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四川省眉山市仁寿县城区初中学校2024-2025学年下学期期中质量监测七年级 数学试题
一、选择题（4×12＝48分）
1．（2025七下·仁寿期中）方程的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【解答】解：
通过系数化为1，解得方程的解为：
故选：B。
【分析】本题考查了一元一次方程的解法，解题关键是掌握系数化为1的基本运算规则。
2．（2025七下·仁寿期中）下列方程为二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A．含有两个未知数，故选项是二元一次方程，符合题意；
B．是一元一次方程，故选项不是二元一次方程，不符合题意；
C．未知数的次数是2次，故选项不是二元一次方程，不符合题意；
D．含有未知数的部分不是整式，故选项不是二元一次方程，不符合题意．
故选：A．
【分析】二元一次方程的定义需要满足两个条件：（1）含有两个未知数（2）未知数的次数均为1次解题需要逐一分析选项，判断是否同时满足这两个条件。
3．（2025七下·仁寿期中）下列变形正确的是（　　）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【答案】C
【知识点】等式的基本性质；不等式的性质
【解析】【解答】解：A. 如果，可得，错误；
B. 如果，可得，错误；
C. 如果，可得，正确；
D. 如果，可得，错误；
故选：C．
【分析】这道题的核心是考查等式的基本性质和不等式的基本性质，解题的关键是准确运用这些性质对每个选项进行变形判断.
4．（2025七下·仁寿期中）如图，天平左盘中物体A的质量为，天平右盘中每个砝码的质量都是1g，则的取值范围在数轴上可表示为
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的解及解集
【解析】【解答】解：根据题意得：，
解得：1＜m＜2，
故选D．
【分析】根据列出不等式组，再将解集在数轴上表示即可.
5．（2025七下·仁寿期中）二元一次方程正整数解的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【答案】B
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：对二元一次方程进行变形，得．
要使x，y都是正整数，必须满足是2的倍数且是正数．
由可以推出：.
又因为x是正整数，所以x的可能取值为1，2，3，4.
带入验证：当x=1时，y=6 ； 符合正整数要求.
当x=2时，y= ； 不符合正整数要求.
当x=3时，y=3 ； 符合正整数要求.
当x=4时，y= ； 不符合正整数要求.
所以有2组，分别为，．
故选：B．
【分析】解二元一次方程的正整数解，先把方程变形为用一个未知数表示为另一个未知数的形式，再结合正整数的限制，确定未知数的取值范围，最后验证筛选出符合条件的解即可.
6．（2025七下·仁寿期中）小明在解方程去分母时，方程右边的﹣1没有乘3，因而求得的解为x＝2，则原方程的解为（　　）
A．x＝0 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2
【答案】A
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意，得：2x﹣1＝x+a﹣1，
把x＝2代入这个方程，得：3＝2+a﹣1，
解得：a＝2，
代入原方程，得：，
去分母，得：2x﹣1＝x+2﹣3，
移项、合并同类项，得：x＝0，
故答案为：A.
【分析】已知小明在解方程去分母时，方程右边的 1这个项没有乘3，则所得的式子是：2x 1＝x＋a 1，把x＝2代入方程即可得到一个关于a的方程，求得a的值，然后把a的值代入原方程，解这个方程即可求得方程的解．
7．（2025七下·仁寿期中）新学期七年级1班安排30名学生搬桌椅，规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次，若一张桌子和一把椅子配套，求搬椅子和桌子学生各多少人刚好配套？如果设搬椅子学生x人，搬桌子学生y人，则可得方程组（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设搬椅子学生x人，搬桌子学生y人，根据题意得，
故选：C．
【分析】这道题属于二元一次方程组的实际应用，解题关键是从题目中提取两个等量关系，一是总人数的和，二是搬椅子和搬桌子的数量对应关系，通过设未知数、列方程组即可求解.
8．（2025七下·仁寿期中）已知关于x的方程有负数解，则k的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由，可得，
方程有负数解，
．
解得：.
故选：A.
【分析】这道题需要先解含参数k的一元一次方程，得到用k表示的x的式子，再根据”解为负数“的条件列出不等式，最后解不等式得k的取值范围.
9．（2025七下·仁寿期中）已知关于的不等式组无解，那么的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；已知不等式的解（集）求参数
【解析】【解答】解：解不等式，得，
已知不等式组为，且不等式组无解.
根据不等式组的”大大小小找不到原则“原则：
当时，两个解集没有公共部分，不等式组无解.
故选：．
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先解出第一个不等式的解集，再结合”“和”不等式组无解的条件“，利用”大大小小找不到“的口诀判断的取值范围.
