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二次函数综合问题（角度问题） 重点考点专题练
2026届初中数学中考一轮复习备考
1．已知二次函数false，其图象过点false．
(1)求二次函数的解析式 ；
(2)当false时，求二次函数false的最大值；
(3)将抛物线false向下平移false个单位后，如图所示与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，连接false，抛物线上存在点Q，使得false．请求出直线false的解析式．
2．如图1，已知抛物线false的图象与false轴交于false、false两点，与false轴交于false点，false点的坐标为false，且抛物线对称轴为直线false．
(1)求抛物线的解析式；
(2)①顶点的坐标为______；②当false时，二次函数的最大值为______，最小值为______．③直线false的解析式为______．
(3)如图2，连接false，false为线段false下方抛物线上的一个动点，过点false作false轴交false于点false，作false轴交false轴于点false，求false的最大值及此时点false的坐标；
(4)如图3，连接false、false，在直线false下方抛物线上是否存在一点false，使得false，若存在，直接写出点false的坐标；若不存在，请说明理由．
3．已知抛物线false（b，c为常数）与false轴相交于false，false两点，与false轴相交于点false．
(1)求该抛物线的解析式及点false的坐标．
(2)抛物线上一点false在直线false上方，其横坐标为false，过点false作false轴交false于点false，false交false于点false，若存在点false使false的周长取得最大值，求出点false的坐标．
(3)点false是抛物线上一点，满足false，请直接写出点false的横坐标．
4．如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线false平移后得到抛物线false，false与false交于点false，且与false轴交于点false，点C为false的顶点．
(1)求false的表达式；
(2)连接false并延长交false于点D，E为线段false上的动点，过点E作x轴的垂线交x轴于点F，交false于点G，求线段false的最大值；
(3)如图（2），过点A作x轴的垂线交x轴于点Q，连接false，问：false上是否存在一点P，使得false？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线解析式为false交false轴于false两点，与false轴交于点false，连接false．
(1)求false三点的坐标；
(2)如图1，false是直线false上方抛物线上的一动点，过点false作false轴交直线false于点false，交false轴于点false，求false的最大值及点false的坐标．
(3)如图2，将该抛物线沿false方向平移false个单位长度得到新抛物线false，false为新抛物线false上的一个动点．当false时，请直接写出所有符合条件点false的坐标．
6．如图，二次函数false与false轴相交于点false，false（点false在点false的左侧），与false轴相交于点false，抛物线的顶点为点false．
(1)请求出点false，false，false的坐标；
(2)如图（1），连接false，false，点false为抛物线上一点，使false，求点false的坐标；
(3)如图（2），过定点false的直线与抛物线相交于false，false两点（点false在false轴左侧，点false在false轴右侧），过点false的直线false与抛物线交于点false，则直线false必过定点的坐标为________（请直接写出答案）
7．已知抛物线false，且与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，其中false，false．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，若点P在抛物线上运动（P点异于点A）．
①当false的面积等于false的面积时，求点P的坐标；
②当false时，求直线false的解析式．
8．抛物线false（false）与false轴分别交于点false和点false，与false轴交于点false，对称轴为直线false，且false．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，连接false，若点false为抛物线上一点，且false，求点false的坐标；
(3)如图2，点false，点false为第二象限内抛物线上一动点，连接false交false于点false，若false，求点false的坐标．
9．如图，平面直角坐标系false中，已知抛物线false与x轴交于点false、B，与y轴交于点C，抛物线false的顶点为点D．
(1)求b的值和点D的坐标；
(2)已知以点G为顶点的抛物线false与抛物线false相交．
①设抛物线false、false的交点为点E，在抛物线false上，如果点E与点G之间的部分是上升的，求m的取值范围；
②连接false，过点G作false的平行线，交抛物线false于点N，如果false平分false，求m的值．
10．抛物线 false经过点false．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点false是第四象限内抛物线上一点，满足 false求点false坐标；
