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四川省泸州市泸县第五中学2026年中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1．（2026·泸县模拟）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2026·泸县模拟）下列大学校徽主体图案是中心对称图形的是（　　）
A．西南财经大学 B．北京大学
C．中国人民大学 D．中南大学
3．（2026·泸县模拟）下列事件中属于必然事件的是（　　）
A．在比赛中，弱队战胜强队
B．任意画一个平行四边形，它是中心对称图形
C．掷出两枚硬币，都是正面向上
D．用、、长线段为边构成一个三角形
4．（2026·泸县模拟）如图，将绕点A逆时针方向旋转得到，若点恰好落在边上，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
5．（2026·泸县模拟）如图，与位似，其位似中心为点O，且，则与的面积比是（　　）
A． B． C． D．
6．（2026·泸县模拟）对于抛物线，下列说法正确的是（　　）
A．可由抛物线向左平移个单位长度得到
B．顶点坐标是
C．与轴无交点
D．当时，随的增大而增大
7．（2026·泸县模拟）某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果每个月比上一个月的增长率都相同，均为x，则由题意列方程应为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2026·泸县模拟）将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，这种方法称为“降次法”，这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（　　）
A． B． C． D．
9．（2026·泸县模拟）一个圆弧形对开门的平面示意图及相关尺寸如图所示，则该圆弧门所在圆的半径为（　　）
A． B． C． D．
10．（2026·泸县模拟）如图，在正十边形中，的度数是（　　）
A． B． C． D．
11．（2026·泸县模拟）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，与轴的交点在和之间（包括这两点）．下列结论：①当时，；②；③；④．其中正确的结论有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（2026·泸县模拟）如图，在中，，G是的重心，点D在边上，，如果，则值是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）．
13．（2026·泸县模拟）在平面直角坐标系中，点与点关于原点中心对称，则点的坐标是　 　．
14．（2026·泸县模拟）把一个圆分割成个扇形，各个扇形面积的比为，则最大的圆心角的度数是　 　．
15．（2026·泸县模拟）如图，在中，，若，则与的面积之比为　 　．
16．（2026·泸县模拟）如图，吊灯外罩呈圆锥形，它的底面周长为，侧面积为，则该吊灯外罩的高是　 　．
17．（2026·泸县模拟）如图，在平面直角坐标系中，为线段上任一点，作交线段于，当的长最大时，点的坐标为　 　．
三、本大题共2个小题，每小题8分，共16分．
18．（2026·泸县模拟）解方程：．
19．（2026·泸县模拟）已知抛物线．
（1）利用配方法把抛物线转化为顶点式，并写出抛物线的顶点A的坐标；
（2）求抛物线与x轴的交点B、C的坐标，并写出时x的取值范围．
四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分．
20．（2026·泸县模拟）为了贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生全面发展，我校积极倡导人文运动观念，提高同学们的身体素质，现对七、八年级部分学生每周的锻炼时间（单位：）进行统计，按照每周锻炼时间分成四组：；；；，并绘制了如图两幅不完整的统计图，请你根据图中所提供的信息，完成下列问题：
（1）该校此次调查共抽取了 名学生，扇形统计图中“”组对应的扇形圆心角的度数为 ，并补全条形统计图；
（2）若该校八年级共名学生，请估计八年级每周锻炼时间达到小时及以上的学生人数；
（3）若“”组中七年级和八年级各有2名同学报名市区的运动比赛，学校打算从这4名同学中挑选名参赛，请用列表法或树状图法求恰好选中七年级和八年级各名同学的概率．
21．（2026·泸县模拟）某商场销售一批鞋子，平均每天可售出双，每双盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价元，商场平均每天可多售出双．
（1）若每双鞋子降价元，商场平均每天可售出多少双鞋子？
（2）若商场每天要盈利元，且让顾客尽可能多得实惠，每双鞋子应降价多少元？
（3）每双鞋子降价多少元时？每天可以获得最大利润．最大利润为多少元？
22．（2026·泸县模拟）如图，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度，顶点，，均在格点上．
（1）若和关于原点成中心对称图形，请直接写出顶点，，的坐标．
（2）将以点为中心，顺时针旋转，请作出旋转后的图形，并求线段在旋转过程中扫过的图形的面积．
五、本大题共3小题，每小题12分，共36分．
23．（2026·泸县模拟）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为，，且，求的值．
24．（2026·泸县模拟）如图，，，均为的直径，点是弧的中点，点在上，且四边形是平行四边形，．
（1）求证：；
（2）若点在的延长线上，且，证明：是的切线；
（3）求的半径．
25．（2026·泸县模拟）如图1，若二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标；
（3）如图3，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形，求点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、的次数不是2，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
B、有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意 ；
C、∵，∴的次数不是2，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
D、是一元二次方程，故该选项符合题意 ；
故选：D.
