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三角函数综合运用 典型考点冲刺练 2026届高中数学高考三轮冲刺练
一、单选题
1．已知false，函数false在点false处的切线均经过坐标原点，则（????）
A．false B．false
C．false D．false
2．已知函数false，则（????）
A．false是奇函数
B．false是偶函数
C．false的图象关于false对称
D．false的图象关于false对称
3．已知函数false在false上只有一个极值点，且false，则false的值不可能为（????）
A．1 B．false C．2 D．3
4．已知函数false在区间false上有且仅有一个零点，且false，则false（???）
A．2 B．false C．false D．1
二、多选题
5．已知函数false，则下列结论正确的是（???）
A．false在区间false上单调递增
B．false的图象关于直线false对称
C．false的值域为false
D．若关于false的方程false在区间false有实数根，则所有根之和组成的集合为false
6．已知函数false，则（????）
A．false的一个周期为false
B．false的图象关于直线false对称
C．false的最大值为2
D．false在false上的所有零点之和为false
7．已知函数false，则（????）
A．false是偶函数
B．false的图象关于直线false对称
C．false在false上单调
D．false的最大值是false
8．已知函数false，false，false且false，则（???）
A．函数false的一个周期为false
B．函数false在false上单调递减
C．曲线false关于false对称
D．函数false与函数false的最大值相等
9．已知函数false，则（????）
A．方程false的解集是false
B．当false时，恒有false
C．函数false的值域是false
D．函数false的零点个数不可能为3
10．数学中有许多形状优美的曲线，曲线C：false就是其中之一，其形状酷似数学符号“false”，设false为曲线C上任意一动点，则（???）
??
A．曲线C与直线false有3个公共点 B．曲线C上任意两点距离最大值为4
C．false的最大值为false D．曲线C所围成图形面积为false
三、填空题
11．如图绘制有函数false的部分图象，图象与y轴的交点为false，其中A，B分别为最高点和最低点，现将此图沿着x轴折叠形成一个钝二面角，夹角为120°，其中此时AB之间的距离为5，则false______．
??
12．设A，B，C是函数false与函数false的图象连续相邻的三个交点，若false则false__.
13．已知false且false，若false，则false________．
14．若对任何实数false，false恒成立，则false的最大值为_______.
四、解答题
15．已知函数false，将函数false先向右平移false个单位，再将横坐标变为原来的false（false），纵坐标不变，得到函数false，将函数false的正零点按照从小到大的顺序排列，得到数列false，且false．
(1)求false的值域；
(2)求false的单调增区间；
(3)求数列false的前false项和false．
16．设函数false．
(1)由false的图象如何变换得到false的图象?
(2)求方程false的解；
(3)若函数false在区间false上单调，求false的最大值．
17．函数false的图象如图所示，图象最高点、最低点处分别记为A，B，在x轴上的射影分别为false，false，已知图象过点false，沿x轴将坐标平面折叠，使平面false⊥平面false，此时false．
(1)求false的解析式；
(2)求四面体false外接球的表面积；
(3)若false为已知图象上一点，且false，设四面体false外接球的半径为R，求证:false．
18．（1）给定false，当false在区间false上变化时，求false的最小值false；
（2）求false，false的最大值，
（3）设false，若存在false，使得false对false恒成立，求false的最小值．
19．函数false．
(1)当false时，求false在false上的最大值；
(2)若false在false上单调递减，求实数false的取值范围；
(3)证明：false，false．
参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
C
B
BC
ABD
ABD
ABD
BCD
BC
1．C
【分析】根据导数的几何意义可得false在点false处的切线方程，结合切线均过点可得false，判断A和B；继而得false，画出函数false与false图象，数形结合，判断C和D.
【详解】由题意知,false，则false,
所以曲线false在点false处的切线方程分别为false，
因为切线均过原点，所以false,false，
即false,false，
得false，故A和B错误；
由false，
得false，画出函数false与false图象，如图,
设false,
如图易知false，
设false为直线false的斜率，false为直线false的斜率，
由于正切函数的图象在每个单调区间内的图象越向上越为陡峭，可知false，
得false，即false,
又false,则false，
即false，得false，故false正确，false错误,
故选：false.