(3)如图2，false是第一象限内一点，过点false的两条直线均与抛物线只有一个交点，交点分别为false、false，探究直线false 是否过定点，求这个定点的坐标．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线false与x轴交于点false和点B（点B在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，false．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点P为直线BC上方抛物线上一点，过点P作false轴于点D，过点D作false，交false于点E，求false的最大值，及此时点P的坐标；
(3)将抛物线false沿射线false方向平移false个单位长度得到新抛物线，点M是新抛物线上一点，当false时，写出符合条件的点M的横坐标，并选一种情况写出解答过程．
12．如图，抛物线false与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，与直线false：false交于A、D两点，其中false，false．
(1)求抛物线的解析式
(2)如图1，P为直线false上方抛物线上的一点，过P作false轴交直线false于Q点，false、false是false轴上的两个动点，false在false上方，且false．当线段false长度取得最大值时，求false的最小值
(3)如图2，将抛物线沿射线false方向平移false个单位长度得到新抛物线false，点D平移后的对应点为点F，连接false，在新抛物线false上确定一点R，直线false与x轴交于点Q，当false时，直接写出所有符合条件的点R的坐标，并写出其中一种情况的求解过程
参考答案
1．(1)false
(2)false
(3)false或false
【分析】本题考查了二次函数的性质及平移，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）根据待定系数法求出解析式，再根据对称轴公式即可得出答案；
（2）求出抛物线的对称轴为直线false，可得当false时，y随x的增大而减小，即可得出答案；
（3）分两种情况：当点false在false轴下方的抛物线上时；当点false在false轴上方的抛物线上时；先画出图形再根据二次函数的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：将点false代入false得：
false，
解得：false，
∴该二次函数的解析式为false；
（2）解：∵false，
∴抛物线的对称轴为直线false，
∵false，
∴抛物线开口向上，
∴当false时，y随x的增大而减小，
∴当false时，y的值最大，为false
即当false时，二次函数false的最大值为false；
（3）解：由已知可得二次函数解析式为：false，
则点false，点false，false，
当点false在false轴下方的抛物线上时，在false的延长线上取一点false，使false，连接false，若false与抛物线有交点，设false与抛物线交于点false，过点false作false轴于false轴于false，
false，
false，
false，
false轴，
false，
false，
false
false，
false，
false，
false，
false，
设false的解析式为：false，
false，
解得：false，
false的解析式为：false，
当点false在false轴上方的抛物线上时，延长false到false，使false，连接false并延长false交false轴于false，若false与抛物线有交点，
设false交抛物线于点false，
false轴，false，
false，
同理可得，直线false的解析式为：false，
综上所述直线false的解析式为：false和false．
2．(1)false
(2)①false；②false，false；③false；
(3)当false时，false取得最大值为false，此时false
(4)false
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数的最值，全等三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）将二次函数解析式化成顶点式，然后再根据二次函数性质求解，求出false点后利用待定系数法求解直线false表达式；
（3）设false，则false，所以false，然后通过二次函数的性质即可求解；
（4）当false点在false下方时，如图，作false轴，作false于点false，与抛物线的交点为false，连接false，求出false，则false，证明false，所以false，又false，false，故有false，则false，可得点false与false点重合，从而求解．
【详解】（1）解：由题意知false，解得false，
∴解析式为false；
（2）解：∵抛物线解析式为false；
∴抛物线的顶点坐标为：false，二次函数开口向上，函数上离对称轴越远的点函数值越大，
∴当false时，在false时，函数取到最大值为：false；在false时，函数取到最小值为false，
∵false点的坐标为false，且抛物线对称轴为直线false，
∴false，
当false，false，
∴false，
设直线false表达式为：false，
∴false，解得false，
∴直线false表达式为false，
故答案为：false，false，false，false；
（3）解：设false，
则false，
∴false，
∵false，