【分析】根据一元二次方程的定义“只含一个未知数，未知数最高次数为2的整式方程”逐项分析解答即可．
2．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：D．
【分析】
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
3．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质；事件的分类；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：A、在比赛中，弱队战胜强队是随机事件，故A不符合题意；
B、任意画一个平行四边形，它是中心对称图形是必然事件，故B符合题意；
C、掷出两枚硬币，都是正面向上是随机事件，故C不符合题意；
D、长为、、长线段为边构成一个三角形是不可能事件，不是必然事件，故D不符合题意．
故选：B．
【分析】
然事件是指在一定条件下一定会发生的事件．
4．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：将绕点A逆时针方向旋转得到，点恰好落在边上，
，，
，
故选：D．
【分析】
由旋转的性质可得，，再由等边对等角可得，再利用三角形的内角和定理即可．
5．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴
与是位似图形，
与的位似比是．
与的相似比为，
与的面积比为，
故选：B．
【分析】根据位似的定义得到与的相似比，然后根据相似三角形的性质解答即可．
6．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数图象的平移变换；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵抛物线为，
∴顶点坐标为，，开口向上．
对于A：向左平移个单位得，与给定抛物线不符，∴A错误．
对于B：顶点为，不是，∴B错误．
对于C：令，得，，方程有两个实数根，∴与x轴有交点，C错误．
对于D：∵开口向上，对称轴，∴当时，随的增大而增大，∴D正确．
故选：D．
【分析】
A、由二次函数图象的平移规律知，左加右减，上加下减，即该抛物线是由向右平移1个单位长度得到的；
B、抛物线的顶点坐标为；
C、由于顶点坐标在第4象限且开口向上，则该抛物线必然与x轴有两个交点；
D、由于抛物线开口向上，对称轴为直线，则当时随的增大而增大．
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：一月份营业额为万元，每月增长率为，
二月份营业额为万元，
三月份营业额为万元，
第一季度总营业额为，
方程为．
故选：D．
【分析】
由于平均增长率相同都是x，则可分别表示出2月份和3月份的营业额，再把前3个月的营业额相加可列方程为．
8．【答案】B
【知识点】公式法解一元二次方程；换元法解一元二次方程；求代数式的值-直接代入求值；转化思想
【解析】【解答】∵，
∴
∴
∴
又 ∵，
∴
∴
故选 B.
【分析】
先利用公式法求得原方程的解为，再利用“降次”的方法可得，则利用同底数幂的乘法的逆运算可化为，再等量代换可得，同理可化，再整体代入并利用整式的加减运算化简得原式等于，再代值计算即可．
9．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：如图，是圆心，设半径为，即，
依题意得：，，，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得：
答：圆弧门所在圆的半径为．
故选D．
【分析】
如图所示，设圆弧门的两端点分别为A、B，圆心O到AB的距离为OH，则由题意知OH与半径的和为2.5，再由垂径定理知AH=0.5，再在直角三角形OAH中应用勾股定理即可．
10．【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，设正十边形的中心为点O，连接，
则，
由圆周角定理得，，
故答案为：B．
【分析】设正十边形的中心为点O，连接OC，由正n边形的中心角为可求出∠BOC的度数，进而根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可求出∠A的度数.
11．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：①由抛物线的对称性可求得抛物线与轴另一个交点的坐标为，
当时，，故①正确；
②抛物线开口向下，故，
对称轴为，
，
，故②错误；
③设抛物线的解析式为，则，
令得：．
抛物线与轴的交点在和之间，
．
解得，故③正确；
④二次函数的图象与轴交于点，
，
对称轴为，
，
，故④正确；
综上所述，正确的结论有3个
故选：C．
【分析】
①由抛物线的对称性结合对称轴可得抛物线与x轴的另外一个交点坐标为，由于抛物线开口向下，则在对称轴的右侧y随x的增大而减小，故结论正确；
②由抛物线的开口向下知，由对称轴解析式知，则，故结论错误；
③由抛物线上点的坐标特征知当时，即有，则，再结合已知可得，解得，故结论正确；
④由③知结论正确．
12．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定；三角形的重心及应用；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图所示，连接并延长交于点F，延长交于点E，连接，
∵G是的重心，
∴都是的中线，
∴为的中位线，
∴，
∴，，
∴，
设，则，
∵，
∴可设，则，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴或（舍去），
∴，
故选：D．
【分析】连接并延长交于点F，延长交于点E，连接，根据重心的定义可得是的中线，根据由三角形中位线定理可得，即可得到，进而根据对应边成成比例设，，即可得到，然后根据两角对应相等得到，根据对应边成比例解答即可．
13．【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点与点关于原点中心对称，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【分析】
关于原点对称点的横纵坐标均互为相反数．
14．【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵各个扇形面积的比为，
设四个扇形的圆心角度数比为，
则最大圆心角为．
故答案为：．
【分析】
由扇形面积计算公式知，四个扇形的面积比等于圆心角的度数比，即最大的扇形的圆心角的度数等于一个周角的十分之四．
15．【答案】
【知识点】A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据平行得到得到，然后得到，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
16．【答案】16
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：
∵圆锥的底面周长为，
∴圆锥的底面半径为，
∵侧面积为，
∴圆锥的母线长为，
∴该吊灯外罩的高是．
故答案为：16．
【分析】
先由圆锥的底面周长可得底面半径，又因为圆锥的侧面积即展开的扇形面积公式，则可利用扇形面积公式求出母线长，因为圆锥的高、底面半径和母线围成一个直角三角形，再应用勾股定理即可．
17．【答案】（3，）
【知识点】垂线段最短及其应用；切线的判定与性质；相似三角形的性质-对应边；垂径定理的推论；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图所示，取BE的中点F，连接FD，再以点F为圆心，BF长为半径作半圆.