2．D
【分析】计算false即可判断AB，计算false即可判断C，计算false即可判断D.
【详解】因为false既不是奇函数也不是偶函数，故A错误，B错误；
又false，故false的图象不关于false对称，故C错误；
因为false，故false的图象关于false对称，故D正确；
故选：D.
3．C
【分析】根据题意，结合正弦函数的对称性，求得分别求得false，false和false，消去false，求得false或false，结合选项，即可求解.
【详解】由false，且false在false上只有一个极值点，
所以在区间false只有一条对称轴，可得false为函数false的对称轴，
所以false，可得false，
且false，即false，解得false，
又由false，false，
因为false，可得false或false是函数false的一个对称中心，
则false或false，
可得false或false，
联立方程组false或false，
false或false，
令false，可得false或false，
所以false可能的取值为false，所以false不可能的取值为false.
故选：C.
4．B
【分析】由题意得false，令false，可得false，求得false或false，求得所以false或false，再由false在false上有且仅有一个零点，求得false，进而得到false时，化简得到false，结合三角函数的周期性，即可求解.
【详解】由函数false，
因为false，可得false，
即false，
令false，可得false，
整理得false，解得false或false，
则false或false，
所以false或false，
当false，可得false，
由函数false在false上有且仅有一个零点，可得false，即false，
若false，当false时，false，可得false，
此时false或false，使得false，不符合题意；
若false，当false时，false；当false时，false，
当false时，可得false，函数false在false上无零点；
当false时，可得false，当且仅当false时，false，符合题意，
所以false，则false，
可得false，
false，false
false
false，
false，
false
又由false，
所以false.
故选：B.
5．BC
【分析】根据题意，化简得到false，设false，结合二次函数的性质，可得判定A错误；化简得到false，可判定B正确；证得函数false为偶函数，图象关于false轴对称，取false，得到false，设false，利用二次函数的性质，可得判定C正确；画出函数false的图象，结合图象，求得所有根之和组成的集合，可判定D正确.
【详解】对于A，当false，可得false，
设false，则false，且函数false在false上单调递增，
设false，则false的图象开口向下，对称轴为false，
因为false，所以false时，false单调递增，false时，false单调递减，
所以函数false在false上不是单调函数，所以A错误；
对于B，由false，
所以函数false的图象关于直线false对称，所以B正确；
对于C，又由false，
且false，
所以函数false为偶函数，图象关于false轴对称且函数的一个周期为false，
函数false的图象关于直线false对称，取false，
则false，
设false，则false，可得false，
所以false，所以false的值域为false，所以C正确；
对于D，由B知：函数false的图象关于直线false对称，
画出函数false的图象，如图所示，
当方程false在区间false上有一个实数根时，可得方程只有一个根为false，则所有根之和为false；
当方程false在区间false上有两个实数根时，可得两根关于false对称，此时所有根之和为false；
当方程false在区间false上有四个实数根时，可得四个根两两关于false对称，此时所有根之和为false，
综上可得方程false在区间false上所有根之和组成的集合为false，所以D不正确.
故选：BC
6．ABD
【分析】根据周期的定义可判断A，由对称性的结论可判断B，根据三角函数的最值分析可判断C，令false，即false，求出零点可判断D.
【详解】∵falsefalse，
∴false的一个周期为false，故A正确；
∵false
falsefalse，
∴false的图象关于直线false对称，故B正确；
false
false
falsefalse.
∵false，false，
∴要使false取最大值2，需false且false，
由false得false，即false，
而此时falsefalse，与false不符，
故false的最大值不是2，故C错误；
令false，即false，
即false，即false，
所以false或false，则false或false，
则false或false，
∵false，∴false，
∴false在false上的所有零点之和为false，故D正确，
故选：ABD.
7．ABD
【分析】根据函数解析式，结合函数奇偶性的定义、对称性的性质、周期性与单调性的性质及换元法求最值逐项判断即可求解.