∴当false时，false取得最大值为false，此时false；
（4）解：存在，理由如下：
当false点在false下方时，如图，作false轴，作false于点false，与抛物线的交点为false，连接false，
∵false，
∴当false时，false，
解得：false或false，
∴false，
∴false，
∵false，
∴四边形false是矩形，
∴false，
∴false，
∵false，false，false，
∴false，
∴false，
∵false，false，
∴false，
∴false，
如图，点false与false点重合，
∴false．
3．(1)false，false
(2)false
(3)false或false
【分析】（1）利用待定系数法即可得二次函数的解析式，再将false代入求出false的值，即可得点false的坐标；
（2）先求出直线false的解析式，则可得点false的坐标，从而可得false的长，再求出false，根据等腰三角形的判定可得false，利用勾股定理可得false，则可得false的周长为false，然后利用二次函数的性质求解即可得；
（3）设点false的横坐标为false，分两种情况：①当点false在直线false的上方时，②当点false在直线false的下方时，利用直角三角形的性质和勾股定理可得点false的坐标（用false的代数式表示），然后代入函数解析式求解即可得．
【详解】（1）解：将点false，false代入false得：false，
解得false，
∴该抛物线的解析式为false，
将false代入得：false，
∴点false的坐标为false．
（2）解：由题意，画出图形如下：
设直线false的解析式为false，
将点false，false代入得：false，解得false，
∴直线false的解析式为false，
∵抛物线上一点false在直线false上方，其横坐标为false，且false轴交false于点false，
∴false，
∴false，
∵false轴false轴，
∴false，
∵false，false，
∴false，
∴false，
∵false轴，
∴false，
∵false，
∴false，false，
∴false，
∴false，
∴false，
∴false，
∴false的周长为false
false
false，
由二次函数的性质可知，当false时，false的周长取得最大值，
此时false，
∴点false的坐标为false．
（3）解：设点false的横坐标为false，
①如图，当点false在直线false的上方时，
过点false作false轴于点false，作false轴于点false，
∴四边形false是矩形，
∴false，false，
∵false，false，
∴false，
∴false，
∴false，
∴false，
∴false，
∵false，
∴false，
∴false，
将点false代入false得：false，
解得false或false（不符合题意，舍去）；
②如图，当点false在直线false的下方时，
过点false作false轴于点false，
∴false，
∵false，false，
∴false，
∴false，
∴false，
∵false，
∴false，
∴false，
将点false代入false得：false，
解得false或false（不符合题意，舍去）；
综上，点false的横坐标为false或false．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的应用、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
4．(1)false
(2)false最大值为false
(3)存在，点P的坐标为false
【分析】（1）根据二次函数的平移利用待定系数法求得false的解析式；
（2）将false化为顶点式，得到点C的坐标，再利用待定系数法求得直线false的解析式，联立false与直线false得点D坐标，设false，则false，求出false的表达式，此时false的表达式为二次函数，将二次函数化为顶点式后即可求得最大值；
（3）作false的对称轴false，则false，过点A作直线false的垂线，交false于点false，求得false的坐标，由false分析点P的位置，此时点P的位置即为false的位置，进而求解即可．
【详解】（1）解：∵false由false平移得来，
∴设false，
∵false与false交于点false，且与y轴交于点false，
得：false
解得false
∴false的表达式为：false．
（2）解：由（1）知，false的表达式为：false，
∴false，
∴点false的坐标为false，
设直线false的表达式为false，
把false，false代入得false，
解得：false，
∴直线false的表达式为：false，
联立false与直线false得：false，
解得false，
∴false，
∵E在线段false上，G在false上，false轴，
设false，则false，
则false，
∵false，
∴当false时，false有最大值，最大值为false．
（3）解：如图，作false的对称轴false，则false，
∴false，
过点A作直线false的垂线，交false于点false，
∵false的对称轴是直线false，
∴false的坐标为false．
∵A，false关于false对称，
∴false，
∴false，即点P和点false重合时满足条件，
当点P在对称轴false的右边时，false，故这样的点P不存在，
综上所述，点P的坐标为false．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数最值及二次函数与角度的综合问题，求一次函数解析式，二次函数的平移，解题的关键是掌握以上知识点．