设AE=x，则DF=BF=EF=，
∵A(4，0)，B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=5，
∵DE⊥BD，
∴∠BDE=90°，
∵∠ADF=∠AOB=90°，
∴DF∥OB
∴△ADF∽△AOB
∴
∴，
解得x=，
过点E作EG⊥x轴，
∴EG∥OB，
∴△AEG∽△ABO，
∴，
∴，
∴EG=，AG=1，
∴OG=OA-AG=4-1=3，
∴E（3，），
故答案为：（3，）.
【分析】
先由A、B两点的坐标可得OA＝4、OB＝3，再利用勾股定理可得AB＝5，此时可以BE为直径作半圆，则由圆周角定理的推论知点F是BE中点，即DF＝BE＝EF＝，由于点E在AB上，则当AE最大时BE最小，即DF最小，由垂线段是最短可知此时恰好与OA相切，再由切线的性质可得FD平行BO，则由三角形相似的预备定理可得△ADF∽△AOB，再由相似比可得此时AF的长，再过点E作OA的垂线段EG，同理可得△AEG∽△ABO，再由相似比可得EG、AG的长，即OG的长可得，即点E坐标可得.
18．【答案】解：∵，∴，
∴，
∴，．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】先计算，得到方程有两个不相等的实数根，然后代入求根公式求解即可．
19．【答案】（1）解：∵，
∴抛物线的顶点A坐标为；
（2）解：依题意，当时，，则，
解得，，
∴抛物线与x轴的交点B、C的坐标分别为；
∵抛物线开口向上，
∴当时，x的取值范围为或．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】
（1）化一般式为顶点式即可；
（2）由抛物线上点的坐标特征令y=0可解关于x的一元二次方程求得B、C坐标，由于抛物线开口向上，则由二次函数的性质可得在点B左侧或点C右侧时抛物线均在x轴上方．
（1）解：∵，
∴抛物线的顶点A坐标为；
（2）解：依题意，当时，，
则，
解得，，
∴抛物线与x轴的交点B、C的坐标分别为；
∵抛物线开口向上，
∴当时，x的取值范围为或．
20．【答案】（1）解：该校此次调查共抽取了（名）学生．
扇形统计图中“”组对应的扇形圆心角的度数为，
组中八年级的学生人数为（人），
补全条形统计图如图所示．
故答案为：，；
（2）解：（人），
∴估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数约人；
（3）解：将七年级的名同学分别记为，，将八年级的名同学分别记为，，列表如下：
共有种等可能的结果，其中恰好选中七年级和八年级各名同学的结果有：，，，，，，，共种，
∴恰好选中七年级和八年级各名同学的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（）根据统计图表提供的信息，用A组的人数除以其所占的百分比可得此次调查共抽取的学生人数；用乘以组的学生人数所占的百分比即可得出扇形统计图中“”组对应的扇形圆心角的度数；根据各组人数之和等于本次调查抽取的学生总人数，求出组中八年级的学生人数，补全条形统计图即可；
（）根据用样本估计总体，用该校八年级学生总人数乘以样本中八年级每周锻炼时间达到小时及以上的学生人数所占的百分比，即可估计八年级每周锻炼时间达到小时及以上的学生人数 ；
（）此题是抽取不放回类型，用列表法列举出出所有等可能的结果数，由表可知共有12种等可能的结果，其中恰好选中七年级和八年级各1名同学的结果数为8，再利用概率公式可得出答案.
（1）解：该校此次调查共抽取了（名）学生．
扇形统计图中“”组对应的扇形圆心角的度数为，
故答案为：，；
组中八年级的学生人数为（人），
补全条形统计图如图所示．
（2）解：（人），
∴估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数约人；
（3）解：将七年级的名同学分别记为，，将八年级的名同学分别记为，，
列表如下：
共有种等可能的结果，其中恰好选中七年级和八年级各名同学的结果有：，，，，，，，共种，
∴恰好选中七年级和八年级各名同学的概率为．
21．【答案】（1）解：（双）
答：商场平均每天可售出双鞋子．
（2）解：设每双降价元．
解得：
让顾客尽可能得实惠，
答：每双鞋子降价元．
（3）解：设每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元．
当元时，最大元．
答：每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据基础销售量与增加销售量的和列式计算即可；
（2）设每双降价元，根据“ 每双鞋子每降价元，商场平均每天可多售出双 ， 商场每天要盈利元 ”列一元二次方程，解方程求出x的值解答即可；
（3）设每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元列出二次函数，配方得到顶点式，求出最值解答即可．
（1）解：（双）
答：商场平均每天可售出双鞋子．
（2）设每双降价元．
解得：
让顾客尽可能得实惠，
答：每双鞋子降价元．
（3）设每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元．
当元时，最大元．
答：每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元．
22．【答案】（1）解：如图所示，即为所求，
（2）解：如图所示，即为所求；
∵
∴
∴线段在旋转过程中扫过的图形的面积为．
【知识点】扇形面积的计算；关于原点对称的点的坐标特征；作图﹣旋转；作图﹣中心对称
【解析】【解答】（1）解：由图可得：；
【分析】（1）利用方格纸的特点及中点对称的性质，分别作出点A、B、C关于点O的对称点A1、B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1即可得到所求的△A1B1C1；根据点A1、B1、C1在坐标系中的位置，写出其坐标即可；
（2）利用方格纸的特点及旋转的性质，分别作出点A、B、C绕点A顺时针旋转90°后的对应点A2、B2、C2，再顺次连接A2、B2、C2即可得到所求的△A2B2C2； 线段AC在旋转过程中扫过的图形的面积就是以AC为半径，圆心角为90°的扇形得面积，从而根据勾股定理求得AC的长，进而根据扇形面积公式列式计算即可.