10．（2025七下·仁寿期中）如图，按下面的程序进行运算，规定程序运行到“判断结果是否大于30”为一次运算．若某运算进行了3次才停止，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：根据题意可列出不等式组：
解得：．
故选：D．
【分析】本题是结合程序运算的不等式组应用问题，确定”第二次结果，第三次结果“解题时先分别求解两个不等式，再取它们的交集得到x的取值范围，正确列出不等式组是解题的关键.
11．（2025七下·仁寿期中）定义一种运算： ，则不等式 的解集是（　　）
A． 或 B．
C． 或 D． 或
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意得，当 时，
即 时， ，
则 ，
解得 ，
∴此时原不等式的解集为 ；
当 时，
即 时， ，
则 ，
解得 ，
∴此时原不等式的解集为 ；
综上所述，不等式 的解集是 或 .
故答案为：C.
【分析】利用定义新运算，分情况讨论：当2x+1＞2-x时；当2x+1＜2-x时，分别列出不等式，然后求出不等式的解集.
12．（2025七下·仁寿期中）已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①当时，方程组的解为； ②无论a为何值，y的值不变；③当时，则；④当时，则．其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：将代入方程组得，，
解这个方程组得，．故①正确．
由得，，
将此等式与相减得，，
解得，
所以无论a为何值，y的值不变．故②正确．
将方程组中的两个方程相减得，，
即．
因为，
所以，
解得．
故③正确．
由得，，
将代入得，
，
则．
因为，
所以，
解得．
故④正确．
故选：D．
【分析】将代入，利用加减消元法求出方程组的解判断①；利用加减消元法消去x，求出y的值判断②；两方程相减，得到，求出a的取值范围判断③；用x的式子表示a，然后代入a的取值范围解答判断④解答即可．
二、填空题（4×6＝24分）
13．（2025七下·仁寿期中）“x的2倍与3的和不大于5”用不等式表示是　 　．
【答案】2x+3≤5．
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：题目要求的是“x的2倍与3的和不大于5”，分步转化：
“x的2倍”表示为：2x
“与3的和”表示为：2x+3
“不大于5”表示为：
故填：
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）“、“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
14．（2025七下·仁寿期中）已知方程组，则　 　．
【答案】
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：已知三元一次方程组：，
由①②③，得，
，
故填：．
【分析】此题考查了解三元一次方程组，通过整体相加的方式，直接得到x+y+z的结果.
15．（2025七下·仁寿期中）关于x的的解集为，则a的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式；不等式的性质
【解析】【解答】解：题目给出的不等式是，可以将其变形为.
已知该不等式的解集为.
根据不等式性质，可以得出，即.
故填：.
【分析】本题主要考查不等式的基本性质，特别是当不等式两边同时除以一个负数时，不等号方向会发生改变这一关键性质，通过分析解集与系数符号的关系，可以准确求出参数a的取值范围.
16．（2025七下·仁寿期中）若关于、的方程组和的解相同，则的值　 　．
【答案】
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：因题中的两个方程组的解相同，可得新的方程组
将①5+②3，可得x=2
将x=2代入4x+3y=11中得y=1
把代入得，
，
解得，
．
故填：．
【分析】这道题考查了二元一次方程组的解法，核心是先求出不含a、b的方程组的解，再代入含a、b的方程组求出a、b的值，最后代入代数式计算.
17．（2025七下·仁寿期中）若不等式组至少有3个整数解，则a的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意知，可得不等式组的解集为：，
方程组至少有3个整数解，3个整数解为：，，
如果a=5，则解集为，只有3、4两个整数解，不满足要求
所以a5
故填：．
【分析】本题考查根据一元一次不等式组解集的情况求参数，解题核心是先求出不等式组的解集，同时结合题干要求”至少3个整数解“，推出a的取值范围.
18．（2025七下·仁寿期中）“一马当先，当仁不让”，2025年仁寿举办中国首个白金标半马赛，引来世界各地朋友前来参赛，某酒店有二人间，三人间，四人间客房供参赛者租住．某地区20人组团参赛，准备租住客房7间，若每种房型均有居住且房间都住满，则租住方案有　 　种．
【答案】
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设二人间、三人间、四人间的数量分别为x间、y间、z间，根据题意得：
；
解得：，即，
因为x、y、z都是正整数，所以对z进行取值验证：
当时，，；
当时，，；
当时，，；(不符合题意，舍去)
综合，符合条件的租房方案有2种
故填：．
【分析】这是一套三元一次方程组的实际应用题，解题的核心是通过消元法将三元方程转化为二元关系，再结合”房间数为正整数“的约束条件，枚举验证所有可能的取值，最终确定符合条件的方案数量.
