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三角函数与解三角形解答题 典型考点冲刺练 2026届高中数学高考三轮冲刺练
1．已知，，设.
(1)当，时，试判断函数的奇偶性，并说明理由；
(2)当且函数的最小正周期为时，若在中，，求的取值范围.
2．已知函数的最小正周期为.
(1)若，，求的值；
(2)将函数的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到的图象对应函数记为，求函数在上的值域.
3．在中，内角的对边分别为，且满足.
(1)求角的大小：
(2)若的周长为，求的边上的高.
4．记的内角，，的对边分别为，，，已知，且．
(1)求角的大小；
(2)若，求的面积；
(3)求周长的取值范围．
5．在中，内角、、的对边分别是、、，且．
(1)若，，求；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围．
6．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角A；
(2)D为BC上一点，．
（i）若，求的值；
（ii）若，求面积的最大值．
7．已知向量，其中．
(1)若，求图象的对称轴；
(2)记的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度得到的图象，若在区间上单调递增，求的取值范围；
(3)已知为锐角三角形，内角的对边分别为，若，求的取值范围．
8．在中，角所对的边分别是.已知，的面积为.
(1)求的最小值；
(2)若，为线段上一点当时，求的值；
9．在中，角所对的边分别为，且满足．
(1)求证：；
(2)若，求；
(3)求的最小值．
10．已知，，.
(1)求函数单调递增区间；
(2)设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若且.求面积的最大值.
11．已知函数的最大值为1．
(1)求使成立的的集合；
(2)记的内角的对边分别为，已知，的面积为，求的周长．
12．△ABC的顶点A，B分别在矩形CDEF的边DE，EF上运动，且，，，记，△ABC的面积为.
(1)写出的解析式；
(2)求的最小值.
13．如图，四边形的对角线相交于点.

(1)求证：；
(2)已知.
①求四边形的面积；
②若与面积相等，求证：.
14．已知函数，.
(1)求；
(2)求的最小值和单调区间.
15．在中，角的对边分别为，满足，点是上的一动点，且.
(1)求角的大小；
(2)若为边上的高，且，求的面积；
(3)若为的角平分线，求的最小值.
16．在中，已知．
(1)求；
(2)若边上的高等于，求．
17．在△ABC中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 向量，,点 M 在边BC上，AM 是角A 的平分线．
(1)求角A；
(2)求 AM 的长．
18．记斜的内角的对边分别为，已知，且．
(1)求角；
(2)为边的中点，若，求的面积；
(3)如图所示，是外一点，若，且，记的周长为，求的取值范围．
19．记的内角的对边分别为，.
(1)求A；
(2)延长至，使，求的值.
参考答案
1．(1)函数是非奇非偶函数，理由见解析
(2)
【分析】（1）由可得的奇偶性；
（2）先求出函数的解析式，再由正弦定理和余弦定理得到，再利用三角恒等变换对进行化简并结合三角函数的图象性质得到结果.
【详解】（1）当，时，，由，
所以既不关于轴对称，也不关于原点对称，
所以函数是非奇非偶函数.
（2）当且函数的最小正周期为时，，，
由在中，，利用正弦定理可得，再利用余弦定理可得，所以，
，
由于，，，所以，
即的取值范围是.
2．(1)
(2)
【分析】（1）运用同角三角函数关系以及二倍角的余弦公式即可；
（2）运用三角函数图象的平移、换元法以及正弦函数图象的性质等进行解决即可.
【详解】（1）函数的最小正周期为，，即，
由，即，则，
，，，
，
由，.
（2）由（1）知，，
其图象向右平移个单位后得到的图象对应函数为，
再向上平移2个单位得到的图象对应函数为，即.
当时，，令，，
则在区间上单调递减，在区间上单调递增，
，即.
.
故函数在上的值域为.
3．(1)
(2)
【分析】（1）利用三角形内角和代换，再利用诱导公式和正弦定理角化边，即可得；
（2）由题可得，利用余弦定理可得，再利用等面积公式即可求出高.
【详解】（1）因为，
所以，
结合正弦定理可得，即，
可得，因为，所以.
（2）因为的周长为，所以，所以，
在中，由余弦定理得，所以
又的面积，设边上的高为，所以
，解得.