（1）解：如图所示，即为所求，
（2）解：如图所示，即为所求；
∵
∴
∴线段在旋转过程中扫过的图形的面积为．
23．【答案】（1）证明：由题意得，
，
∵，
∴，
∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：∵关于的一元二次方程的两个实数根为，，∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）计算得到，即可判断方程根的情况；
（2）根据根与系数的关系可得，然后整体代入求出m的值解答即可．
（1）证明：由题意得，
，
∵，
∴，
∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：∵关于的一元二次方程的两个实数根为，，
∴，
∵，
∴，
∴．
24．【答案】（1）证明：∵点是弧的中点，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∵，，
∴．
（2）证明：连接交于点．如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵点是弧的中点，
∴，
∴，
∴是的切线；
（3）解：设的半径为．
∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，
∴．
∵点是的中点，
∴点是的中点．
∵点是的中点，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
整理得，
解得或（舍去）．
∴的半径为．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）由圆周角定理结合对顶角相等可得，再借助已知，，可由SAS证明；
（2）连接交于点，则由垂径定理的推论可得OC垂直平分AF，再由等边对等角可得结合三角形外角的性质可得，再借助已知可得，再由同位角相等可得AF//CG，又OC是半径，即CG与相切；
（3）由平行四边形的性质结合全等三角形的性质可得DM等于半径OF、BF＝ON＝2，则由垂径定理结合三角形中位线定理可得OH＝1，再设半径为r，则AD＝r+2，DH＝r+1，再利用勾股定理借助AH的平方可得关于r的方程并求解即可．
（1）证明：∵点是弧的中点，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∵，，
∴．
（2）证明：连接交于点．如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵点是弧的中点，
∴，
∴，
∴是的切线；
（3）解：设的半径为．
∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，
∴．
∵点是的中点，
∴点是的中点．
∵点是的中点，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
整理得，
解得或（舍去）．
∴的半径为．
25．【答案】（1）解：二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．
将点，点的坐标分别代入得：，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，将点，点分别代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
点为直线下方抛物线上的点，如图，
设，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴面积的最大值为，
∴；
（3）解：
对称轴为直线
设
∵，，
如图所示，当BD为对角线时，
如图所示，当BC为对角线时，
或
如图所示，当BE为对角线时，
综上所述，点的坐标为或或或．
【知识点】二次函数的最值；矩形的判定与性质；二次函数图象的平移变换；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）由抛物线上点的坐标特征把和代入函数解析式并求解关于a、c的二元一次方程组即可；
（2）先利用待定系数法求出直线的解析式，再利用抛物线上点的坐标特征可设点的P的坐标为，再过点P作y轴的平行线交直线BC于点M，则由直线上点的坐标特征可得，则PM可用含a的代数式表示，再利用铅直法可得的面积是关于a的二次函数且二次项系数为负，再利用二次函数的性质求出其最大值同时可得点P的坐标；
（3）先利用二次函数图象的平移规律得平移后的抛物线的解析式，则可得新抛物线的对称轴，再分别设出点D、E的坐标，由于矩形的对角线互相平分且相等，再进行分类讨论，即BC为对角线、或BD为对角线、或BE为对角线，再分别利用中点公式和两点距离公式联立方程或方程组并求解即可．
（1）解：二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．将点，点的坐标分别代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，将点，点分别代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
点为直线下方抛物线上的点，如图，
设，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴面积的最大值为，
∴；
（3）解：由题意可得：，
的对称轴为．
∵，，
∴，，
当为矩形一边时，且点在轴的下方，如图，过作轴于点，
∵在的对称轴上，
∴，
∵，，
∴，
∴，，即点，
∴点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点，则点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点；
当为矩形一边时，且点在轴的上方，'的对称轴为与轴交于点，如图，
∵在的对称轴上，
∴，
∴，
∵，即，
，即点，
∴点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点，则点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点；
当为矩形对角线时，如图，设，，的中点的坐标为，
依题意得：，
解得：，
又∵，
∴，
解得：，
联立得：，
解得：，
∴点的坐标为或．
综上所述，点的坐标为或或或．
1 / 1四川省泸州市泸县第五中学2026年中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1．（2026·泸县模拟）下列方程是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、的次数不是2，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
B、有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意 ；
C、∵，∴的次数不是2，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
D、是一元二次方程，故该选项符合题意 ；
故选：D.