三、解答题（共78分）
19．（2025七下·仁寿期中）解方程：．
【答案】解：去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得．
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】这是一道解一元一次方程的基础题，核心是遵循“去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1”的步骤逐步化简，最终求出未知数的值.解题时要注意符号的变化和计算准确性，避免因粗心导致错误.
20．（2025七下·仁寿期中）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】解：解不等式组：
解第一个不等式得：
解第二个不等式得：
因此，不等式组的解集为：
解集在数轴上表示如下：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题考查的是解一元一次不等式组。解题的关键在于掌握解不等式组的基本方法：先分别求出每个不等式的解集，再确定这些解集的公共部分。解不等式组时需要注意不等号方向的变化，以及在数轴上表示解集时要准确标注端点的开闭情况。
21．（2025七下·仁寿期中）甲、乙两人解关于，的方程组，甲因看错了，解得，乙将方程②中的写成了它的相反数，解得．求原方程组的解．
【答案】解：已知是方程4x-by=-1的解，将其代入方程
解得：，
已知不是方程4x+3y=-1的解，是ax-3y=5的解，将其代入
解得：，
将a=-2、b=3代入原方程组，得
①+②得，
解得：
将代入①得，
解得：
∴原方程组的解为：
【知识点】二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【分析】这道题考查二元一次方程组的解的定义和加减消元法解二元一次方程组.先利用“方程组的解满足方程”这一性质，分别求出a和b的值；再将a、b代入原方程组，用加减消元法求出方程组的解.
22．（2025七下·仁寿期中）“水是生命之源”，我县自来水公司鼓励居民节约用水，收费按以下标准：
用水量/月 单价（元/）
不超过
超过的部分
（1）如果1月份某用户用水量为，那么该用户1月份应该缴纳水费　 　元．
（2）某用户2月份共缴纳水费80元，那么该用户2月份用水多少？
【答案】（1）53.2
（2）解：设2月份用水量为
因为202.8 = 56元，而总水费80元超过56元，所以x > 20.
根据分段计费规则列方程：
202.8+ (x - 20) 3.2 = 80
得：x = 27.5
所以2月份用水量为.
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题；有理数乘法的实际应用
【解析】【解答】解：（1）已知1月份用水量为19m3，且1920，
计算可得：（元）
故填：.
【分析】本题是一道分段计费的实际应用问题
（1）判断用水量处于哪个计费区间，选择对应的单价.
（2）当用水量超过基础区间时，用“基础费用+超出部分费用”的思路列方程求解.
（1）解：由题意知，该用户1月份应该缴纳水费（元），
故答案为：；
（2）解：设该用户2月份用水，
依题意得，，
解得，，
∴该用户2月份用水．
23．（2025七下·仁寿期中）已知关于，的方程组（是常数）．
（1）若，求的值；
（2）若．求的取值范围；
（3）在（2）的条件下，化简：　 　．
【答案】（1）解：已知方程组：
，得：
两边同时除以3，得：
∵x+y=1
∴，解得：
所以m的值为.
（2）解：，
，得：，
∵，
∴，
解得：，
所以m的取值范围是.
（3）3m-6
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式组；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：（3）∵，
∴，
∴．
【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况求参数，解一元一次不等式组，化简绝对值.
（1）利用整体思想，将方程组两式相加得到x+y的表达式，再代入x+y=1求m.
（2）通过方程组两式相减得到x-y的表达式，结合x-y的范围列不等式组，解出m的取值范围.
（3）根据m的范围判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值后化简整式.
（1）解：，
，得：，
∴，
∴；
（2）解：，
，得：，
∵，
∴，
解得：；
（3）解：∵，
∴，
∴．
24．（2025七下·仁寿期中）“铭记先辈热血，筑牢信仰根基”，学校组织学生赴仁寿革命烈士陵园开展清明祭扫活动，并准备A，B两种食品作为午餐，这两种食品每包质量均为，营养成分如表：
（1）若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用、两种食品各多少包？
（2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多，若午餐需要选用这两种食品共包，其中食品不少于包，要使午餐中蛋白质的总含量不低于，请问有哪几种选择方案？
【答案】（1）解：设选用种食品包，种食品包，
根据题意，得
解方程组，得
答：选用种食品包，种食品包．
（2）解：设选用种食品包，则选用种食品包，
根据题意，得．
解得．
∵为正整数，则
答：有三种选择方案，方案一：选用种食品包，选用种食品包；方案二：选用种食品包，选用种食品包；方案三：选用种食品包，选用种食品包．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）设A、B食品分别为x、y包，根据热量和蛋白质的总量条件列二元一次方程组，解方程组即可.
（2）设A食品a包，则B食品包，根据蛋白质不低于90g列不等式，联立求解a的范围，确立搭配方案.