5．(1)false，false，false
(2)false的最大值为1，点false的坐标为false
(3)false或false
【分析】（1）令false，求出false的坐标，令false，求出false的坐标；
（2）通过证明false是等腰直角三角形，得到false，利用待定系数法求出直线false的解析式为false，设点false的坐标为false，则false，其中false，进而表示出false，再利用二次函数的性质即可求解；
（3）根据二次函数平移的性质得到新抛物线false，由题意得false，再分2种情况讨论：①当false在false轴上方时；②当false在false轴下方时，分别求出对应直线false的解析式，再联立直线与抛物线的解析式，即可求出点false的坐标．
【详解】（1）解：令false，则false，
解得false，false，
∴false，false，
令false，则false，
∴false；
（2）解：由（1）得，false，
∵false，
∴false，
∵false轴，
∴false，
∴false，
∴false是等腰直角三角形，false，
设直线false的解析式为false，
代入false，false，得false，
解得false，
∴直线false的解析式为false，
设点false的坐标为false，则false，其中false，
则false
false
false
false
false，
∵false，
∴当false时，false有最大值，最大值为1，
此时点false的坐标为false；
（3）解：false，
∵false，false，
∴直线false的解析式为false，
∵将抛物线沿false方向平移false个单位长度得到新抛物线false，
∴将抛物线向上平移2个单位长度，向右平移1个单位长度得到新抛物线false，
∴false，
∵false，
∴false，
①当false在false轴上方时，记此时点false为false，
∵false，
∴false，
∴设直线false的解析式为false，
代入false，得false，解得false，
∴直线false的解析式为false，
联立false，
解得false或false（舍去），
∴false；
②当false在false轴下方时，记此时点false为false，
延长false与false交于点false，
设点false的坐标为false，
∵false，
∴false，
∴false，
解得false，
∴false，
∴直线false的解析式为false，
联立false，
解得false（舍去）或false，
∴false；
综上，所有符合条件点false的坐标为false或false．
【点睛】本题考查了二次函数综合、抛物线与坐标轴的交点、二次函数的最值问题、等腰直角三角形的性质与判定、求一次函数解析式，运用数形结合思想是解题的关键．本题属于函数综合题，需要较强的数形结合和分类讨论能力，综合要求较高，适合有能力解决压轴题的学生．
6．(1)false，false，false
(2)false或false
(3)false．
【分析】（1）求出false时x的值可得点A和点B的坐标，求出false时y的值可得点C的坐标；
（2）把解析式化为顶点式得到点D的坐标，当点false在false轴上方时，过点false作false于点false，过点false向上作false交false于点 false，由抛物线的对称性可得，false，证明false得false，求出直线false的解析式为false，联立false，求解即可；当点false在false轴下方时，同理可求得直线false的解析式为false，联立：false，求解即可；
（3）设false，求出直线false，同理可得，直线false的解析式为false，直线false的解析式为false，因为直线false经过定点false，得到false，求出直线false解析式为false，即可求解．
【详解】（1）解：在false中，当false时，false，
解得false或false，
当false时，false，
false，false，false；
（2）解：∵false，
∴顶点false的坐标为false，
①当点false在false轴上方时，过点false作false于点false，过点false向上作false交false于点false，
false，false，false，
false，false，
由抛物线的对称性可得false，
false，
false，
false，
又∵false，
false，
false，
false点false的坐标为false，
设直线false的解析式为false（false），将false、false两点坐标代入得：
false，
解得false，
false直线false的解析式为false，
联立false，解得false或false，
false点false的坐标为false；
②点false在false轴下方时，
同理可求得直线false的解析式为false，
联立false，解得false或false，
false点false的坐标为false，
综上所述，点false的坐标为false或false；
（3）解：设false，false，false，
设直线false的解析式为false，
联立false得false，
由根与系数关系可知false，false，
false直线false的解析式为false，
同理可得，直线false的解析式为false，
直线false的解析式为false，
false，即false，
false直线false经过定点false，
false，
整理得false，
将false代入false中，得false，
整理得false，
∴直线false的解析式为false，
