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三角函数中的范围问题 典型考点冲刺练 2026届高中数学高考三轮冲刺练
一、单选题
1．已知函数，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，总存在唯一实数，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，若，且在上有最大值，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．设函数，已知，且在区间上无零点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
5．已知函数在区间上单调递增，则当取最大值时，在区间上的值域为（ ）
A．B． C． D．
6．函数的最小值为（ ）
A．0 B． C．1 D．2
7．已知函数，，则的最大值与最小正周期分别为（ ）
A．3， B．3， C．， D．，
8．已知函数，当时，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数，若的图象在长度为的任意闭区间上与直线最少有3个交点，最多有4个交点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
10．已知函数，若，，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则的取值范围为
C．若，则的最小值为
D．若，则的取值范围为
11．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．若函数为偶函数，则
B．若时，且在上单调，则
C．若时，的图象在长度为的任意闭区间上与直线最少有3个交点，最多有4个交点，则
D．若函数在上至少有两个最大值点，则
12．已知函数的图象是由曲线上各点横坐标变为原来的后，向右平移个单位长度所得.记，则（ ）
A．
B．曲线关于点中心对称
C．若在区间上单调递减，则的取值范围是
D．若在区间上有零点，则的取值范围是
三、填空题
13．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则的最大值为___________．
14．已知锐角，满足，则的最小值为______.
15．函数的值域为__________.
16．已知，（i为虚数单位），则函数的最大值为______.
17．函数的值域为______.
四、解答题
18．已知函数的最小正周期为，且.
(1)求在的值域；
(2)将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若对任意，，当时，恒成立，求的最小值.
19．已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象．
（i）若在区间上没有对称轴，求的取值范围；
（ii）若关于的不等式在区间上有解，求实数的取值范围．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B D C B C B D ACD
题号 11 12
答案 ABD ACD
1．B
【分析】利用三角函数图象变换得出，由求出的取值范围，由求得，结合题意得出关于的不等式，解之即可.
【详解】由三角函数的图象变换可得，
当时，，则，
因为，则，
因为，总存在唯一实数，使得，
当时，，
由题意可知，解得，
故实数的取值范围是.
故选：B.
2．C
【分析】利用辅助角公式化简，根据对称轴可求得；根据在上有最大值可确定，得到，进而可确定最小值.
【详解】；
，关于直线对称，
，结合，解得：；
当时，，
在上有最大值，，解得：；
当时，取得最小值.
故选：C.
3．B
【分析】由，得到，结合正切函数的性质，求得，即可得到答案.
【详解】由函数，因为，可得，
又因为在上单调递增，可得，
解得，
因为，所以，可得，所以的最大值为．
故选：B．
4．D
【分析】利用正弦函数的性质结合已知条件求出，再利用函数在区间内无零点求出的范围，最后利用正弦函数单调性求最大值．
【详解】，所以，
在区间上无零点，则，解得，
，，令，则，
在上单调递增，
．
故选：D．
5．C
【分析】先由正弦函数的单调性和在区间上单调递增确定的最大值，再由正弦函数的单调性求出值域即可.
【详解】因为，所以当时，，
因为在区间上单调递增，所以，则，即，
所以，所以，解得，则的最大值为1，
此时，
当时，，则在区间上的值域为.
故选：C.
6．B
【分析】利用以及倍角公式化简即可求最值.
【详解】
，
当时，有最小值.
故选：B
7．C
【分析】根据辅助角公式，对函数进行化简，进而根据正弦函数性质，求出函数最大值与最小正周期.
【详解】由题意得，其中，
则最大值为，最小正周期为.
故选：C.
8．B
【分析】利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，然后再利用正弦函数的基本性质可求出函数的最小值.
【详解】由，
根据二倍角公式得，
当时，所以，结合正弦函数图像可知，
时，的最小值为,
最大值为，故，
因此，所以的最小值为.
故选：B.
9．D
【分析】令，解出后利用正弦函数性质可得相邻交点的最小距离和最大距离，再结合题意计算即可得.
【详解】令，则，
所以，或，，
则，或，，
所以相邻交点最小的距离为，最大距离为，
由的图象在长度为的任意闭区间上与直线最少有3个交点，
最多有4个交点，故相邻四个交点之间的最大距离不大于，
相邻五个交点之间的最小距离大于，
又两个周期T的距离内最多个交点，
所以，且，所以.
故选：D.
10．ACD
【分析】对A：可化为，结合正弦函数值域可得存在，使得，即可得A；对B：结合定义域与正弦函数图象计算即可得；对C：表示出后代入计算即可得；对D：结合正弦函数图象可得，再分的不同取值计算即可得.
【详解】对A：由，
则，
化简得，
由，则、，
则恒有，即，故A正确；
对B：若，需存在，使得，
当时，，则有，
解得，即的取值范围为，故B错误；
对C：由，则，
，且，
则，且，
故，
当且仅当时，等号成立，故C正确；
对D：若，则，
则，，
即有，，
有，解得，即，
若，则，又，解得；
若，则，又，解得；
又时，有，即，
故时，符合要求；
综上所述：的取值范围为，故D正确.
故选：ACD.