4．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用正弦的两角和公式化简得，可得，即可得解；
（2）利用余弦定理结合已知条件计算可得，再利用三角形面积公式计算即可.
（3）利用正弦定理把边转化为角，结合角的范围，即可求解.
【详解】（1）根据，
可得，
所以，因为，所以；
（2）由（1）可知，，根据余弦定理，
因为，则，即，
又因为，所以，解得，
所以的面积；
（3）因为，所以，
所以，，
所以的周长
，
因为，所以，所以，
所以.
5．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理结合三三角恒等变换化简得出，利用二倍角的余弦公式求出的值，利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用正弦定理可求得的值；
（2）由为锐角三角形求出的取值范围，再利用正弦定理结合余弦函数的基本性质可求得的取值范围.
【详解】（1）由及正弦定理得
，
因为、，则，所以，
由可得.
①若，可得，矛盾；
②若，可得.
因为，所以，
，
由正弦定理得.
（2）因为为锐角三角形，则，解得，
由正弦定理可得，即的取值范围是.
6．(1)；
(2)（i）；（ii）.
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式化简求解.
（2）（i）利用正弦定理，结合和角的正弦公式求解；（ii）利用向量数量积的运算律及基本不等式求出最大值，再利用三角形面积公式求解.
【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，
则，即，
整理得，而，所以.
（2）（i）由，得，，
在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，
所以.
（ii）由得，得，则，
因此，即，
当且仅当时取等号，则，，
所以当时，的面积取得最大值.
7．(1)；
(2)；
(3)
【分析】（1）利用向量数量积公式和三角恒等变换化简得到，整体法求出函数对称轴；
（2）求出，根据单调递增区间得到不等式，求出的取值范围；
（3）由，得到，由余弦定理和正弦定理得到，因为为锐角三角形，所以，求出的取值范围，得到答案．
【详解】（1）
，
当时，．
令，得，
所以图象的对称轴为.
（2）由（1），得，
所以，
因为将的图象向左平移个单位长度得到的图象，
所以.
因为，所以，
又函数在区间上单调递增，
所以，
即，解得
所以，即
又，所以，即的取值范围是.
（3）由，得，
又，所以，
又为锐角三角形，所以，
所以，解得．
由余弦定理，得，
所以，
所以．
由正弦定理，得，
所以，
因为为锐角三角形，所以，
所以，
故的取值范围为，
所以的取值范围为．
所以的取值范围是．
8．(1)
(2)
【分析】（1）由诱导公式及二倍角公式得到，由面积公式得到，再由余弦定理结合基本不等式即可求解；
（2）设，所以.在中，在中，分别使用正弦定理得到，
，再结合即可求解.
【详解】（1）因为，
所以，
由于，则，得.
因为，得，
由余弦定理得，解得.
当且仅当时取等.
（2）由（1），
设，所以.
在中，由正弦定理得，，即，
在中，由正弦定理得，，即，
因，代入化简得，
即，解得，即.
9．(1)证明见解析
(2)4
(3)
【分析】（1）利用正弦定理，结合三角形内角和，可探索角的关系.
（2）先利用（1）的结论，求角的正弦和余弦，再求角的正弦，利用正弦定理，可探索的关系，结合，可求的值，再用余弦定理求边.
（3）先用表示，用正弦定理可得，再利用基本不等式，可求其最小值.
【详解】（1）因为，根据正弦定理得：.
又因为，
所以.
又为三角形内角，所以.
（2）因为，，
所以，，
.
所以.
由正弦定理得，
又，所以，.
由余弦定理得.
所以.
（3）因为
.
由正弦定理
因为，所以，
所以，当且仅当即时取等号.
所以的最小值为.
10．(1)，
(2)
【分析】通过向量数量积得到函数表达式，并利用三角恒等变换化简函数表达式，再运用正弦函数单调性，整体代换计算即可.
利用余弦定理建立边角关系，结合不等式求面积的最大值.
【详解】（1）首先，根据题意，可得到：
，
，
，
令，，
得：，
即：，
所以的单调递增区间为，.
（2）由 ，得，
，解得：，，
可得，由于，所以；
利用余弦定理可得，，
，
由不等式 ，得：
，
，当且仅当“”时取“=”，
所以.
的面积，
当 取最大值 3 时，面积最大，.