在false中，当false时，false，
false直线false必过定点false．
【点睛】本题主要考查了求二次函数与坐标轴的交点坐标，二次函数综合，全等三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键．
7．(1)false
(2)①P坐标为false或false或false；②false
【分析】（1）由抛物线false过点false，false，运用待定系数法求出a，b的值，从而求得抛物线的解析式；
（2）①分两种情况进行讨论，Ⅰ．当点P在x轴的上方时，过点A作false，交抛物线于点P，则有false，先求出直线false的解析式，再求出直线false的解析式，最后将直线false与抛物线联立，即可求得点P坐标；Ⅱ．当点P在x轴的下方时，由直线false向下平移2个单位长度，交抛物线于点false，false，求出直线false的解析式，最后将直线false与抛物线联立，即可求得点P坐标；②延长false交x轴于点Q，设false，先证false，再由相似三角形的性质得到false，求出点Q坐标，最后求得直线false：false．
【详解】（1）解：∵抛物线false过点false，false，
∴false
解得：false
∴抛物线的解析式为false．
（2）①解：Ⅰ．如图，当点P在x轴的上方时，过点A作false，交抛物线于点P，则有false，
∵抛物线false与y轴交于点C，
∴false，
设直线false：false，
∴false解得：false，
∴直线false：false，
故设直线false：false，
∵直线false：false经过false，
∴false，
解得：false，即直线false：false，
由false解得：false或false
∴false；
Ⅱ．如图，当点P在x轴的下方时，
设直线false：false与y轴交于点E，则false，
则false，
由直线false向下平移2个单位长度，交抛物线于点false，false．得false，
此时直线false：false，
由false，
解得：false或false，
∴false，false，
综上，P坐标为false或false或false；
②解：如图，延长false交x轴于点Q，
∵false，false，false，
∴false，false，
∴false，
设false，则false，
∵false，
∴false，
∴false，
∵false，
∴false，
∴false即false，
∴false，即false，
设直线false：false，
将false，false代入false中，
∴false解得：false
∴直线false：false．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的综合运用，包括待定系数法求函数解析式，函数相关的图形面积关系，角度存在性问题等，灵活运用相关知识是解题的关键．
8．(1)false
(2)当点false在false轴上方，点false；当点false在false轴下方，点false
(3)false
【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，角度问题，面积问题．
（1）根据题意先求得false，进而可得false，根据对称性可得false，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）当点M在x轴上方，设false交false轴于点false，证明false得出false，待定系数法求得直线false的解析式，联立抛物线解析式求得false的坐标；当点M在x轴下方，同理可得false的解析式为false，再联立抛物线解析式求得false的坐标，即可求解；
（3）过点false作false轴于点false，根据false得出false，进而设false，解方程得出false，即可求解．
【详解】（1）解：当false时，false，则false
∴false
∵false
∴false，false
∵抛物线的对称轴为直线false
∴false
将false，false代入false
∴false
解得：false
∴false
（2）解：如图，当点M在x轴上方，设false交false轴于点false，
∵false
∴false
∵false，false，false
∴false
∴false，则false
设直线false的解析式为false，代入false，false，
∴false
解得：false
∴直线false的解析式为false
联立false
解得：false或false
∴点false
当点M在x轴下方，同理可得false的解析式为false
联立false
解得：false或false
∴false
（3）解：如图过点false作false轴于点false，
∵false
∴false
又∵false
∴false
设false，
∴false
解得false或false（舍去）
当false时，false
∴false
9．(1)false，false
(2)①false；②false
【分析】本题考查二次函数的综合应用，二次函数图象的平移，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键：
（1）待定系数法求出false的值，一般式化为顶点式，求出false点坐标；
（2）①根据抛物线的解析式得到false，进而得到点false在直线false上移动，连接直线和抛物线false的解析式，求出false的值，再根据点E与点G之间的部分是上升的，得到点false在点false的下方时满足题意，即可得出结果；
