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二次函数综合问题（特殊三角形问题） 重点考点专题练
2026届初中数学中考一轮复习备考
1．已知：如图，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上是否存在一点，使，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由；
(3)若点是轴上一个动点，求使为等腰三角形的点的坐标．
2．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点在点左侧，点的坐标，点的坐标．
(1)求抛物线的解析式；
(2)是抛物线的对称轴上一点，当是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标；
(3)是直线下方抛物线上一动点（不与点，重合），过点作轴的垂线与轴、分别交于点，．是否存在这样的点，使四边形的面积最大？若存在，求此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，已知抛物线 经过点，与 x 轴交于 A、B 两点，与y 轴交于点 C，点 P 的坐标为，点 Q 在该抛物线上，横坐标为．其中．
(1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；
(2)点 M 是对称轴上的动点，当 是以为底的等腰三角形时， 求 M 点坐标；
(3)当抛物线在点B和点Q之间的部分（包括 B 、Q 两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为时，求m的值．
4．抛物线与轴相交于，两点（，分别在原点的左右两侧），与轴正半轴相交于点，且，的面积为（如图1）．
(1)求抛物线和直线的解析式；
(2)在抛物线上是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，已知二次函数的图像与轴的一个交点为，与轴的交点为，过，的直线为．
(1)求二次函数的解析式及点的坐标；
(2)在两坐标轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．
6．在平面直角坐标系中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为P．
(1)若抛物线经过点，求抛物线对应的函数关系式；
(2)是否存在以点A，C，P为顶点的三角形是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出抛物线对应的函数关系式；若不存在，请说明理由．
7．如图，若抛物线与直线的两个交点A，B关于原点对称，则称线段为抛物线的“对称弦”，该直线为抛物线的“对称弦直线”．已知抛物线交轴于点，与其“对称弦直线”交于点A，B．
(1)若该抛物线的“对称弦直线”为，求的值；
(2)在（1）的条件下，点为抛物线上点右侧一点，连接交于点，连接，，当时，求点坐标；
(3)当该抛物线对称轴在轴左侧时，抛物线上是否存在点，使得是以“对称弦”为斜边的等腰直角三角形，若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，抛物线与轴交点为，，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点在抛物线的对称轴上，使是以为腰的等腰三角形，求点的坐标；
(3)点在抛物线上，当满足时的点个数恰好是三个，请直接写出常数的值．
9．如图1，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点在线段上（点不与点，重合）运动时，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点，设点的横坐标为．
①若，求的值；
②若为等腰直角三角形，求的值；
(3)如图2，连接，点是抛物线上第一象限内一点，连接，若，请直接写出点的坐标．
10．如图，已知抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点．
(1)求、、三点的坐标；
(2)如图1，若点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，连接，当线段长度最大时，判断四边形的形状，并说明理由；
(3)如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且．在轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，已知抛物线经过点，与轴交于点，其对称轴为直线，为轴上一点，直线与抛物线交于另一点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)试在线段下方的抛物线上求一点，使得的面积最大，并求出最大面积；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，x轴上一点使得是等腰直角三角形？如果存在，求点的坐标；如果不存在，请说明理由．
12．如图，已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点，点D为抛物线在第四象限内的一点，连接，直线交于点E．
(1)求抛物线的函数表达式和点B的坐标，并直接写出的函数表达式；
(2)过直线E作轴于点H，以为对角线作正方形，当顶点G恰好落在抛物线上时，请求出点G的坐标；
(3)连接，令抛物线L沿射线平移个单位长度，得到抛物线，若抛物线L、的交点与点C、E构成的三角形是等腰三角形，直接写出的长．