【分析】根据一元二次方程的定义“只含一个未知数，未知数最高次数为2的整式方程”逐项分析解答即可．
2．（2026·泸县模拟）下列大学校徽主体图案是中心对称图形的是（　　）
A．西南财经大学 B．北京大学
C．中国人民大学 D．中南大学
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：D．
【分析】
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
3．（2026·泸县模拟）下列事件中属于必然事件的是（　　）
A．在比赛中，弱队战胜强队
B．任意画一个平行四边形，它是中心对称图形
C．掷出两枚硬币，都是正面向上
D．用、、长线段为边构成一个三角形
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质；事件的分类；等可能事件的概率
【解析】【解答】解：A、在比赛中，弱队战胜强队是随机事件，故A不符合题意；
B、任意画一个平行四边形，它是中心对称图形是必然事件，故B符合题意；
C、掷出两枚硬币，都是正面向上是随机事件，故C不符合题意；
D、长为、、长线段为边构成一个三角形是不可能事件，不是必然事件，故D不符合题意．
故选：B．
【分析】
然事件是指在一定条件下一定会发生的事件．
4．（2026·泸县模拟）如图，将绕点A逆时针方向旋转得到，若点恰好落在边上，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：将绕点A逆时针方向旋转得到，点恰好落在边上，
，，
，
故选：D．
【分析】
由旋转的性质可得，，再由等边对等角可得，再利用三角形的内角和定理即可．
5．（2026·泸县模拟）如图，与位似，其位似中心为点O，且，则与的面积比是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴
与是位似图形，
与的位似比是．
与的相似比为，
与的面积比为，
故选：B．
【分析】根据位似的定义得到与的相似比，然后根据相似三角形的性质解答即可．
6．（2026·泸县模拟）对于抛物线，下列说法正确的是（　　）
A．可由抛物线向左平移个单位长度得到
B．顶点坐标是
C．与轴无交点
D．当时，随的增大而增大
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数图象的平移变换；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵抛物线为，
∴顶点坐标为，，开口向上．
对于A：向左平移个单位得，与给定抛物线不符，∴A错误．
对于B：顶点为，不是，∴B错误．
对于C：令，得，，方程有两个实数根，∴与x轴有交点，C错误．
对于D：∵开口向上，对称轴，∴当时，随的增大而增大，∴D正确．
故选：D．
【分析】
A、由二次函数图象的平移规律知，左加右减，上加下减，即该抛物线是由向右平移1个单位长度得到的；
B、抛物线的顶点坐标为；
C、由于顶点坐标在第4象限且开口向上，则该抛物线必然与x轴有两个交点；
D、由于抛物线开口向上，对称轴为直线，则当时随的增大而增大．
7．（2026·泸县模拟）某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元，如果每个月比上一个月的增长率都相同，均为x，则由题意列方程应为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：一月份营业额为万元，每月增长率为，
二月份营业额为万元，
三月份营业额为万元，
第一季度总营业额为，
方程为．
故选：D．
【分析】
由于平均增长率相同都是x，则可分别表示出2月份和3月份的营业额，再把前3个月的营业额相加可列方程为．
8．（2026·泸县模拟）将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，这种方法称为“降次法”，这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】公式法解一元二次方程；换元法解一元二次方程；求代数式的值-直接代入求值；转化思想
【解析】【解答】∵，
∴
∴
∴
又 ∵，
∴
∴
故选 B.
【分析】
先利用公式法求得原方程的解为，再利用“降次”的方法可得，则利用同底数幂的乘法的逆运算可化为，再等量代换可得，同理可化，再整体代入并利用整式的加减运算化简得原式等于，再代值计算即可．
9．（2026·泸县模拟）一个圆弧形对开门的平面示意图及相关尺寸如图所示，则该圆弧门所在圆的半径为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：如图，是圆心，设半径为，即，
依题意得：，，，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得：
答：圆弧门所在圆的半径为．
故选D．
【分析】
如图所示，设圆弧门的两端点分别为A、B，圆心O到AB的距离为OH，则由题意知OH与半径的和为2.5，再由垂径定理知AH=0.5，再在直角三角形OAH中应用勾股定理即可．
10．（2026·泸县模拟）如图，在正十边形中，的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，设正十边形的中心为点O，连接，
则，
由圆周角定理得，，
故答案为：B．
【分析】设正十边形的中心为点O，连接OC，由正n边形的中心角为可求出∠BOC的度数，进而根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可求出∠A的度数.