（1）解：设选用种食品包，种食品包，
根据题意，得
解方程组，得
答：选用种食品包，种食品包．
（2）解：设选用种食品包，则选用种食品包，
根据题意，得．
解得．
∵为正整数，则
方案一：选用种食品包，选用种食品包；
方案二：选用种食品包，选用种食品包；
方案三：选用种食品包，选用种食品包．
25．（2025七下·仁寿期中）阅读材料：
关于x，y的二元一次方程有一组整数解，则方程的全部整数解可表示为（t为整数）．问题：求方程的所有正整数解．
小明参考阅读材料，解决该问题如下：
解：该方程一组整数解为，则全部整数解可表示为（t为整数）．
因为解得．因为t为整数，所以t=0或-1．
所以该方程的正整数解为和 ．
（1）方程的全部整数解表示为：（t为整数），则= ；
（2）请你参考小明的解题方法，求方程的全部正整数解；
（3）方程的正整数解有多少组 请直接写出答案．
【答案】（1）
（2）解：方程一组整数解为，
则全部整数解可表示为（t为整数），
要求即，
解得．
因为t为整数，
所以，，0，
所以方程的全部正整数解为或或.
（3）13组
【知识点】二元一次方程组的解；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】（1）解：把代入方程得，，解得，
∵方程的全部整数解表示为：（t为整数），
则，
故填：；
（3）解：方程一组整数解为，
则全部整数解可表示为（t为整数）．
∵，解得．
因为t为整数，
所以，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，
∴方程的正整数解有13组．
【分析】（1）这道题考查二元一次方程整数解的表示形式，通过代入特殊值t=0求出一组整数解
（2）这道题考查二元一次方程正整数解的求解，先找到一组整数解，再根据参数t的取值范围筛选出正整数解。
（3）这道题考查二元一次方程正整数解的组数判断，通过确定参数t的整数取值个数，即可得到正整数解的组数。
（1）解：把代入方程得，，
解得，
∵方程的全部整数解表示为：（t为整数），
则，
故答案为：；
（2）解：方程一组整数解为，
则全部整数解可表示为（t为整数）．
因为，解得．
因为t为整数，
所以，，0，
所以方程的全部正整数解为或或；
（3）解：方程一组整数解为，
则全部整数解可表示为（t为整数）．
∵，解得．
因为t为整数，
所以，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，
∴方程的正整数解有13组．
26．（2025七下·仁寿期中）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，是最大的负整数，且，满足．点从点出发以每秒个单位长度的速度向左运动，到达点后立刻返回到点，到达点后再返回到点并停止．
（1）点表示的数为　 　，点表示的数为　 　，　 　；
（2）若点从点出发向点运动，同时，点从点出发向点运动；经过秒相遇；若点从点出发向左运动，同时，点从点出发与点同向运动，经过秒相遇，请分别求出点，点的运动速度．
（3）若点，点的运动速度同（2），点从点出发的同时，数轴上的动点，分别从点和点同时出发，相向而行，假设秒钟时，、、三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的的值．
【答案】（1）-3；-1；12
（2）解：设的速度分别为，由题意得
解得：．
∴、速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度．
（3）1；；；8．
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；一元一次方程的实际应用-行程问题；二元一次方程组的实际应用-行程问题；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】（1）解：∵是最大的负整数，且，满足，
∴，
∴．
∴
故填：；
（3）解：依题意，当为，点的中点，
当时，有，
解得（舍去），
当时，有，
解得；
当为，点的中点，，
有，
解得；
或，
解得；
为，点的中点，，
有，
解得．
综上所述，的值为1，，，8．
【分析】（1）这道题利用非负数的性质和最大负整数的定义，求出数轴上三点表示的数及线段长度，是数轴与非负数的基础应用
（2）这道题通过相向和同向两种运动的路程关系，建立二元一次方程组求解速度，考查了行程问题中的相遇追击模型
（3）这道题结合动点的分段运动和中点的位置关系，分情况列方程求解，考查了动点问题的分类讨论思想
（1）解：∵是最大的负整数，且，满足，
∴，
∴．
∴
故答案为：；
（2）解：设的速度分别为，由题意得
解得：．
∴、速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度．
（3）解：依题意，当为，点的中点，
当时，有，
解得（舍去），
当时，有，
解得；
当为，点的中点，，
有，
解得；
或，
解得；
为，点的中点，，
有，
解得．
综上所述，的值为1，，，8．
1 / 1四川省眉山市仁寿县城区初中学校2024-2025学年下学期期中质量监测七年级 数学试题
一、选择题（4×12＝48分）
1．（2025七下·仁寿期中）方程的解是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025七下·仁寿期中）下列方程为二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025七下·仁寿期中）下列变形正确的是（　　）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
4．（2025七下·仁寿期中）如图，天平左盘中物体A的质量为，天平右盘中每个砝码的质量都是1g，则的取值范围在数轴上可表示为
A． B．
C． D．
5．（2025七下·仁寿期中）二元一次方程正整数解的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
6．（2025七下·仁寿期中）小明在解方程去分母时，方程右边的﹣1没有乘3，因而求得的解为x＝2，则原方程的解为（　　）
A．x＝0 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2