【详解】函数false的定义域为false，
false，所以false是偶函数，故选项A正确；
因为false，
false，
所以false，所以函数false的图象关于直线false对称，故选项B正确；
因为false，false，所以false在false上不单调，故选项C错误；
对D：因为false，所以false是false的一个周期，
则false的最大值即为false在false上的最大值.
当false时，false，则false.
设false，则false，
设函数false.
由解析式及单调的性质可知函数false在false上单调递增，所以false，
即false，所以false，即false的最大值是false，故选项D正确.
故选：ABD.
8．ABD
【分析】由false判断A；由false在false上单调递减，结合复合函数的单调性可判断B；利用false可判断C；求得函数false与函数false的最大值可判断D.
【详解】对于A，因为false，
所以函数false的一个周期为false，故A正确；
对于B，false，当false时，false，
又因为false在false上单调递减，
由复合函数的单调性可得false在false上单调递减，故B正确；
对于C，false，
所以曲线false关于false对称，故C错误；
对于D，false，所以false，
当false时，false，所以函数false的最大值为false，
又false，又因为false，
所以false，
当且仅当false时取等号，
所以false的最大值为false，所以函数false与函数false的最大值相等，故D正确.
故选：ABD.
9．BCD
【分析】对于A，令false代入计算可判断；对于B，分false，false，false三种情况讨论即可判断；
对于C，求出函数false的周期是false，设false，
当false时，可得false，即可得到false范围；
同理当false时，false，即可求解函数false的范围；
对于D，化简可得false的图象关于false轴对称，根据对称性即可求解.
【详解】因为false是false的解，则A错误；
当false时，false，则false，从而false，满足false，当false时，因为false，所以false，
当false时，因为false，所以false，也有false，B正确；
函数false的周期是false，不妨设false，
当false时，false，因为false，
则false，从而false；
当false时，false，因为false，则false，从而false，
故false值域是false，C正确；
对于false，因为false，
所以false的图象关于false轴对称，使得false在false上的零点个数为偶数，
又false显然是false的最小值，而且false当且仅当false即false，
这表明false零点个数只能为1或偶数，D正确.
故选：BCD.
10．BC
【分析】联立曲线C与直线false的方程，根据公共解的个数判断A选项；求出曲线C与false轴的交点坐标，数形结合可判断B选项；利用圆的参数方程结合三角函数的有界性可判断C选项；求出曲线C在第一象限的圆弧与false轴围成区域的面积，结合对称性可计算判断D选项.
【详解】曲线C的方程可化为false，
当false，false时，曲线C的方程可化为false，
在曲线C上任取一点false，则该点关于false轴的对称点为false，
因为false，即点false也在曲线C上，
所以，曲线C关于false轴对称，同理可知，曲线C关于false轴、原点对称，
对于A选项，由false，得false，
所以false，即false，可得false或false（舍去），
故false，所以曲线C与直线false只有false个公共点，A错；
对于B选项，在曲线C的方程中，令false，可得false，解得false或false，
所以，曲线C交false轴于点false、false、false，
结合图形可知，曲线C上任意两点距离最大值为false，B对；
对于C选项，当false取最大值，结合图形及对称性不妨false，false，
此时点false必在第一象限或两坐标轴正半轴上，
设false，false，其中false，
由false可得false，所以false，
所以falsefalse
false，其中false，
因为false，所以false，
因为false，则false，故false，
故当false时， false取到最大值为false，C对；
对于D选项，设圆false的圆心为false，该圆的半径为false，
因为false，故false是边长为2的等边三角形，
所以圆false在第一象限的圆弧与false轴围成区域的面积为false，
所以曲线C所围成图形面积为false，D错.
??
故选：BC.
11．false
【分析】过false分别作false轴的垂线，垂足分别为false，过false分别作false轴，false轴的垂线相交于点false，结合条件和余弦定理求出false，然后将false代入函数解析式即可得出答案.