11．（2026·泸县模拟）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，与轴的交点在和之间（包括这两点）．下列结论：①当时，；②；③；④．其中正确的结论有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：①由抛物线的对称性可求得抛物线与轴另一个交点的坐标为，
当时，，故①正确；
②抛物线开口向下，故，
对称轴为，
，
，故②错误；
③设抛物线的解析式为，则，
令得：．
抛物线与轴的交点在和之间，
．
解得，故③正确；
④二次函数的图象与轴交于点，
，
对称轴为，
，
，故④正确；
综上所述，正确的结论有3个
故选：C．
【分析】
①由抛物线的对称性结合对称轴可得抛物线与x轴的另外一个交点坐标为，由于抛物线开口向下，则在对称轴的右侧y随x的增大而减小，故结论正确；
②由抛物线的开口向下知，由对称轴解析式知，则，故结论错误；
③由抛物线上点的坐标特征知当时，即有，则，再结合已知可得，解得，故结论正确；
④由③知结论正确．
12．（2026·泸县模拟）如图，在中，，G是的重心，点D在边上，，如果，则值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定；三角形的重心及应用；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图所示，连接并延长交于点F，延长交于点E，连接，
∵G是的重心，
∴都是的中线，
∴为的中位线，
∴，
∴，，
∴，
设，则，
∵，
∴可设，则，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴或（舍去），
∴，
故选：D．
【分析】连接并延长交于点F，延长交于点E，连接，根据重心的定义可得是的中线，根据由三角形中位线定理可得，即可得到，进而根据对应边成成比例设，，即可得到，然后根据两角对应相等得到，根据对应边成比例解答即可．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）．
13．（2026·泸县模拟）在平面直角坐标系中，点与点关于原点中心对称，则点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点与点关于原点中心对称，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【分析】
关于原点对称点的横纵坐标均互为相反数．
14．（2026·泸县模拟）把一个圆分割成个扇形，各个扇形面积的比为，则最大的圆心角的度数是　 　．
【答案】
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵各个扇形面积的比为，
设四个扇形的圆心角度数比为，
则最大圆心角为．
故答案为：．
【分析】
由扇形面积计算公式知，四个扇形的面积比等于圆心角的度数比，即最大的扇形的圆心角的度数等于一个周角的十分之四．
15．（2026·泸县模拟）如图，在中，，若，则与的面积之比为　 　．
【答案】
【知识点】A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据平行得到得到，然后得到，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
16．（2026·泸县模拟）如图，吊灯外罩呈圆锥形，它的底面周长为，侧面积为，则该吊灯外罩的高是　 　．
【答案】16
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：
∵圆锥的底面周长为，
∴圆锥的底面半径为，
∵侧面积为，
∴圆锥的母线长为，
∴该吊灯外罩的高是．
故答案为：16．
【分析】
先由圆锥的底面周长可得底面半径，又因为圆锥的侧面积即展开的扇形面积公式，则可利用扇形面积公式求出母线长，因为圆锥的高、底面半径和母线围成一个直角三角形，再应用勾股定理即可．
17．（2026·泸县模拟）如图，在平面直角坐标系中，为线段上任一点，作交线段于，当的长最大时，点的坐标为　 　．
【答案】（3，）
【知识点】垂线段最短及其应用；切线的判定与性质；相似三角形的性质-对应边；垂径定理的推论；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图所示，取BE的中点F，连接FD，再以点F为圆心，BF长为半径作半圆.
设AE=x，则DF=BF=EF=，
∵A(4，0)，B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=5，
∵DE⊥BD，
∴∠BDE=90°，
∵∠ADF=∠AOB=90°，
∴DF∥OB
∴△ADF∽△AOB
∴
∴，
解得x=，
过点E作EG⊥x轴，
∴EG∥OB，
∴△AEG∽△ABO，
∴，
∴，
∴EG=，AG=1，
∴OG=OA-AG=4-1=3，
∴E（3，），
故答案为：（3，）.
【分析】
先由A、B两点的坐标可得OA＝4、OB＝3，再利用勾股定理可得AB＝5，此时可以BE为直径作半圆，则由圆周角定理的推论知点F是BE中点，即DF＝BE＝EF＝，由于点E在AB上，则当AE最大时BE最小，即DF最小，由垂线段是最短可知此时恰好与OA相切，再由切线的性质可得FD平行BO，则由三角形相似的预备定理可得△ADF∽△AOB，再由相似比可得此时AF的长，再过点E作OA的垂线段EG，同理可得△AEG∽△ABO，再由相似比可得EG、AG的长，即OG的长可得，即点E坐标可得.