7．（2025七下·仁寿期中）新学期七年级1班安排30名学生搬桌椅，规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次，若一张桌子和一把椅子配套，求搬椅子和桌子学生各多少人刚好配套？如果设搬椅子学生x人，搬桌子学生y人，则可得方程组（　　）
A． B． C． D．
8．（2025七下·仁寿期中）已知关于x的方程有负数解，则k的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
9．（2025七下·仁寿期中）已知关于的不等式组无解，那么的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025七下·仁寿期中）如图，按下面的程序进行运算，规定程序运行到“判断结果是否大于30”为一次运算．若某运算进行了3次才停止，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025七下·仁寿期中）定义一种运算： ，则不等式 的解集是（　　）
A． 或 B．
C． 或 D． 或
12．（2025七下·仁寿期中）已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①当时，方程组的解为； ②无论a为何值，y的值不变；③当时，则；④当时，则．其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（4×6＝24分）
13．（2025七下·仁寿期中）“x的2倍与3的和不大于5”用不等式表示是　 　．
14．（2025七下·仁寿期中）已知方程组，则　 　．
15．（2025七下·仁寿期中）关于x的的解集为，则a的取值范围是　 　．
16．（2025七下·仁寿期中）若关于、的方程组和的解相同，则的值　 　．
17．（2025七下·仁寿期中）若不等式组至少有3个整数解，则a的取值范围是　 　．
18．（2025七下·仁寿期中）“一马当先，当仁不让”，2025年仁寿举办中国首个白金标半马赛，引来世界各地朋友前来参赛，某酒店有二人间，三人间，四人间客房供参赛者租住．某地区20人组团参赛，准备租住客房7间，若每种房型均有居住且房间都住满，则租住方案有　 　种．
三、解答题（共78分）
19．（2025七下·仁寿期中）解方程：．
20．（2025七下·仁寿期中）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
21．（2025七下·仁寿期中）甲、乙两人解关于，的方程组，甲因看错了，解得，乙将方程②中的写成了它的相反数，解得．求原方程组的解．
22．（2025七下·仁寿期中）“水是生命之源”，我县自来水公司鼓励居民节约用水，收费按以下标准：
用水量/月 单价（元/）
不超过
超过的部分
（1）如果1月份某用户用水量为，那么该用户1月份应该缴纳水费　 　元．
（2）某用户2月份共缴纳水费80元，那么该用户2月份用水多少？
23．（2025七下·仁寿期中）已知关于，的方程组（是常数）．
（1）若，求的值；
（2）若．求的取值范围；
（3）在（2）的条件下，化简：　 　．
24．（2025七下·仁寿期中）“铭记先辈热血，筑牢信仰根基”，学校组织学生赴仁寿革命烈士陵园开展清明祭扫活动，并准备A，B两种食品作为午餐，这两种食品每包质量均为，营养成分如表：
（1）若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用、两种食品各多少包？
（2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多，若午餐需要选用这两种食品共包，其中食品不少于包，要使午餐中蛋白质的总含量不低于，请问有哪几种选择方案？
25．（2025七下·仁寿期中）阅读材料：
关于x，y的二元一次方程有一组整数解，则方程的全部整数解可表示为（t为整数）．问题：求方程的所有正整数解．
小明参考阅读材料，解决该问题如下：
解：该方程一组整数解为，则全部整数解可表示为（t为整数）．
因为解得．因为t为整数，所以t=0或-1．
所以该方程的正整数解为和 ．
（1）方程的全部整数解表示为：（t为整数），则= ；
（2）请你参考小明的解题方法，求方程的全部正整数解；
（3）方程的正整数解有多少组 请直接写出答案．
26．（2025七下·仁寿期中）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，是最大的负整数，且，满足．点从点出发以每秒个单位长度的速度向左运动，到达点后立刻返回到点，到达点后再返回到点并停止．
（1）点表示的数为　 　，点表示的数为　 　，　 　；
（2）若点从点出发向点运动，同时，点从点出发向点运动；经过秒相遇；若点从点出发向左运动，同时，点从点出发与点同向运动，经过秒相遇，请分别求出点，点的运动速度．
（3）若点，点的运动速度同（2），点从点出发的同时，数轴上的动点，分别从点和点同时出发，相向而行，假设秒钟时，、、三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【解答】解：
通过系数化为1，解得方程的解为：
故选：B。
【分析】本题考查了一元一次方程的解法，解题关键是掌握系数化为1的基本运算规则。
2．【答案】A
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A．含有两个未知数，故选项是二元一次方程，符合题意；
B．是一元一次方程，故选项不是二元一次方程，不符合题意；
C．未知数的次数是2次，故选项不是二元一次方程，不符合题意；
D．含有未知数的部分不是整式，故选项不是二元一次方程，不符合题意．
故选：A．
【分析】二元一次方程的定义需要满足两个条件：（1）含有两个未知数（2）未知数的次数均为1次解题需要逐一分析选项，判断是否同时满足这两个条件。
3．【答案】C
【知识点】等式的基本性质；不等式的性质
【解析】【解答】解：A. 如果，可得，错误；
B. 如果，可得，错误；
C. 如果，可得，正确；
D. 如果，可得，错误；
故选：C．
【分析】这道题的核心是考查等式的基本性质和不等式的基本性质，解题的关键是准确运用这些性质对每个选项进行变形判断.