②根据两条抛物线的false值相同，得到false可以看作是false，平移得到，根据false，得到false，结合false平分false推出false，进而推出四边形false为菱形，得到false，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：把false代入false，得false，
解得：false，
∴false，
∴false；
（2）解：①∵false，
∴false，
令false，则false，
∴点false在直线false上运动，
令false，解得false，
∴直线false与抛物线false的交点为false，即false，
设点false，
∵抛物线false、false的交点为点E，且在抛物线false上，点E与点G之间的部分是上升的，
∴当点false在点false下方时，符合题意，即false；
②∵false，false，
∴false可以看作是false平移得到，
∵false为false的顶点，false为false的顶点，
∴false是由false点平移得到，
∵false，
∴点false是由点false平移得到，false，
∴false，
∴四边形false为平行四边形，
∵false平分false，
∴false，
∴false，
∴false，
∴四边形false为菱形，
∴false，
∵false，false，false，
∴false，
∴false，
解得false．
10．(1)false
(2)false
(3)过定点，false
【分析】(1)用待定系数法求二次函数的解析式；
(2)延长false交false轴于false，在false上取点false，使false，可得false，根据等角对等边可得false，利用待定系数法求出直线false的解析式，联立直线false与抛物线的解析式，解方程即可求出点false的坐标；
(3)设点false的坐标是false、点false的坐标是false，可得直线false的解析式是false，根据直线false、false、抛物线有公共交点，可得点false的坐标是false，从而可得false，即直线false的解析式是false，根据解析式可知直线false过定点false．
【详解】（1）解：把点false的坐标代入false，
可得：false，
解得：false，
false抛物线的解析式为false；
（2）解：当false时，false，
false点false的坐标是false，
falsefalse，
如下图所示，延长false交false轴于false，在false上取点false，使false，
设false，则false，
在false中，false，
false，
解得：false，
falsefalse，false，
false，false，
false，
false，false，
false，
false，
false，
false点false的坐标是false，
false点false的坐标是false、点false的坐标是false，
设直线false的解析式是false，
可得：false，
false直线false的解析式是false，
联立false，
解得：false，
false点false的坐标是false；
（3）解：设点false的坐标是false、点false的坐标是false，
设直线false的解析式是false，
可得：false，
解得：false，
false直线false的解析式是false，
设直线false的解析式是false
联立false
false，
false直线false与抛物线只有一个交点，
false一元二次方程false有两个相等的实数根，
falsefalse，
falsefalse，
false直线false的解析式是false，
同理可得直线false的解析式是false，
解方程false，
可得：false，
false点false的坐标是false，
false点false的坐标是false，
falsefalse，
falsefalse，
false直线false的解析式是false，
当false时，可得：false，
false直线false过定点false．
【点睛】本题主要考查了二次函数与几何的综合、用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数与一元二次方程、勾股定理，解决本题的关键是根据二次函数与一元二次方程的关系求解．
11．(1)false
(2)最大值为2，此时，点false的坐标为false
(3)点false的坐标为false或false．
【分析】（1）求出点false，再运用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）求出false，得false，设falsefalse，由false轴，得false，求出false，再得出false，求出false，运用二次函数的性质可得结论；
（3）先判断平移方式得出新抛物线的解析式false，设false，由false，可分点false在false上方和下方两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵false，
∴false，
∵false，
∴false，
∴false，
∵抛物线false与x轴交于点false和点B（点B在x轴的正半轴上），
∴false，
解得false，
∴抛物线的解析式为false；
（2）解：对于false，当false时，false，
∴false，
∴false，
又false，false，false，
∴false是等腰直角三角形，
∴false，
设falsefalse，
∵false轴，
∴false，
∴false，
∵false，
∴false，
又false，
∴false；
∵false，false，
∴false，
∴false，
∴false
false
false
false
false，
∵false，
∴false有最大值，最大值为2，此时，点false的坐标为false；