【详解】过false分别作false轴的垂线，垂足分别为false，过false分别作false轴，false轴的垂线相交于点false，
??
连接false，则false，
由余弦定理得false，
由上可知，false轴垂直于false，又false平面false，
所以false轴垂直于平面false，又falsefalsefalse轴，所以false平面false，
因为false平面false，所以false，
因为false的周期false，所以false，
由勾股定理得false，解得false，
由图知，false的图象过点false，且在递减区间内，
所以false即false，
因为false，点false在递减区间内，所以false，
故答案为：false.
12．false
【分析】根据false求得false，从而有false，取特值false，再根据正弦曲线的性质计算即可.
【详解】由false，即false，
解得false，从而false，
不妨设false，由正弦曲线的对称性和周期性知：false，
又false边上的高为false，且false，
false，从而false．
故答案为：false.
??
13．false
【分析】根据诱导公式化简得false，再由角的范围即可确定false，再用诱导公式化简求值即可.
【详解】false，
false
false，
因为false，所以false，
化简得false，所以false，即false，
因为false且false，所以false且false，
所以false且false，所以false，
false.
故答案为：false
14．false
【分析】令false，false，先作出false的图象，结合条件，数形结合，即可求解.
【详解】令false，false，
因为false的图象可由false向右平移false个单位，再把图象上所有点的横坐标缩短到原来的false倍，纵坐标不变，
再把图象上所有点的纵坐标伸长到原来的false倍，横坐标不变，
最后把图象上所有点向下平移false个单位得到，其图象如图1，
其中false，false ，false
又函数false的图象恒过定点false，
故依条件可知当且仅当函数false的图象经过false，false ，false时，false取得最大值，如图2所示，
此时最小正周期为false，所以false，false取得最大值false.
故答案为：false.
15．(1)false
(2)false，false
(3)false
【分析】（1）化简false的表达式即可求得值域；
（2）根据函数变换的概念求得false的表达式后即可求解单调增区间；
（3）根据n的奇偶性，求得false的通项公式，再对false分奇偶加起来即可．
【详解】（1）false
false，
false的值域为false．
（2）false，false时满足false，其中false，
解得false，false最小零点为false时，false，
依题意有false，falsefalse，false，
单调递增区间满足false，false，
false单调递增区间为false，false．
（3）由（2）可知false满足false，依据三角函数特性可知，false一个周期内有两个零点，所以最小的两点零点为false、false，周期false，
也即false的奇数项构成了一个以false为首项，false为公差的等差数列，false的偶数项构成了一个以false为首项，false为公差的等差数列，
也即false，所以false，
false．
16．(1)答案见解析；
(2)false；
(3)false.
【分析】（1）利用二倍角的正弦公式及辅助角公式化简函数false，再求解变换过程.
（2）由（1）的结论，利用正弦函数的性质列式求解.
（3）求出函数false的导数，由（2）确定导函数的零点，进而确定单调区间即可.
【详解】（1）函数false，
所以把false的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把所得图象向右平移false个单位得false的图象.
（2）由（1）及false，得false，
则false或false，
解得false或false，而false，
所以方程false的解为false.
（3）函数false，求导得false，
由（2）知，false在false上的解为false，而false，且false，
则false，false，否则，若false，false，
则false在false上还有解，与（2）矛盾，因此函数false在false上单调递减，
又false，且false，则false，false，
函数false在false上单调递增，由函数false在区间false上单调，得false，
因此false，所以false的最大值为false.
17．(1)false
(2)false
(3)证明见解析
【分析】（1）结合图象确定函数false的最小正周期，根据周期公式求false，由图象过点false，false列方程求false， 由关系false列方程，结合false，求false，false由此可得结论，
（2）由条件利用余弦定理求false，再求false，再由正弦定理求false的外接圆半径，再求四面体false外接球的半径，根据球的表面积公式求结论，
（3）设false，由向量夹角余弦公式和基本不等式可得false，由此可求false的范围，由此可求false的范围，结合（2）可得结论，
【详解】（1）因为点false是false的中点，则false，同理false，则false，
所以false，false，所以false，
由图象过点false，false，得false①，
false②，
由①②可得false，
所以false（舍去）或false，false，
所以false，false，
因为false，false，false，
所以false，故false，
代入①，解得false，
因为平面false平面false，平面false平面false，false平面false，false，
所以false平面false，false平面false，所以false，
因为false，false，false，false，
所以false，即false，又false，
解得false，false，
所以false.