4．【答案】D
【知识点】不等式的解及解集
【解析】【解答】解：根据题意得：，
解得：1＜m＜2，
故选D．
【分析】根据列出不等式组，再将解集在数轴上表示即可.
5．【答案】B
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：对二元一次方程进行变形，得．
要使x，y都是正整数，必须满足是2的倍数且是正数．
由可以推出：.
又因为x是正整数，所以x的可能取值为1，2，3，4.
带入验证：当x=1时，y=6 ； 符合正整数要求.
当x=2时，y= ； 不符合正整数要求.
当x=3时，y=3 ； 符合正整数要求.
当x=4时，y= ； 不符合正整数要求.
所以有2组，分别为，．
故选：B．
【分析】解二元一次方程的正整数解，先把方程变形为用一个未知数表示为另一个未知数的形式，再结合正整数的限制，确定未知数的取值范围，最后验证筛选出符合条件的解即可.
6．【答案】A
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【解答】解：根据题意，得：2x﹣1＝x+a﹣1，
把x＝2代入这个方程，得：3＝2+a﹣1，
解得：a＝2，
代入原方程，得：，
去分母，得：2x﹣1＝x+2﹣3，
移项、合并同类项，得：x＝0，
故答案为：A.
【分析】已知小明在解方程去分母时，方程右边的 1这个项没有乘3，则所得的式子是：2x 1＝x＋a 1，把x＝2代入方程即可得到一个关于a的方程，求得a的值，然后把a的值代入原方程，解这个方程即可求得方程的解．
7．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设搬椅子学生x人，搬桌子学生y人，根据题意得，
故选：C．
【分析】这道题属于二元一次方程组的实际应用，解题关键是从题目中提取两个等量关系，一是总人数的和，二是搬椅子和搬桌子的数量对应关系，通过设未知数、列方程组即可求解.
8．【答案】A
【知识点】一元一次方程的解；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由，可得，
方程有负数解，
．
解得：.
故选：A.
【分析】这道题需要先解含参数k的一元一次方程，得到用k表示的x的式子，再根据”解为负数“的条件列出不等式，最后解不等式得k的取值范围.
9．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；已知不等式的解（集）求参数
【解析】【解答】解：解不等式，得，
已知不等式组为，且不等式组无解.
根据不等式组的”大大小小找不到原则“原则：
当时，两个解集没有公共部分，不等式组无解.
故选：．
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先解出第一个不等式的解集，再结合”“和”不等式组无解的条件“，利用”大大小小找不到“的口诀判断的取值范围.
10．【答案】D
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：根据题意可列出不等式组：
解得：．
故选：D．
【分析】本题是结合程序运算的不等式组应用问题，确定”第二次结果，第三次结果“解题时先分别求解两个不等式，再取它们的交集得到x的取值范围，正确列出不等式组是解题的关键.
11．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；定义新运算
【解析】【解答】解：由题意得，当 时，
即 时， ，
则 ，
解得 ，
∴此时原不等式的解集为 ；
当 时，
即 时， ，
则 ，
解得 ，
∴此时原不等式的解集为 ；
综上所述，不等式 的解集是 或 .
故答案为：C.
【分析】利用定义新运算，分情况讨论：当2x+1＞2-x时；当2x+1＜2-x时，分别列出不等式，然后求出不等式的解集.