参考答案
1．(1)
(2)
(3)或或或
【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与图形面积，二次函数与等腰三角形等知识．
（1）将点，代入抛物线中，求出待定系数的值，即可得出抛物线的解析式；
（2）设，则，根据，可得，解方程即可；
（3）设，表示出三边，再根据等腰三角形分情况讨论，列方程求解即可．
【详解】（1）解：把，代入可得
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：令可得，
解得
∴，
设，
∴，
∵，，
∴，
∴①或②，
解方程①得，方程②无解
∴；
（3）解：∵点是轴上一个动点，
∴设，
∵，，
∴，，，
∵为等腰三角形，
∴当时，，则，解得，此时或（舍去）；
当时，，则，解得，此时或；
当时，，则，解得，此时；
综上所述，存在使为等腰三角形，或或或．
2．(1)
(2)的坐标为或或或
(3)存在，
【分析】（1）将点，代入，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）由抛物线解析式得：抛物线的对称轴是直线，进而得出点．设点，由勾股定理得：，，．根据是以为腰的等腰三角形，列出方程，解方程，即可求解．
（3）待定系数法求得直线的解析式为．设点，则．得出进而根据得出关于的二次函数，根据二次函数的性质求得最值，即可求解．
【详解】（1）解： 点，在抛物线上，
，解得，
抛物线的解析式为．
（2）解：∵，
∴：抛物线的对称轴是直线，
当时，，
解得：，
点．
设点，由勾股定理得：
，，．
若，即，．
若，即，．
综上所述，的坐标为或或或．
（3）解：存在这样的点，使四边形的面积最大．
理由：设直线的解析式为．
，在这条直线上，
，解得，
直线的解析式为．
设点，则．
是直线下方抛物线上一动点，
．
．
；
，，
当时，最大，最大值为．
．
此时点．
【点睛】本题考查了二次函数综合应用，待定系数法求解析式，等腰三角形的定义，面积问题，勾股定理，二次函数的性质，一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键．
3．(1)，
(2)M点坐标为
(3)m的值为1或
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式，进而求出顶点坐标即可；
（2）根据 是以为底的等腰三角形，得到，进行求解即可；
（3）分两种情况，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：把，代入，得：，
解得：，
∴，
∴，顶点坐标为：；
（2）∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
令，解得：，
∴，，
当时，，
∴，
∴，
设，则：，
由题意，得：，
解得：（舍去），
∴；
（3）当时，，
∴，
∵，
∴，
∴点在对称轴的左侧，
当时，最高点为顶点，最低点为点，则：，
解得：；
当时，最高点为顶点，最低点为点，则：，
解得： ，（舍去）；
综上：m的值为1或．
4．(1)抛物线解析式为，直线解析式为
(2)或
【分析】本题考查二次函数综合，一次函数，等腰直角三角形的判定，直角三角形的性质，一元二次方程，熟练掌握这些性质，并通过题意构造符合题意的图形是解题的关键．
（1）先得出点，利用，得出，再利用，得出，，得出，的坐标，分别利用待定系数法即可求出抛物线和直线的解析式；
（2）利用是以为直角边的直角三角形，分两种情况：①当以为直角顶点时；②当点为直角顶点时，过点作轴的垂线，构造等腰直角三角形，设，利用等腰直角三角形得出线段相等，列式求解即可．
【详解】（1）解：令得，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
把、两点坐标代入中，
得：，
解得：，
∴抛物线解析式为，
设直线解析式为，
将、两点坐标代入，
得：，
解得：，
∴直线解析式为；
（2）解：存在，理由如下：
①当以为直角顶点时，
过点作，交抛物线于点．过点作轴于点，如图，
．
由，，
得，
∴，
，
，
，
，
，
设，
则，
解得：（舍），，
，
则；
②当点为直角顶点时，
过作交抛物线于点，过点作轴于点，设交轴于点，
如图，
轴，
，
，
，，
，，
，
设，
则，
解得：，（舍），
，
即，
综上所述，的坐标是或．
5．(1)二次函数的解析式为；点的坐标为
(2)存在，，，，，，，，
【分析】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数与等腰三角形的综合，掌握代数系数法，二次函数与特殊三角形的综合，等腰三角形的性质是解题的关键．
（1）将代入抛物线解析式，运用待定系数法可得二次函数解析式，根据二次函数图象与坐标轴交点的计算方法即可求解；
（2）根据等腰三角形的判定和性质，分类讨论：第一种情况：当使得是以为底边的等腰三角形，点在线段的垂直平分线上，①当点在轴上时，，设；②当点在轴上时，，设；由等腰三角形的性质列式计算；第二种情况：为腰时，以点为圆心画半径为5画圆弧，除点外有3个交点；第三种情况：为腰时，以点为圆心画半径为5画圆弧，除点外有3个交点；由此即可求解．
【详解】（1）解：将代入，得，
解得，
二次函数的解析式为，
点是二次函数与轴的交点
∴点的横坐标为0，
将带入解析式中，求得，
∴点的坐标为；
（2）解：存在，满足题意的点，使得是等腰三角形．
∵，，
∴，且，
∴，
第一种情况：当使得是以为底边的等腰三角形，点在线段的垂直平分线上，如图所示，
①当点在轴上时，，设，
，，
，
解得，此时；
②当点在轴上时，，设，
，，
，
解得，
此时；
第二种情况：为腰时，以点为圆心画半径为5画圆弧，除点外有3个交点，即有3个点满足要求此时，，；