11．ABD
【分析】对于A项，根据正余弦函数奇偶性可得出，从而求出，可判断A；对于B项，根据正弦函数单调性列出不等式，求解可求出范围，从而判断B；对于C项，当时，根据的解从而判断C；对于D项，在上至少有两个最大值点，则，可求出的大致范围，在的范围下逐一讨论区间端点所在范围，可求出的最终范围.
【详解】对于A项，要使函数为偶函数，则，
则，故A项正确；
对于B项，时，，
因为，所以，
因为在上单调，所以有，解得，故B项正确；
对于C项，当时，，由题意只有两个解，
所以的图象在长度为的区间上与直线只有两个交点，不合题意，故C项错误；
对于D项，，
故，所以，所以.
因为，所以.
由于，所以，
则，解得；
②，解得；
③，解得；
④当时，，满足在上至少有两个最大值点；
综上所述，.
故选：ABD.
12．ACD
【分析】根据三角函数的平移伸缩规律分别求的即可判断项；求出的解析式，带入验证即可判断项；根据函数解析式，求得单调区间，结合的范围和子集关系求解即可判断项；根据函数解析式，求得的零点，结合的范围求解即可判断项.
【详解】根据题意得，所以，则，
又，所以，解得，所以，故正确；
因为，且，
所以曲线不关于点中心对称，故错误；
，令得，
所以的单调递减区间为，
则且，
所以解得，故正确；
令得，所以轴正半轴上从左往右的三个零点依次为，，，
由得，所以若在区间上有零点，
则或，解得或，故正确.
故选：.
13．
【分析】利用奇、偶函数的定义，列出方程组，求解即得函数解析式，结合辅助角公式和正弦函数的性质即可求得函数最大值.
【详解】因为偶函数，则①，
又为奇函数，则②，
由①－②，整理得，则，其中，
故当时，即时，的最大值为.
故答案为：.
14．/
【分析】根据两角和的余弦公式及弦切互化得，从而利用二倍角的正弦公式和余弦公式化简得，最后根据为锐角及正弦函数的性质求得最小值.
【详解】因为，所以，
所以，
因为为锐角，所以两边同除得，
所以.
因为为锐角，所以当时，有最大值为1，此时取到最小值为.
故答案为：
15．
【分析】化简可得，令且，所以函数的值域等价于在区间上的值域，利用二次函数求出在区间上的值域即可.
【详解】由题可得：
，令，则，令，
所以函数的值域等价于在区间上的值域，
由于，所以当时，，，
则函数的值域为，
故答案为：
16．/
【分析】先根据复数的运算法则求出的值，再将函数化简，最后根据三角函数的性质求出最大值即可.
【详解】因为，整理得，
所以，解得：，，
所以，
利用辅助角公式化简得，
又因为余弦函数的值域是，
所以当时，取得最大值，
即.
故答案为：.
17．
【分析】根据三角函数的诱导公式化简函数，然后利用函数的奇偶性和基本不等式即可求解.
【详解】因为，所以；
因为为奇函数，当时，，所以；
当时，，所以，当且仅当时，等号成立；
故，所以的值域为.
故答案为：.
18．(1)
(2)
【分析】（1）整理可得，根据周期和求，以为整体，结合正弦函数的有界性运算求解；
（2）根据图像变换可知，分析可知函数在内单调递减，结合正弦函数的单调性运算求解.
【详解】（1）由题意可知：
，
因为函数的最小正周期为，且，
则，可得，即，
又因为，可得，
所以.
因为，则，
可得，即，
所以在的值域为.
（2）将的图象向右平移个单位长度，
得到函数，
若，即，
且，，，可知函数在内单调递减，
则，
因为，则，
可得，解得，
所以的最小值为.
19．(1)
(2)（i）；（ii）或．
【分析】（1）利用降幂公式以及辅助角公式把合并，然后利用最小正周期计算公式可得答案；
（2）利用平移伸缩法则可得到的解析式，（i）法一：利用，得到的范围，然后使它在相邻两条对称轴之间即可，法二：求出的对称轴，使区间在相邻两条对称轴之间即可，（ii）利用三角恒等变换化简，令，然后把问题转化为关于的不等式有解问题，法一：利用二次函数实根分布可得答案；法二：从反面入手，把能成立问题转化为恒成立问题，然后利用实根分布可得答案；法三：利用分离参数，把问题转化为求函数最值问题.
【详解】（1），
函数的最小正周期为；
（2）（i）将函数的图象向左平移个单位长度，得到
将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），
得到函数
（i）（法一）
，而，
.
.
解得.
又，
当时，；
当时，
综上可知，的取值范围是.
（法二）
令，
则的对称轴方程为，.
又在区间上没有对称轴，
，
解得，
（后同法一）；
（ii）由，
可得，
即，．
即，
即，其中，
因为，则，
令，
则关于的不等式在上有解，
（法一）
设，
则或，
解得或；
（法二）
依题意先研究：当在上恒成立时的取值范围，再求其补集即可．
设，
则即.
解得
满足题意的的取值范围是或．.
（法三）
由可得，
当，即时，不等式不成立，舍去；.
当，即时，有解，
设，令，
则在上单调递增，所以当时，
即可，解得；
当，即时，有解，
此时，
而在上单调递增，所以当时，
即可，解得；
综上可知，或．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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