12．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：将代入方程组得，，
解这个方程组得，．故①正确．
由得，，
将此等式与相减得，，
解得，
所以无论a为何值，y的值不变．故②正确．
将方程组中的两个方程相减得，，
即．
因为，
所以，
解得．
故③正确．
由得，，
将代入得，
，
则．
因为，
所以，
解得．
故④正确．
故选：D．
【分析】将代入，利用加减消元法求出方程组的解判断①；利用加减消元法消去x，求出y的值判断②；两方程相减，得到，求出a的取值范围判断③；用x的式子表示a，然后代入a的取值范围解答判断④解答即可．
13．【答案】2x+3≤5．
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：题目要求的是“x的2倍与3的和不大于5”，分步转化：
“x的2倍”表示为：2x
“与3的和”表示为：2x+3
“不大于5”表示为：
故填：
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）“、“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
14．【答案】
【知识点】三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：已知三元一次方程组：，
由①②③，得，
，
故填：．
【分析】此题考查了解三元一次方程组，通过整体相加的方式，直接得到x+y+z的结果.
15．【答案】
【知识点】解一元一次不等式；不等式的性质
【解析】【解答】解：题目给出的不等式是，可以将其变形为.
已知该不等式的解集为.
根据不等式性质，可以得出，即.
故填：.
【分析】本题主要考查不等式的基本性质，特别是当不等式两边同时除以一个负数时，不等号方向会发生改变这一关键性质，通过分析解集与系数符号的关系，可以准确求出参数a的取值范围.
16．【答案】
【知识点】二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【解答】解：因题中的两个方程组的解相同，可得新的方程组
将①5+②3，可得x=2
将x=2代入4x+3y=11中得y=1
把代入得，
，
解得，
．
故填：．
【分析】这道题考查了二元一次方程组的解法，核心是先求出不含a、b的方程组的解，再代入含a、b的方程组求出a、b的值，最后代入代数式计算.
17．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意知，可得不等式组的解集为：，
方程组至少有3个整数解，3个整数解为：，，
如果a=5，则解集为，只有3、4两个整数解，不满足要求
所以a5
故填：．
【分析】本题考查根据一元一次不等式组解集的情况求参数，解题核心是先求出不等式组的解集，同时结合题干要求”至少3个整数解“，推出a的取值范围.
18．【答案】
【知识点】三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：设二人间、三人间、四人间的数量分别为x间、y间、z间，根据题意得：
；
解得：，即，
因为x、y、z都是正整数，所以对z进行取值验证：
当时，，；
当时，，；
当时，，；(不符合题意，舍去)
综合，符合条件的租房方案有2种
故填：．
【分析】这是一套三元一次方程组的实际应用题，解题的核心是通过消元法将三元方程转化为二元关系，再结合”房间数为正整数“的约束条件，枚举验证所有可能的取值，最终确定符合条件的方案数量.
19．【答案】解：去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得．
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】这是一道解一元一次方程的基础题，核心是遵循“去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1”的步骤逐步化简，最终求出未知数的值.解题时要注意符号的变化和计算准确性，避免因粗心导致错误.
20．【答案】解：解不等式组：
解第一个不等式得：
解第二个不等式得：
因此，不等式组的解集为：
解集在数轴上表示如下：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题考查的是解一元一次不等式组。解题的关键在于掌握解不等式组的基本方法：先分别求出每个不等式的解集，再确定这些解集的公共部分。解不等式组时需要注意不等号方向的变化，以及在数轴上表示解集时要准确标注端点的开闭情况。
21．【答案】解：已知是方程4x-by=-1的解，将其代入方程
解得：，
已知不是方程4x+3y=-1的解，是ax-3y=5的解，将其代入
解得：，
将a=-2、b=3代入原方程组，得
①+②得，
解得：
将代入①得，
解得：
∴原方程组的解为：
【知识点】二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【分析】这道题考查二元一次方程组的解的定义和加减消元法解二元一次方程组.先利用“方程组的解满足方程”这一性质，分别求出a和b的值；再将a、b代入原方程组，用加减消元法求出方程组的解.
22．【答案】（1）53.2
（2）解：设2月份用水量为
因为202.8 = 56元，而总水费80元超过56元，所以x > 20.
根据分段计费规则列方程：
202.8+ (x - 20) 3.2 = 80
得：x = 27.5
所以2月份用水量为.
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题；有理数乘法的实际应用
【解析】【解答】解：（1）已知1月份用水量为19m3，且1920，
计算可得：（元）
故填：.
【分析】本题是一道分段计费的实际应用问题
（1）判断用水量处于哪个计费区间，选择对应的单价.
（2）当用水量超过基础区间时，用“基础费用+超出部分费用”的思路列方程求解.
（1）解：由题意知，该用户1月份应该缴纳水费（元），
故答案为：；
（2）解：设该用户2月份用水，
依题意得，，
解得，，
∴该用户2月份用水．
23．【答案】（1）解：已知方程组：
，得：
两边同时除以3，得：
∵x+y=1
∴，解得：
所以m的值为.