第三种情况：为腰时，以点为圆心画半径为5画圆弧，除点外有3个交点，即有3个点满足要求此时，，；
综上所述：存在，，，，，，，使得是等腰三角形．
6．(1)
(2)或．
【分析】（1）根据抛物线求出点A，B的坐标，由抛物线与是“共根抛物线”，可设出抛物线的解析式，最后把点代入即可求解；
（2）设点P的坐标为，求得，，，分点P在x轴上方和点P在x轴下方，利用勾股定理列式，求得点P的坐标，据此即可求解．
【详解】（1）解：在抛物线中，
令，
则，
解得或，
即点，点，
根据题意，设抛物线的函数关系式为：，
将点代入得：，
解得：，
∴抛物线的函数关系式为：；
（2）解：假设存在，设点P的坐标为，
，，
，，，
当点P在x轴上方时，
由题意得，即，
解得，
即点P的坐标为，
将点代入得：，
解得：，
∴抛物线的函数关系式为：；
当点P在x轴下方时，
由题意得，
即，
解得，
即点P的坐标为，
将点代入得：，
解得：，
∴抛物线的函数关系式为：；
综上，抛物线L2的函数关系式为：
或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，关键是根据待定系数法求解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及勾股定理解答．
7．(1)
(2)
(3)存在点
【分析】（1）先求出的值，再联立方程组，由对称性可得，即可求解；
（2）由题意可知点是的中点，设，则，将点代入抛物线的解析式即可求解；
（3）设，，联立方程组，可得，，过点作轴交于点，过点作轴交于点，则，求出，将点坐标代入抛物线的解析式即可求的值，从而求点坐标．
【详解】（1）解：抛物线交轴于点，
，
，
，
联立方程组，
整理得，
抛物线与直线的两个交点关于原点对称，
，
；
（2）解：由（1）得抛物线解析式为
，
，
点是的中点，
设，
∴，
代入得，
解得，
点在点的右侧，
，
∴；
（3）解：存在点，使得是以“对称弦”为斜边的等腰直角三角形，理由如下：
的对称轴为直线，
对称轴在轴左侧，
，
，
设，，
，关于原点对称，
，
联立方程组，
整理得，
，，
，，，
，
，
过点作轴交于点，过点作轴交于点，
，，
，
，，
，
，
或，
，
，
∴．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解新定义，能将所求问题与直角三角形全等，二次函数的图象及性质结合是解题的关键．
8．(1)
(2)点的坐标为或或或；
(3)
【分析】（1）把点，代入解析式，运用待定系数法求解即可；
（2）运用勾股定理可得，设，则，则，，由等腰三角形的定义可得，在中，运用勾股定理即可求解；
（3）根据题意，运用待定系数法求出直线的解析式为，如图所示，过点作轴的垂线交于点，交轴于点，设，则，分类讨论：当点在上方时，，则，整理得，，所以；当点在直线下方时，，则，整理得，，所以；由满足时的点个数恰好是三个，则有，可得，此时可得的三个点横坐标，符合题意，由此即可求解．
【详解】（1）解：抛物线与轴交点为，，
∴，
解得，，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵，
∴二次函数的对称轴直线为，
当时，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵点在抛物线的对称轴上，设对称轴与轴交于点，
∴设，则，
∴，，
如图所示，，则是以点为顶点，以为腰的等腰三角形，
∵，
∴在中，，即，
解得，，
∴或；
当以点为顶点，以为腰的等腰三角形时，，
∵二次函数图象的对称轴为，点在对称轴直线上，
∴点的横坐标为，
∵，且，
∴，
设点，且，
∴，
解得，或或，
∴或，或；
综上所述，当是以为腰的等腰三角形，点的坐标为或或或
（3）解：∵，
∴设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
如图所示，过点作轴的垂线交于点，交轴于点，设，
∴，
∴，，
∴，
当点在上方时，，
∴，
整理得，，
∴，
当点在直线下方时，，
∴，
整理得，，
∴，
∵满足时的点个数恰好是三个，
∴，
解得，，
∴，，符合题意．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质，待定系数法求解析式，二次函数与等腰三角形的综合，二次函数与几何图形面积的计算，公式法求一元二次方程的解等知识的综合，掌握二次函数与几何图形的综合运用是解题的关键．
9．(1)
(2)①；②或3
(3)
【分析】（1）将、的坐标代入解析式，即可求解；
（2）①由待定系数法得直线的解析式为，可求，，即可求解；
②分类讨论：当时， 当时，即可求解；
（3）过作交于，过作轴交于，由可判定，由全等三角形的性质可求得，待定系数法求出直线的解析式，联立一次函数与二次函数解析式，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：①当时，
，
，
设直线的解析式为，则有
，
解得：，
直线的解析式为，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，（舍去），
故；
②，，
，
，
轴，
轴，
，
当时，如图，
为等腰直角三角形，
，
，
解得：，（舍去），
；
当时，
为等腰直角三角形，
，
，
同理可求：，
，
，
解得：，（舍去），
综上所述：或3；
（3）解：过作交于，过作轴交于，如图，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中
，
（），
，
，
，
，
同理可求直线的解析式为，
联立得，
解得：或（舍去）