（3）解：∵false，
∴抛物线的顶点坐标为false，
∵抛物线false沿射线false方向平移false个单位长度得到新抛物线false，
∴新抛物线false是由抛物线false向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的，
∴false，
∵点M是新抛物线上一点，
∴设false，
∵false，则有：
①当点false在false上方时，如图，则false，
∴false，
∴false，
∵false，
∴false，false，
∴点false的坐标为false；
②当点false在false下方时，如图，则false与false交于点false，
设点false，则false，
∴false，
∵false，
∴false
∵false，
∴false，
∴false，
∴false，
∴false，
设直线false的解析式为false，
把false，false代入得false，
解得false，
∴直线false的解析式为false，
联立方程false，
解得false或false（不合题意，舍去）
∴false，
∴点false，
综上，当false时，点false的false或false．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用待定系数法求二次函数的解析式、一次函数解析式，二次函数的性质、勾股定理、函数图象与坐标轴的交点，二次函数图象的平移等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
12．(1)false
(2)false
(3)false或false
【分析】（1）根据一次函数的性质求出false，再利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）根据二次函数的性质求出false，设false，则false，则false，则当false时，线段false长度取得最大值，此时false；作点false关于false轴的对称点false，将点false向上平移2个单位长度得到点false，连接false、false、false，根据轴对称和平移的性质得到false，false，false，false，利用勾股定理求出false，通过证明四边形false是平行四边形，得到false，再利用线段之间的转化以及两点之间线段最短的性质即可求出false的最小值；
（3）设直线false交false轴于点false，利用一次函数的性质求出false，进而得到false，则有false，再分2种情况讨论：①点false在点false的左侧；②点false在点false的右侧；再利用一次函数和等腰三角形的性质求出对应的直线false的解析式，再联立抛物线和直线false的解析式，即可求出点R的坐标．
【详解】（1）解：代入false到false，得false，
∴false，
代入false和false到false，得false，
解得false，
∴抛物线的解析式为false；
（2）解：令false，则false，
解得false，false，
∴false，
设false，则false，
∴false，
∵false，
∴当false时，线段false长度取得最大值，此时false；
如图1，作点false关于false轴的对称点false，将点false向上平移2个单位长度得到点false，连接false、false、false，
则false，false，false，false，
∴false，false，false，
∴四边形false是平行四边形，
∴false，
∴false，
∴当false三点共线时，false有最小值，最小值为false，
∴false的最小值为false；
（3）解：设直线false交false轴于点false，
当false时，false，
∴false，
∴false，
∴false，
∴false，
∵false，
∴false，
∴false；
由（1）得，false，
∵将抛物线沿射线false方向平移false个单位长度得到新抛物线false，
∴将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到新抛物线false，
∴false，
∵点D平移后的对应点为点F，false，
∴false；
①当点false在点false的左侧，记此时点false为false，
∵false，false，
∴直线false的解析式为false，
∵false，
∴false，
∴设直线false的解析式为false，
代入false，得false，
解得false，
∴直线false的解析式为false，
当false，则false，
解得false，
∴false，
联立false，
解得false或false，
∴点R的坐标为false；
②当点false在点false的右侧，记此时点false为false，作false轴于点false，
则false，
由①得，false，
∴false，
∵false，
∴false，
∴false，
∴false，
设直线false的解析式为false，
代入false和false，得false，
解得false，
∴直线false的解析式为false，
联立false，
解得false或false，
∴点R的坐标为false；
综上，点R的坐标为false或false．
【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的最值问题、平行四边形的性质与判定、轴对称的性质、平移的性质、最短路径问题、一次函数的图象与性质，运用数形结合思想是解题的关键．本题是函数综合题，需要较强的数形结合和辅助线构造能力，综合要求较高，适合有能力解决几何难题的学生．

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