（2）解：，
，得：，
∵，
∴，
解得：，
所以m的取值范围是.
（3）3m-6
【知识点】解二元一次方程组；解一元一次不等式组；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：（3）∵，
∴，
∴．
【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况求参数，解一元一次不等式组，化简绝对值.
（1）利用整体思想，将方程组两式相加得到x+y的表达式，再代入x+y=1求m.
（2）通过方程组两式相减得到x-y的表达式，结合x-y的范围列不等式组，解出m的取值范围.
（3）根据m的范围判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值后化简整式.
（1）解：，
，得：，
∴，
∴；
（2）解：，
，得：，
∵，
∴，
解得：；
（3）解：∵，
∴，
∴．
24．【答案】（1）解：设选用种食品包，种食品包，
根据题意，得
解方程组，得
答：选用种食品包，种食品包．
（2）解：设选用种食品包，则选用种食品包，
根据题意，得．
解得．
∵为正整数，则
答：有三种选择方案，方案一：选用种食品包，选用种食品包；方案二：选用种食品包，选用种食品包；方案三：选用种食品包，选用种食品包．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）设A、B食品分别为x、y包，根据热量和蛋白质的总量条件列二元一次方程组，解方程组即可.
（2）设A食品a包，则B食品包，根据蛋白质不低于90g列不等式，联立求解a的范围，确立搭配方案.
（1）解：设选用种食品包，种食品包，
根据题意，得
解方程组，得
答：选用种食品包，种食品包．
（2）解：设选用种食品包，则选用种食品包，
根据题意，得．
解得．
∵为正整数，则
方案一：选用种食品包，选用种食品包；
方案二：选用种食品包，选用种食品包；
方案三：选用种食品包，选用种食品包．
25．【答案】（1）
（2）解：方程一组整数解为，
则全部整数解可表示为（t为整数），
要求即，
解得．
因为t为整数，
所以，，0，
所以方程的全部正整数解为或或.
（3）13组
【知识点】二元一次方程组的解；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】（1）解：把代入方程得，，解得，
∵方程的全部整数解表示为：（t为整数），
则，
故填：；
（3）解：方程一组整数解为，
则全部整数解可表示为（t为整数）．
∵，解得．
因为t为整数，
所以，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，
∴方程的正整数解有13组．
【分析】（1）这道题考查二元一次方程整数解的表示形式，通过代入特殊值t=0求出一组整数解
（2）这道题考查二元一次方程正整数解的求解，先找到一组整数解，再根据参数t的取值范围筛选出正整数解。
（3）这道题考查二元一次方程正整数解的组数判断，通过确定参数t的整数取值个数，即可得到正整数解的组数。
（1）解：把代入方程得，，
解得，
∵方程的全部整数解表示为：（t为整数），
则，
故答案为：；
（2）解：方程一组整数解为，
则全部整数解可表示为（t为整数）．
因为，解得．
因为t为整数，
所以，，0，
所以方程的全部正整数解为或或；
（3）解：方程一组整数解为，
则全部整数解可表示为（t为整数）．
∵，解得．
因为t为整数，
所以，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，
∴方程的正整数解有13组．
26．【答案】（1）-3；-1；12
（2）解：设的速度分别为，由题意得
解得：．
∴、速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度．
（3）1；；；8．
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；一元一次方程的实际应用-行程问题；二元一次方程组的实际应用-行程问题；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】（1）解：∵是最大的负整数，且，满足，
∴，
∴．
∴
故填：；
（3）解：依题意，当为，点的中点，
当时，有，
解得（舍去），
当时，有，
解得；
当为，点的中点，，
有，
解得；
或，
解得；
为，点的中点，，
有，
解得．
综上所述，的值为1，，，8．
【分析】（1）这道题利用非负数的性质和最大负整数的定义，求出数轴上三点表示的数及线段长度，是数轴与非负数的基础应用
（2）这道题通过相向和同向两种运动的路程关系，建立二元一次方程组求解速度，考查了行程问题中的相遇追击模型
（3）这道题结合动点的分段运动和中点的位置关系，分情况列方程求解，考查了动点问题的分类讨论思想
（1）解：∵是最大的负整数，且，满足，
∴，
∴．
∴
故答案为：；
（2）解：设的速度分别为，由题意得
解得：．
∴、速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度．
（3）解：依题意，当为，点的中点，
当时，有，
解得（舍去），
当时，有，
解得；
当为，点的中点，，
有，
解得；
或，
解得；
为，点的中点，，
有，
解得．
综上所述，的值为1，，，8．
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