．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，等腰三角形是判定，全等三角形的判定及性质等，能构建全等三角形及根据直角不同进行分类讨论是解题的关键．
10．(1)，，
(2)四边形为平行四边形，理由见解析
(3)存在，点的坐标为或或
【分析】（1）在中，分别令和，解方程可求解；
（2）先求出直线的表达式为，设点的坐标为，则点的坐标为，则，进而求解；
（3）过点作轴于点，设直线与轴交于点，则，，故，当，则，则直线和直线关于直线对称，进而求出点的坐标为，再分、、三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：在中，令，则，
解得：，，
点，点，
令，则，
点；
（2）四边形为平行四边形，理由如下：
，，
设直线的表达式为，
则，
解得：，
故直线的表达式为，
设点的坐标为，则点的坐标为，
则，
，故有最大值，当时，的最大值为，
，，
四边形为平行四边形；
（3）是的中点，点，
点，
由（2）知，当时，的最大值为，
当时，，
，
设直线的表达式为，将，代入得：
，
解得：，
直线的表达式为，
过点作轴于点，设直线与轴交于点，
则，，故，
而，
，
则直线和直线关于直线对称，
，
，，
，，
，
，
设直线的表达式为，将，代入得：
，
解得：，
直线的表达式为，
联立，
解得：或（不合题意，舍去），
点，
设点，
，，
，，，
当时，，
解得：；
当时，即，方程无解；
当时，即，
解得；
综上所述，点的坐标为或或．
【点睛】此题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象与性质，一次函数图象的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，函数的最值，平行四边形的判定，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
11．(1)
(2)，最大面积为
(3)存在，或或；
【分析】（1）根据对称轴可知，再将点代入中，求出的值即可确定函数的解析式；
（2）过点作轴交于点，设，则，可求，当时，的面积最大为，此时；
（3）设，分三种情况讨论：当，时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，证明，得到，求出的值再求点坐标即可；当，时，过点作轴交对称轴于点，过点作交于点，同理可证，此情况不存在；当，，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，同理可证，可求．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，
，
，
将点代入中，
，
解得，
；
（2）解：设直线的解析式为，
，
解得，
，
联立方程组，
解得或，
，
过点作轴交于点，
设，则，
，
，
，
当时，的面积最大为，
此时；
（3）解：存在一点，轴上一点使得是等腰直角三角形，理由如下：
抛物线对称轴为直线，
设，
如图1：当，时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，
，
，
，
，
，
，，
，
解得或，
或，
或；
如图2，当，时，过点作轴交对称轴于点，过点作交于点，
同理可证，
，，
，
此情况不存在；
如图3，当，，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，
同理可证，
，，
，
；
综上所述：点坐标为或或；
【点睛】本题考查了二次函数综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和勾股定理的逆定理；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会利用两点间的距离公式计算线段的长；注意分类讨论思想的应用．
12．(1)，，
(2)
(3)或
【分析】（1）将点、点代入解析式即可求出抛物线的表达式，令，可求的坐标，待定系数法求直线解析式，即可求解；
（2）①当在的左侧时，连接，过作轴交于，设，由正方形的性质得 ，，，代入抛物线解析式可求出，即可求解；②当在的右时，即可求解；
（3）由勾股定理得，由抛物线L沿射线平移个单位长度得抛物线L向左平移单位长度，向上平移个单位，由平移的规律求出，可求出与的交点为，①当时，过作交于，由勾股定理得 ，即可求解； ②当时， ③当时，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得
，
解得：，
抛物线的函数表达式，
当时，
，
解得：，，
，
设直线的函数表达式为，则有
，
解得，
直线的函数表达式为，
故抛物线的函数表达式，，直线的函数表达式为；
（2）解；①当在的左侧时，如图，
连接，过作轴交于，
设，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
整理得：，
解得：，，
，
，
，
，
；
②当在的右时，
，
，
，
与重合，矛盾，
故此种情况不存在；
综上所述：的坐标为；
（3）解：，，
，，
，
抛物线L沿射线平移个单位长度，
抛物线L向左平移单位长度，向上平移个单位，
：
，
，
解得：，
与的交点为，如图，
①当时，如图，
过作交于，
，
，
，
，
，
在中，
，
在中，
，
，
，
解得：，
，
；
②当时，如图，
；
③当时，如图，
，
，
，
，
故此种情况不存在；
综上所述：的长为或．
【点睛】本题考查了二次函数与特殊四边形综合，二次函数与特殊三角形综合，待定系数法等；能根据正方形顶点的不同位置及等腰三角形的腰的不同进行分类讨论是解题的关键．
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