三、本大题共2个小题，每小题8分，共16分．
18．（2026·泸县模拟）解方程：．
【答案】解：∵，∴，
∴，
∴，．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】先计算，得到方程有两个不相等的实数根，然后代入求根公式求解即可．
19．（2026·泸县模拟）已知抛物线．
（1）利用配方法把抛物线转化为顶点式，并写出抛物线的顶点A的坐标；
（2）求抛物线与x轴的交点B、C的坐标，并写出时x的取值范围．
【答案】（1）解：∵，
∴抛物线的顶点A坐标为；
（2）解：依题意，当时，，则，
解得，，
∴抛物线与x轴的交点B、C的坐标分别为；
∵抛物线开口向上，
∴当时，x的取值范围为或．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】
（1）化一般式为顶点式即可；
（2）由抛物线上点的坐标特征令y=0可解关于x的一元二次方程求得B、C坐标，由于抛物线开口向上，则由二次函数的性质可得在点B左侧或点C右侧时抛物线均在x轴上方．
（1）解：∵，
∴抛物线的顶点A坐标为；
（2）解：依题意，当时，，
则，
解得，，
∴抛物线与x轴的交点B、C的坐标分别为；
∵抛物线开口向上，
∴当时，x的取值范围为或．
四、本大题共3个小题，每小题10分，共30分．
20．（2026·泸县模拟）为了贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生全面发展，我校积极倡导人文运动观念，提高同学们的身体素质，现对七、八年级部分学生每周的锻炼时间（单位：）进行统计，按照每周锻炼时间分成四组：；；；，并绘制了如图两幅不完整的统计图，请你根据图中所提供的信息，完成下列问题：
（1）该校此次调查共抽取了 名学生，扇形统计图中“”组对应的扇形圆心角的度数为 ，并补全条形统计图；
（2）若该校八年级共名学生，请估计八年级每周锻炼时间达到小时及以上的学生人数；
（3）若“”组中七年级和八年级各有2名同学报名市区的运动比赛，学校打算从这4名同学中挑选名参赛，请用列表法或树状图法求恰好选中七年级和八年级各名同学的概率．
【答案】（1）解：该校此次调查共抽取了（名）学生．
扇形统计图中“”组对应的扇形圆心角的度数为，
组中八年级的学生人数为（人），
补全条形统计图如图所示．
故答案为：，；
（2）解：（人），
∴估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数约人；
（3）解：将七年级的名同学分别记为，，将八年级的名同学分别记为，，列表如下：
共有种等可能的结果，其中恰好选中七年级和八年级各名同学的结果有：，，，，，，，共种，
∴恰好选中七年级和八年级各名同学的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（）根据统计图表提供的信息，用A组的人数除以其所占的百分比可得此次调查共抽取的学生人数；用乘以组的学生人数所占的百分比即可得出扇形统计图中“”组对应的扇形圆心角的度数；根据各组人数之和等于本次调查抽取的学生总人数，求出组中八年级的学生人数，补全条形统计图即可；
（）根据用样本估计总体，用该校八年级学生总人数乘以样本中八年级每周锻炼时间达到小时及以上的学生人数所占的百分比，即可估计八年级每周锻炼时间达到小时及以上的学生人数 ；
（）此题是抽取不放回类型，用列表法列举出出所有等可能的结果数，由表可知共有12种等可能的结果，其中恰好选中七年级和八年级各1名同学的结果数为8，再利用概率公式可得出答案.
（1）解：该校此次调查共抽取了（名）学生．
扇形统计图中“”组对应的扇形圆心角的度数为，
故答案为：，；
组中八年级的学生人数为（人），
补全条形统计图如图所示．
（2）解：（人），
∴估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数约人；
（3）解：将七年级的名同学分别记为，，将八年级的名同学分别记为，，
列表如下：
共有种等可能的结果，其中恰好选中七年级和八年级各名同学的结果有：，，，，，，，共种，
∴恰好选中七年级和八年级各名同学的概率为．
21．（2026·泸县模拟）某商场销售一批鞋子，平均每天可售出双，每双盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价元，商场平均每天可多售出双．
（1）若每双鞋子降价元，商场平均每天可售出多少双鞋子？
（2）若商场每天要盈利元，且让顾客尽可能多得实惠，每双鞋子应降价多少元？
（3）每双鞋子降价多少元时？每天可以获得最大利润．最大利润为多少元？
【答案】（1）解：（双）
答：商场平均每天可售出双鞋子．
（2）解：设每双降价元．
解得：
让顾客尽可能得实惠，
答：每双鞋子降价元．
（3）解：设每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元．
当元时，最大元．
答：每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据基础销售量与增加销售量的和列式计算即可；
（2）设每双降价元，根据“ 每双鞋子每降价元，商场平均每天可多售出双 ， 商场每天要盈利元 ”列一元二次方程，解方程求出x的值解答即可；
（3）设每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元列出二次函数，配方得到顶点式，求出最值解答即可．
（1）解：（双）
答：商场平均每天可售出双鞋子．
（2）设每双降价元．
解得：
让顾客尽可能得实惠，
答：每双鞋子降价元．
（3）设每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元．
当元时，最大元．
答：每双鞋子降价元时，每天可以获得最大利润元．
22．（2026·泸县模拟）如图，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度，顶点，，均在格点上．
（1）若和关于原点成中心对称图形，请直接写出顶点，，的坐标．
（2）将以点为中心，顺时针旋转，请作出旋转后的图形，并求线段在旋转过程中扫过的图形的面积．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求，
（2）解：如图所示，即为所求；
∵
∴
∴线段在旋转过程中扫过的图形的面积为．
【知识点】扇形面积的计算；关于原点对称的点的坐标特征；作图﹣旋转；作图﹣中心对称
【解析】【解答】（1）解：由图可得：；
【分析】（1）利用方格纸的特点及中点对称的性质，分别作出点A、B、C关于点O的对称点A1、B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1即可得到所求的△A1B1C1；根据点A1、B1、C1在坐标系中的位置，写出其坐标即可；
（2）利用方格纸的特点及旋转的性质，分别作出点A、B、C绕点A顺时针旋转90°后的对应点A2、B2、C2，再顺次连接A2、B2、C2即可得到所求的△A2B2C2； 线段AC在旋转过程中扫过的图形的面积就是以AC为半径，圆心角为90°的扇形得面积，从而根据勾股定理求得AC的长，进而根据扇形面积公式列式计算即可.
