第二学期第一次月考高二数学试题
一、单选题
1．已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（ ）
A． B． C．1 D．2
2．如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，，记，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数的导函数为，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，若不能构成空间的一个基底，则实数m的值为（ ）．
A． B．0 C．5 D．
5．函数在内不单调，则（ ）
A． B．
C．或 D．或
6．若函数图象如图所示，则图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．定义在上的函数的导函数为.若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为（ ）

A． B． C． D．
二、多选题
9．下列求导运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．给出下列命题，其中错误的是（ ）
A．若空间向量，且，则实数
B．若，则存在唯一的实数，使得
C．若空间向量，则向量在向量上的投影向量是
D．点关于平面对称的点的坐标是
11．关于函数，下列判断正确的是（　　）
A．是的极小值点
B．函数有且只有1个零点
C．存在正实数，使得恒成立
D．对任意两个正实数，，且，若则
三、填空题
12．在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为__________.
13．已知，对任意，关于的方程有实数解，则的最小值为______.
14．已知函数有三个零点，则实数a的取值范围是_______________.
四、解答题
15．如图，是圆柱的一条母线，是底面的一条直径，是圆上一点，且，.
(1)求直线与平面所成角正弦值；
(2)求点到平面的距离.
16．设函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求、的值；
（2）当，时，求函数单调减区间和最值.
17．已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数在内存在两个极值点，求实数a的取值范围．
18．如图，在三棱锥中，，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．
19．已知函数，其中.
（1）当时，函数的单调性；
（2）若函数的导函数在区间上存在零点，证明：当时.
参考答案
1．A
2．B
3．D
4．C
5．A
6．C
7．B
8．D
9．BC
10．BCD
11．ABD
12．
13．
14．
15．（1）平面，平面，，；
是圆的直径，，又，平面，
平面，即为直线与平面所成角，
，，，又，
，即直线与平面所成角的正弦值为.
（2）
过作，垂足为，
由（1）得：平面，平面，平面平面，
又平面平面，平面，，平面，
，，
根据等面积法知：，，
即到平面的距离等于.
16．（1）因为，则，
由题意得，即；
（2）当时，，则，
列表如下：
增 极大值 减 极小值 增
所以，当时，函数的减区间为，
函数的极大值为，极小值为.
又因为，，
因此，函数，.
17．（1）当时，，定义域为

令，得或，
所以的单调递增区间为：和，单调递减区间为：
（2）
①当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，
故只有一个极小值点，与条件矛盾，故舍去．
②当时，在和上单调递增，在上单调递减，
故有两个极值点a和，与条件相符．
③当时，在和上单调递增，在上单调递减，
故有两个极值点a和，与条件相符．
④当时，，
故在上单调递增，无极值点，舍去．
⑤当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，
故只有一个极大值点，与条件矛盾，故舍去．
综上可得：或
18．（1）因为，为的中点，所以，且．
连结．
因为，所以为等腰直角三角形，
且 ，由知．
由知，平面．
（2）［方法一］：【通性通法】向量法
如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系 ．
由已知得
取平面的法向量．
设，则．
设平面的法向量为．
由得 ，
可取
所以 ．由已知得 ．
所以 ．解得(舍去)， ．
所以 ．
又 ，所以 ．
所以与平面所成角的正弦值为．
［方法二］：三垂线＋等积法
由（1）知平面，可得平面平面．如图5，在平面内作，垂足为N，则平面．在平面内作，垂足为F，联结，则，故为二面角的平面角，即．
设，则，在中，．在中，由，得，则．设点C到平面的距离为h，由，得，解得，则与平面所成角的正弦值为．
［方法三］：三垂线＋线面角定义法
由（1）知平面，可得平面平面．如图6，在平面内作，垂足为N，则平面．在平面内作，垂足为F，联结，则，故为二面角的平面角，即．同解法1可得．
在中，过N作，在中，过N作，垂足为G，联结．在中，．因为，所以．
由平面，可得平面平面，交线为．在平面内，由，可得平面，则为直线与平面所成的角．
设，则，又，所以直线与平面所成角的正弦值为．
［方法四］：【最优解】定义法
如图7，取的中点H，联结，则．过C作平面的垂线，垂足记为T（垂足T在平面内）．联结，则即为二面角的平面角，即，得．
联结，则为直线与平面所成的角．在中，，所以．
19．（1）当时，，，
因为，所以由得或；由得，
所以，的增区间是和；减区间是.
（2），
设在区间上存在零点为，则，
在上单调递减，在上单调递增，
故，
设，，则，
设，，则，所以单调递减，
又，故在上恒成立，故单调递减.
所以，故当时，.

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