11．(1)
(2)
【分析】（1）由辅助角公式得到，结合最大值求解，再由即可求解；
（2）由（1）求得，再结合三角形面积公式及余弦定理即可求解.
【详解】（1）
，
最大值为，
所以，
即，
则，即，
即，
即，
所以的解集为：
（2）因为，
即，即，
因为为三角形内角，所以，得，
又的面积为，即，
得，
又
则即，
所以周长为.
12．(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得，利用，，求得两边，进而可求得面积；
（2）利用三角恒等变换可求得的最小值.
【详解】（1）因为在矩形CDEF中，，，所以，
因为△ABC的顶点A，B分别在矩形CDEF的边DE，EF上运动，所以，
由，可得，由，得，
所以，；
（2）由（1）知，
所以
，
因为，所以，所以，
所以时，.
13．(1)证明见解析
(2)①；②证明见解析
【分析】（1）在中利用余弦定理将表示出来，化简即可证明；
（2）①分别求出的面积，再加和即可求出四边形的面积；
②通过与面积相等求出，再在和中利用余弦定理求出，，根据勾股定理证明即可
【详解】（1）由余弦定理得
在中，①
在中，②
在中，③
在中，④
由③+④-①-②得：
.
故
（2）①由（1）得，
又
可求得.
又四边形的面积为
.
②由若与面积相等，因为为公共底边，
故两个三角形上的高相等，即，所以.
设.
在中得：，即
在中得：.两式相加得：，两式相减得：，
所以，故.
故，所以.
又，所以，
由勾股定理得：.
14．(1)
(2)的最小值为，单调增区间为，；单调减区间为，.
【分析】（1）代入，可求的值.
（2）利用三角恒等变换，把化成的形式，再分析函数的性质.
【详解】（1）因为，所以.
又，所以.
（2）因为
.
所以函数最小值为，当，，即，时取最小值.
由，，；
由，，.
所以函数的单调增区间为，，
单调减区间为，.
15．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由，由正弦定理得，结合，化简可求得，从而可求得；
（2）由和可求得，由余弦定理得，进而可得的面积；
（3）由可得，利用基本不等式可得，利用条件和正弦定理化简，然后基本不等式求解即可．
【详解】（1）由，由正弦定理得，
，
，
，
，
.
（2）因为，即，
又，所以，
由余弦定理得，
化简可得，解得，
所以的面积.
（3）因为为的角平分线，且，
因为，
所以，
所以，又，可得，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以
，
当且仅当且，即时取等号，
又当时，，符合题意，
故的最小值为12.
16．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理边化角化简求角B；
（2）由已知得，，再用余弦定理求值.
【详解】（1）由，根据正弦定理可得，
即，因为，所以，所以，即，
所以.
（2）设角对应的边分别为，则，即，
由余弦定理，，
所以，
所以.
17．(1)
(2)2
【分析】（1）根据向量垂直的关系，结合正弦定理边角互化即可求解，
（2）由余弦定理以及三角形面积公式即可求解.
【详解】（1）因为，所以，
故，
由正弦定理可得,
由于，所以,
结合,则，
（2）由于AM 是角A 的平分线，，
由余弦定理可得，解得，
又,
解得
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用余弦定理，结合二倍角公式即可求出角的值；
（2）通过向量平方关系，结合余弦定理求出的值，最后用三角形面积公式即可得出答案；
（3）先在和中利用正弦定理将边长转化为三角函数形式，进而表示出，再利用三角函数的单调性确定的取值范围.
【详解】（1）利用余弦定理化简，得，
在斜中，得，，
故上式可化为，
，可得，利用二倍角公式可得，
，，即，.
（2）为边的中点，根据向量的平行四边形法则，得，两边同时平方得，，
，得，
由（1）可知，即，，
由余弦定理得，解得，
的面积为
（3），在中，由正弦定理可得，，即，
在中，由正弦定理可得，，即，
四边形的内角和为，且，，
在中，由余弦定理可得，
，
即，
，
，在中,，，
，故的取值范围为.
19．(1)
(2)
【分析】（1）通过对已知等式进行化简，然后利用余弦定理求出角A.
（2）利用正弦定理列出等式，进而求出的值.
【详解】（1）由得，
所以根据余弦定理得，，则.
（2）如图：
因为，所以，则是正三角形，所以，
在中，根据正弦定理，由题意，
得，所以.
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