（1）解：如图所示，即为所求，
（2）解：如图所示，即为所求；
∵
∴
∴线段在旋转过程中扫过的图形的面积为．
五、本大题共3小题，每小题12分，共36分．
23．（2026·泸县模拟）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为，，且，求的值．
【答案】（1）证明：由题意得，
，
∵，
∴，
∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：∵关于的一元二次方程的两个实数根为，，∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）计算得到，即可判断方程根的情况；
（2）根据根与系数的关系可得，然后整体代入求出m的值解答即可．
（1）证明：由题意得，
，
∵，
∴，
∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：∵关于的一元二次方程的两个实数根为，，
∴，
∵，
∴，
∴．
24．（2026·泸县模拟）如图，，，均为的直径，点是弧的中点，点在上，且四边形是平行四边形，．
（1）求证：；
（2）若点在的延长线上，且，证明：是的切线；
（3）求的半径．
【答案】（1）证明：∵点是弧的中点，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∵，，
∴．
（2）证明：连接交于点．如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵点是弧的中点，
∴，
∴，
∴是的切线；
（3）解：设的半径为．
∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，
∴．
∵点是的中点，
∴点是的中点．
∵点是的中点，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
整理得，
解得或（舍去）．
∴的半径为．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）由圆周角定理结合对顶角相等可得，再借助已知，，可由SAS证明；
（2）连接交于点，则由垂径定理的推论可得OC垂直平分AF，再由等边对等角可得结合三角形外角的性质可得，再借助已知可得，再由同位角相等可得AF//CG，又OC是半径，即CG与相切；
（3）由平行四边形的性质结合全等三角形的性质可得DM等于半径OF、BF＝ON＝2，则由垂径定理结合三角形中位线定理可得OH＝1，再设半径为r，则AD＝r+2，DH＝r+1，再利用勾股定理借助AH的平方可得关于r的方程并求解即可．
（1）证明：∵点是弧的中点，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∵，，
∴．
（2）证明：连接交于点．如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵点是弧的中点，
∴，
∴，
∴是的切线；
（3）解：设的半径为．
∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，
∴．
∵点是的中点，
∴点是的中点．
∵点是的中点，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
整理得，
解得或（舍去）．
∴的半径为．
25．（2026·泸县模拟）如图1，若二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标；
（3）如图3，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形，求点的坐标．
【答案】（1）解：二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．
将点，点的坐标分别代入得：，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，将点，点分别代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
点为直线下方抛物线上的点，如图，
设，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴面积的最大值为，
∴；
（3）解：
对称轴为直线
设
∵，，
如图所示，当BD为对角线时，
如图所示，当BC为对角线时，
或
如图所示，当BE为对角线时，
综上所述，点的坐标为或或或．
【知识点】二次函数的最值；矩形的判定与性质；二次函数图象的平移变换；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）由抛物线上点的坐标特征把和代入函数解析式并求解关于a、c的二元一次方程组即可；
（2）先利用待定系数法求出直线的解析式，再利用抛物线上点的坐标特征可设点的P的坐标为，再过点P作y轴的平行线交直线BC于点M，则由直线上点的坐标特征可得，则PM可用含a的代数式表示，再利用铅直法可得的面积是关于a的二次函数且二次项系数为负，再利用二次函数的性质求出其最大值同时可得点P的坐标；
（3）先利用二次函数图象的平移规律得平移后的抛物线的解析式，则可得新抛物线的对称轴，再分别设出点D、E的坐标，由于矩形的对角线互相平分且相等，再进行分类讨论，即BC为对角线、或BD为对角线、或BE为对角线，再分别利用中点公式和两点距离公式联立方程或方程组并求解即可．
（1）解：二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．将点，点的坐标分别代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，将点，点分别代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
点为直线下方抛物线上的点，如图，
设，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴面积的最大值为，
∴；
（3）解：由题意可得：，
的对称轴为．
∵，，
∴，，
当为矩形一边时，且点在轴的下方，如图，过作轴于点，
∵在的对称轴上，
∴，
∵，，
∴，
∴，，即点，
∴点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点，则点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点；
当为矩形一边时，且点在轴的上方，'的对称轴为与轴交于点，如图，
∵在的对称轴上，
∴，
∴，
∵，即，
，即点，
∴点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点，则点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点；
当为矩形对角线时，如图，设，，的中点的坐标为，
依题意得：，
解得：，
又∵，
∴，
解得：，
联立得：，
解得：，
∴点的坐标为或．
综上所述，点的坐标为或或或．
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