（2）由（1）false，又false，false，
所以false，false，false，故false，false，
在false中，由余弦定理可得false，false，
设false外接圆半径为false，则false，所以false，
由（1）false，故false，false，false，
所以false，又平面false平面false，false是截面圆的直径，
所以平面false所在截面圆半径就是外接球半径，
所以四面体false外接球的半径为false，
所求外接球表面积false.
（3）由题得false，false，设false，
false，
false，
false，
false，
false，
false，
false，
false③，
falsefalse，
因为false，所以false，
即false，所以false，
又false（false为false外接圆半径），
当且仅当false时等号成立，此时false，不满足false，
所以等号取不到，所以false，由（2）知false.
18．（1）false；（2）false；（3）false.
【分析】（1）对false的取值进行分类讨论，结合正弦型函数的基本性质可得出false的表达式；
（2）化简得出false，令false，函数变为false，false，原问题转化为求false的最大值，结合导数求解即可；
（3）令false，将原问题转化为false，false，按false的不同取值范围分类讨论即可.
【详解】（1）因为false，false，所以false，
当false时，false的最小值为false；
当false时，则false，false的最小值为false；
当false时，false的最小值为false.
综上所述，false；
（2）false，
因为false
false，
所以false，
令false，false，则函数变为false，false，原问题转化为求false的最大值，
因为false，令false解得false，
所以当false时，false，false在false上单调递减，
当false时，false，false在false上单调递增，
当false时，false，false在false上单调递减，
因为false，false，
所以false的最大值为false，即false的最大值为false；
（3）令false，false
因为false
false，故false为函数false的一个周期，
因为false
false，
所以false，即false，对false恒成立，所以false，
令false，
则false
false，
同理可得false，
即false，
false，即false，
所以false，false，false均不超过false，
假设false
则false，false，false（I）
由正弦函数性质可知false的周期为 false，我们取false，
又false在false单调递减，在false单调递增，
当false时，由（I）的三个不等式得false，它的解集为空集，
当false时，由（I）的三个不等式得false，它的解集为空集，
这就是说，假设false不成立，即一定有false成立，
因为false在false单调递增，在false上单调递减，且函数图象关于false对称，
所以false，
另一方面，当取false时，由（2）知false，
取false满足对任意的falsefalse恒成立，
综合得false.
19．(1)false
(2)false
(3)证明见解析
【分析】（1）求出导函数，根据余弦函数图象与性质求出单调区间，即可求解最大值；
（2）求出导函数，结合false，按照false和false分类讨论，分别研究函数的单调性，利用单调性求得false的范围；
（3）先证明左边，由（1）知，当false时，false在false上单调递增，可得false．利用累加可得，再证明右边，由（2）知，当false时，false在false上单调递减，得false，令false，false，false，false，false，false，累加得证.
【详解】（1）false，
当false时，false，
false．??
当false时，false，当false时等号成立，
当false时，false，false，false单调递增，
当false时，false，false，false单调递减．
所以false．
（2）false，
false
false，
false，当false时等号成立，
当false时，false，false恒成立，false在false上单调递减，符合题意；
当false时，false，要使false为单调函数，
则只需false，即false恒成立，所以false，解得false，所以false．
综上，实数false的取值范围为false．
（3）证明：先证明左边，
由（1）知，当false时，false在false上单调递增，
所以当false时，false，即false．
又因为false，
所以false，false，false，false，
累加得false，false．??
再证明右边，
由（2）知，当false时，false在false上单调递减，
所以当false时，false，得false，
令false，false
累加得
false，
所以false．
所以false，false．??
综上所述，false，false．

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